【期中复习】2023-2024学年（沪教版2020选修）高二数学下册专题2-2椭圆-考点归纳讲练.zip

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一．椭圆的定义
1．椭圆的第一定义
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．
2．椭圆的第二定义
平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率．
3．注意要点
椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．
（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；
（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；
（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．
【命题方向】
利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．
二．椭圆的标准方程
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
三．椭圆的性质
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
一．椭圆的定义（共3小题）
1．（2023春•杨浦区校级期中）已知椭圆上的点到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为 7 ．
【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点到一个焦点的距离为3，即可得到到另一个焦点的距离．
【解答】解：椭圆的长轴长为10
根据椭圆的定义，椭圆上的点到一个焦点的距离为3
到另一个焦点的距离为
故答案为：7
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，属于基础题．
2．（2023春•杨浦区校级月考）若方程的系数、、可以从，0，1，2，3，4这6个数中任取3个不同的数而得到，则这样的方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是 0.1 ．（结果用数值表示）
【分析】由题意知，，，所有的选法，满足条件的选法；由古典概型的公式计算可得答案．
【解答】解：方程表示椭圆，
，，
、、从 1，2，3，4 中任意选取3个，
所有的选法，
满足条件的选法，
方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是；
故答案为0.1．
【点评】本题考查椭圆的性质、等可能时间的概率．
3．（2023春•普陀区校级月考）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 ．
【分析】先利用椭圆的定义求得，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．
【解答】解：利用椭圆定义得，，
由正弦定理得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义和正弦定理的应用．考查了学生对椭圆的定义的灵活运用．
二．椭圆的标准方程（共5小题）
4．（2023春•黄浦区校级期中）椭圆的长轴长为 8 ．
【分析】根据椭圆的标准方程求出的值，再求椭圆的长轴长．
【解答】解：因为椭圆的标准方程为，
所以，所以，
所以椭圆的长轴长为．
故答案为：8．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程应用问题，是基础题．
5．（2023春•金山区校级期末）已知，表示椭圆，则是的 必要不充分 条件．
【分析】先求出方程表示椭圆的的范围，然后结合集合包含关系与充分必要条件的关系即可求解．
【解答】解：若表示椭圆，
则，解得且，
因为，
则是的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分条件．
【点评】本题以充分不必要条件的判断为载体，主要考查了椭圆方程的条件，属于基础题．
6．（2023春•崇明区期末）设是椭圆的长轴，点在上，且，若，，则的两个焦点之间的距离为 ．
【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出的坐标，再根据点在椭圆上求得值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．
【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，
由题意知，，．
，，点的坐标为，
因点在椭圆上，，
，
，，
则的两个焦点之间的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．
7．（2023•浦东新区三模）已知，曲线．
（1）若曲线为圆，且与直线交于，两点，求的值；
（2）若曲线为椭圆，且离心率，求椭圆的标准方程；
（3）设，若曲线与轴交于，两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：当时，，，三点共线．
【分析】（1）求得圆心到直线的距离，可求弦长；
（2）由已知可得，分焦点在轴与轴上两种情况求解即可；
（3）设，，，．由离心率可求，可得椭圆的方程，联立直线与椭圆方程可得，，进而可得，因而，，三点共线．
【解答】解：（1）若曲线为圆，则，
圆方程为：，此时圆心到直线的距离，
此时；
（2）曲线的方程曲线，
可得，
当焦点在轴上时，，
由离心率，可得，
此时椭圆的标准方程为，
当焦点在轴上时，，
由离心率，可得，
此时椭圆的标准方程为；
（3）当时，方程为，，，设，，，．
直线的方程为：，
令，，，
联立，消去得，
，，
因为，，
，
分子
，
