广西崇左市天等县高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷

这是一份广西崇左市天等县高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z-iz+1=i，则复数z=( )
A. 1-iB. 1+iC. -1-iD. -1+i
2.已知向量a与b的夹角为45°，|a|= 2，|b|=2，则a⋅(a-2b)=( )
A. 2B. -2C. 4D. -4
3.已知复数z满足(1-i)z=2i(i为虚数单位)，则z-(z-为z的共轭复数)在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.已知向量a=(1,2)，b=(3,0)，若(λa-b)⊥a，则实数λ=( )
A. 0B. 35C. 1D. 3
5.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E,F分别为BC,CD的中点，G为EF中点，则AG=( )
A. 23AB+13ADB. 13AB+23ADC. 34AB+34ADD. 23AB+23AD
6.已知向量a=(m-1,1)，b=(m,-2)，则“m=2”是“a⊥b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若c=2a，bsinB-asinA=12asinC，则sinB等于( )
A. 74B. 34C. 73D. 13
8.已知平面向量a=(-1,1)，b=(3,1)，则a在b上的投影向量为( )
A. (1,0)B. (-3 1010,- 1010)
C. (1,13)D. (-35,-15)
二、多选题：本题共4小题，共21分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,-2)，b=(-2,4)，则下列结论正确的是．
( )
A. a//bB. a与b可以作为一组基底
C. 2a+b=0D. b-a与a方向相同
10.在水流速度10km/h的自西向东的河中，如果要使船以10 3km/h的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为( )
A. 北偏西300B. 北偏西600C. 20km/hD. 30km/h
11.已知复数z=i1-i，则以下说法正确的是
( )
A. 复数z的虚部为i2B. |z|= 22
C. z的共轭复数z=12-i2D. 在复平面内与z对应的点在第二象限
12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csBcsC=b2a-c，S△ABC=3 34，且b= 3，则( )
A. csB=12B. csB= 32C. a+c= 3D. a+c=2 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a与向量b夹角为60°，且|a|=1，b=(3,4)，要使2a+λb与a垂直，则λ= ．
14.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcsC+ccsB=asinA，则A=______．
15.已知▵ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a2+b2-c22a-csinB=a，则B= ．
16.i是虚数单位，复数8-i2+i= ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知z，z1，z2均为复数，在复平面内，z1对应的点的坐标为(3,4)，z2对应的向量坐标为(0,1)，且zz1=-1+7i(其中i为虚数单位)．
(1)求z；
(2)求|(z+i)z2|.
18.(本小题12分)
已知向量a=(1,2)，b=(4,-3)．
(1)若向量c//a，且|c|=2 5，求c的坐标；
(2)若向量a+kb与a-kb互相垂直，求实数k的值．
19.(本小题12分)
如图，在直角△ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点，|AB|=3，|AC|=6．
(1)用AB，AC表示AD和EB；
(2)求向量EB与EC夹角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2-c2=ab．
(1)求C；
(2)若acsB+bsinA=c，c= 3，求a．
21.(本小题12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(a+c)(sinA-sinC)=( 3a-b)sinB.
(1)求角C的值;
(2)若sinAsinB= 34，c=2，求△ABC的面积．
22.(本小题12分)
某海轮以0.5海里/分钟的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离．
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
【解答】
解：∵z-iz+1=i，
∴z-i=zi+i，
∴z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-2+2i2=-1+i，
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的求法与应用，是基础题．
直接利用向量的数量积的求法，化简求解即可．
【解答】
解：向量a与b的夹角为45°，|a|= 2，|b|=2，
则a⋅(a-2b)=a2-2a⋅b=2-2× 2×2× 22=-2．
故选B．
3.【答案】D
【解析】解：∵(1-i)z=2i，
∴z=2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i，
∴z-=-1-i，
∴z-在平面内对应的点(-1,-1)位于第四象限．
故选：D．
根据已知条件，结合复数代数形式的乘除法运算可得，z=-1+i，再结合共轭复数的概念和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念和复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
根据题意，求出λa-b的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系可得(λa-b)⋅a=1×(λ-3)+4λ=5λ-3=0，解可得λ的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，向量a=(1,2)，b=(3,0)，则λa-b=(λ-3,2λ)，
