2024年四川省广安市华蓥市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年四川省广安市华蓥市中考数学一模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−7的倒数是( )
A. 7B. 17C. −7D. −17
2.下列计算正确的是( )
A. (−3x)2=−9x2B. 7x+5x=12x2
C. (x−3)2=x2−6x+9D. (x−2y)(x+2y)=x2+4y2
3.2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式.目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次.将数据3000亿用科学记数法表示为( )
A. 3×108B. 3×109C. 3×1010D. 3×1011
4.某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是( )
A. B. C. D.
5.下列命题中，是真命题的是( )
A. 平行四边形是轴对称图形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D. 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形
6.一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为( )
A. 3和5B. 2和5C. 2和3D. 3和2
7.在平面直角坐标系中，将函数y=x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为( )
A. y=−x+1B. y=x+1C. y=−x−1D. y=x−1
8.如图，▱ABCD的面积为12，AC=BD=6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是( )
A. 1B. 32C. 32D. 3
9.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4 3，则S阴影=( )
A. 2πB. 83πC. 43πD. 38π
10.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=−2.下列说法：①abc<0；②c−3a>0；③4a2−2ab≥at(at+b)(t为全体实数)；④若图象上存在点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，当mA. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：|−2|= ．
12.函数y=2 x−1的自变量x的取值范围是______．
13.在平面直角坐标系xOy中，点P(5,−1)关于y轴对称的点的坐标是______．
14.一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为______厘米．
15.对于非零实数a，b，规定a⊕b=1a−1b.若(2x−1)⊕2=1，则x的值为______．
16.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”.这个三角形给出了(a+b)n(n=1,2,3,4⋯)的展开式的系数规律(按n的次数由大到小的顺)：

请依据上述规律，写(x−2x)2024展开式中含x2022项的系数是______．
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：2sin30°−38+(2−π)0−12024．
18.(本小题6分)
先化简，再求值：x2−2x+1x2−1⋅(1+1x)，其中x=(12)−1．
19.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE=∠ADF．
求证：(1)AE=CF；
(2)BE/​/DF．
20.(本小题6分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=4x的图象交于点A(m,4)，与x轴交于点B，与y轴交于点C(0,3)．
(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)已知P为反比例函数y=4x图象上的一点，S△OBP=2S△OAC，求点P的坐标．
21.(本小题6分)
某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组(每个学生只能参加一个活动小组)：A.音乐，B.美术，C.体育，D.阅读，E.人工智能.为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
(1)①补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数)；
②扇形统计图中的圆心角α的度数为______．
(2)若该校有3600名学生，估计该校参加E组(人工智能)的学生人数；
(3)该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
22.(本小题8分)
某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果.某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
(1)求a，b的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克.实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(千克)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)在(2)的条件下，超市在获得的利润y(元)取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率(利润率=利润本金)不低于16%，求m的最大值．
23.(本小题8分)
莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱.如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？(结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cs26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50≈1.2)
24.(本小题8分)
参考示意图，在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．(每个4×4的方格内限画一种)
要求：
(1)5个小正方形必须相连(有公共边或公共顶点视为相连)