即，因而，，三点共线．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属难题．
8．（2023春•杨浦区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值．
（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线、的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意知，，，由此可知椭圆方程为．
（2）设，，，，直线，代入椭圆方程，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值．
（3）设存在满足条件，则．，再由，由此可知存在满足条件．
【解答】解：（1），，，；
椭圆方程为（4分）
（2），，设，，，
直线，代入椭圆方程，
得（6分）
，，，（8分）
（定值）（10分）
（3）设存在满足条件，则，
若以为直径的圆恒过，的交点，则（11分）
（12分）
则由，从而得
存在满足条件（14分）
【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．
三．椭圆的性质（共32小题）
9．（2023春•静安区校级期中）椭圆的一个焦点坐标为，则实数
A．B．C．D．
【分析】利用椭圆的标准方程，结合焦点坐标，求解即可．
【解答】解：椭圆的标准方程为：，一个焦点坐标为，
可得，解得，
故选：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
10．（2023春•浦东新区校级期中）已知椭圆的右焦点为，左顶点为，若上的点满足轴，，则的离心率为
A．B．C．D．
【分析】由轴，且，利用椭圆的性质，结合三角形的边长关系，即可得出离心率．
【解答】解：轴，且，，，可得，
可得，
，即，，，
．
故选：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质离心率的求法，属于基础题．
11．（2023春•黄浦区期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为 9 ．
【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．
【解答】解：，是椭圆的两个焦点，点在上，，
所以，当且仅当时，取等号，
所以的最大值为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．
12．（2023春•杨浦区校级期中）点是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小 ．
【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理，已知条件，转化求解即可．
【解答】解：椭圆，
可得，设，，
可得，
化简可得：
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
13．（2023春•徐汇区校级期中）著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上．记地球绕太阳运动的轨道为椭圆，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，则的离心率为 ．
【分析】设椭圆的焦距为，实轴长为，进而得到和的关系式，再利用离心率的求解公式计算即可．
【解答】解：根据题意，设椭圆的焦距为，实轴长为，
所以地球轨道与太阳中心的最远距离为，最近距离为，
因为地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为2，
则，解得，
所以，
则的离心率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆几何性质的理解与应用，椭圆离心率公式的运用，椭圆中的最值问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
14．（2023春•普陀区校级期末）已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是 ．
【分析】求出椭圆的右焦点坐标，利用已知条件求出直线的斜率，然后求解直线方程．
【解答】解：椭圆的右焦点为，
直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），
若点关于轴对称点为，且满足，
可知直线的斜率为，所以直线的方程是：，
即．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与直线的对称关系的应用，直线方程的求法，是基本知识的考查．
15．（2023春•黄浦区校级期中）已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则 8 ．
【分析】根据条件可得，，，由焦距为4，即．即可得到的值．
【解答】解：由椭圆的长轴在轴上，
则，，．
由焦距为4，即，即有．
即有，解得．
故答案为：8
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查椭圆中的参数，，的关系，属于基础题．
16．（2023春•浦东新区校级期中）椭圆的离心率为 ．
【分析】根据椭圆的标准方程，确定，的值，求出的值，利用离心率公式可得结论．
【解答】解：由题意，，，
，
故答案为：
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
17．（2023春•浦东新区校级月考）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【分析】根据椭圆中蒙日圆的半径公式，即可求得和的值，求得椭圆的离心率．
【解答】解：由题意可知，蒙日圆的半径为，
所以，
所以，
椭圆的离心率，
故选：．
【点评】本题考查椭圆的性质，椭圆中蒙日圆的应用，考查转化思想，属于中档题．
