中考数学真题分类汇编第一期专题31点直线与圆的位置关系试题含解析

这是一份中考数学真题分类汇编第一期专题31点直线与圆的位置关系试题含解析，共66页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

1．（2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3．
【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD=AB=2，
在Rt△OBD中，OD==1，
∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴=，
∴AC=DC，
∴AE=DE=1，
易得四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=1，
在Rt△OCF中，CF==2，
∴CE=CF+EF=2+1=3，
而BE=BD+DE=2+1=3，
∴BC=3．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．
2． （2018·山东泰安·3分）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵BM是⊙O的切线，
∴∠OBM=90°，
∵∠MBA=140°，
∴∠ABO=50°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=50°，
∴∠AOB=80°，
∴∠ACB=∠AOB=40°，
故选：A．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
3.（2018·山东泰安·3分）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【分析】由Rt△APB中AB=2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
【解答】解：∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵AO=BO，
∴AB=2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ=3、MQ=4，
∴OM=5，
又∵MP′=2，
∴OP′=3，
∴AB=2OP′=6，
故选：C．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
4 （2018·四川宜宾·3分）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A．B．C．34D．10
【考点】M8：点与圆的位置关系；LB：矩形的性质．
【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．
【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN=DE=2，
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．
5（2018·台湾·分）如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC，若∠B=44°，∠C=56°，则∠AID的度数为何？（ ）
A．174B．176C．178D．180
【分析】连接CI，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由I点为△ABC的内心，可得出∠CAI、∠ACI、∠DCI的度数，利用三角形内角和定理可得出∠AIC、∠CID的度数，再由∠AID=∠AIC+∠CID即可求出∠AID的度数．
【解答】解：连接CI，如图所示．
在△ABC中，∠B=44°，∠ACB=56°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°．
∵I点为△ABC的内心，
∴∠CAI=∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI=∠ACB=28°，
∴∠AIC=180°﹣∠CAI﹣∠ACI=112°，
又ID⊥BC，
∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，
∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出∠AIC、∠CID的度数是解题的关键．
6（2018·浙江舟山·3分）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（ ）
A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内
【考点】点与圆的位置关系，反证法
【分析】运用反证法证明，第一步就要假设结论不成立，即结论的反面，要考虑到反面所有的情况。
【解析】【解答】解：点与圆的位置关系只有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外，
如果点不在圆外，那么点就有可能在圆上或圆内
故答案为D
【点评】本题考查了反证法的掌握情况. 运用反证法证明要考虑到反面所有的情况。
7 (2018四川省眉山市2分 ) 如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（ ）。
A.27°
B.32°
C.36°
D.54°
【答案】A
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAO=90°，
又∵∠P=36°，
∴∠POA=54°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∵∠POA=∠B+∠OCB=2∠B=54°，
∴∠B=27°.
故答案为:A.
【分析】根据切线的性质得∠PAO=90°，再由三角形内角和定理得∠POA=54°，根据等腰三角形性质等边对等角得∠B=∠OCB，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和建立等式，从而得出答案.
