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浙江省温州市2024届高三下学期3月第二次适应性考试 数学
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这是一份浙江省温州市2024届高三下学期3月第二次适应性考试 数学，共15页。试卷主要包含了1万元）等内容，欢迎下载使用。
2024.3
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上．将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破．
选择题部分（共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．在正三棱台中，下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．D．
4．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（ ）
A．B．64C．D．32
6．已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．若关于的方程的整数根有且仅有两个，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于对称B．的图象关于对称
C．在单调递增D．有最小值
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上一点，若角的终边与角的终边关于直线对称，则（ ）
A．B．
C．D．角的终边在第一象限
10．已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（ ）
A．10B．2C．D．
11．已知半径为球与棱长为1的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为，则（ ）
A．有最大值，但无最小值B．最大时，球心在正四面体外
C．最大时，同时取到最大值D．有最小值，但无最大值
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．
12．平面向量满足，，，则______．
13．如图，在等腰梯形中，，点是的中点．现将沿翻折到，将沿翻折到，使得二面角等于，等于，则直线与平面所成角的余弦值等于______．
第13题图
14．已知分别是双曲线与抛物线的公共点和公共焦点，直线倾斜角为，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）记的内角所对的边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求的面积．
16．（本小题满分15分）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上一动点（不同于），记分别为直线的斜率，且满足．
（1）求点的坐标（用表示）；
（2）求的取值范围．
17．（本小题满分15分）红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据：
（1）用模拟生产食品淀粉年收益与年投入资金的关系，求出回归方程；
（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元）
附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
②
③
18．（本小题满分17分）数列满足：是等比数列，，且
．
（1）求；
（2）求集合中所有元素的和；
（3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由．
19．（本小题满分17分）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：
第19题图
①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；
则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．
（1）求抛物线在原点的曲率圆的方程；
（2）求曲线的曲率半径的最小值；
（3）若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．
温州市普通高中2024届高三第二次适应性考试
数学试题参考答案及评分标准
2024.3
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
三、填空题：
12．；13．；14．或
四、解答题：
15．解：①由 得（正弦定理2分）
得，或（每个答案1分）
只写一个答案扣1分
由（正切公式给2分）
（也给2分）（对或进行讨论也给2分）
得，又
即 ，即
由①得，（求出或给3分）
又即得
又（求出其中一个给1分）
（公式和答案各给1分）
②由得
（切化弦就给2分）
即 ，即
由①得，（求出或给3分）
又即得
又（求出其中一个给1分）