若(λa-b)⊥a，则(λa-b)⋅a=1×(λ-3)+4λ=5λ-3=0，
则λ=35，
故选：B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，属于中档题．
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出AG=xAB+yAD中的x与y的值．
【解答】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
设B(2,0)，则D(0,1)，E(2,12)，F(1,1)，
∴G(32,34)，∴AG=(32,34)，AB=(2,0)，AD=(0,1)，
设AG=xAB+yAD，
则(32,34)=(2x,y)，
即2x=32y=34，
解得x=34，y=34，
∴AG=34AB+34AD．
故选C．
6.【答案】A
【解析】【分析】
由向量垂直的坐标表示求得m值，结合充分必要条件的判定方法得答案．
本题考查平面向量垂直的坐标表示，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．
【解答】
解：∵a=(m-1,1)，b=(m,-2)，
∴a⊥b⇔m(m-1)-2=0．
由m(m-1)-2=0，解得m=-1或m=2．
∴“m=2”是“a⊥b”的充分不必要条件．
故选：A．
7.【答案】A
【解析】解：∵bsinB-asinA=12asinC，
∴由正弦定理可得：b2-a2=12ac，
又∵c=2a，
∴a2+c2-b2=4a2-12ac=3a2，
∴利用余弦定理可得：csB=a2+c2-b22ac=3a22a⋅2a=34，
∴由于0故选：A．
由正弦定理化简已知可得：b2-a2=12ac，又c=2a，可解得a2+c2-b2=3a2，利用余弦定理可得csB，结合范围0本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式的应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】略
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查向量的基本知识，处理向量的坐标表示的基本方法，属于基础题．
解本题时，A选项.利用共线向量定理判断;B选项.利用基底的定义判断;C选项.利用向量的线性运算求解判断;D选项.利用共线向量定理判断解决．
【解答】
解：对于选项A.因为向量a=(1,-2)，b=(-2,4)，所以a=-12b，则a//b，故选项A正确;
对于选项B.由A知：a//b，所以a与b不可以作为一组基底，故选项B错误;
对于选项C.因为向量a=(1,-2)，b=(-2,4)，所以2a+b=0，故选项C正确;
对于选项D.因为向量a=(1,-2)，b=(-2,4)，所以b-a=(-3,6)，则a=-13(b-a)，所以
b-a与a方向相反，故选项D错误．
故本题选：AC．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查了向量在速度，位移的合成中的应用，属于基础题．
利用向量合成画出图可以根据直角三角形的几何性质，求出速度，方向，进而得到正确答案．
【解答】
解：如图：
船从O点出发，沿OC方向行驶，才能垂直到达河的对岸，
OA=10,OB=10 3，则OC= OA2+OB2=20．
cs∠BOC=10 320= 32，所以∠BOC=30°．
即船以20km/h的速度，向北偏西30°方向行驶，才能垂直到达对岸．
故选：AC．
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查了复数的概念和运算，属于容易题．
化简复数z=i1-i=-12+12i，再根据复数的概念与运算判断每个选项．
【解答】
解：复数z=i1-i=-12+12i，则复数z的虚部为12，故A错；
|z|= 22，B正确；
z的共轭复数z=-12-i2，C错误；
z对应的点(-12,12)在第二象限，D正确．
故选：BD
12.【答案】AD
【解析】解：∵csBcsC=b2a-c=sinB2sinA-sinC，整理可得：sinBcsC=2sinAcsB-sinCcsB，
可得sinBcsC+csBsinC=sin(B+C)=sinA=2sinAcsB，
∵A∈(0,π)，∴sinA≠0，可得csB=12，故A正确，B错误；
∵B∈(0,π)，∴B=π3，
∵S△ABC=3 34，且b= 3，
∴3 34=12ac⋅sinB= 34ac，解得ac=3．
由余弦定理可得：3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-9，
解得a+c=2 3，故C错误，D正确．
故选：AD．
由已知等式化边为角求得角B，即可判断A与B；再由三角形面积求得ac，结合余弦定理求得a+c，即可判断C与D．
本题考查三角形的解法，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】-45
【解析】【分析】
由题意利用两个向量数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得λ的值．
本题主要考查两个向量数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．
【解答】
解：向量a与向量b夹角为60°，且|a|=1，b=(3,4)，∴|b|= 9+16=5，
∴a⋅b=1×5×cs60°=52．
要使2a+λb与a垂直，则(2a+λb)⋅a=2a2+λa⋅b=2+52λ=0，
求得λ=-45，
故答案为：-45．
14.【答案】π2
【解析】解：∵bcsC+ccsB=asinA，
∴sinBcsC+sinCcsB=sin(B+C)=sinA=sin2A，
∵sinA≠0，
∴sinA=1，
∴由于A为三角形内角，可得A=π2．
故答案为：π2．
根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A．
本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．
15.【答案】3π4(或135°)
【解析】【分析】
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．
利用余弦和正弦定理，化简求得B的值．
【解答】
解：△ABC中，由a2+b2-c22a-csinB=a，
由余弦定理得bcsC-csinB=a，
由正弦定理得sinBcsC-sinCsinB=sinA，