18．（2023春•黄浦区校级期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆的左、右焦点分别为，，若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点和点反射后，满足，且，则该椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【分析】由题意可知，，三点共线，，，三点共线，再由，且，可得，设，，可得，由椭圆的定义可知与的关系，在△中，由勾股定理可得，的关系，进而求出椭圆的离心率．
【解答】解：连接，，由题意可知，，三点共线，，，三点共线，
在中，因为，且，可得，，
，
设，，可得，
由椭圆的定义可知，，
又因为，即，解得，
所以，，
在△中，，即，
可得，
故选：．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用及光学的性质的应用，属于中档题．
19．（2023春•杨浦区校级月考）已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，△为等腰三角形，，则椭圆的离心率为 ．
【分析】求得直线的方程，根据题意求得点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．
【解答】解：如图所示，
由题意知：，，，
直线的方程为：，
由，，则，
代入直线，整理得：，
所求的椭圆离心率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的几何性质与直线方程的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题．
20．（2023春•杨浦区校级期中）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与椭圆在第一象限交点为，若△为等腰三角形，则直线的斜率为
A．B．C．D．
【分析】由条件得到，利用余弦定理得到，进而可求得，
【解答】解：根据题意可得，又因为，即，
则，
根据椭圆定义可得，
在△中，，所以，
则，即直线的斜率为，
故选：．
【点评】本题考查椭圆离心率的应用，考查余弦定理的应用，属于中档题．
21．（2023春•静安区校级期中）设椭圆的左、右焦点分别为、，且与圆在第二象限的交点为，，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【分析】根据已知条件及直角所对的圆周角等于，利用勾股定理、椭圆的定义及椭圆的离心率公式，再利用换元法和构造函数即可求出离心率的取值范围．
【解答】解：由以线段为直径的圆与椭圆在第二象限相交于点，
所以半径，即，且，
所以，
由于，令，则，则，，
由于函数在上单调递减，
故在上单调递减，
故，即，满足，符合题意，
所以椭圆离心率的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（2023春•浦东新区校级期中）已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ．
【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．
【解答】解：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，，半焦距为，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设，，，
椭圆和双曲线的离心率分别为，
，则由余弦定理可得，①
在椭圆中，①化简为②，
在双曲线中，①化简为③，
，
由柯西不等式得
故答案为：
【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．属于难题．
23．（2023春•长宁区校级期中）已知为椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，则△的面积 ．
666666666666666
【分析】由椭圆的标准方程可得：，设，，根据椭圆的定义可得：，再根据余弦定理可得：，再联立两个方程求出，进而结合三角形的面积公式求出三角形的面积．
【解答】解：由椭圆的标准方程可得：，，
，
设，，
所以根据椭圆的定义可得：①，
在△中，，
所以根据余弦定理可得：，
整理可得：，②
把①两边平方得，③
所以③②得，
．
故答案为：．
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的几何性质与椭圆的定义，此题考查解三角形的有关知识点，以及考查学生的基本运算能力与运算技巧，此题属于中档题．
24．（2023春•嘉定区期末）已知圆锥曲线的方程：．当、为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点满足，则满足题意的有序实数对共有 3 对．
【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义，易得到，，是椭圆，，，，是双曲线，从而根据题意可得，2，，，6，7，，再结合椭圆与双曲线的定义与即可得，从而得到答案．
【解答】解：由题意得，，是椭圆，，，，是双曲线，
结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点，
从而时，存在两条曲线、有交点，
必然有，2，，，6，7，，
设，，则由椭圆与双曲线的定义可得，
，，
且，，故，
即，
所以存在两条曲线、，且，，．
故答案为：3．
【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，是中档题．
25．（2023春•嘉定区校级月考）已知椭圆的左右顶点为，，点为直线上一点，若的外接圆的面积的最小值为，则该椭圆的离心率为 ．
【分析】设出的坐标，求解的中点坐标，然后求解外接圆的圆心纵坐标，利用基本不等式求解最小值，推出，关系，得到椭圆的离心率即可．
【解答】解：设，，不妨，由题意，，设的中点为，外接圆的圆心为，
可得，，则，所以，
直线的方程为：，令，可得，