(2)将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．(若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案)
25.(本小题9分)
如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连接AD，AE，且AD=AE，CA=CE．
(1)求证：直线AE是⊙O是的切线；
(2)若sinE=23，⊙O的半径为3，求AD的长．
26.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
(3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
【解答】
解：−7的倒数是−17，
故选：D．
2.【答案】C
【解析】解：∵(−3x)2=9x2，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵7x+5x=12x，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵(x−3)2=x2−6x+9，
∴C选项的运算正确，符合题意；
∵(x−2y)(x+2y)=x2−4y2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：C．
利用幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式对每个选项进行主要判断即可得出结论．
本题主要考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握上述性质与公式是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：3000亿=3000×108=3×1011，
故选：D．
运用科学记数法进行变形、求解．
此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
4.【答案】D
【解析】解：从左面看去，一共两列，左边有1个小正方形，右边有2个小正方形，左视图是：
．
故选：D．
先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从左面看去，一共两列，左边有1个小正方形，右边有2个小正方形，结合四个选项选出答案．
本题考查几何体的三视图，掌握左视图是从左面看到的图形是关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、在△ABC中，当∠A：∠B：∠C=3：4：5时，△ABC不是直角三角形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
根据轴对称图形的概念、菱形的判定、线段垂直平分线的性质、直角三角形的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6.【答案】C
【解析】解：数据从小到大排列为：2，2，3，4，5，
所以中位数为3；
数据2出现了2次，最多，
所以这组数据的众数为2．
故选：C．
先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．
本题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：在函数y=x的图象上取点A(1,1)，
绕原点逆时针方向旋转90°后得到对应的点的坐标A′(−1,1)，
所以旋转后的直线的解析式为y=−x，
再向上平移1个单位长度，得到y=−x+1．
故选：A．
找出y=x上一个点坐标，进而旋转90°后对应点的坐标，利用待定系数法求出旋转后一次函数解析式，再根据上加下减的平移规则即可求得直线的函数表达式为y=−x+1．
此题考查了一次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移的规则是解本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC=BD，
∴OD=OC，
∵DF//AC，OD/​/CF，
∴四边形OCFD为菱形，
∴点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，
∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．
过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC于P，则GP//MD，
∵矩形ABCD的面积为12，AC=6，
∴2×12AC⋅DM=12，
即2×12×6⋅DM=12，
解得DM=2，
∵G为CD的中点，
∴GP为△DMC的中位线，
∴GP=12DM=1，
故PG的最小值为1．
故选：A．
先判定四边形OCFD为菱形，找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC于P，则GP//MD，利用平行四边形的面积求解DM的长，再利用三角形的中位线定理可求解PG的长，进而可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线等知识的综合运用，找准PG有最小值时的P点位置是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过含30°角的直角三角形和勾股定理得到相关线段的长度是解答本题的关键．根据垂径定理求得CE=ED=2 3，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过含30°角的直角三角形和勾股定理求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB−S△DOE+S△BEC求解即可．
【解答】
解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2 3，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OD=2OE，
由勾股定理得出OE=2，
∴OD=2OE=4，
∴BE=2，
∴S阴影=S扇形ODB−S△DOE+S△BEC=60π×OD2360−12OE×DE+12BE⋅CE
=8π3−2 3+2 3=8π3．
故选B．
10.【答案】C
【解析】解：①由图象开口向下，可知：a<0；
又∵对称轴为直线x=−2，
∴−b2a=−2，整理得：b=4a，即a、b同号．
由图象可知，当x=4时，y<0，
又∵对称轴为直线x=−2，可知：当x=0时，y<0；
即c<0；
∴abc<0，故①正确．
②由①得：b=4a．
代入原解析式得：y=ax2+4ax+c；
由图象可知，当x=−1时，y>0．
即：a×(−1)2+4a×(−1)+c>0，
整理得：c−3a>0，故②正确．
③由①得：b=4a．
不等式4a2−2ab≥at(at+b)，
等价于4a2−2a⋅4a≥at(at+4a)，
整理得：(t+2)2≤0，
∵t为全体实数，
∴(t+2)2≥0，故③错误．