即sinBcsC-sinCsinB=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
所以-sinCsinB=csBsinC；
又C∈(0,π)，所以sinC≠0，
所以-sinB=csB，
所以tanB=-1；
又B∈(0,π)，
所以B=3π4(或135°)．
故答案为：3π4(或135°)．
16.【答案】3-2i
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算，属于基础题．
根据复数的运算法则即可求出．
【解答】
解：i是虚数单位，
复数8-i2+i=(8-i)(2-i)(2+i)(2-i)=15-10i5=3-2i，
故答案为：3-2i
17.【答案】解：(1)由题意知z1=3+4i，
解方程zz1=-1+7i，得z=-1+7i3+4i，
化简得z=(-1+7i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=25+25i25=1+i．
(2)由题意知z2=i，则(z+i)z2=(1+2i)i=-2+i，
所以|(z+i)z2|=|-2+i|= (-2)2+12= 5．
【解析】(1)由题意写出z1，再解关于z的方程zz1=-1+7i即可；
(2)由题意写出z2，化简(z+i)z2，求模长即可．
本题考查了复数的四则运算，复数与点、向量的一一对应关系，以及复数的模长等知识点，也考查了转化为化归、数形结合的数学方法，考查了数学运算、逻辑推理、直观想象的数学素养．
18.【答案】解：(1)∵向量a=(1,2)，b=(4,-3)，若向量c//a，则c=(λ,2λ)，
再根据|c|=2 5，可得 λ2+(2λ)2=2 5，求得λ=±2，∴c=(2,4)，或c=(-2,-4)．
(2)若向量a+kb与a-kb互相垂直，则(a+kb)⋅(a-kb)=0．
而(a+kb)=(1+4k,2-3k)，(a-kb)=(1-4k,2+3k)，
∴(1+4k,2-3k)⋅(1-4k,2+3k)=1-16k2+4-9k2，求得k=± 55．
【解析】(1)由题意利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得c的坐标．
(2)由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出k的值．
本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)以A为原点，AC、AB所在直线分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(0,3)，C(6,0)，D(2,2)，E(1,1)．
∴AB=(0,3)，AC=(6,0)，AD=(2,2)，EB=(-1,2)，
设AD=mAB+nAC，则(2,2)=(6n,3m)，解得m=23，n=13，
∴AD=23AB+13AC．
设EB=λAB+μAC，则(-1,2)=(6μ,3λ)，解得λ=23，μ=-16，
∴EB=23AB-16AC．
(2)由(1)知，EB=(-1,2)，EC=(5,-1)．
∴cs=EB⋅EC|EB|⋅|EC|=-5-2 5× 26=-7 130130．
故向量EB与EC夹角的余弦值为-7 130130．
【解析】本题考查平面向量的基本定理和数量积运算，遇到规则图形建立坐标系，借助平面向量的坐标运算可简化试题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
(1)以A为原点，AC、AB所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，逐一写出A、B、C、D、E的坐标；设AD=mAB+nAC，EB=λAB+μAC，可列出关于m、n、λ和μ的方程，解之即可；
(2)由(1)知，EB=(-1,2)，EC=(5,-1)，再根据平面向量数量积的坐标运算即可得解．
20.【答案】解：(1)由余弦定理可得csC=a2+b2-c22ab=12，
因为C为三角形的内角，故C=π3；
(2)因为acsB+bsinA=c，
由正弦定理可得，sinAcsB+sinBsinA=sinC=sin(A+B)=sinAcsB+sinBcsA，
所以sinBsinA=sinBcsA，
因为sinB>0，
故sinA=csA即tanA=1，
由A为三角形内角可得A=π4，
因为c= 3，
由正弦定理可得，asinA=csinC，
所以a 22= 3 32，即a= 2．
【解析】(1)由已知结合余弦定理可求csC，进而可求C；
(2)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求A，然后结合正弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理、余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．
21.【答案】解：(1)∵(a+c)(sin A-sin C)=( 3a-b)sin B，
∴由正弦定理可得：(a+c)(a-c)=( 3a-b)b，整理可得：a2+b2-c2= 3ab，
∴cs C=a2+b2-c22ab= 3ab2ab= 32，
∵0∴C=π6．
(2)∵C=π6，c=2，可得asin A=bsin B=212=4，
∴sin A=a4，sin B=b4，
又∵sin Asin B=a4⋅b4= 34，∴ab=4 3，
∴SΔABC=12absinC=12×4 3×12= 3．
【解析】本题考查运用三角形的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，关键在于熟练地运用其公式，合理地选择进行边角互化，属于基础题．
(1)由已知条件和正弦定理进行边角互化得a2+b2-c2= 3ab，再根据余弦定理可求得值．
(2)由(1)以及sin Asin B= 34，c=2，利用正弦定理得ab=4 3，然后运用三角形的面积公式可求得其值．
22.【答案】解：如图，在△ABP中，AB=0.5×40=20，∠APB=30°，∠BAP=120°，
根据正弦定理，ABsin∠BPA=BPsin∠BAP，得：2012=BP 32，
所以：BP=20 3，
在△BPC中，BC=0.5×80=40，
由已知，∠PBC=90°，
所以PC= BP2+BC2=20 7，
所以P、C间的距离为20 7海里．
【解析】由已知利用正弦定理可求BP长．由题意可得∠PBC=90°，算出BC的长，再利用勾股定理算出PC的长，即可算出P、C两地间的距离．
本题给出实际应用问题，求两地之间的距离，着重考查了直角三角形中三角函数的定义和解三角形的实际应用等知识，属于中档题．