当取得最小值时，的外接圆的面积的最小，面积的最小值为，此时设圆的半径为：，
，可得，，
圆的圆心在 的中垂线即轴上，，所以圆的圆心的纵坐标的值为，
可知，化简可得：，
可得，
即，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
26．（2023春•静安区校级期中）已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ．
【分析】先设点，再由应用相关点法求轨迹方程即可．
【解答】解：设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点，
所以，整理得，
所以点的轨迹方程是．
故答案为：．
【点评】本题考查轨迹方程的求解，相关点法的应用，属中档题．
27．（2023春•普陀区校级月考）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于、两点，则的最小值为 1 ．
【分析】利用椭圆的定义设，，则，构造函数，利用导数求其范围即可．
【解答】解：取椭圆左焦点，连接，，，，易知四边形为平行四边形，即有，
设，，则，故，
令，则，
易知函数在，上单调递减，在，上单调递增，
的最小值为（2），
即的最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查椭圆的定义及导数的运用，考查转化思想及函数思想，属于中档题．
28．（2023春•黄浦区校级期末）设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，、在椭圆上，且是线段的中点．若直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为 ．
【分析】利用中点弦问题，结合点差法可得，即可求离心率．
【解答】解：取，的中点为，连接，，
则由题意可得，，，
所以，所以，
因为直线，的斜率之积为，
所以，
设，，，，
则有，
两式相减可得，
即，即，
即，
所以椭圆的离心率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的离心率问题，属于中档题．
29．（2023春•虹口区期末）已知△是等边三角形，、分别是边和的中点．若椭圆以、为焦点，且经过、，则椭圆的离心率等于 ．
【分析】由已知结合椭圆定义及椭圆方程可得关于，的关系，进而可求．
【解答】解：连接，
因为△是等边三角形，
所以，，
所以，，，
由勾股定理得，
整理得，
故，
因为，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了椭圆性质的应用，属于中档题．
30．（2023春•杨浦区校级期中）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点，现给出下述结论：
①为定值；
②的周长的取值范围是，
③当时，为直角三角形；
④当时，的面积为．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：对于：设椭圆的左焦点为，则，可得为定值6，故①正确；
对于的周长为，为定值6，可知的范围是，
的周长的范围是，故②错误；
将与椭圆方程联立，可解得，，，，又知，，
则，所以，故③正确；
将与椭圆方程联立，解得，，，，，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题
31．（2023春•浦东新区期中）已知点、分别是椭圆上两动点，且直线、的斜率的乘积为，若椭圆上任一点满足，则的值为 1 ．
【分析】设，，，，，可得，，代入计算可得结论．
【解答】解：设，，，，，
则由，得，，，，
即，，
在椭圆上，，
，
，在椭圆上，，，
由直线、的斜率的乘积为，可得，
，
，．
故答案为：1．
【点评】本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属中档题．
32．（2023春•浦东新区期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作直线交椭圆于，两点，则的周长为 8 ．
【分析】由题意画出图形，由椭圆方程求出，结合椭圆定义求得的周长．
【解答】解：如图，
由椭圆，得，，
的周长为．
故答案为：8．
【点评】本题考查投于的简单性质，考查了椭圆的定义，是中档题．
33．（2023春•黄浦区校级月考）已知点、、为椭圆上的三点，为坐标原点，当时，称为“稳定三角形”，则这样的“稳定三角形”
A．不存在B．存在有限个
C．有无数个但面积不为定值D．有无数个且面积为定值
【分析】设，，，，，为椭圆上的三点，根据题意化简整理即可得到，进而再结合平面向量夹角的坐标公式求出夹角的余弦值，再表示出的面积，同时证明其为定值，结合重心的性质，即可得到结论．
【解答】解：设，，，，，为椭圆上的三点，
因为，
所以，则，
又，
所以，即，
则，
又，
所以，
整理可得，，
将看成关于的方程，即，
所以，
因为，
所以△，
故存在有无数组，使得成立，
由重心的性质可知，，，面积相等，
故只需先求的面积即可；
因为，
则，
故，
所以，
则
，
所以，
因此，
则的面积为定值．
综上所述，这样的“稳定三角形”有无数个且面积为定值．
故选：．
【点评】本题考查了与椭圆有关的新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．
34．（2023春•嘉定区校级期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，椭圆存在点满足，则椭圆的离心率取值范围为
A．B．C．D．
【分析】根据椭圆的性质可知，当点在短轴顶点（不妨设上顶点时最大，要使椭圆上存在点，满足，则，即，即可．
【解答】解：如图根据椭圆的性质可知，当点在短轴顶点（不妨设上顶点时最大，
要椭圆上存在点，满足，
，，，
故椭圆离心率的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题考查了椭圆的离心率，借助平面几何知识是关键，属中档题．
