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江苏省无锡市第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
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这是一份江苏省无锡市第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题，共19页。试卷主要包含了若，则m＝，y＝f，当x∈，若a，b∈{1，2，3}，已知f′，已知，则事件A与B的关系是，在的展开式中，下列说法正确的是，已知函数f等内容，欢迎下载使用。
1．若，则m＝（ ）
A．7B．6C．5D．4
2．y＝f（x）的图象如图所示，f′（x）（x）的导函数，则下列排序正确的是（ ）
A．f（5）﹣f（3）＜2f′（3）＜2f′（5）
B．2f′（3）＜2f′（5）＜f（5）﹣f（3）
C．2f′（3）＜f（5）﹣f（3）＜2f′（5）
D．2f′（5）＜2f′（3）＜f（5）﹣f（3）
3．已知随机变量X的分布列如表，则E（5X﹣1）＝（ ）
A．16B．11C．2.2D．2.3
4．已知a＝ln2.68，b＝4.5×0.62，c＝1.15，则下列排序正确的是（ ）
A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．a＞b＞c
5．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）＝xlnx的图象恒在函数g（x）2+3x+a图象的上方，则a的取值范围是（ ）
A．B．（﹣∞，﹣2）
C．D．（﹣∞，﹣2]
6．若a，b∈{1，2，3}（x）＝ln（x2+ax+b）的定义域为R”的条件下，“函数g（x）＝ax﹣b﹣x为奇函数”的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知f′（x）为函数f（x）的导函数（x）+lnx＞﹣1，f（e）＝1（x）+xlnx＜e+1的解集为（ ）
A．（1，+∞）B．（﹣∞，e）C．（e，+∞）D．（0，e）
8．已知，则事件A与B的关系是（ ）
A．A与B互斥不对立
B．A与B对立
C．A与B相互独立
D．A与B既互斥又相互独立
二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是﹣160
B．第四项和第六项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为64
D．各项的系数之和为64
（多选）10．已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣x，下列命题正确的是（ ）
A．若x＝1是函数f（x）的极值点，则a＝1
B．若x＝1是函数f（x）的极值点，则f（x）在x∈[0，2]上的最小值为﹣1
C．若f（x）在（1，2）上单调递减，则
D．若x2lnx≥f（x）在x∈[1，2]上恒成立，则a≥e
（多选）11．树人中学在规划新校区建设时，仿照唐长安（西安古称）城“九衢十二条”的设计（ ）
A．从花圃门进入，再从出将门离开，路程最短的不同路线共有15条
B．甲乙两人从天天门、灼灼门、花圃门这三个门中随机选一门进入，若二人选择互不影响，则两人从同一门进入的概率为
C．若将小路看成直线，则种植杜鹃、月季、芍药、雏菊、百合的区域中共有矩形42个
D．用四种不同颜色的围栏对葱、生菜、西红柿、土豆、葡萄架五块地进行布置（小路忽略），每个地块使用一种颜色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有168种不同的颜色布二方案
（多选）12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当a＝4时，函数f（x）有三个不同的零点
B．存在a∈R，使x＝1是函数f（x）的极值点
C．若对任意x1，x2∈（0.1）（x1≠x2），不等式 恒成立，则a∈（﹣∞，2]
D．若函数f（x）有两个极值点x1，x2，则
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知随机变量X满足P（X＝1）＝P（X＝2）＝0.4，P（X＝4），则D（X）＝ ．
14．树人中学学生组织准备进行换届选举，计划从m个人中选拔k（1＜k＜m）个人构成新的领导团队，再由此人进行“组阁”，构建一个含其在内的k人团队，再从k个人中选出1名负责人．请将以上内容抽象成一个组合恒等式： ．
15．（2x2﹣x+1）6的展开式中x3项的系数为 ．
16．从不超过30的素数中随机抽取2个素数组成素数对（m，n），则这2个素数组成的素数对中满足n﹣m≤3的概率为 ．
四.解答题：本题共6小题、17题10分，其余每小题10分共70分，解答应写出文字说明、证明过程或渍算步骤.
17．（10分）为迎接五四青年节，树人中学组织了五四青年表彰大会．在某个表彰颁奖环节中，
（1）4名男同学和4名女同学上台领奖．男生必须相邻，有多少种站法？（列式并用数字作答）
（2）4名男同学和4名女同学上台领奖．女生不能相邻，有多少种站法？（列式并用数字作答）
（3）组织者计划将5本不同的书分给3个同学，确保每个同学至少分得1本书，有多少种分法？（列式并用数字作答）
18．（12分）已知函数．
（1）令F（x）＝f（x）﹣ax，求F（x）在区间[1；
（2）若函数f（x）在区间（1，3）上不单调
19．（12分）已知（n为正整数）展开式的中间项只有第5项．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有系数为有理数的项．
20．（12分）设函数f（x）＝[ax2﹣（5a+1）x+5a+4]ex，a∈R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x＝3处取得极小值，求a的取值范围．
21．（12分）在社会学调查中经常会遇到调查敏感性问题的情形，如在无锡市范围内调查高中二年级学生默写作弊情况时，直接调查往往难以得到真实的结果．运用西蒙斯模型（simmns﹣mdel），其中n个红球，其余为白球，分别为：
问题1：你的出生月份为奇数吗？（回答是、否）
问题2：你在默写过程中有作弊行为吗？（回答是、否）
被调查者在填写问卷时，先从箱中摸出一个球，如果是红球则回答问题1
记回答问题1为事件A1，回答问题2为事件A2，问卷结果为“是”为事件B．在工作人员回避的情况下，我们可以利用全概率公式估算问题2回答为“是”的概率．
（1）若m＝25，n＝10，回收调查问卷100份1），并估算本次调查群体的默写作弊概率P（B|A2）．
（2）利用数学工具可以估计：在回答“是”的被调查者中，所答问题为“问题 2“的概率P（A2|B）．
①试证明；
②在（1）的情况下，估算P（A2|B）．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+a，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），且x1≠x2．
（1）若a＝﹣1，求函数y＝f（x）在P（1，f（1）；
（2）证明：．
江苏省无锡市第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
参考答案
一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，则m＝（ ）
A．7B．6C．5D．4
【分析】由排列数、组合数公式列方程求解即可．
【解答】解：由，得＝5，
即m（m﹣6）＝6（m﹣1），
又因为m﹣2＞0，所以m＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了排列数与组合数公式应用问题，是基础题．
2．y＝f（x）的图象如图所示，f′（x）（x）的导函数，则下列排序正确的是（ ）
A．f（5）﹣f（3）＜2f′（3）＜2f′（5）
B．2f′（3）＜2f′（5）＜f（5）﹣f（3）