（公式和答案各给1分）
16．解：（1）由题设得A、B两点关于原点对称，设，则，
且，两式相减得，所以，．
联立，，整理得，
解得．
用代替上述坐标中的k，可得或
1．有对称坐标给1分
2．点差思想2分，两点斜率公式1分
3．写出给1分，到这里给4分
4．直线与椭圆方程联立求得坐标给2分，只写一个坐标给1分
5．P坐标正确给2分，一个正确给1分
（2）由（1）得，
当且仅当时等号成立．
当时，有最小值4，但此时斜率不存在，故．
1．弦长公式算是2分，有公式但代入错误给1分
2．化简正确给2分
3．算出最大值是5的最后给6分，算出正确结果给7分。
17．（1）分值为6分
说明1：四个数字中有一个正确、有分数结构就给2分
回归方程为：
说明2：（1）学生出现约等于5也给满分
（2）只能计算正确才给2分
（2）分值为9分
2024年设该企业投入食品淀粉生产x万元，预计收益（万元）
说明3：有列式（错误）给2分
，
，得
说明4：
（1）有导数给2分
（2）只要出现50就给3分
其在上递增，上递减
说明5：第一问的值求错，第二问有列函数式给2分，有求导再给2分（不管结果对错）
18．解：（1），
又，，解得：
的公比，
又，
作差得：
（有做差的过程，不管式子是否正确，均给1分）
将代入，化简：，
得：（结果正确，给1分）
是公差的等差数列，
说明：1、通项公式均正确，有过程，满分；
2、只有通项公式，没有任何过程，给答案分2分；
3、踩点给分：或（1分）
或（1分）
的公比（1分）（1分）
注意：如果学生有写出，
漏了不扣分，到处，给4分！
又，
作差得：
（有作差的动作就给1分，不管运算对错）
（1分，化简结果错不给分）
（1分）
（2）记集合的全体元素的和为，
集合的所有元素的和为，
集合的所有元素的和为，
集合的所有元素的和为，则有
对于数列：
当时，是数列中的项
当时，不是数列中的项
，其中
即（其中表示不超过实数的最大整数）
写成：或也对
说明：1、求出数列的前项和（1分）
求出数列的前项和（1分），化简错，也给
2、有指出不是数列的项或是数列的项（1分）
3、有出现集合中所有元素的和为
（即体现学生知道数列和集合概念的不同，
还要减去数列与的公共项，表达错误也给1分）
4、答案正确再给1分（表达正误在这里体现）。
（3）①解：当时，是的正整数倍，
故一定不是数列中的项；
当时，，不是数列中的项；
当时，，是数列中的项；
综上，数列是“和稳定数列”，；（3分）
说明：1、判断出数列是“和稳定数列”（1分）；
2、写出是“和稳定数列”的的一个值：如（1分）；
写出是“和稳定数列”的的所有值
并说明理由（1分）
（3）②解：数列不是“和稳定数列”，理由如下：
不妨设：，则，且
故不是数列中的项。
方法二：反证法：若存在互不相等的正整数，
使得是数列中的项。不妨设：，
易知，设，
即，两边除以得：，
该式左边是奇数，右边是偶数，显然不成立，
故假设不成立，数列不是“和稳定数列”。
说明：1、判断出数列是“和稳定数列”（1分）；
2、写出是“和稳定数列”的的一个值：如（1分）；
写出是“和稳定数列”的j的所有值
并说明理由（1分）
（直接写出是“和稳定数列”的的所有值并说明理由2分）
3、判断出数列不是“和稳定数列”（1分）；
4、证明数列不是“和稳定数列”（1分）
19．解：（1）记，设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径．
则，有求导就给1分
故，给1分
即
所以抛物线在原点的曲率圆的方程为
（2）设曲线在的曲率半径为．则
法一：，两等式各1分
由知，
所以曲率半径一般式1分
故曲线在点处的曲率半径求导代入，得出该曲线曲率半径1分
所以，
基本不等式求解最值1分
故，曲线在点处的曲率半径．取等条件1分
法二： 两等式各1分
所以，而，
所以解方程，得出该曲线曲率半径2分
故，曲线在点处的曲率半径．取等条件1分
（3）法一：函数的图象在处的曲率半径曲率半径表达式正确1分
故
由题意知： 令，
则有，换元1分
所以，即，故．化简2分
又
所以．基本不等式求最值2分
法二：函数的图象在处的曲率半径
有曲率半径表达式正确1分
令，则有，换元1分
则，故 化简2分
所以有
令，则，即，基本不等式求最值2分
故，所以，即
法三：函数的图象在处的曲率半径．曲率半径表达式正确1分
故
设，则
所以在上单调递减，在上单调递增
故有．说明的范围2分
所以
要证，即证，
即证 将转化为单变量的函数不等式问题1分
下证：当时，有
设函数（其中），
则
故单调递增， 证明函数不等式问题2分
故，所以．
法四：函数的图象在处的曲率半径 曲率半径表达式正确1分
有
设．
则有
故在上单调递减，在上单调递增．
故有 说明的范围2分
所以
要证，即证，
即证．将转化为单变量的函数不等式问题1分
下证：当时，有
设函数（其中），
则
故单调递增，故 证明函数不等式问题2分
故，所以．10
20
30
40
50
60
70
80
12.8
16.5
19
20.9
21.5
21.9
23
25.4
161
29
20400
109
603
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
B
A
A
C
A
题号
9
10
11
选项
ACD
BD
ABD
2024.3