35．（2022秋•嘉定区期末）如图所示，由半椭圆和两个半圆、组成曲线，其中点、依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点、依次为的左、右焦点．若点、分别为曲线、的圆心．
（1）求的方程；
（2）若点、分别在、上运动，求的最大值，并求出此时点、的坐标；
（3）若点在曲线上运动，点，求的取值范围．
【分析】（1）由圆心的横坐标确定的值，再用可得方程；
（2）将，运用几何法放缩到过两个半圆的圆心时最大，再根据特殊三角形的角度计算出点、的坐标；
（3）需要分情况讨论，在圆上和在椭圆上分开计算，计算圆锥曲线上一点到某定点的最值问题可以用参数方程计算．
【解答】解：（1）依题意，、，所以，
于是的方程为；
（2）由对称性，不妨设，，，
当、、三点共线，同时、、三点共线，，
此时，，；
（3）曲线关于轴对称，不妨设点在曲线或曲线的右半部分上运动，
①当点在曲线上运动，
设，，
，；
②当点在曲线上运动，
设，，
，
综合①②，．
【点评】本题考查了圆锥曲线的综合运用，属于中档题．
36．（2024春•浦东新区校级月考）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，，则△ADE的周长是 4 ．
【分析】根据题意易得△AF1F2为等边三角形，从而可得直线DE的斜率为，设直线DE方程为y＝（x+c），联立椭圆方程，根据弦长公式建立方程求出a，从而可得△ADE的周长为：|DE|+|AD|+|AE|＝|DE|+|DF2|+|EF2|＝4a，即可得解．
【解答】解：∵，∴a＝2c，＝c，
∴椭圆方程可化为，
∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，
且a＝2c，b＝c．
∴△AF1F2为等边三角形，
∴DE直线垂直平分弦AF2，
∴|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且直线DE的倾斜角为30°，
∴直线DE的斜率为，
设直线DE方程为y＝（x+c），D（x1，y1），E（x2，y2），
联立，可得12x2+8cx﹣32c2＝0，
∴，，
∴|DE|＝＝＝＝，
∴c＝，∴a＝1，
∴△ADE的周长为：|DE|+|AD|+|AE|＝|DE|+|DF2|+|EF2|＝4a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系方程思想，化归转化思想，属中档题．
37．（2023春•杨浦区校级期中）已知椭圆的离心率，焦距是．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于、两点，，求的值．
【分析】（1）由题意知，，从而求椭圆的方程即可．
（2）设出交点坐标，联立方程化简得，从而结合韦达定理及两点间的距离公式求解即可．
【解答】解：（1）由题意知，
故，
又，
，，
椭圆方程为．
（2）设，，，，
将代入，
化简整理可得，，
故△，
故；
由韦达定理得，
，
故，
而，
故；
而代入上式，
整理得，
即，
解得，故．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用及学生的化简运算能力．
38．（2023春•上海期中）我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径百公里）的中心为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为百公里时进行变轨，其中、分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）．
【分析】利用待定系数法，先求出轨道方程，再利用探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为百公里时进行变轨，可求探测器位置的坐标，从而可求探测器在变轨时与火星表面的距离．
【解答】解：设所求轨道方程为，．
，，
，．（4分）
于是．
所求轨道方程为．（8分）
设变轨时，探测器位于，，则，
又，
解得，．（11分）
探测器在变轨时与火星表面的距离为．（14分）
答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里．（16分）
【点评】本题以实际问题为载体，考查椭圆方程的运用，解题的关键是求出椭圆方程，利用探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为百公里时进行变轨，求出探测器位置的坐标
39．（2023•奉贤区二模）已知椭圆，，．椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于．、是不同的两点．
（1）若椭圆的离心率是，求的值；
（2）设的面积是，的面积是，若，时，求的值；
（3）若点，，，满足且，则称点在点的左上方．求证：当时，点在点的左上方．
【分析】（1）分，两种情况结合离心率计算式可得答案；
（2）联立直线的方程与椭圆方程可得，联立直线的方程与椭圆方程可得结合图形可得，后结合，及弦长公式可得，即可得答案；
（3）联立直线与椭圆方程可得，，后结合在椭圆内部可得，大小，又由题意可得，大小，即可证明结论．
【解答】解：（1）因为椭圆的离心率是，
当时，，得；
当时，，得；
所以的值为1或4；
（2）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，，直线的方程，设，．
则，直线的方程，设，，
则，
由图，，
注意到，则．
又，
同理可得，
则．
（3）证明：由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，，直线的方程，设，．
则，
，直线的方程，设，，
则，
则
，
又在椭圆内部，则，故，
又根据题意知，所以，所以当时，点在点的左上方．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
40．（2023春•上海月考）如图，，是椭圆长轴的两个端点，，是椭圆上与，均不重合的相异两点，设直线，，的斜率分别是，，．