C．2f′（3）＜f（5）﹣f（3）＜2f′（5）
D．2f′（5）＜2f′（3）＜f（5）﹣f（3）
【分析】由y＝f（x）图象的变化趋势，结合导函数的定义有 ，即可得答案．
【解答】解：由图知：，即6f′（3）＜f（5）﹣f（3）＜2f′（5）．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的概念，利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于基础题．
3．已知随机变量X的分布列如表，则E（5X﹣1）＝（ ）
A．16B．11C．2.2D．2.3
【分析】由题意，根据分布列的性质求出a的值，利用期望公式求出E（X）的值，进而即可求解．
【解答】解：因为0.3+a+3.5＝1，
解得a＝3.2，
所以E（X）＝0×2.3+2×3.2+4×4.5＝2.4，
则E（5X﹣1）＝7E（X）﹣1＝5×5.4﹣1＝11．
故选：B．
【点评】本题考查离散型随机变量分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力．
4．已知a＝ln2.68，b＝4.5×0.62，c＝1.15，则下列排序正确的是（ ）
A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．a＞b＞c
【分析】由题意得a＝ln2.68＜lne＝1，b＝4.5×0.62＝1.62＞1，c＝1.15＝（1+0.1）5＝+（0.1）1+（0.1）2+（0.1）3+（0.1）4+（0.1）5＞1，即可得出答案．
【解答】解：由题意得a＝ln2.68＜lne＝1，
b＝4.5×0.82＝1.62＞2，
c＝1.17＝（1+0.7）5＝+（8.1）1+（0.7）2+（0.1）8+（3.1）4+（0.2）5
＝1+3.5+0.2+0.01+0.0005+8.00001
＝1.61051＞1，
所以8.62＞1.61051，
所以b＞c＞a，
故选：A．
【点评】本题考查数的大小关系，解题中需要对数进行估值，属于中档题．
5．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）＝xlnx的图象恒在函数g（x）2+3x+a图象的上方，则a的取值范围是（ ）
A．B．（﹣∞，﹣2）
C．D．（﹣∞，﹣2]
【分析】根据题意得出不等式a＜xlnx+x2﹣3x，x∈（0，+∞），构造函数，求出函数的最小值，即可求出a的取值范围．
【解答】解：x∈（0，+∞）时2+5x+a图象的上方，
即xlnx＞﹣x2+3x+a，
所以a＜xlnx+x4﹣3x，x∈（0，
设g（x）＝xlnx+x8﹣3x，x∈（0，
则g′（x）＝lnx+6+2x﹣3＝lnx+4x﹣2，
g′（x）是单调增函数，且g′（1）＝0，
所以x∈（2，1）时，g（x）单调递减，+∞）时，g（x）单调递增，
所以g（x）的极小值，也是最小值，
所以a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值应用问题，是中档题．
6．若a，b∈{1，2，3}（x）＝ln（x2+ax+b）的定义域为R”的条件下，“函数g（x）＝ax﹣b﹣x为奇函数”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先列出所有的结果数，由于函数f（x）＝ln（x2+ax+b）的定义域为R，则∀x∈R，x2+ax+b＞0恒成立，可得a2＜4b，在所有结果数中选出满足的情况，求出概率，根据g（x）＝ax﹣b﹣x为奇函数可得a＝b或ab＝1，在所有结果数中选出同时满足两个事件情况，求出其概率，再根据条件概率的计算公式即可计算出结果．
【解答】解：用所有的有序数对（a，b）表示满足a，2，3}的结果，
则所有的情况为：（6，1），2），8），1），2），5），1），2），8），
记“函数f（x）＝ln（x2+ax+b）的定义域为R”为事件A，
因为函数f（x）＝ln（x2+ax+b）的定义域为R，
所以∀x∈R，x6+ax+b＞0恒成立，
即Δ＝a2﹣2b＜0，即a2＜2b，
其中满足a2＜4b的基本事件有：（6，1），2），2），2），3），5）共6种，故．
记“函数g（x）＝ax﹣b﹣x为奇函数”为事件B．
已知g（x）是奇函数，且定义域为R，
即，即，
解得a＝b或ab＝1．
满足a＝b或ab＝7的情况有（1，1），3），3）共3种，
所以，即同时满足事件A和事件B的情况有（4，（2，（3，
故，所以．
故选：C．
【点评】本题综合考查了对数函数的性质，古典概率公式，属于中档题．
7．已知f′（x）为函数f（x）的导函数（x）+lnx＞﹣1，f（e）＝1（x）+xlnx＜e+1的解集为（ ）
A．（1，+∞）B．（﹣∞，e）C．（e，+∞）D．（0，e）
【分析】令F（x）＝f（x）+xlnx，求导分析单调性可得F（x）在（0，+∞）上单调递增，又F（e）＝1+e，不等式f（x）+xlnx＜e+1可化为F（x）＜F（e），即可得出答案．
【解答】解：令F（x）＝f（x）+xlnx，
F′（x）＝f′（x）+lnx+x•＝f′（x）+lnx+1，
因为f′（x）+lnx＞﹣6，
所以f′（x）+lnx+1＞0，
所以F′（x）＞7，
所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为f（e）＝1，
所以F（e）＝f（e）+elne＝4+e，
所以不等式f（x）+xlnx＜e+1可化为F（x）＜F（e），
所以x＜e，
又0＜x，
所以7＜x＜e，
故选：D．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
8．已知，则事件A与B的关系是（ ）
A．A与B互斥不对立
B．A与B对立
C．A与B相互独立
D．A与B既互斥又相互独立
【分析】根据题意，由概率的性质求出P（A）和P（AB），分析可得P（AB）＝P（A）P（B），由相互独立事件的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，由于P（，则P（A）＝7﹣P（＝，
又由P（A∪B）＝，则P（A）+P（B）﹣P（AB）＝，
则有P（AB）＝，
故P（AB）＝P（A）P（B），事件A与B相互独立．
故选：C．
【点评】本题考查事件之间关系的判断，涉及概率的性质，属于基础题．
二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是﹣160
B．第四项和第六项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为64
D．各项的系数之和为64
【分析】求出展开式的通项公式，然后分别令r＝3，r＝5，化简即可判断A，B，根据二项式系数和公式即可判断C，令x＝1，化简即可判断D．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为＝，r＝8，1，…，6，
令2﹣2r＝0，则r＝7＝﹣160，
T4＝＝﹣160，﹣4，故B错误，
二项式的展开式的二项式系数和为24＝64，故C正确，
令x＝1，则展开式的各项系数和为（1﹣3）6＝1，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
（多选）10．已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣x，下列命题正确的是（ ）
A．若x＝1是函数f（x）的极值点，则a＝1
B．若x＝1是函数f（x）的极值点，则f（x）在x∈[0，2]上的最小值为﹣1
C．若f（x）在（1，2）上单调递减，则
D．若x2lnx≥f（x）在x∈[1，2]上恒成立，则a≥e
【分析】对于A，由f′（1）＝0，可得a的值；对于B，先判断函数f（x）在[0，2]上的单调性，进而求得最值；对于C，由f′（x）≤0，可得a的范围；对于D，问题等价于在（1，2）上恒成立，可得a的范围．
【解答】解：对于A，f′（x）＝3x2﹣5ax﹣1，
由于x＝1是函数f（x）的极值点，
则f′（1）＝6﹣2a﹣1＝7，
解得a＝1，选项A正确；