8．（2018年四川省内江市）已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．外高B．外切C．相交D．内切
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
【分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，
又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．
故选：C．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
9．（2018四川省泸州市3分）在平面直角坐标系内，以原点O为原心，1为半径作圆，点P在直线y=上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．
【分析】如图，直线y=x+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，先利用一次解析式得到D（0，2），C（﹣2，0），再利用勾股定理可计算出CD=4，则利用面积法可计算出OH=，连接OA，如图，利用切线的性质得OA⊥PA，则PA=，然后利用垂线段最短求PA的最小值．
【解答】解：如图，直线y=x+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，
当x=0时，y=x+2=2，则D（0，2），
当y=0时，x+2=0，解得x=﹣2，则C（﹣2，0），
∴CD==4，
∵OH•CD=OC•OD，
∴OH==，
连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴PA==，
当OP的值最小时，PA的值最小，
而OP的最小值为OH的长，
∴PA的最小值为=．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了一次函数的性质．
10（2018·台湾·分）如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为L，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（ ）
A．∠PBD＞∠PACB．∠PBD＜∠PACC．∠PBD＞∠PDBD．∠PBD＜∠PDB
【分析】根据大边对大角，平行线的判定和性质即可判断；
【解答】解：如图，∵直线l是公切线
∴∠1=∠B，∠2=∠A，
∵∠1=∠2，
∴∠A=∠B，
∴AC∥BD，
∴∠C=∠D，
∵PA=10，PC=9，
∴PA＞PC，
∴∠C＞∠A，
∴∠D＞∠B．
故选：D．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，相切两个圆的性质等知识，解题的关键是证明AC∥BD．

二.填空题
1．（2018年四川省内江市）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，则△ABC的外接圆半径= ．
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性质：算术平方根；KQ：勾股定理．
【分析】根据题目中的式子可以求得a、b、c的值，从而可以求得△ABC的外接圆半径的长．
【解答】解：∵a+b2+|c﹣6|+28=4+10b，
∴（a﹣1﹣4+4）+（b2﹣10b+25）+|c﹣6|=0，
∴（﹣2）2+（b﹣5）2+|c﹣6|=0，
∴，b﹣5=0，c﹣6=0，
解得，a=5，b=5，c=6，
∴AC=BC=5，AB=6，
作CD⊥AB于点D，
则AD=3，CD=4，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则OC=r，OD=4﹣r，OA=r，
∴32+（4﹣r）2=r2，
解得，r=，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、非负数的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
2．（2018年四川省内江市）如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE=3，⊙O的半径r=2，直线AB不垂直于直线l，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD的面积的最大值为 12 ．
【考点】LL：梯形中位线定理．
【分析】先判断OE为直角梯形ADCB的中位线，则OE=（AD+BC），所以S四边形ABCD=OE•CD=3CD，只有当CD=AB=4时，CD最大，从而得到S四边形ABCD最大值．
【解答】解：∵OE⊥l，AD⊥l，BC⊥l，
而OA=OB，
∴OE为直角梯形ADCB的中位线，
∴OE=（AD+BC），
∴S四边形ABCD=（AD+BC）•CD=OE•CD=3CD，
当CD=AB=4时，CD最大，S四边形ABCD最大，最大值为12．
【点评】本题考查了梯形中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
3.（2018·浙江舟山·4分）（2018·浙江舟山·4分）如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD=10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为________ cm。
【考点】垂径定理，切线的性质
【分析】因为直尺另一边EF与圆O相切于点C，连接OC，可知求直尺的宽度就是求CG=OC-OG，而OC=OA；OG和OA都在Rt△AOG中，即根据解直角三角形的思路去做：由垂定理可知AG=DG=AD=5cm，∠AOG=∠AOD=60°，从而可求答案。
【解答】解：如图，连结OD，OC，OC与AD交于点G,设直尺另一边为EF，
因为点D在量角器上的读数为60°，
所以∠AOD=120°，
因为直尺一边EF与量角器相切于点C，
所以OC⊥EF，
因为EF//AD，
所以OC⊥AD，
由垂径定理得AG=DG=AD=5 cm，∠AOG=∠AOD=60°，
在Rt△AOG中，AG=5 cm，∠AOG=60°，
则OG=cm,OC=OA=cm
则CG=OC-OG=cm.
【点评】本题的关键是利用垂径定理和切线的性质.
4．（2018•湖北黄石•3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=8，CB=6，则△ABC内切圆的周长为 4π
【分析】先利用勾股定理计算出AB的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出△ABC的内切圆的半径，然后利用圆的面积公式求解．
【解答】解：∵∠C=90°，CA=8，CB=6，
∴AB==10，
∴△ABC的内切圆的半径==2，
∴△ABC内切圆的周长=π•22=4π．
故答案为4π．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．记住直角三角形内切圆半径的计算方法．
5.（2018·山东临沂·3分）如图．在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，本题得以解决．
【解答】解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，
∵在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，
∴∠BOC=120°，
作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，
∴BD=，∠OBD=30°，
∴OB=，得OB=，
∴2OB=，
即△ABC外接圆的直径是cm，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
6（2018·山东泰安·3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙O的直径为 4 ．
【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO=CO=BC•cs45°=2，进而得出⊙O的直径为4．
【解答】解：如图，连接OB，OC，
∵∠A=45°，
∴∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
又∵BC=4，
∴BO=CO=BC•cs45°=2，
∴⊙O的直径为4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
7.（2018·山东威海·3分）如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为 135° ．
【分析】如图，连接EC．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题；
【解答】解：如图，连接EC．
∵E是△ADC的内心，
∴∠AEC=90°+∠ADC=135°，
在△AEC和△AEB中，
，
∴△EAC≌△EAB，
∴∠AEB=∠AEC=135°，
故答案为135°．
【点评】本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8 （2018•安徽•4分） 如图，菱形ABOC的AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，若点D是AB的中点，则∠DOE__________.