（1）求的值；
（2）若直线过点，求证：；
（3）设直线与轴的交点为，为常数且，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
【分析】（1）设，，由于，，由点在椭圆 上，可得，于是，利用斜率计算公式可得：，即可得出．
（2）设直线的方程为：，，，，，与椭圆方程联立得，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．
（3）由于直线 与 轴的交点为，于是，与椭圆方程联立得，直线，直线，两式相除，可知：，把根与系数的关系代入化简即可得出．
【解答】（1）解：设，，由于，，
点在椭圆 上，，于是，
．
（2）证明：设直线的方程为：，，，，，
联立，
得，
于是，，
．
（3）解：由于直线 与 轴的交点为，于是，
联立直线，可得：得，
于是：，．
直线，
直线，
两式相除，可知：
．
于是，所以，即直线 与直线的交点落在定直线上．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
一．填空题（共12小题）
1．（2023春•宝山区校级期中）椭圆的短轴长为 4 ．
【分析】由椭圆的方程可得，则，进而可得椭圆的短轴长．
【解答】解：因为椭圆，
所以，
所以，
所以椭圆的短轴长为．
故答案为：4．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
2．（2023•闵行区校级开学）已知，，是椭圆上的三个点，为坐标原点，点，关于原点对称，经过右焦点，若且，则该椭圆的离心率是 ．
【分析】利用对称性和几何关系，建立两个和的方程，然后解方程即可．
【解答】解：设椭圆的左焦点，连接，，．
点，关于原点对称，
，
，
设，，
由对称性可知：，
且，，①
在△中，，，，联立①式，
解得椭圆的离心率．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，属于基础题．
3．（2023春•浦东新区期中）如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为 （用、表示）．
【分析】由已知可得，，求解可得与的值，则答案可求．
【解答】解：由椭圆的性质知，，，解得，，
椭圆轨道Ⅱ的离心率为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，正确理解题意是关键，是基础题．
4．（2023春•虹口区校级月考）过点与椭圆有共同焦点的椭圆的标准方程是 ．
【分析】根据已知条件及椭圆的标准方程的特点，利用待定系数法及点在椭圆上即可求解．
【解答】解；由化为椭圆的标准方程为：，可得，
所以椭圆的焦点坐标为，，
由题意可知所求的椭圆的焦点在轴上，且焦点为，，即，
，所以，
所以所求椭圆的标准方程为：．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
5．（2023春•上海期中）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，若，则 4 ．
【分析】由椭圆的方程及定义可求得结果．
【解答】解：由椭圆的方程，可知，
又是椭圆上的一点，由椭圆的定义知，，
又，则．
故答案为：4．
【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，是基础题．
6．（2023春•浦东新区校级期中）设是椭圆上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的长轴长为 ．
【分析】利用已知条件推出，即可求解椭圆的长轴长．
【解答】解：是椭圆上任意一点，为的右焦点，的最小值为，
可得，所以，解得，
所以椭圆的长轴长为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（2023春•黄浦区校级期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则△的面积是 ．
【分析】由椭圆的方程求得、、，根据，得到点为短轴顶点，代入三角形面积公式即可求解．
【解答】解：由题意可得，
因为，所以点为短轴顶点，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
8．（2023春•杨浦区校级月考）点是椭圆上的动点且点不在坐标轴上，称动点构成的轨迹为曲线．若圆与曲线无公共点，则实数的取值范围为 ．
【分析】由题意可得曲线的方程，求出要使圆与曲线有公共点时的的范围，进而求出所求的结果．
【解答】解：令，，可得，，而在椭圆上，
所以可得曲线的方程为：，
若圆与曲线有公共点，
则，可得，当且仅当时取等号，
所以圆与曲线无公共点的的范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用及曲线方程的求法，均值不等式的应用，属于中档题．
9．（2023春•静安区校级期中）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，且，延长交于点，若，则椭圆的离心率 ．
【分析】根据题意，由椭圆的定义结合条件表示出，然后在△中由勾股定理可得，的关系，结合离心率的公式即可得到结果．
【解答】解：根据题意，不妨设椭圆方程为，设，则，
因为，且，所以为等腰直角三角形，
故，故，
在△中，，即，
化简可得，即，且，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
10．（2023春•杨浦区校级期中）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为 ．
【分析】设，则，由两点距离公式即可得所求取值的函数，进而讨论范围，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，，
设，则，
则．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11．（2023春•黄浦区校级期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 ．
