江西省八所重点中学2024届高三联考数学试卷及参考答案含答题卡

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12．13．314．
15．【详解】：（1）、由已知条件可知，由于，
故，，
故数列是以1为公差的等差数列，
即．
（2）、
由，得．
16．【详解】：（1）过A在平面内作，垂足为，
侧面为矩形，，又，
平面，平面，平面平面，
平面，平面，
三棱锥的体积为，，
，，
，，；
（2）存在满足题意，．
理由如下：如图，以分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，，则，
，，．
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
解得，存在满足题意，．
17．【详解】（1）由图可得，所以点的轨迹是以为焦点的抛物线，
故点的轨迹的方程为；
（2）设，则直线的方程为，代入曲线的方程得，．
化简可得：①，
由于与交于两个不同的点，故关于的方程①的判别式为正，计算得，
，
因此有，②
设Q，R的模坐标分别为，，
由①知，，，
因此，结合的倾斜角为可知，
，③
由②可知，，故，
从而由③得：．
注1：利用的圆心到的距离小于的半径，列出不等式，
同样可以求得②中的范围．
注2：更简便的计算的方式是利用圆幂定理，
事实上，的圆心为，半径为，
故．
18．【详解】（1）摸奖5次得分为3分，有如下两种情形：
情形一，恰好两次中奖，且两次相邻；
情形二，恰好三次中奖，且任意两次都不相邻．
情形一发生的概率为．
情形二发生概率为，
所以；
（2）的可能取值为0，1，2，3，7，其中
，，
，，
所以的概率分布列为
所以．
（3）．理由如下：
记该同学摸奖30次中奖次数为，则．
若每次中奖都得1分，则得分的期望为．
由题中比赛规则可知连续中奖时，得分翻倍，
故实际总得分的期望必大于每次都得1分的数学期望．
所以．
19．【详解】（1），因为恒成立，且，
所以是极大值点，即．解得．
验证当时符合题意．
（2）由（1）知，所以原方程变形为．
令，于是，原方程在上有两个不相等的实数根，
等价于直线与曲线在上有两个交点．
因为，所以当时，，
当时，，所以，．
因为，，所以，，
而，所以，即，
所以的取值范围为．
（3）因为恒成立，即恒成立．
所以，当且仅当时取等号．
若，则，
所以数列从第二项起单调递增，故数列有无穷个不同的项，满足题意．
因此只需且即可．
且等价于且
令，，
易知在上递增，，
所以在上递减，在上递增，
又，，，，，
综上，或．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
A
C
C
B
B
A
A
AC
BCD
ACD
X
0
1
2
3
7
P