④由题意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c−y1=0的两个根，
从图象上看，因二次函数有对称性，x1、x2关于x=−2对称，
∴当且仅当m<−2即当−5故本题选：C．
①分别判断a、b、c的符号，再判断abc的符号；
②由对称轴为直线x=−2，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断c−3a的符号．
③用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质(t为全体实数)判断．
④利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断．
本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识．需综合利用二次函数的性质，不等式的性质解题．
11.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了绝对值的定义，解题关键是掌握绝对值的意义，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号即可．
【解答】
解：因为−2<0，
所以|−2|=2．
故答案为：2．
12.【答案】x>1
【解析】解：根据题意得到：x−1>0，
解得x>1．
故答案为：x>1．
一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
本题考查了函数式有意义的x的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
13.【答案】(−5,−1)
【解析】解：∵关于y轴对称，
∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点P(5,−1)关于y轴对称的点的坐标是(−5,−1)．
故答案为：(−5,−1)．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．
本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
14.【答案】26
【解析】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，
由题意可得：OC⊥AB，AC=12AB=10(厘米)，
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2=102+(x−2)2，
∴x=26，
∴镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解．
15.【答案】56
【解析】解：由题意得：
12x−1−12=1，
解得：x=56．
经检验，x=56是原方程的解，
∴x=56．
故答案为：56．
利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．
本题主要考查了解分式方程，本题是新定义型题目，准确理解新规定并熟练应用是解题的关键．
16.【答案】−4048
【解析】解：由题意得，(x−2x)2024=x2024−2024x2023⋅2x+…=x2024−4048x2022+…，
可知，(x−2x)2024展开式中的第二项为含x2022项，
∴(x−2x)2024展开式中含x2022项的系数是−4048．
故答案为：−4048．
首先确定x2022是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
本题考查了规律型：图形的变化类，杨辉三角，解题的关键是灵活运用杨辉三角的规律解决问题．
17.【答案】解：2sin30°−38+(2−π)0−12024
=2×12−2+1−1
=1−2+1−1
=−1．
【解析】根据特殊角的三角函数值、立方根、零指数幂、有理数的乘方运算法则分别计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、立方根、零指数幂、有理数的乘方运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：原式=(x−1)2(x+1)(x−1)⋅x+1x
=x−1x+1⋅x+1x
=x−1x
=1−1x，
∵x=(12)−1=2，
∴原式=1−12=12．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值及负整数指数幂，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠BCE，
在△ADF与△CBE中，
∠ ADF=∠CBEAD=CB∠DAF=∠BCE，
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
∴AF=CE，
∴AF−EF=CE−EF，
∴AE=CF；
(2)∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD=∠CEB，
∴BE/​/DF．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AD//BC，AD=BC，求得∠DAF=∠BCE，根据全等三角形的性质得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得到∠AFD=∠CEB，根据平行线的判定定理即可得到BE/​/DF．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵点A(m,4)在反比例函数y=4x的图象上，
∴4=4m，
∴m=1，
∴A(1,4)，
又∵点A(1,4)、C(0,3)都在一次函数y=kx+b的图象上，
∴k+b=4b=3，
解得k=1b=3，
∴一次函数的解析式为y=x+3；
(2)对于y=x+3，当y=0时，x=−3，
∴OB=3，
∵C(0,3)，
∴OC=3，
过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，
∵S△OBP=2S△OAC，
∴12OB⋅PD=2×12OC⋅AH，即12×3×PD=2×12×3×1，
解得PD=2，
∴点P的纵坐标为2或−2，
将y=2或−2代入y=4x得x=2或−2，
∴点P(2,2)或(−2,−2)．
【解析】(1)把A(m,4)代入反比例函数解析式求得m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
(2)过点A作AH⊥y轴于点H，过点P作PD⊥x轴于点D，由S△OBP=2S△OAC得到12OB⋅PD=2×12OC⋅AH，即12×3×PD=2×12×3×1，解得PD=2，即可求得点P的纵坐标为2或−2，进一步求得点P的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意知，被调查的总人数为30÷10%=300(人)，
所以D小组人数为300−(40+30+70+60)=100(人)，
①补全图形如下：
②120°；