【分析】根据椭圆的标准方程的形式，焦点在轴上的椭圆分母的大小关系，即可得出答案．
【解答】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12．（2023春•浦东新区校级期中）、分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆上一点，且，则△的面积等于 ．
【分析】利用椭圆的定义和余弦定理求得，代入三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：因为、分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆上一点，
所以，
则由余弦定理得，
，
则，
即，
所以，
故△的面积．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
二．选择题（共4小题）
13．（2023春•长宁区校级期中）椭圆和
A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．顶点相同
【分析】求得两椭圆的长轴长，短轴长，焦距，顶点坐标可得结论．
【解答】解：由椭圆，可得，，，，，
长轴长为，，，顶点坐标为，，，
由椭圆，可得，，，，，
长轴长为，，，顶点坐标为，，
故选：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
14．（2023春•浦东新区期中）已知椭圆，直线，则直线与椭圆的位置关系为
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【分析】由直线系方程求得直线所过定点坐标，代入椭圆方程，可知定点在椭圆内部，则答案可求．
【解答】解：由直线，得，
联立，解得．
直线过定点，代入椭圆，
有，可知点在椭圆内部，则直线与椭圆的位置关系为相交．
故选：．
【点评】本题考查直线系方程的应用，考查椭圆的简单性质，是基础题．
15．（2023春•青浦区期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】设，由，可得，，．即可求解．
【解答】解：设，
是坐标原点），
，
，，
．
．
，
则的取值范围是，．
故选：．
【点评】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，是中档题．
16．（2023春•静安区期末）如图，封闭图形的曲线部分是长轴长为4，短轴的长为2的半个椭圆，设是该图形上任意一点，则与线段的长度的最大值最接近的是
A．2.1B．2.2C．2.3D．2.4
【分析】建立直角坐标系，求出椭圆方程，设点的坐标为，，结合两点间的距离公式，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：以为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意，，且椭圆焦点在轴上，所以半椭圆方程为，
，，设点的坐标为，，则，
所以，
因为，，所以当时，，
所以选项中与线段的长度的最大值最接近的是2.3．
故选：．
【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质，是中档题．
三．解答题（共5小题）
17．（2023秋•闵行区校级期中）已知椭圆方程右焦点、斜率为的直线交椭圆于、两点．
（1）求椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；
（2）当直线的斜率为1时，求的面积；
（3）在线段上是否存在点，使得以、为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由题意方程求出，的值，代入菱形面积公式得答案；
（2）右焦点，直线的方程为．设，，，，由题设条件得，．由此可求出的面积；
（3）假设在线段上存在点，，使得以，为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与轴不垂直，设直线的方程为．由题意知．由此可知．
【解答】解：（1）由椭圆方程，得
，，则，
椭圆的两个焦点和短轴的两个端点构成的四边形的面积；
（2）右焦点，直线的方程为．
设，，，，
由，得，解得．
；
（3）假设在线段上存在点，，使得以，为邻边的平行四边形是菱形．
直线与轴不垂直，设直线的方程为．
由，可得．
，
，，
，，
若以，为邻边的平行四边形是菱形，则，
得，，
即，，，
，则，
，得，解得．
．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，是中档题．
18．（2023•浦东新区校级模拟）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆经过点，离心率为，直线过点与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为△的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△与△面积的比值；
（3）设点，，在直线上的射影依次为点，，．连结，，试问：当直线的倾斜角变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【分析】（1）由题意知．，可得，解得即可得出椭圆的方程．
（2）由点为△的内心，可得点为△的内切圆的圆心，设该圆的半径为，可得．
（3）若直线的斜率不存在时，四边形是矩形，此时与交于的中点．下面证明：当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点．
设直线的方程为，与椭圆方程联立化简得．设，，，，由题意，得，，则直线的方程为．令，此时，把根与系数关系代入可得，因此点在直线上．同理可证，点在直线上．即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意知．因为，所以，解得，