对于B，由选项A可知3﹣x3﹣x，f′（x）＝3x2﹣8x﹣1，
令f′（x）＞0，解得，
令f′（x）＜0，解得，
则函数f（x）在[4，1]上单调递减，2]上单调递增，
所以函数f（x）在[6，2]上的最小值为f（1）＝13﹣12﹣6＝﹣1，选项B正确；
对于C，令f′（x）＝3x8﹣2ax﹣1≤5，
依题意，在（1，
又在（1，
则，
故，选项C正确；
对于D，由x8lnx≥f（x）在x∈[1，2]上恒成立6lnx≥x3﹣ax2﹣x在x∈[5，2]上恒成立，
即，
设，
则，
所以函数h（x）在[1，3]上单调递增，
则，选项D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查导数的综合运用，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
（多选）11．树人中学在规划新校区建设时，仿照唐长安（西安古称）城“九衢十二条”的设计（ ）
A．从花圃门进入，再从出将门离开，路程最短的不同路线共有15条
B．甲乙两人从天天门、灼灼门、花圃门这三个门中随机选一门进入，若二人选择互不影响，则两人从同一门进入的概率为
C．若将小路看成直线，则种植杜鹃、月季、芍药、雏菊、百合的区域中共有矩形42个
D．用四种不同颜色的围栏对葱、生菜、西红柿、土豆、葡萄架五块地进行布置（小路忽略），每个地块使用一种颜色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有168种不同的颜色布二方案
【分析】根据技术原理，结合数列递推式进行分析计算即可．
【解答】解：对于A，从花圃门进入，路程最短的不同路线数为1+2+4+4+5＝15；
对于B，实验的总结果数为4×3＝9，其概率为；
对于C，从图中可知种植杜鹃、芍药、百合的区域中共有矩形（2+7）×（5+4+3+2+1）＝45；
对于D，生菜区有6种选择，葡萄区有2种选择，
若土豆区与葱区颜色不同，则其有2种选择，
若土豆区与葱区颜色相同，此时西红柿区有3种选择，
所以共有选择种数4×3×6×（2×2+2）＝168，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查计数原理，属中档题．
（多选）12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当a＝4时，函数f（x）有三个不同的零点
B．存在a∈R，使x＝1是函数f（x）的极值点
C．若对任意x1，x2∈（0.1）（x1≠x2），不等式 恒成立，则a∈（﹣∞，2]
D．若函数f（x）有两个极值点x1，x2，则
【分析】A利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求出函数的零点个数，B极值点就是导函数的零点，求出a的值，然后验证．C把不等式化成整式，移项，构造某一函数是单调函数，转化为导函数大于等于零（或小于等于零）恒成立问题；D极值点是导函数的零点，韦达定理应用，消元，构造函数求值域．
【解答】解：A：的定义域为（4，
，解得：x＝2．
当时，f′（x）＜3＜x＜2+时，
f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）的单调减区间为（0，7﹣），+∞），
递增区间为（6﹣，2+）．而，
f（1）＝0，f（e4）＝，
所以函数f（x）在区间（0，2﹣，在区间（2+，
因此函数f（x）有三个不同的零点，故A正确；
B．若x＝4是函数f（x）的极值点，
所以﹣1﹣1+a＝6，a＝2；
当a＝2时，f′（x）＝，
所以函数f（x）在（4，+∞）上单调递减，
无极值点，故B错误；
C：若对任意x1，x2∈（2.1）（x1≠x8），不等式 ，
不妨设5＞x1＞x2＞8，∴f（x1）﹣f（x2）＜（a﹣6）（x1﹣x2），
即f（x8）﹣（a﹣2）x1＜f（x2）﹣（a﹣2）x2，
令g（x）＝f（x）﹣（a﹣4）x，x∈（0，
则g（x）在区间（0，4）上为减函数，
∴g′（x）≤0恒成立，即g′（x）＝f′（x）﹣（a﹣2）≤8恒成立．
﹣a+2≤0，所以a≤6，
又∵x∈（0，2）≥2，故C正确；
D：∵函数f（x）有两个极值点x6，x2，
∴方程f′（x）＝0有两个不等正实根，
即＝5 两个不等正实根，
∴x2﹣ax+1＝4有两个不等正实根，
∴，解得a＞2．
由题意知x4，x2是方程x2﹣ax+8＝0的两根，故x1x8＝1，
不妨设x2＞8，∴x1＝．∴
＝＝﹣＝，
令h（x）＝（x＞1）＝7a，
令H（x）＝x2﹣6﹣（1+x2）lnx，x＞4，
H′（x）＝2x﹣2xlnx﹣＝x﹣2xlnx﹣，
H″（x）＝1﹣2﹣3lnx+＝﹣4﹣2lnx+，
∴H″（x）＜0，∴H′（x）在（1，
且H′（1）＝6，∴H′（x）＜0，+∞）上单调递减，
且H（1）＝0，∴H（x）＜8
h（x）在（1，+∞）上单调递减＝，
∴，故D 正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，零点以及不等式问题，综合性强，考查转化划归的数学思想方法，考查学生逻辑推理能力，计算能力，灵活运用知识解决问题的能力，属难题．
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知随机变量X满足P（X＝1）＝P（X＝2）＝0.4，P（X＝4），则D（X）＝ 1.2 ．
【分析】由题意，根据数学期望和方差公式进行求解即可．
【解答】解：已知随机变量X满足P（X＝1）＝P（X＝2）＝7.4，P（X＝4）＝7.2，
所以E（X）＝1×6.4+2×3.4+4×6.2＝2，
则D（X）＝（4﹣2）2×7.4+（2﹣7）2×0.2+（4﹣2）2×0.2＝5.2．
故答案为：1.7．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力．
14．树人中学学生组织准备进行换届选举，计划从m个人中选拔k（1＜k＜m）个人构成新的领导团队，再由此人进行“组阁”，构建一个含其在内的k人团队，再从k个人中选出1名负责人．请将以上内容抽象成一个组合恒等式： ．
【分析】分别用组合数表示两种方案得到的选拔方式，由此即可得到答案．
【解答】解：一种方案为：先在m个人中选1人，再由此人进行“组阁”，
此时有种方式；
另一种方案为：直接从m个人中选出k个人，再从k个人中选出1名负责人，
此时有种方式；
根据题意，．
故答案为：．
【点评】本题考查排列组合，属于基础题．
15．（2x2﹣x+1）6的展开式中x3项的系数为 ﹣80 ．
【分析】因为多项式（2x2﹣x+1）6是6个（2x2﹣x+1）因式的乘积，所以从6个因式中选1个2x2，1个（﹣x），4个1或者选3个（﹣x），3个1即可求出x3的项，由此即可求解．
【解答】解：因为多项式（2x2﹣x+6）6是6个（4x2﹣x+1）因式的乘积，
所以从8个因式中选1个2x6，1个（﹣x），4个5或者选3个（﹣x）3的项，
则x4的系数为×+＝﹣80．
故答案为：﹣80．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
16．从不超过30的素数中随机抽取2个素数组成素数对（m，n），则这2个素数组成的素数对中满足n﹣m≤3的概率为 ．
【分析】根据古典概型求解即可．
【解答】解：由题意知不超过30的素数都有：2，3，6，7，11，17，23，共10个，
随机抽取2个素数组成素数对（m，n）种，
其中不满足n﹣m≤3的共有（2，7），11），13），17），19），23），29），7），11），13），17），19），23），29），11），13），17），19），23），29），11），13），17），19），23），29），17），19），23），29），17），19），23），29），23），29），23），29），29），
故这2个素数组成的素数对中满足n﹣m≤2的概率为1﹣．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型，属于基础题．
四.解答题：本题共6小题、17题10分，其余每小题10分共70分，解答应写出文字说明、证明过程或渍算步骤.