【答案】60°
【解析】【分析】由AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，可得∠BDO=∠ADO=∠AEO=90°，根据已知条件可得到BD=OB，在Rt△OBD中，求得∠B=60°，继而可得∠A=120°，再利用四边形的内角和即可求得∠DOE的度数.
【详解 】∵AB，AC分别与⊙O相切于点D、E，
∴∠BDO=∠ADO=∠AEO=90°，
∵四边形ABOC是菱形，∴AB=BO，∠A+∠B=180°，
∵BD=AB，
∴BD=OB，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，BD=OB，∴cs∠B=，∴∠B=60°，
∴∠A=120°，
∴∠DOE=360°-120°-90°-90°=60°，
故答案为：60°.
【点睛】本题考查了切线的性质，菱形的性质，解直角三角形的应用等，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
9. （2018年江苏省南京市•2分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′C′D′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为 4 ．
【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′=∠B′CD′=90°、AB=CD=5、BC=B′C=4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE=OH=OC=2.5，继而求得CG=B′E=OH===2，根据垂径定理可得CF的长．
【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，
则∠OEB′=∠OHB′=90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，
∴∠B′=∠B′CD′=90°，AB=CD=5、BC=B′C=4，
∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE=OH=OC=2.5，
∴B′H=OE=2.5，
∴CH=B′C﹣B′H=1.5，
∴CG=B′E=OH===2，
∵四边形EB′CG是矩形，
∴∠OGC=90°，即OG⊥CD′，
∴CF=2CG=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点．
10 （2018年江苏省泰州市•3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为 或 ．
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，
【解答】解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴=，
∴=，
∴r=．
如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴A′T=，
∴r=A′T=．
综上所述，⊙P的半径为或．
【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
11. （2018•山西•3分）如 图 ， 在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB=900 ， AC=6， BC=8，点 D 是 AB 的 中 点 ， 以 CD 为 直 径 作 ⊙ O，⊙
O 分别与 AC， BC 交于点 E， F，过点 F 作⊙ O 的切线 FG，交 AB 于点 G，则 FG 的长为 _____.
【答案】
【考点】 直 角 三 角 形 斜 中 线 ， 切 线 性 质 ， 平 行 线 分 线 段 成 比 例 ， 三 角 函 数
【解析】 连接 OF
∵ FG 为 ⊙ 0 的 切 线 ∴ OF⊥ FG
∵ Rt△ ABC 中， D 为 AB 中点
∴ CD=BD
∴ ∠ DCB=∠ B
∵ OC=OF
∴ ∠ OCF=∠ OFC
∴ ∠ CFO=∠ B
∴ OF∥ BD
∵ O 为 CD 中点
∴ F 为 BC 中点
∴ CF  BF BC  4
Rt△ ABC 中， s i nB 
Rt△ BGF 中， FG  BF sin B  4  

三.解答题
(要求同上一)
1. （2018•四川凉州•8分）如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（﹣4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D．
（1）求直线l的解析式；
（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间．
【分析】（1）求直线的解析式，可以先求出A、C两点的坐标，就可以根据待定系数法求出函数的解析式．
（2）设⊙O2平移t秒后到⊙O3处与⊙O1第一次外切于点P，⊙O3与x轴相切于D1点，连接O1O3，O3D1．
在直角△O1O3D1中，根据勾股定理，就可以求出O1D1，进而求出D1D的长，得到平移的时间．
【解答】解：（1）由题意得OA=|﹣4|+|8|=12，
∴A点坐标为（﹣12，0）．
∵在Rt△AOC中，∠OAC=60°，
OC=OAtan∠OAC=12×tan60°=12．
∴C点的坐标为（0，﹣12）．
设直线l的解析式为y=kx+b，
由l过A、C两点，
得，解得
∴直线l的解析式为：y=﹣x﹣12．
（2）如图，设⊙O2平移t秒后到⊙O3处与⊙O1第一次外切于点P，⊙O3与x轴相切于D1点，连接O1O3，O3D1．
则O1O3=O1P+PO3=8+5=13．
∵O3D1⊥x轴，∴O3D1=5，
在Rt△O1O3D1中，．
∵O1D=O1O+OD=4+13=17，∴D1D=O1D﹣O1D1=17﹣12=5，
∴（秒）．
∴⊙O2平移的时间为5秒．
【点评】本题综合了待定系数法求函数解析式，以及圆的位置关系，其中两圆相切时的辅助线的作法是经常用到的．
2. （2018•山东枣庄•8分）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．
（1）求线段AD的长度；
（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．
【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．
（2）当ED与⊙O相切时，由切线长定理知EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．
【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；
连接CD，∵BC为直径，
∴∠ADC=∠BDC=90°；
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB；
∴，∴；
（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；
证明：连接OD，
∵DE是Rt△ADC的中线；
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD；
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD；
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；
∴ED⊥OD，
∴ED与⊙O相切．
【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识．
3. （2018•四川成都•8分）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， 为 上一点，经过点 ， 的 分别交 ， 于点 ， ，连接 交 于点 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）设 ， ，试用含 的代数式表示线段 的长；
（3）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）如图，链接CD
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD.