所以椭圆的方程为：．
（2）因为点为△的内心，
所以点为△的内切圆的圆心，设该圆的半径为，
则．
（3）若直线的斜率不存在时，四边形是矩形，
此时与交于的中点．
下面证明：当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点．
设直线的方程为，
联立化简得．
因为直线经过椭圆内的点，所以△．
设，，，，则，．
由题意，得，，则直线的方程为．
令，此时
，
所以点在直线上．
同理可证，点在直线上．
所以当直线的倾斜角变化时，直线与相交于定点．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、直线相交问题、三角形的内切圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19．（2023秋•嘉定区校级月考）如图，曲线由两个椭圆和椭圆组成，当，，成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”．
（1）若猫眼曲线过点，且，，的公比为，求猫眼曲线的方程；
（2）对于题（1）中的求猫眼曲线，任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，求证：为与无关的定值；
（3）若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，，为椭圆上的任意一点（点与点，不重合），求面积的最大值．
【分析】（1）由题意知，，从而求猫眼曲线的方程；
（2）设交点，，，，从而可得，联立方程化简可得，；从而解得；
（3）设直线的方程为，联立方程化简，从而可得，同理可得，从而利用两平行线间距离表示三角形的高，再求；从而求最大面积．
【解答】解：（1）由题意知，，，
，，
，；
（2）证明：设斜率为的直线交椭圆于点，，，，线段中点，，
，
由得，
存在且，
，且，
，
即；
同理，；
；
（3）设直线的方程为，
联立方程得，
化简得，，
由△化简得，
，
联立方程得，
化简得，
由△得，
，
两平行线间距离：，
；
的面积最大值为．
【点评】本题考查了学生的化简运算的能力及椭圆与直线的位置关系的判断与应用．
20．（2023秋•黄浦区校级月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，，，且，分别是弦，的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线过定点，；
（3）求面积的最大值．
【分析】（1）由题意可得：，将点代入椭圆方程，即可求得和的值，即可求得椭圆的标准方程；
（2）方法一：设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得和点坐标，求得方程，，令，可得，即有，则直线过定点，；方法二：化简整理求得直线的方程，，即可证明直线过定点，；方法三：分别求得的斜率，将用代换，求得，由，直线过定点，；
（3）方法一：△面积为，由（2）可知和点坐标，根据函数的单调性即可求得面积的最大值；
方法二：根据两点之间的距离公式及，则面积，根据函数的单调性即可求得面积的最大值．
【解答】解：（1）椭圆经过点
且，与短轴的一个顶点构成一个等腰直角三角形，则，，
，解得，，
椭圆方程为；
（Ⅱ）证明：设直线的方程为，，
则直线的方程为，
联立，消去得，
设，，，，则，，
，
由中点坐标公式得，，
方法一：将的坐标中的用代换，得的中点，，
，
直线的方程为，
即为，
令，可得，即有，
则直线过定点，且为，，
方法二：将的坐标中的用代换，得的中点，，
则，整理得：，
直线过定点，
方法三：则，则，
，
直线过定点，
（3）方法一：△面积为，
令，由于的导数为，且大于0，即有在，递增．
即有在，递减，
当，即时，取得最大值，为；
则面积的最大值为
方法二：，，
则面积，令，则，当且仅当即时，面积的最大值为．
面积的最大值为．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理和基本不等式和函数的单调性等知识点的合理运用，属于难题．
21．（2023春•松江区校级月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且经过点
（1）求椭圆的方程；
（2）动直线与椭圆相切，点，是直线上的两点，且，，求四边形的面积；
（3）过椭圆内一点作两条直线分别交椭圆于点，，和，，设直线与的斜率分别是，，若试问是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．
【分析】（1）运用离心率公式和椭圆的，，的关系和点满足椭圆方程，即可解得，，，进而得到椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，求得，再由点到直线的距离公式和直角梯形的面积公式计算即可得到；
（3）分别设出直线，的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，得到和，由条件即可得到是否为定值．
【解答】解：（1）由题意可得，，
将点代入椭圆方程得，
解得，，，
即有椭圆方程为；
（2）将直线代入椭圆方程可得，
，
由直线和椭圆相切的条件可得△，
解得，
焦点，，
由对称性可取直线，
则，，，
，
即有四边形的面积为
；
（3）设，，则直线的方程为，
联立方程，得．
设，，，，则，．
．
同理，直线的方程为，
则．
，
．
又为椭圆内任意一点，且，
，即，，
．
又直线与不重合，
为定值．
【点评】本题主要考查了椭圆的方程和性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力．
标准方程
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y轴上
图形


顶点
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
离心率
e＝（0＜e＜1）
e＝（0＜e＜1）
准线
x＝±
y＝±