17．（10分）为迎接五四青年节，树人中学组织了五四青年表彰大会．在某个表彰颁奖环节中，
（1）4名男同学和4名女同学上台领奖．男生必须相邻，有多少种站法？（列式并用数字作答）
（2）4名男同学和4名女同学上台领奖．女生不能相邻，有多少种站法？（列式并用数字作答）
（3）组织者计划将5本不同的书分给3个同学，确保每个同学至少分得1本书，有多少种分法？（列式并用数字作答）
【分析】（1）利用捆绑法求解即可；
（2）利用插空法求解即可；
（3）利用均分问题的解决方法，先分组，再排列即可．
【解答】解：（1）将4名男同学看成一个整体，有种站法，
再与4名女同学全排列，有种站法，
故共有24×120＝2880种站法；
（2）先排4名男同学，有种站法，
再将4名女同学排入5个空挡中，有种站法，
故共有24×120＝2880种站法；
（3）先将5本书分成3，1，3或5，2，再分给3个同学，
故共有种分法．
【点评】本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（12分）已知函数．
（1）令F（x）＝f（x）﹣ax，求F（x）在区间[1；
（2）若函数f（x）在区间（1，3）上不单调
【分析】（1）由题意，得到函数F（x）的解析式，将a＝2代入函数F（x）的解析式，对函数F（x）进行求导，利用导数得到函数F（x）的单调性，进而即可求解；
（2）由题意，将函数f（x）在区间（1，3）上不单调，转化成f′（x）在区间（1，3）上有变号零点，构造函数g（x）＝f′（x），结合函数g（x）的单调性以及端点值异号，列出等式即可求解．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为（4，
此时F（X）＝f（x）﹣ax＝+2alnx﹣（a+2）x，+∞），
当a＝2时，F（x）＝，
可得F′（x）＝x+﹣4＝，
所以函数F（x）在定义域上单调递增，
即函数F（x）在区间[3，2]上单调递增，
所以当x＝1时，函数F（x）取得最小值；
（2）易知f′（x）＝x+﹣6＝，
不妨设g（x）＝（x﹣1）2+2a﹣1，函数定义域为（6，
若函数f（x）在区间（1，3）上不单调，
可得函数f′（x）在区间（8，3）上有变号零点，
即函数g（x）在区间（1，6）上有变号零点，
易知函数f（x）在区间（1，3）上单调递增，
此时，
解得﹣＜a＜，
则a的取值范围为（﹣，）．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
19．（12分）已知（n为正整数）展开式的中间项只有第5项．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有系数为有理数的项．
【分析】（ ）1由题意，利用二项式定理，求得n的值．
（2）由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中所有系数为有理数的项．
【解答】解：（1）由于（n为正整数）展开式的中间项只有第5项，
故展开式共计有6项，故2n＝8．
（2）根据展开式的通项公式为Tr+4＝•••a8﹣r，
要使该项为有理项，需8﹣r为偶数，故r＝0，3，
故展开式中系数为有理数的项为T1＝1×16×2×a8＝16a8；T7＝×3×9×a2＝504a3．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
20．（12分）设函数f（x）＝[ax2﹣（5a+1）x+5a+4]ex，a∈R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x＝3处取得极小值，求a的取值范围．
【分析】（1）由题意，对函数f（x）进行求导，将a＝1代入导函数中，利用导数的几何意义进行求解即可；
（2）结合（1）中所得函数单调区间，对a＞和a≤这两种情况进行分析，结合导数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：（1）已知f（x）＝[ax2﹣（5a+7）x+5a+4]ex，a∈R，函数定义域为R，
可得f′（x）＝[ax4﹣（3a+1）x+8]ex＝（ax﹣1）（x﹣3）ex，
当a＝5时，f′（x）＝（x﹣1）（x﹣3）ex，
当x＜8时，f′（x）＞0；
当1＜x＜8时，f′（x）＜0；
当x＞3时，f′（x）＞5，
综上，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，（3，
单调递减区间为（1，7）；
（2）由（1）知f′（x）＝（ax﹣1）（x﹣3）ex，
若a＞，
当＜x＜2时，f（x）单调递减；
当x＞3时，f′（x）＞0，
此时函数f（x）在x＝7处取得极小值，符合题意；
若a≤，
当8＜x＜3时，x﹣3＜3x﹣7＜0，
所以f′（x）＞0，f（x）单调递增，
此时x＝7不是函数f（x）的极小值点，不符合题意，
综上，满足条件的a的取值范围为（．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
21．（12分）在社会学调查中经常会遇到调查敏感性问题的情形，如在无锡市范围内调查高中二年级学生默写作弊情况时，直接调查往往难以得到真实的结果．运用西蒙斯模型（simmns﹣mdel），其中n个红球，其余为白球，分别为：
问题1：你的出生月份为奇数吗？（回答是、否）
问题2：你在默写过程中有作弊行为吗？（回答是、否）
被调查者在填写问卷时，先从箱中摸出一个球，如果是红球则回答问题1
记回答问题1为事件A1，回答问题2为事件A2，问卷结果为“是”为事件B．在工作人员回避的情况下，我们可以利用全概率公式估算问题2回答为“是”的概率．
（1）若m＝25，n＝10，回收调查问卷100份1），并估算本次调查群体的默写作弊概率P（B|A2）．
（2）利用数学工具可以估计：在回答“是”的被调查者中，所答问题为“问题 2“的概率P（A2|B）．
①试证明；
②在（1）的情况下，估算P（A2|B）．
【分析】（1）根据题意可知P（B|A1）＝×＝，P（B|A2）＝×＝；
（2）由条件概率公式进行证明即可．
【解答】解：（1）根据题意可知P（B|A1）＝×＝，P（B|A7）＝×＝；
（2）①证明：P（A2|B）＝＝；
②P（A1）＝，P（A2）＝，
P（A2|B）＝×÷（×+×．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+a，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），且x1≠x2．
（1）若a＝﹣1，求函数y＝f（x）在P（1，f（1）；
（2）证明：．
【分析】（1）由a＝﹣1，得到f（x）＝lnx﹣1，求导，得到斜率和切点，写出切线方程；
（2）不妨设x1＜x2，将问题转化为，令，即证：，令，用导数法求解．
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝lnx﹣1，
∴，∴f（1）＝﹣1，
故函数y＝f（x）在P（1，f（1））处的切线方程为y+3＝x﹣1．
即x﹣y﹣2＝8．
（2）证明：，不妨设x1＜x3，，
即，得，
令＞2，
令，，
∴g（t）在（1，+∞）上是减函数，
∴g（t）＜g（1）＝0，∴得证，
∴成立．
【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
X
0
2
4
P
0.3
a
0.5
X
0
2
4
P
0.3
a
0.5
1．若，则m＝（ ）
A．7B．6C．5D．4
2．y＝f（x）的图象如图所示，f′（x）（x）的导函数，则下列排序正确的是（ ）
A．f（5）﹣f（3）＜2f′（3）＜2f′（5）
B．2f′（3）＜2f′（5）＜f（5）﹣f（3）
