专题十一 二次函数——2024届中考数学一轮复习进阶训练

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A.B.C.D.
2.如图，是等腰直角三角形，，，点D为边上一点，过点D作，，垂足分别为E，F，点D从点A出发沿运动至点B.设，，四边形的面积为S，在运动过程中，下列说法正确的是( )
A.y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值
B.y与x满足一次函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值
C.y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最大值
D.y与x满足反比例函数关系，S与x满足二次函数关系，且S存在最小值
3.函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是( )
A.B.C.D.
4.如图，抛物线的对称轴是直线，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中正确的是( )
A.B.
C.D.若m为任意实数，则
5.若抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是( )
A.B.C.D.
6.如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，下列说法正确的是( )
A.小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B.小球从飞出到落地要用4s
C.小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
D.小球的飞行高度可以达到25m
7.如图，在中，，，，点P，Q同时从A点出发，分别沿、运动，速度都是，直到两点都到达点C即停止运动.设点P，Q运动的时间为，的面积为，则S与t的函数图象大致是( )
A.B.C.D.
8.二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当时，与其对应的函数值.有下列结论：
①；
②和3是关于x的方程的两个根；
③.其中，正确结论的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
9.分式方程的解为非负数，且二次函数的图象在x轴上方，则符合条件的所有整数k的和为_______.
10.若二次函数（a，m，b均为常数，）的图像与x轴两个交点的坐标是和，则方程的解是______.
11.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C，若抛物线上存在点P，使得的面积为1，则点P的坐标是_____________.
12.抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边）.与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上找到一点Q，使得Q点到A点与C点的距离之和最短，则点Q的坐标是__________.
13.综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分.建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系.
（1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
根据上述数据，求出y关于x的关系式；
（2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长；
（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足.
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作.
问题解决：
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x（m）的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______.
14.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）如图，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线于点G，求面积的最大值；
（3）如图，点M在线段上（点M不与点O重合），点M、N关于原点对称，射线、分别与抛物线交于P、Q两点，连接、，若的面积为，四边形的面积为，求的值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为.
所以将抛物线先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为，即.
故选：C.
2.答案：A
解析：是等腰直角三角形，，
，
，，
和是等腰直角三角形，四边形是矩形，
，，
，
即，
y与x满足一次函数关系，
，最大值为1，
S与x满足二次函数关系，且S存在最大值.
故选：A.
3.答案：B
解析：由解析式可得：抛物线对称轴；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得，则，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上，而不是交于y轴正半轴，故选项A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得，则，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故选项B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得，则，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，而不是y轴的负半轴，本图象不符合题意，故选项C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得，则，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，而不是开口向上，本图象不符合同意，故选项D错误.
故选B.
4.答案：D
解析：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与y轴交点在x轴上方，
，
，故A选项错误；
仅有，
和的值均不能确定，故无法判断B、C选项；
时y取最小值，
，
即，故D选项正确，
故选：D.
5.答案：B
解析：，
对称轴为，且，抛物线开口向上，
，，三点到对称轴的距离分别为4，1，3，
，
故选：B.
6.答案：B
解析：的两根，，即时所用的时间，
小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误；
，
对称轴为直线，最大值为20，故D错误；
时，，此时小球继续下降，故C错误；
当时，，，
，
小球从飞出到落地要用4s，故B正确.
故选：B.
7.答案：D
解析：，，，
由勾股定理得，，
，
，，
，的高，
当点Q到达点C时，即当时，点P在AB边上，
分三种情况讨论：
①当点P在AB边，点Q没有到点C处，即时，
；
②当点P在AB边，点Q到达点C处，即时，
，
的高，
；
③当点Q在点C，点P在BC边，即时，
，，，
，，
，
综上根据函数解析式可得图象，
故选D.
8.答案：B
解析：观察表格可知当，时，函数值，
对称轴.
当时，，
抛物线的开口方向向上，
.
当，，可得.
，
，
.
可知①不正确；
当时，.
设另一个根是x，则，
解得，
所以和3是关于x的方程两个根.
则②正确；
将，代入关系式，得，
则，
函数关系式为.
当时，，
即，
解得.
当时，，当时，，
，
，
即.
所以③不正确.
正确的个数有1个.
故选：B.
9.答案：
解析：由，解得：，
又且，
解得：且，
又二次函数的图象在x轴上方，
，解得：，
符合条件的k的取值范围且，
符合条件的所有整数k为：，，，
则它们的和为，
故答案为：.
10.答案：，
解析：抛物线与轴的两交点为和，
方程的解为，，
方程中，或，
方程的解为，.
故答案为：，.
11.答案：，
解析：过点P作轴，设点P的坐标为，
，
抛物线与x轴交于A，B两点，
令，，
，，
，，
，
的面积为1，
，
解得：，
点P的坐标为：，，
故答案为：，.
12.答案：
解析：如图，令，则，
即，
解得：，，
，，
令则，
，
而抛物线的对称轴为直线，
连接交对称轴于，
则此时最短，
设为
解得：，
∴直线为，
当时，.
.
故答案为：.
13.答案：（1）
（2）动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长为2米
（3）①运动员甲不能成功完成此动作
②
解析：（1）设，代入，，得
，
解得：，
y关于x的关系式为.
（2）当时，解得：，
动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长为2米.
（3）①
，
当时，
，
运动员甲不能成功完成此动作.
②.
14.答案：（1），
（2）
（3）
解析：（1）当时：，
，
当时，，
解得：，，
，，
综上：，，.
（2），，
，即为等腰直角三角形，
轴，
，
，
为等腰直角三角形，
则取取最大值时，面积最大.
设直线所在的直线函数表达式为：，
将，代入得：，
解得：，
直线所在的直线函数表达式为：，
设点E横坐标为a，
点E在抛物线上，
，
轴，
点G纵坐标为：，
将代入解得：，
，
当时，取最大值.
在中，，解得：，
面积的最大值.
（3）设，则，
，
，
设所在直线函数表达式为：，
将点，代入得：，解得：，
所在直线函数表达式为：，
联立所在直线函数表达式和二次函数表达式得：，
整理得：，
点P的横坐标为：，
将代入得：，
点P纵坐标为：，
设所在直线函数表达式为：，
将点，代入得：，解得：，
所在直线函数表达式为：，
联立所在直线函数表达式和二次函数表达式得：，
整理得：，
点P的横坐标为：，
将代入得：，
点Q在第三象限，
点Q到x轴距离为：，
，
.x
…
0
1
2
…
…
t
m
n
…
水平距离x（m）
0
1
1.5
竖直高度y（m）
10
10
6.25