2023-2024学年上海市黄浦区格致中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市黄浦区格致中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若csθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=7：11：13，则△ABC( )
A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
3.方程3x+5x+11x=19x⋅ x−1的实数根的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
4.设点A的坐标为(a,b)，O是坐标原点，点A绕着O点顺时针旋转θ后得到A′，则A′的坐标为( )
A. (acsθ−bsinθ,asinθ+bcsθ)B. (acsθ+bsinθ,bcsθ−asinθ)
C. (asinθ+bcsθ,acsθ−bsinθ)D. (bcsθ−asinθ,bsinθ+acsθ)
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
5.已知角α的终边与单位圆交于点P，若α=2π3，则点P的坐标是______．
6.设α：1m，α是β的充分条件，则实数m的取值范围是______．
7.方程cs2x=12(0≤x≤π)的解集为______．
8.若sin(θ+π4)=35，θ∈(π2,π)，则csθ= ______．
9.不等式x+4x2+2x+2≤1的解集为______．
10.cs1°+cs2°+cs3°+…+cs180°= ______．
11.若函数y=2xax+1是偶函数，则正数a的值为______．
12.若关于x的不等式|x−1|+|x+2|≤a在R上有解，则实数a的取值范围是______．
13.若8cs(π4+α)cs(π4−α)=1，则sin4α+cs4α= ______．
14.在平面直角坐标系中，已知两点A(cs140°,sin140°)，B(cs20°,sin20°)；则|AB|的值是______．
15.已知α∈(0,2π)，若 1−csα1+csα− 1+csα1−csα=2ctα，则角α的取值范围是______．
16.在三角形ABC中，B=π3，∠BAC的平分线AD交BC于D，且AD=3，BD=2，则csC= ______．
三、解答题：本题共4小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知a为实数，设集合A={x|−2x+a≤x2}.
(1)设集合B={x|lgx=0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
(2)若集合A=R，求实数a的取值范围．
18.(本小题8分)
甲船在距离A港口12海里并在南偏西10°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东20°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为6 5海里.乙船的速度为每小时18海里，经过20分钟航行到D处，求此时甲、乙两船相距多少海里？甲在乙的什么方向？
19.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为 210，2 55．
(Ⅰ)求tan(α+β)的值；
(Ⅱ)求α+2β的值．
20.(本小题12分)
已知sinα+sinβ=bcsα+csβ=a.其中a，b为常数，且a2+b2≠0．
(1)求cs(α−β)；
(2)若b=1，a=0，求cs(α+β)cs(α−β)；
(3)分别求sin(α+β)，cs(α+β)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
sin2θ=2sinθcsθ，因为csθ>0，所以sinθ<0，可以判定角θ的终边所在象限．
本题考查象限角，三角函数值的符号，二倍角的正弦，是基础题．
【解答】
解：由sin2θ=2sinθcsθ，因为csθ>0，所以sinθ<0，可以判定角θ的终边所在象限第四象限，故ABC错误，D正确．
故选D．
2.【答案】A
【解析】解：由正弦定理得足sinA：sinB：sinC=7：11：13，
则a：b：c=7：11：13，设a=7k，b=11k，c=13k，
由余弦定理得，csC=a2+b2−c22ab=49k2+121k2−169k22⋅7k⋅11k>0，故C为锐角，
由三角形大边对大角可知，C为最大角．
故△ABC为锐角三角形．
故选：A．