C．2f′（3）＜f（5）﹣f（3）＜2f′（5）
D．2f′（5）＜2f′（3）＜f（5）﹣f（3）
3．已知随机变量X的分布列如表，则E（5X﹣1）＝（ ）
A．16B．11C．2.2D．2.3
4．已知a＝ln2.68，b＝4.5×0.62，c＝1.15，则下列排序正确的是（ ）
A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．a＞b＞c
5．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）＝xlnx的图象恒在函数g（x）2+3x+a图象的上方，则a的取值范围是（ ）
A．B．（﹣∞，﹣2）
C．D．（﹣∞，﹣2]
6．若a，b∈{1，2，3}（x）＝ln（x2+ax+b）的定义域为R”的条件下，“函数g（x）＝ax﹣b﹣x为奇函数”的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知f′（x）为函数f（x）的导函数（x）+lnx＞﹣1，f（e）＝1（x）+xlnx＜e+1的解集为（ ）
A．（1，+∞）B．（﹣∞，e）C．（e，+∞）D．（0，e）
8．已知，则事件A与B的关系是（ ）
A．A与B互斥不对立
B．A与B对立
C．A与B相互独立
D．A与B既互斥又相互独立
二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是﹣160
B．第四项和第六项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为64
D．各项的系数之和为64
（多选）10．已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣x，下列命题正确的是（ ）
A．若x＝1是函数f（x）的极值点，则a＝1
B．若x＝1是函数f（x）的极值点，则f（x）在x∈[0，2]上的最小值为﹣1
C．若f（x）在（1，2）上单调递减，则
D．若x2lnx≥f（x）在x∈[1，2]上恒成立，则a≥e
（多选）11．树人中学在规划新校区建设时，仿照唐长安（西安古称）城“九衢十二条”的设计（ ）
A．从花圃门进入，再从出将门离开，路程最短的不同路线共有15条
B．甲乙两人从天天门、灼灼门、花圃门这三个门中随机选一门进入，若二人选择互不影响，则两人从同一门进入的概率为
C．若将小路看成直线，则种植杜鹃、月季、芍药、雏菊、百合的区域中共有矩形42个
D．用四种不同颜色的围栏对葱、生菜、西红柿、土豆、葡萄架五块地进行布置（小路忽略），每个地块使用一种颜色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有168种不同的颜色布二方案
（多选）12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当a＝4时，函数f（x）有三个不同的零点
B．存在a∈R，使x＝1是函数f（x）的极值点
C．若对任意x1，x2∈（0.1）（x1≠x2），不等式 恒成立，则a∈（﹣∞，2]
D．若函数f（x）有两个极值点x1，x2，则
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知随机变量X满足P（X＝1）＝P（X＝2）＝0.4，P（X＝4），则D（X）＝ ．
14．树人中学学生组织准备进行换届选举，计划从m个人中选拔k（1＜k＜m）个人构成新的领导团队，再由此人进行“组阁”，构建一个含其在内的k人团队，再从k个人中选出1名负责人．请将以上内容抽象成一个组合恒等式： ．
15．（2x2﹣x+1）6的展开式中x3项的系数为 ．
16．从不超过30的素数中随机抽取2个素数组成素数对（m，n），则这2个素数组成的素数对中满足n﹣m≤3的概率为 ．
四.解答题：本题共6小题、17题10分，其余每小题10分共70分，解答应写出文字说明、证明过程或渍算步骤.
17．（10分）为迎接五四青年节，树人中学组织了五四青年表彰大会．在某个表彰颁奖环节中，
（1）4名男同学和4名女同学上台领奖．男生必须相邻，有多少种站法？（列式并用数字作答）
（2）4名男同学和4名女同学上台领奖．女生不能相邻，有多少种站法？（列式并用数字作答）
（3）组织者计划将5本不同的书分给3个同学，确保每个同学至少分得1本书，有多少种分法？（列式并用数字作答）
18．（12分）已知函数．
（1）令F（x）＝f（x）﹣ax，求F（x）在区间[1；
（2）若函数f（x）在区间（1，3）上不单调
19．（12分）已知（n为正整数）展开式的中间项只有第5项．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有系数为有理数的项．
20．（12分）设函数f（x）＝[ax2﹣（5a+1）x+5a+4]ex，a∈R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x＝3处取得极小值，求a的取值范围．
21．（12分）在社会学调查中经常会遇到调查敏感性问题的情形，如在无锡市范围内调查高中二年级学生默写作弊情况时，直接调查往往难以得到真实的结果．运用西蒙斯模型（simmns﹣mdel），其中n个红球，其余为白球，分别为：
问题1：你的出生月份为奇数吗？（回答是、否）
问题2：你在默写过程中有作弊行为吗？（回答是、否）
被调查者在填写问卷时，先从箱中摸出一个球，如果是红球则回答问题1
记回答问题1为事件A1，回答问题2为事件A2，问卷结果为“是”为事件B．在工作人员回避的情况下，我们可以利用全概率公式估算问题2回答为“是”的概率．
（1）若m＝25，n＝10，回收调查问卷100份1），并估算本次调查群体的默写作弊概率P（B|A2）．
（2）利用数学工具可以估计：在回答“是”的被调查者中，所答问题为“问题 2“的概率P（A2|B）．
①试证明；
②在（1）的情况下，估算P（A2|B）．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+a，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），且x1≠x2．
（1）若a＝﹣1，求函数y＝f（x）在P（1，f（1）；
（2）证明：．
江苏省无锡市第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
参考答案
一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，则m＝（ ）
A．7B．6C．5D．4
【分析】由排列数、组合数公式列方程求解即可．
【解答】解：由，得＝5，
即m（m﹣6）＝6（m﹣1），
又因为m﹣2＞0，所以m＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了排列数与组合数公式应用问题，是基础题．
2．y＝f（x）的图象如图所示，f′（x）（x）的导函数，则下列排序正确的是（ ）
A．f（5）﹣f（3）＜2f′（3）＜2f′（5）
B．2f′（3）＜2f′（5）＜f（5）﹣f（3）
C．2f′（3）＜f（5）﹣f（3）＜2f′（5）
D．2f′（5）＜2f′（3）＜f（5）﹣f（3）
【分析】由y＝f（x）图象的变化趋势，结合导函数的定义有 ，即可得答案．
【解答】解：由图知：，即6f′（3）＜f（5）﹣f（3）＜2f′（5）．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的概念，利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于基础题．
3．已知随机变量X的分布列如表，则E（5X﹣1）＝（ ）