(2)3600×60300=720(名)，
答：估计该校参加E组(人工智能)的学生有720名；
(3)画树状图为：
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为812=23．
【解析】(1)①见答案；
②扇形统计图中的圆心角α的度数为360°×100300=120°，
故答案为：120°；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)①先根据B小组人数及其所对应的百分比可得被调查的总人数，再根据5个兴趣小组人数之和等于总人数求出D小组人数，从而补全图形；
②用360°乘以D小组人数占被调查人数的比例即可；
(2)用总人数乘以样本中E小组人数占被调查人数的比例即可；
(3)画树状图列举出所有等可能结果，再从树状图中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)由题可列15a+5b=30520a+10b=470，
解得a=14b=19．
(2)由题可得当30≤x≤60时，
y=(20−14)x+(23−19)(100−x)=2x+400，
当60y=(20−3−14)(x−60)+(20−14)×60+(23−19)(100−x)=−x+580，
答：超市当天售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(千克)之间的函数关系为：y=2x+400(30≤x≤60)−x+580(60(3)∵y=2x+400(30≤x≤60)−x+580(60∴当x=60时，y的值最大，即y=520，
由题可列(20−3m−14)×60+40(23−m−19)14×60+19×40×100%≥16%，
解得m≤1.2，
答：m的最大值为1.2．
【解析】(1)根据信息列二元一次方程得出答案；
(2)分类讨论，分别求出30≤x≤60和60(3求出当x为多少时，y值最大，利用利润率公式得到关于m的不等式，解出m的最大值．
本题以应用题为背景考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解题的关键是明确题意，根据公式正确列出关系式．本题难度适中，常为期末考试题．
23.【答案】解：过B作BT⊥ON于T，过A作AK⊥ON于K，如图：
在Rt△OBT中，
OT=OB⋅cs26°=3×0.9=2.7(m)，
∵∠M=∠MNT=∠BTN=90°，
∴四边形BMNT是矩形，
∴TN=BM=0.9m，
∴ON=OT+TN=3.6(m)，
在Rt△AOK中，
OK=OA⋅cs50°=3×0.64=1.92(m)，
∴KN=ON−OK=3.6−1.92≈1.7(m)，
∴座板距地面的最大高度为1.7m．
【解析】过B作BT⊥ON于T，过A作AK⊥ON于K，在Rt△OBT中，求出OT=OB⋅cs26°=2.7(m)，可得ON=OT+TN=3.6(m)，在Rt△AOK中，得OK=OA⋅cs50°=1.92(m)，故KN=ON−OK=1.68(m)，从而可知座板距地面的最大高度精确到0.1m为1.7m．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
24.【答案】解：如图．
．
【解析】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
利用轴对称图形的性质，用5个小正方形组成一个轴对称图形即可．
25.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径，
∵AD=AE，
∴∠E=∠D，
∵∠B=∠D，
∴∠E=∠B，
∵CA=CE，
∴∠E=∠CAE，
∴∠CAE=∠B，
∴∠OAE=∠CAE+∠CAB=∠B+∠CAB=90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴直线AE是⊙O是的切线．
(2)解：作CF⊥AE于点F，则∠CFE=90°，
∵∠E=∠CAE=∠B，
∴CAAB=sinB=sinE=CFCE=23，
∵OA=OB=3，
∴AB=6，
∴CE=CA=23AB=23×6=4，
∴CF=23CE=23×4=83，
∴AF=EF= CE2−CF2= 42−(83)2=4 53，
∴AD=AE=2AF=2×4 53=8 53，
∴AD的长是8 53．
【解析】(1)先由∠ACB=90°，证明AB是⊙O的直径，再证明∠CAE=∠B，则∠OAE=∠CAE+∠CAB=∠B+∠CAB=90°，即可证明直线AE是⊙O是的切线；
(2)由∠E=∠CAE=∠B，得CAAB=sinB=sinE=CFCE=23，则CE=CA=23AB=23×6=4，CF=23CE=23×4=83，所以AF=EF= CE2−CF2=4 53，则AD=AE=2AF=8 53．
此题重点考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26.【答案】解：(1)由题意得，抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)，
则−3a=3，
解得：a=−1，
故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
(2)由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=−x+3，
故点P作y轴的平行线交CB于点H，
设点P(x,−x2+2x+3)，则点H(x,−x+3)，
则△PBC的面积=S△PHC+S△PHB=12×PH×OB=32(−x2+2x+x)=−32(x−32)2+278≤278，
即△PBC的面积的最大值为278，此时点P(32,154)；
(3)存在，理由：
∵B(3,0)，C(0,3)，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3，
∴对称轴为：x=1，
设点M(1,t)，N(x,y)，
若BC为菱形的边长，菱形BCMN，
则BC2=CM2，即18=12+(t−3)2，
解得：t1= 17+3，t2=− 17+3，
∵3+1=0+x0+t=3+y，
∴x=4，y=t−3，
∴N1(4, 17)，N2(4,− 17)；
若BC为菱形的边长，菱形BCNM，
则BC2=BM2，即18=(3−1)2+t2，
解得：t3= 14，t4=− 14，
∵3+x=0+10+y=3+t，
∴x=−2，y=3+t，
∴N3(−2, 14+3)，N4(−2,− 14+3)；
即点N的坐标为：(4,− 17)或(4, 17)或(−2, 14+3)或(−2,− 14+3)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)由△PBC的面积=S△PHC+S△PHB=12×PH×OB，即可求解；
(3)若BC为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形和菱形的性质、面积的计算等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．水果种类
进价(元/千克)
售价(元/千克)
甲
a
20
乙
b
23