由已知利用正弦定理及余弦定理可求出csC，然后结合三角形中大边对大角，即可判断△ABC的形状．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形中大边对大角，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查方程根的个数的判断，根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键，是中档题．
将方程进行等价变形，构造函数f(x)与g(x)，判断两个函数的单调性，利用函数单调性之间的关系进行判断即可．
【解答】
解：方程等价为(319)x+(519)x+(1119)x= x−1，
设f(x)=(319)x+(519)x+(1119)x，g(x)= x−1，
则当x≥1时，f(x)为减函数，g(x)为增函数，
f(1)=319+519+1119=1，g(1)=0，即0则f(x)与g(x)在[1,+∞)上只有一个交点，
即方程3x+5x+11x=19x⋅ x−1只有一个实根，
故选：B．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，设|OA|=r，向量OA与x轴正方向的夹角为α，
又曲点A的坐标为(a,b)，则a=rcsα，b=rsinα，
向量OA绕差O点顺时针旋转θ后得到OA′，则A′(rcs(α−θ),rsin(α−θ))，
而rcs(α−θ)=rcsαcsθ+rsinαsinθ=acsθ+bsinθ，
rsin(α−θ)=rsinαcsθ−rcsαsinθ=bcsθ−asinθ，
∴A′(acsθ+bsinθ,bcsθ−asinθ)．
故选：B．
由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角函数公式，求出A′的坐标．
本题考查点的坐标的求法，考查任意角三角函数的定义、两角和差的三角函数公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】(−12, 32)
【解析】解：由题意可得点P的坐标是(cs2π3,sin2π3)，即(−12, 32)．
故答案为：(−12, 32)．
根据三角函数的定义即可得解．
本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题．
6.【答案】(−∞,1]
【解析】解：∵α：1m，
若α是β的充分条件，则(1,4]⊆(m，+∞)，则m≤1，
∴实数m的取值范围是(−∞,1]，
故答案为：(−∞,1]．
由α是β的充分条件，根据对应集合的包含关系，可得实数m的取值范围．
本题考查了不等式的性质、集合运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】{π6,5π6}
【解析】解：由0≤x≤π，得0≤2x≤2π，
因为cs2x=12，所以2x=π3或2x=5π3，
所以x=π6或x=5π6，
所以方程cs2x=12(0≤x≤π)的解集为{π6,5π6}．
故答案为：{π6,5π6}．
根据余弦函数的性质求解即可．
本题考查了余弦函数的性质与应用问题，是基础题．
8.【答案】− 210
【解析】解：由于θ∈(π2,π)，
所以θ+π4∈(3π4,5π4)；
且满足sin(θ+π4)=35，
故θ+π4∈(3π4,π)，
所以cs(θ+π4)=−45，
故csθ=cs[(θ+π4)−π4]=(−45)× 22+35× 22=− 210．
故答案为：− 210．
直接利用三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
9.【答案】(−∞,−2]∪[1,+∞)
【解析】解：不等式x+4x2+2x+2≤1，即x+4(x+1)2+1≤1，即x+4≤x2+2x+2，
即x2+x−2≥0，解得x≤−2或x≥1，
故原不等式的解集为(−∞,−2]∪[1,+∞)，
故答案为：(−∞,−2]∪[1,+∞)．
由题意，利用分式不等式、一元二次不等式的解法，求得结果．
本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．
10.【答案】−1
【解析】解：∵csα=−cs(180°−α)，csα+cs(180°−α)=0，
∴cs1°+cs2°+cs3°+…+cs180°=(cs1°+cs179°)+(cs2°+cs178°)+…+cs(89°+91°)+cs90°+cs180°=−1．
故答案为：−1．
利用csα=−cs(180°−α)，csα+cs(180°−α)=0，即可得出．
本题考查了诱导公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11.【答案】4
【解析】解：根据题意，设f(x)=2xax+1，其定义域为R，