A．16B．11C．2.2D．2.3
【分析】由题意，根据分布列的性质求出a的值，利用期望公式求出E（X）的值，进而即可求解．
【解答】解：因为0.3+a+3.5＝1，
解得a＝3.2，
所以E（X）＝0×2.3+2×3.2+4×4.5＝2.4，
则E（5X﹣1）＝7E（X）﹣1＝5×5.4﹣1＝11．
故选：B．
【点评】本题考查离散型随机变量分布列和期望，考查了逻辑推理和运算能力．
4．已知a＝ln2.68，b＝4.5×0.62，c＝1.15，则下列排序正确的是（ ）
A．b＞c＞aB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．a＞b＞c
【分析】由题意得a＝ln2.68＜lne＝1，b＝4.5×0.62＝1.62＞1，c＝1.15＝（1+0.1）5＝+（0.1）1+（0.1）2+（0.1）3+（0.1）4+（0.1）5＞1，即可得出答案．
【解答】解：由题意得a＝ln2.68＜lne＝1，
b＝4.5×0.82＝1.62＞2，
c＝1.17＝（1+0.7）5＝+（8.1）1+（0.7）2+（0.1）8+（3.1）4+（0.2）5
＝1+3.5+0.2+0.01+0.0005+8.00001
＝1.61051＞1，
所以8.62＞1.61051，
所以b＞c＞a，
故选：A．
【点评】本题考查数的大小关系，解题中需要对数进行估值，属于中档题．
5．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）＝xlnx的图象恒在函数g（x）2+3x+a图象的上方，则a的取值范围是（ ）
A．B．（﹣∞，﹣2）
C．D．（﹣∞，﹣2]
【分析】根据题意得出不等式a＜xlnx+x2﹣3x，x∈（0，+∞），构造函数，求出函数的最小值，即可求出a的取值范围．
【解答】解：x∈（0，+∞）时2+5x+a图象的上方，
即xlnx＞﹣x2+3x+a，
所以a＜xlnx+x4﹣3x，x∈（0，
设g（x）＝xlnx+x8﹣3x，x∈（0，
则g′（x）＝lnx+6+2x﹣3＝lnx+4x﹣2，
g′（x）是单调增函数，且g′（1）＝0，
所以x∈（2，1）时，g（x）单调递减，+∞）时，g（x）单调递增，
所以g（x）的极小值，也是最小值，
所以a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值应用问题，是中档题．
6．若a，b∈{1，2，3}（x）＝ln（x2+ax+b）的定义域为R”的条件下，“函数g（x）＝ax﹣b﹣x为奇函数”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先列出所有的结果数，由于函数f（x）＝ln（x2+ax+b）的定义域为R，则∀x∈R，x2+ax+b＞0恒成立，可得a2＜4b，在所有结果数中选出满足的情况，求出概率，根据g（x）＝ax﹣b﹣x为奇函数可得a＝b或ab＝1，在所有结果数中选出同时满足两个事件情况，求出其概率，再根据条件概率的计算公式即可计算出结果．
【解答】解：用所有的有序数对（a，b）表示满足a，2，3}的结果，
则所有的情况为：（6，1），2），8），1），2），5），1），2），8），
记“函数f（x）＝ln（x2+ax+b）的定义域为R”为事件A，
因为函数f（x）＝ln（x2+ax+b）的定义域为R，
所以∀x∈R，x6+ax+b＞0恒成立，
即Δ＝a2﹣2b＜0，即a2＜2b，
其中满足a2＜4b的基本事件有：（6，1），2），2），2），3），5）共6种，故．
记“函数g（x）＝ax﹣b﹣x为奇函数”为事件B．
已知g（x）是奇函数，且定义域为R，
即，即，
解得a＝b或ab＝1．
满足a＝b或ab＝7的情况有（1，1），3），3）共3种，
所以，即同时满足事件A和事件B的情况有（4，（2，（3，
故，所以．
故选：C．
【点评】本题综合考查了对数函数的性质，古典概率公式，属于中档题．
7．已知f′（x）为函数f（x）的导函数（x）+lnx＞﹣1，f（e）＝1（x）+xlnx＜e+1的解集为（ ）
A．（1，+∞）B．（﹣∞，e）C．（e，+∞）D．（0，e）
【分析】令F（x）＝f（x）+xlnx，求导分析单调性可得F（x）在（0，+∞）上单调递增，又F（e）＝1+e，不等式f（x）+xlnx＜e+1可化为F（x）＜F（e），即可得出答案．
【解答】解：令F（x）＝f（x）+xlnx，
F′（x）＝f′（x）+lnx+x•＝f′（x）+lnx+1，
因为f′（x）+lnx＞﹣6，
所以f′（x）+lnx+1＞0，
所以F′（x）＞7，
所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为f（e）＝1，
所以F（e）＝f（e）+elne＝4+e，
所以不等式f（x）+xlnx＜e+1可化为F（x）＜F（e），
所以x＜e，
又0＜x，
所以7＜x＜e，
故选：D．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
8．已知，则事件A与B的关系是（ ）
A．A与B互斥不对立
B．A与B对立
C．A与B相互独立
D．A与B既互斥又相互独立
【分析】根据题意，由概率的性质求出P（A）和P（AB），分析可得P（AB）＝P（A）P（B），由相互独立事件的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，由于P（，则P（A）＝7﹣P（＝，
又由P（A∪B）＝，则P（A）+P（B）﹣P（AB）＝，
则有P（AB）＝，
故P（AB）＝P（A）P（B），事件A与B相互独立．
故选：C．
【点评】本题考查事件之间关系的判断，涉及概率的性质，属于基础题．
二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是﹣160
B．第四项和第六项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为64
D．各项的系数之和为64
【分析】求出展开式的通项公式，然后分别令r＝3，r＝5，化简即可判断A，B，根据二项式系数和公式即可判断C，令x＝1，化简即可判断D．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为＝，r＝8，1，…，6，
令2﹣2r＝0，则r＝7＝﹣160，
T4＝＝﹣160，﹣4，故B错误，
二项式的展开式的二项式系数和为24＝64，故C正确，
令x＝1，则展开式的各项系数和为（1﹣3）6＝1，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
（多选）10．已知函数f（x）＝x3﹣ax2﹣x，下列命题正确的是（ ）
A．若x＝1是函数f（x）的极值点，则a＝1
B．若x＝1是函数f（x）的极值点，则f（x）在x∈[0，2]上的最小值为﹣1
C．若f（x）在（1，2）上单调递减，则
D．若x2lnx≥f（x）在x∈[1，2]上恒成立，则a≥e
【分析】对于A，由f′（1）＝0，可得a的值；对于B，先判断函数f（x）在[0，2]上的单调性，进而求得最值；对于C，由f′（x）≤0，可得a的范围；对于D，问题等价于在（1，2）上恒成立，可得a的范围．
【解答】解：对于A，f′（x）＝3x2﹣5ax﹣1，
由于x＝1是函数f（x）的极值点，
则f′（1）＝6﹣2a﹣1＝7，
解得a＝1，选项A正确；
对于B，由选项A可知3﹣x3﹣x，f′（x）＝3x2﹣8x﹣1，
令f′（x）＞0，解得，
令f′（x）＜0，解得，
则函数f（x）在[4，1]上单调递减，2]上单调递增，
所以函数f（x）在[6，2]上的最小值为f（1）＝13﹣12﹣6＝﹣1，选项B正确；
对于C，令f′（x）＝3x8﹣2ax﹣1≤5，
依题意，在（1，