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上．将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破．
选择题部分（共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．在正三棱台中，下列结论正确的是（ ）
A．B．平面
C．D．
4．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（ ）
A．B．64C．D．32
6．已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．若关于的方程的整数根有且仅有两个，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于对称B．的图象关于对称
C．在单调递增D．有最小值
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上一点，若角的终边与角的终边关于直线对称，则（ ）
A．B．
C．D．角的终边在第一象限
10．已知圆与圆相交于两点．若，则实数的值可以是（ ）
A．10B．2C．D．
11．已知半径为球与棱长为1的正四面体的三个侧面同时相切，切点在三个侧面三角形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为，则（ ）
A．有最大值，但无最小值B．最大时，球心在正四面体外
C．最大时，同时取到最大值D．有最小值，但无最大值
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．
12．平面向量满足，，，则______．
13．如图，在等腰梯形中，，点是的中点．现将沿翻折到，将沿翻折到，使得二面角等于，等于，则直线与平面所成角的余弦值等于______．
第13题图
14．已知分别是双曲线与抛物线的公共点和公共焦点，直线倾斜角为，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）记的内角所对的边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求的面积．
16．（本小题满分15分）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上一动点（不同于），记分别为直线的斜率，且满足．
（1）求点的坐标（用表示）；
（2）求的取值范围．
17．（本小题满分15分）红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据：
（1）用模拟生产食品淀粉年收益与年投入资金的关系，求出回归方程；
（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的．2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值．（精确到0.1万元）
附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
②
③
18．（本小题满分17分）数列满足：是等比数列，，且
．
（1）求；
（2）求集合中所有元素的和；
（3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由．
19．（本小题满分17分）如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：
第19题图
①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；
则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．
（1）求抛物线在原点的曲率圆的方程；
（2）求曲线的曲率半径的最小值；
（3）若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．
温州市普通高中2024届高三第二次适应性考试
数学试题参考答案及评分标准
2024.3
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
三、填空题：
12．；13．；14．或
四、解答题：
15．解：①由 得（正弦定理2分）
得，或（每个答案1分）
只写一个答案扣1分
由（正切公式给2分）
（也给2分）（对或进行讨论也给2分）
得，又
即 ，即
由①得，（求出或给3分）
又即得
又（求出其中一个给1分）
（公式和答案各给1分）
②由得
（切化弦就给2分）
即 ，即
由①得，（求出或给3分）
又即得
又（求出其中一个给1分）
（公式和答案各给1分）
16．解：（1）由题设得A、B两点关于原点对称，设，则，
且，两式相减得，所以，．
联立，，整理得，
解得．
用代替上述坐标中的k，可得或
1．有对称坐标给1分
2．点差思想2分，两点斜率公式1分
3．写出给1分，到这里给4分
4．直线与椭圆方程联立求得坐标给2分，只写一个坐标给1分
5．P坐标正确给2分，一个正确给1分
（2）由（1）得，