则f(−x)=2−xa−x+1=ax⋅2−x1+ax，
若该函数为偶函数，则有f(−x)=f(x)，即2xax+1=ax⋅2−x1+ax，变形可得ax=4x，则有a=4，
故答案为：4．
根据题意，求出f(−x)的解析式，由偶函数的定义可得f(−x)=f(x)，即2xax+1=ax⋅2−x1+ax，变形分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的判断以及性质的应用，涉及偶函数的定义，属于基础题．
12.【答案】[3,+∞)
【解析】解：|x−1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到−2和1对应点的距离之和，其最小值为3，
要使关于x的不等式|x−1|+|x+2|≤a有解，则有a≥3，
故答案为：[3,+∞)．
根据|x−1|+|x−2|表示数轴上的x对应点到1和−2对应点的距离之和，其最小值等于3，从而得到实数a的取值范围．
本题主要考查绝对值的意义，利用了|x−1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到1和−2对应点的距离之和，其最小值等于3，属于中档题．
13.【答案】1732
【解析】解：由已知得8sin(π4−α)cs(π4−α)=1，
∴4sin(π2−2α)=1.∴cs2α=14．
sin4α+cs4α=(sin2α+cs2α)2−2sin2αcs2α=1−12sin22α=1−12(1−cs22α)
=1−12(1−116)=1−12×1516=1732．
故答案为1732
利用诱导公式对原式化简整理求得cs2α，进而用而倍角公式化简sin4α+cs4α=1−12(1−cs22α)，把cs2α代入即可．
本题主要考查了运用诱导公式化简求值．解题时要特别留意三角函数值的正负．
14.【答案】 3
【解析】解：|AB|= (cs140°−cs20°)2+(sin140°−sin20°)2
= cs2140°−2cs140°cs20°+cs220°+sin2140°−2sin140°sin20°+sin220°
= 2−2(cs140°cs20°+sin140°sin20°)
= 2−2cs(140°−20°)= 2−2cs120°= 3．
故答案为： 3．
根据两点间的距离公式和平方关系结合两角差的余弦公式求解即可．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
15.【答案】{π2}∪(π,2π)
【解析】解：因为 1−csα1+csα− 1+csα1−csα= (1−csα)2(1+csα)(1−csα)− (1+csα)2(1−csα)(1+csα)=1−csα sin2α−1+csα sin2α=−2csα|sinα|，
又ctα=csαsinα，且 1−csα1+csα− 1+csα1−csα=2ctα，
所以−2csα|sinα|=2csαsinα，
所以csα=0或sinα<0，
又α∈(0,2π)，
所以角α的取值范围是{π2}∪(π,2π)．
故答案为：{π2}∪(π,2π)．
利用同角三角函数关系以及平方差公式、完全平方式化简等式，结合三角函数在各个象限的符合，可得到csα=0或sinα<0，即可得到答案．
本题考查了三角函数的化简求值问题，主要考查了同角三角函数关系的运用以及三角函数在各个象限符号的判定，考查了化简运算能力，属于中档题．
16.【答案】2 6−16
【解析】解：在△ABC中，由正弦定理得BDsin∠BAD=ADsinB，
∵AD=3，BD=2，
∴sin∠BAD= 33,cs∠BAD= 63，
∴sin∠BAC=2× 33× 63=2 23,cs∠BAC=2×( 63)2−1=13，
∴csC=cs(2π3−∠BAC)=(−12)×13+ 32×2 23=2 6−16．
故答案为：2 6−16．
在三角形ABC中，由正弦定理可得sin∠BAD，利用同角三角函数的基本关系可得cs∠BAD，利用二倍角公式可求sin∠BAC，cs∠BAC的值，即可得出答案．
本题考查两角和差的三角函数和正弦定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)B={1}，因为B⊆A，故1∈A，故−2×1+a≤1，
即a≤3，
故a的范围为{a|a≤3}；
(2)因为A=R，故−2x+a≤x2即x2+2x−a≥0在R上恒成立，
故Δ=4+4a≤0，故a≤−1，
故a的范围为{a|a≤−1}．
【解析】(1)根据包含关系可得1∈A，故可求参数的取值范围．
(2)根据解集为R可得判别式的符号，故可求参数的取值范围．
本题主要考查了集合包含关系的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，属于基础题．