又在（1，
则，
故，选项C正确；
对于D，由x8lnx≥f（x）在x∈[1，2]上恒成立6lnx≥x3﹣ax2﹣x在x∈[5，2]上恒成立，
即，
设，
则，
所以函数h（x）在[1，3]上单调递增，
则，选项D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查导数的综合运用，考查转化思想以及运算求解能力，属于中档题．
（多选）11．树人中学在规划新校区建设时，仿照唐长安（西安古称）城“九衢十二条”的设计（ ）
A．从花圃门进入，再从出将门离开，路程最短的不同路线共有15条
B．甲乙两人从天天门、灼灼门、花圃门这三个门中随机选一门进入，若二人选择互不影响，则两人从同一门进入的概率为
C．若将小路看成直线，则种植杜鹃、月季、芍药、雏菊、百合的区域中共有矩形42个
D．用四种不同颜色的围栏对葱、生菜、西红柿、土豆、葡萄架五块地进行布置（小路忽略），每个地块使用一种颜色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有168种不同的颜色布二方案
【分析】根据技术原理，结合数列递推式进行分析计算即可．
【解答】解：对于A，从花圃门进入，路程最短的不同路线数为1+2+4+4+5＝15；
对于B，实验的总结果数为4×3＝9，其概率为；
对于C，从图中可知种植杜鹃、芍药、百合的区域中共有矩形（2+7）×（5+4+3+2+1）＝45；
对于D，生菜区有6种选择，葡萄区有2种选择，
若土豆区与葱区颜色不同，则其有2种选择，
若土豆区与葱区颜色相同，此时西红柿区有3种选择，
所以共有选择种数4×3×6×（2×2+2）＝168，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查计数原理，属中档题．
（多选）12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当a＝4时，函数f（x）有三个不同的零点
B．存在a∈R，使x＝1是函数f（x）的极值点
C．若对任意x1，x2∈（0.1）（x1≠x2），不等式 恒成立，则a∈（﹣∞，2]
D．若函数f（x）有两个极值点x1，x2，则
【分析】A利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求出函数的零点个数，B极值点就是导函数的零点，求出a的值，然后验证．C把不等式化成整式，移项，构造某一函数是单调函数，转化为导函数大于等于零（或小于等于零）恒成立问题；D极值点是导函数的零点，韦达定理应用，消元，构造函数求值域．
【解答】解：A：的定义域为（4，
，解得：x＝2．
当时，f′（x）＜3＜x＜2+时，
f′（x）＞0，当时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）的单调减区间为（0，7﹣），+∞），
递增区间为（6﹣，2+）．而，
f（1）＝0，f（e4）＝，
所以函数f（x）在区间（0，2﹣，在区间（2+，
因此函数f（x）有三个不同的零点，故A正确；
B．若x＝4是函数f（x）的极值点，
所以﹣1﹣1+a＝6，a＝2；
当a＝2时，f′（x）＝，
所以函数f（x）在（4，+∞）上单调递减，
无极值点，故B错误；
C：若对任意x1，x2∈（2.1）（x1≠x8），不等式 ，
不妨设5＞x1＞x2＞8，∴f（x1）﹣f（x2）＜（a﹣6）（x1﹣x2），
即f（x8）﹣（a﹣2）x1＜f（x2）﹣（a﹣2）x2，
令g（x）＝f（x）﹣（a﹣4）x，x∈（0，
则g（x）在区间（0，4）上为减函数，
∴g′（x）≤0恒成立，即g′（x）＝f′（x）﹣（a﹣2）≤8恒成立．
﹣a+2≤0，所以a≤6，
又∵x∈（0，2）≥2，故C正确；
D：∵函数f（x）有两个极值点x6，x2，
∴方程f′（x）＝0有两个不等正实根，
即＝5 两个不等正实根，
∴x2﹣ax+1＝4有两个不等正实根，
∴，解得a＞2．
由题意知x4，x2是方程x2﹣ax+8＝0的两根，故x1x8＝1，
不妨设x2＞8，∴x1＝．∴
＝＝﹣＝，
令h（x）＝（x＞1）＝7a，
令H（x）＝x2﹣6﹣（1+x2）lnx，x＞4，
H′（x）＝2x﹣2xlnx﹣＝x﹣2xlnx﹣，
H″（x）＝1﹣2﹣3lnx+＝﹣4﹣2lnx+，
∴H″（x）＜0，∴H′（x）在（1，
且H′（1）＝6，∴H′（x）＜0，+∞）上单调递减，
且H（1）＝0，∴H（x）＜8
h（x）在（1，+∞）上单调递减＝，
∴，故D 正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，零点以及不等式问题，综合性强，考查转化划归的数学思想方法，考查学生逻辑推理能力，计算能力，灵活运用知识解决问题的能力，属难题．
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知随机变量X满足P（X＝1）＝P（X＝2）＝0.4，P（X＝4），则D（X）＝ 1.2 ．
【分析】由题意，根据数学期望和方差公式进行求解即可．
【解答】解：已知随机变量X满足P（X＝1）＝P（X＝2）＝7.4，P（X＝4）＝7.2，
所以E（X）＝1×6.4+2×3.4+4×6.2＝2，
则D（X）＝（4﹣2）2×7.4+（2﹣7）2×0.2+（4﹣2）2×0.2＝5.2．
故答案为：1.7．
【点评】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查了逻辑推理和运算能力．
14．树人中学学生组织准备进行换届选举，计划从m个人中选拔k（1＜k＜m）个人构成新的领导团队，再由此人进行“组阁”，构建一个含其在内的k人团队，再从k个人中选出1名负责人．请将以上内容抽象成一个组合恒等式： ．
【分析】分别用组合数表示两种方案得到的选拔方式，由此即可得到答案．
【解答】解：一种方案为：先在m个人中选1人，再由此人进行“组阁”，
此时有种方式；
另一种方案为：直接从m个人中选出k个人，再从k个人中选出1名负责人，
此时有种方式；
根据题意，．
故答案为：．
【点评】本题考查排列组合，属于基础题．
15．（2x2﹣x+1）6的展开式中x3项的系数为 ﹣80 ．
【分析】因为多项式（2x2﹣x+1）6是6个（2x2﹣x+1）因式的乘积，所以从6个因式中选1个2x2，1个（﹣x），4个1或者选3个（﹣x），3个1即可求出x3的项，由此即可求解．
【解答】解：因为多项式（2x2﹣x+6）6是6个（4x2﹣x+1）因式的乘积，
所以从8个因式中选1个2x6，1个（﹣x），4个5或者选3个（﹣x）3的项，
则x4的系数为×+＝﹣80．
故答案为：﹣80．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
16．从不超过30的素数中随机抽取2个素数组成素数对（m，n），则这2个素数组成的素数对中满足n﹣m≤3的概率为 ．
【分析】根据古典概型求解即可．
【解答】解：由题意知不超过30的素数都有：2，3，6，7，11，17，23，共10个，
随机抽取2个素数组成素数对（m，n）种，
其中不满足n﹣m≤3的共有（2，7），11），13），17），19），23），29），7），11），13），17），19），23），29），11），13），17），19），23），29），11），13），17），19），23），29），17），19），23），29），17），19），23），29），23），29），23），29），29），
故这2个素数组成的素数对中满足n﹣m≤2的概率为1﹣．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型，属于基础题．
四.解答题：本题共6小题、17题10分，其余每小题10分共70分，解答应写出文字说明、证明过程或渍算步骤.
