江西省赣州市大余县部分学校联考2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷(含答案)

这是一份江西省赣州市大余县部分学校联考2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．方程的解是( )
A.B.C.D.
2．如图，是的两条半径，点在上，连接，若，则的度数为( )
A.B.C.D.
3．一个圆柱和正三棱柱组成的几何体按如图所示的方式水平放置，其左视图是( )
A.B.C.D.
4．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式是( )
A.B.C.D.
5．在反比例函数（为常数）的图象上有三点，若，则的大小关系为( )
A.B.C.D.
6．如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形.若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有( )

A.1个B.2个C.3个D.5个
二、填空题
7．质量为（单位：）的某种气体，它的体积（单位）与它的密度（单位：）之间成反比例函数关系，其图象如图所示，则的值为______.
8．如图，是某公园的进口，是不同的出口，若小贤从处进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从北面的出口出来的概率为______.
9．如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是______.
10．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”.意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多______步.
11．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，线段的中点为点，将线段绕原点逆时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标为______.
12．已知是的内接三角形，且是上除之外的任意一点，直线与直线相交于点，则当为等腰三角形时，的度数为______.
三、解答题
13．（1）计算：；
（2）如图，在中，，将绕点逆时针旋转度得到.若，求的值.
14．已知关于的一元二次方程.
(1)若方程的一个根为2，求的值；
(2)若方程有实数根，求的取值范围.
15．如图1，的高相交于点.
(1)不添加其他线段，在图1中，与相似的三角形的个数是______；
(2)如图2，连接，求证：.
16．如图，电路图上有1个电源、1个小灯泡和，4个开关.
(1)随机闭合其中3个开关，“小灯泡发光”是______事件；（填“随机”“必然”或“不可能”）
(2)用画树状图法或列表法求随机闭合其中2个开关，小灯泡发光的概率.
17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B是一次函数和反比例函数图象的两个交点，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）.
（1）在图①中，画出一个平行四边形，使点A，B都是该平行四边形的顶点；
（2）在图②中，画出一个菱形，使点A在该菱形一边所在的直线上.
18．课本再现
（1）在中，，求的长；
拓展延伸
（2）在中，为锐角，，求的面积.
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，已知点的横坐标为1.
(1)求的值；
(2)连接，求的面积；
(3)观察图象，在第四象限内，当时，直接写出的取值范围.
20．图1是某款简易躺椅的实物图，其侧面可简化抽象成图2，靠背的长为所对的圆心角等于.（结果精确到，参考数据：）
(1)求点到弦的距离；
(2)求弦的长.
21．如图，在中，，平分，交于点是斜边上一点，以点为圆心，的长为半径的恰好经过点.
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径.
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线.
(1)当时，抛物线的顶点坐标为______；
(2)求证：抛物线与直线相交所得的线段的长度不随的取值变化而变化；
(3)在（2）的条件下，抛物线的顶点为，是否存在实数，使得为等边三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
23．综合与实践
问题提出：
某兴趣小组开展综合实践活动.如图1，在矩形中，为对角线，是上一动点（不与点重合），过点作交于点，过点作交于点，连接与交于点.设的面积为.经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，图2中点的横坐标为3，请根据图1和图2的信息回答问题.
初步感知：
（1）①图1中，的长为______，的长为______；
②求点的纵坐标的值；
（2）求关于的函数解析式及的最大值；
延伸探究：
（3）连接，请求出长度的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：∵，
∴或，
∴，
故选：B.
2．答案：A
解析：∵，
∴，
故选：A.
3．答案：D
解析：这个组合体的左视图如下：
故选：D.
4．答案：C
解析：将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的解析式是，
故选：C.
5．答案：C
解析：，
反比例函数（为常数）的图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
，
，
故选：C.
6．答案：B
解析：选择一个正方形涂黑，使得4个涂黑的正方形组成轴对称图形，如图，
共有2个，
故选：B.
7．答案：8
解析：反比例函数的解析式为，
将代入表达式中得，
故答案为：8.