18.【答案】解：作出符合题意的图形，AC=12，BC=6 5，∠CAB=30°，BD=6，
△ABC中，由正弦定理得，12sin∠ABC=6 5sin30°，
所以sin∠ABC= 55
由AC所以cs∠ABC=2 55，
△BCD中，由余弦定理得CD= BC2+BD2−2BC⋅BDcs∠B= (6 5)2+62−2×6×6 5×2 55=6 2，
由余弦定理得，cs∠BDC=62+(6 2)2−(6 5)22×6×6 2=− 22，
所以∠BDC=135°，180°−135°+20°=65°，
所以此时甲、乙两船相距6 2海里，甲在乙的北偏西65°方向．
【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解实际问题中的应用，属于中档题．
结合实际问题作出图形，然后结合正弦定理及余弦定理即可直接求解．
19.【答案】解：(Ⅰ)已知A，B的横坐标分别为 210，2 55，可得A，B的纵坐标分别为7 210， 55，
∴tanα=7，tanβ=12，∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=−3．
(Ⅱ)∵tan(α+2β)=tan(α+β)+tanβ1−tan(α+β)tanβ=−3+121−(−3)⋅12=−1，
结合α+2β∈(0,π)，可得α+2β=3π4．
【解析】(Ⅰ)利用任意角的三角函数的定义，求得tanα和tanβ的值，可得tan(α+β)的值．
(Ⅱ)利用两角和的正切公式求得tan(α+2β)的值，结合α+2β的范围，求得α+2β的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式的应用，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由sinα+sinβ=bcsα+csβ=a得：sin2α+2sinαsinβ+sin2β=b2cs2α+2csαcsβ+cs2β=a2，
两式作和得：2+2csαcsβ+2sinαsinβ=a2+b2，
∴csαcsβ+sinαsinβ=a2+b22−1，即cs(α−β)=a2+b22−1．
(2)由(1)知：当b=1，a=0时，cs(α−β)=12−1=−12；
∵sinα+sinβ=sin(α+β2+α−β2)+sin(α+β2−α−β2)
=sinα+β2csα−β2+csα+β2sinα−β2+sinα+β2csα−β2−csα+β2sinα−β2
=2sinα+β2csα−β2，
csα+csβ=cs(α+β2+α−β2)+cs(α+β2−α−β2)
=csα+β2csα−β2−sinα+β2sinα−β2+csα+β2csα−β2+sinα+β2sinα−β2
=2csα+β2csα−β2，
∴2sinα+β2csα−β2=b=12csα+β2csα−β2=a=0，∴csα−β2≠0，csα+β2=0，
∴cs(α+β)=2cs2α+β2−1=−1，
∴cs(α+β)cs(α−β)=(−1)×(−12)=12．
(3)由(2)知：2sinα+β2csα−β2=b2csα+β2csα−β2=a；
当a=0时，由a2+b2≠0可得：b≠0，∴csα+β2=0，则cs(α+β)=−1，∴sin(α+β)=0；
当b=0时，由a2+b2≠0可得：a≠0，∴sinα+β2=0，则cs(α+β)=1−2sin2α+β2=1，∴sin(α+β)=0；
当a≠0且b≠0时，tanα+β2=ba，
∴cs(α+β)=cs2α+β2−sin2α+β2cs2α+β2+sin2α+β2=1−tan2α+β21+tan2α+β2=1−b2a21+b2a2=a2−b2a2+b2，
sin(α+β)=2sinα+β2csα+β2cs2α+β2+sin2α+β2=2tanα+β21+tan2α+β2=2ba1+b2a2=2aba2+b2；
验证可知：当a=0或b=0时，cs(α+β)=a2−b2a2+b2与sin(α+β)=2aba2+b2都成立；
综上所述：cs(α+β)=a2−b2a2+b2，sin(α+β)=2aba2+b2．
【解析】(1)把已知等式平方后作和，利用两角和差余弦公式可求得结果；
(2)由(1)得cs(α−β)，由sinα+sinβ=sin[α+β2+α−β2]+sin[α+β2−α−β2]，csα+csβ=cs[α+β2+α−β2]+cs[α+β2−α−β2]，结合两角和差公式可化简求得csα+β2=0，利用二倍角余弦公式可得cs(α+β)，由此可得结果；
(3)根据(2)中运算，讨论a=0或b=0的情况；当a，b均不为0时，可求得tanα+β2，利用二倍角公式和正余弦齐次式的求法可求得结果．
本题考查三角恒等变换的应用，解题关键是能够熟练掌握和差化积公式的推导方法，从而利用该公式对已知等式进行合理的化简求值．