17．（10分）为迎接五四青年节，树人中学组织了五四青年表彰大会．在某个表彰颁奖环节中，
（1）4名男同学和4名女同学上台领奖．男生必须相邻，有多少种站法？（列式并用数字作答）
（2）4名男同学和4名女同学上台领奖．女生不能相邻，有多少种站法？（列式并用数字作答）
（3）组织者计划将5本不同的书分给3个同学，确保每个同学至少分得1本书，有多少种分法？（列式并用数字作答）
【分析】（1）利用捆绑法求解即可；
（2）利用插空法求解即可；
（3）利用均分问题的解决方法，先分组，再排列即可．
【解答】解：（1）将4名男同学看成一个整体，有种站法，
再与4名女同学全排列，有种站法，
故共有24×120＝2880种站法；
（2）先排4名男同学，有种站法，
再将4名女同学排入5个空挡中，有种站法，
故共有24×120＝2880种站法；
（3）先将5本书分成3，1，3或5，2，再分给3个同学，
故共有种分法．
【点评】本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
18．（12分）已知函数．
（1）令F（x）＝f（x）﹣ax，求F（x）在区间[1；
（2）若函数f（x）在区间（1，3）上不单调
【分析】（1）由题意，得到函数F（x）的解析式，将a＝2代入函数F（x）的解析式，对函数F（x）进行求导，利用导数得到函数F（x）的单调性，进而即可求解；
（2）由题意，将函数f（x）在区间（1，3）上不单调，转化成f′（x）在区间（1，3）上有变号零点，构造函数g（x）＝f′（x），结合函数g（x）的单调性以及端点值异号，列出等式即可求解．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为（4，
此时F（X）＝f（x）﹣ax＝+2alnx﹣（a+2）x，+∞），
当a＝2时，F（x）＝，
可得F′（x）＝x+﹣4＝，
所以函数F（x）在定义域上单调递增，
即函数F（x）在区间[3，2]上单调递增，
所以当x＝1时，函数F（x）取得最小值；
（2）易知f′（x）＝x+﹣6＝，
不妨设g（x）＝（x﹣1）2+2a﹣1，函数定义域为（6，
若函数f（x）在区间（1，3）上不单调，
可得函数f′（x）在区间（8，3）上有变号零点，
即函数g（x）在区间（1，6）上有变号零点，
易知函数f（x）在区间（1，3）上单调递增，
此时，
解得﹣＜a＜，
则a的取值范围为（﹣，）．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
19．（12分）已知（n为正整数）展开式的中间项只有第5项．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有系数为有理数的项．
【分析】（ ）1由题意，利用二项式定理，求得n的值．
（2）由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中所有系数为有理数的项．
【解答】解：（1）由于（n为正整数）展开式的中间项只有第5项，
故展开式共计有6项，故2n＝8．
（2）根据展开式的通项公式为Tr+4＝•••a8﹣r，
要使该项为有理项，需8﹣r为偶数，故r＝0，3，
故展开式中系数为有理数的项为T1＝1×16×2×a8＝16a8；T7＝×3×9×a2＝504a3．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
20．（12分）设函数f（x）＝[ax2﹣（5a+1）x+5a+4]ex，a∈R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x＝3处取得极小值，求a的取值范围．
【分析】（1）由题意，对函数f（x）进行求导，将a＝1代入导函数中，利用导数的几何意义进行求解即可；
（2）结合（1）中所得函数单调区间，对a＞和a≤这两种情况进行分析，结合导数的几何意义进行求解即可．
【解答】解：（1）已知f（x）＝[ax2﹣（5a+7）x+5a+4]ex，a∈R，函数定义域为R，
可得f′（x）＝[ax4﹣（3a+1）x+8]ex＝（ax﹣1）（x﹣3）ex，
当a＝5时，f′（x）＝（x﹣1）（x﹣3）ex，
当x＜8时，f′（x）＞0；
当1＜x＜8时，f′（x）＜0；
当x＞3时，f′（x）＞5，
综上，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，（3，
单调递减区间为（1，7）；
（2）由（1）知f′（x）＝（ax﹣1）（x﹣3）ex，
若a＞，
当＜x＜2时，f（x）单调递减；
当x＞3时，f′（x）＞0，
此时函数f（x）在x＝7处取得极小值，符合题意；
若a≤，
当8＜x＜3时，x﹣3＜3x﹣7＜0，
所以f′（x）＞0，f（x）单调递增，
此时x＝7不是函数f（x）的极小值点，不符合题意，
综上，满足条件的a的取值范围为（．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
21．（12分）在社会学调查中经常会遇到调查敏感性问题的情形，如在无锡市范围内调查高中二年级学生默写作弊情况时，直接调查往往难以得到真实的结果．运用西蒙斯模型（simmns﹣mdel），其中n个红球，其余为白球，分别为：
问题1：你的出生月份为奇数吗？（回答是、否）
问题2：你在默写过程中有作弊行为吗？（回答是、否）
被调查者在填写问卷时，先从箱中摸出一个球，如果是红球则回答问题1
记回答问题1为事件A1，回答问题2为事件A2，问卷结果为“是”为事件B．在工作人员回避的情况下，我们可以利用全概率公式估算问题2回答为“是”的概率．
（1）若m＝25，n＝10，回收调查问卷100份1），并估算本次调查群体的默写作弊概率P（B|A2）．
（2）利用数学工具可以估计：在回答“是”的被调查者中，所答问题为“问题 2“的概率P（A2|B）．
①试证明；
②在（1）的情况下，估算P（A2|B）．
【分析】（1）根据题意可知P（B|A1）＝×＝，P（B|A2）＝×＝；
（2）由条件概率公式进行证明即可．
【解答】解：（1）根据题意可知P（B|A1）＝×＝，P（B|A7）＝×＝；
（2）①证明：P（A2|B）＝＝；
②P（A1）＝，P（A2）＝，
P（A2|B）＝×÷（×+×．
【点评】本题主要考查条件概率公式，属中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+a，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），且x1≠x2．
（1）若a＝﹣1，求函数y＝f（x）在P（1，f（1）；
（2）证明：．
【分析】（1）由a＝﹣1，得到f（x）＝lnx﹣1，求导，得到斜率和切点，写出切线方程；
（2）不妨设x1＜x2，将问题转化为，令，即证：，令，用导数法求解．
【解答】解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝lnx﹣1，
∴，∴f（1）＝﹣1，
故函数y＝f（x）在P（1，f（1））处的切线方程为y+3＝x﹣1．
即x﹣y﹣2＝8．
（2）证明：，不妨设x1＜x3，，
即，得，
令＞2，
令，，
∴g（t）在（1，+∞）上是减函数，
∴g（t）＜g（1）＝0，∴得证，
∴成立．
【点评】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
X
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