8．答案：
解析：∵共有5个出口，其中北面有B和C两个出口，
∴恰好从北面的出口出来的概率为，
故答案为：.
9．答案：
解析：与位似，
，，
，
，
与的面积之比为，
故答案为：.
10．答案：6
解析：设长为x步，则宽为(60-x) 步，
，
整理得，，
解得，，，
∴当 时， ，长<宽，不合题意，舍去；
∴当 时， ，即长为33步，宽为27步，符合题意，
∴长比宽多：33-27=6 (步)，
故答案为：6.
11．答案：
解析：如图，
由旋转可得：，，为的中点，
∴，
故答案为：；
12．答案：或或
解析：∵，
∴，
①如图1，当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图2，当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
③如图3，当时，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：或或.
13．答案：（1）
（2）
解析：（1）
（2）由旋转的性质得：，
，
，
，
，即旋转角为，
，
14．答案：(1)
(2)
解析：（1）把代入得，
解得；
（2）方程有实数根，
，
.
的取值范围为.
15．答案：(1)3
(2)见解析
解析：（1）由题意得，，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即与相似的三角形是，，，有3个，
故答案为：3；
（2）证明：如图，
∵，，
∴点A、B、D、E在以为直径的圆上，
∴.
16．答案：(1)必然
(2)
解析：（1）由图可知，只闭合其中个开关，小灯泡能发光，因此随机闭合个开关，小灯泡发光是必然事件.
故答案为：必然；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中随机闭合2个开关，小灯泡发光的结果有：、、、，共种，
随机闭合2个开关，小灯泡发光的概率为.
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）连接BO并延长交反比例函数的第二象限的线于点；
连接AO并延长交反比例函数的第二象限的线于点；
根据反比例函数图象性质，两条曲线关于原点中心对称，故,,
因为两条直线互相平分，故四边形为平行四边形；
（2）如图，四边形CDEF为菱形；
18．答案：（1）4
（2）
解析：（1）∵在中，，
∴，
即，
解得：，
∴.
（2）过点B作于点D，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴.
19．答案：(1)
(2)；
(3)或.
解析：（1）∵点的横坐标为1，
∴点的纵坐标为，
∴点的坐标为，
∵比例函数的图象经过点，
∴；
（2）由（1）知反比例函数的表达式为：，
联立，解得或，
∴点B的坐标为，
假设一次函数与x轴交点为C点，
∴点C的坐标为，
∴；
（3）由图象可得，当时，自变量x的取值范围或.
20．答案：(1)
(2)
解析：（1）如图所示，过点作交的延长线于点，
∵
∴
∴
答：点到弦的距离为
（2）如图所示，为所在圆的圆心，过点作于点， 则，
∵的长为所对的圆心角等于
∴
∴
在中，
∴
21．答案：(1)见解析
(2)的半径为
解析：（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）作，垂足为，
设的半径为，则，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴的半径为.
22．答案：(1)
(2)见解析
(3)或.
解析：（1）当时，抛物线，化成顶点式为：，
∴当时，抛物线的顶点坐标为.
故答案为：.
（2）∵，
∴抛物线经过顶点，，
∴当时，抛物线与直线相交所得的线段的长度为2，
∴抛物线与直线相交所得的线段的长度不随的取值变化而变.
（3）存在.
∵抛物线，
∴顶点P的坐标为，
由（2）可得：
当为等边三角形时,点P到直线的距离为
∴或，解得：或
23．答案：（1）①12；16
②
（2），最大值为
（3）
解析：（1）①由函数图象可知，x的最大值为12，即的最大值为12，
又∵点E是上一动点，
∴当点E与点C重合时，有最大值，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：12；16；
②∵点A的横坐标为3，
∴此时，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）当时，则，
由（1）②可知，，
∴，
∵，
∴当时，y有最大值；
（3）在中，，
∴，
∴，
同理可得
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点M是一个定点，
∴当时，有最小值，
∴，
∴，
∴，
∴.