当且仅当时等号成立．
当时，有最小值4，但此时斜率不存在，故．
1．弦长公式算是2分，有公式但代入错误给1分
2．化简正确给2分
3．算出最大值是5的最后给6分，算出正确结果给7分。
17．（1）分值为6分
说明1：四个数字中有一个正确、有分数结构就给2分
回归方程为：
说明2：（1）学生出现约等于5也给满分
（2）只能计算正确才给2分
（2）分值为9分
2024年设该企业投入食品淀粉生产x万元，预计收益（万元）
说明3：有列式（错误）给2分
，
，得
说明4：
（1）有导数给2分
（2）只要出现50就给3分
其在上递增，上递减
说明5：第一问的值求错，第二问有列函数式给2分，有求导再给2分（不管结果对错）
18．解：（1），
又，，解得：
的公比，
又，
作差得：
（有做差的过程，不管式子是否正确，均给1分）
将代入，化简：，
得：（结果正确，给1分）
是公差的等差数列，
说明：1、通项公式均正确，有过程，满分；
2、只有通项公式，没有任何过程，给答案分2分；
3、踩点给分：或（1分）
或（1分）
的公比（1分）（1分）
注意：如果学生有写出，
漏了不扣分，到处，给4分！
又，
作差得：
（有作差的动作就给1分，不管运算对错）
（1分，化简结果错不给分）
（1分）
（2）记集合的全体元素的和为，
集合的所有元素的和为，
集合的所有元素的和为，
集合的所有元素的和为，则有
对于数列：
当时，是数列中的项
当时，不是数列中的项
，其中
即（其中表示不超过实数的最大整数）
写成：或也对
说明：1、求出数列的前项和（1分）
求出数列的前项和（1分），化简错，也给
2、有指出不是数列的项或是数列的项（1分）
3、有出现集合中所有元素的和为
（即体现学生知道数列和集合概念的不同，
还要减去数列与的公共项，表达错误也给1分）
4、答案正确再给1分（表达正误在这里体现）。
（3）①解：当时，是的正整数倍，
故一定不是数列中的项；
当时，，不是数列中的项；
当时，，是数列中的项；
综上，数列是“和稳定数列”，；（3分）
说明：1、判断出数列是“和稳定数列”（1分）；
2、写出是“和稳定数列”的的一个值：如（1分）；
写出是“和稳定数列”的的所有值
并说明理由（1分）
（3）②解：数列不是“和稳定数列”，理由如下：
不妨设：，则，且
故不是数列中的项。
方法二：反证法：若存在互不相等的正整数，
使得是数列中的项。不妨设：，
易知，设，
即，两边除以得：，
该式左边是奇数，右边是偶数，显然不成立，
故假设不成立，数列不是“和稳定数列”。
说明：1、判断出数列是“和稳定数列”（1分）；
2、写出是“和稳定数列”的的一个值：如（1分）；
写出是“和稳定数列”的j的所有值
并说明理由（1分）
（直接写出是“和稳定数列”的的所有值并说明理由2分）
3、判断出数列不是“和稳定数列”（1分）；
4、证明数列不是“和稳定数列”（1分）
19．解：（1）记，设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径．
则，有求导就给1分
故，给1分
即
所以抛物线在原点的曲率圆的方程为
（2）设曲线在的曲率半径为．则
法一：，两等式各1分
由知，
所以曲率半径一般式1分
故曲线在点处的曲率半径求导代入，得出该曲线曲率半径1分
所以，
基本不等式求解最值1分
故，曲线在点处的曲率半径．取等条件1分
法二： 两等式各1分
所以，而，
所以解方程，得出该曲线曲率半径2分
故，曲线在点处的曲率半径．取等条件1分
（3）法一：函数的图象在处的曲率半径曲率半径表达式正确1分
故
由题意知： 令，
则有，换元1分
所以，即，故．化简2分
又
所以．基本不等式求最值2分
法二：函数的图象在处的曲率半径
有曲率半径表达式正确1分
令，则有，换元1分
则，故 化简2分
所以有
令，则，即，基本不等式求最值2分
故，所以，即
法三：函数的图象在处的曲率半径．曲率半径表达式正确1分
故
设，则
所以在上单调递减，在上单调递增
故有．说明的范围2分
所以
要证，即证，
即证 将转化为单变量的函数不等式问题1分
下证：当时，有
设函数（其中），
则
故单调递增， 证明函数不等式问题2分
故，所以．
法四：函数的图象在处的曲率半径 曲率半径表达式正确1分
有
设．
则有
故在上单调递减，在上单调递增．
故有 说明的范围2分
所以
要证，即证，
即证．将转化为单变量的函数不等式问题1分
下证：当时，有
设函数（其中），
则
故单调递增，故 证明函数不等式问题2分
故，所以．10
20
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40
50
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70
80
12.8
16.5
19
20.9
21.5
21.9
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25.4
161
29
20400
109
603
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
B
A
A
C
A
题号
9
10
11
选项
ACD
BD
ABD
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