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD.
∴OD∥AC.
又∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC是⊙O的切线.
（2）连接DF，
由（1）可知，BC为切线，
∴∠FDC=∠DAF.
∴∠CDA=∠CFD.
∴∠AFD=∠ADB.
又∵∠BAD=∠DAF，
∴∆ABD∽∆ADF,
∴ ,
∴AD2=AB·AF.
∴AD2=xy,
∴AD=
（3）连接EF
在Rt∆BOD中，sinB= ,
设圆的半径为r，∴ ，
∴r=5.
∴AE=10,AB=18.
∵AE是直径，∠AFE=90°,而∠C=90°，
∴EF∥BC,
∴∠AEF=∠B,
∴sin∠AEF= .
∴AF=AE·sin∠AEF=10× = .
∵AF∥OD,
∴ ,
∴DG= AD.
∴AD= ,
∴DG=
【考点】切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线的性质及等腰三角形的性质，去证明∠ODC=90°即可。(2)连接DF，DE，根据圆的切线，可证得∠FDC=∠DAF，再证∠CDA=∠CFD=∠AED，根据平角的定义可证得∠AFD=∠ADB，从而可证得△ABD∽△ABF，得出对应边成比例，可得出答案。（3）连接EF，在Rt△BOD中，利用三角函数的定义求出圆的半径、AE、AB的长，再证明EF∥BC，得出∠B=∠AEF，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再根据AF∥OD，得出线段成比例，求出DG的长，然后可求出AD的长，从而可求得DG的长。
4（2018•山东菏泽•10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．
（1）求∠DAF的度数；
（2）求证：AE2=EF•ED；
（3）求证：AD是⊙O的切线．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M5：圆周角定理；MD：切线的判定．
【分析】（1）求出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数，求出∠D度数，根据三角形内角和定理求出∠BAF和∠BAD度数，即可求出答案；
（2）求出△AEF∽△DEA，根据相似三角形的性质得出即可；
（3）连接AO，求出∠OAD=90°即可．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠D=∠CBD，
∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=×（180°﹣∠BAC）=72°，
∴∠AFB=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=72°=36°，
∴∠D=∠CBD=36°，
∴∠BAD=180°﹣∠D﹣∠ABD=180°﹣36°﹣36°=108°，
∠BAF=180°﹣∠ABF﹣∠AFB=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴∠DAF=∠DAB﹣∠FAB=108°﹣72°=36°；
（2）证明：∵∠CBD=36°，∠FAC=∠CBD，
∴∠FAC=36°=∠D，
∵∠AED=∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴=，
∴AE2=EF×ED；
（3）证明：连接OA、OF，
∵∠ABF=36°，
∴∠AOF=2∠ABF=72°，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA=×（180°﹣∠AOF）=54°，
由（1）知∠ADF=36°，
∴∠OAD=36°+54°=90°，
即OA⊥AD，
∵OA为半径，
∴AD是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
5（2018•江苏扬州•10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是A的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．
【分析】（1）作OH⊥AC于H，如图，利用等腰三角形的性质得AO平分∠BAC，再根据角平分线性质得OH=OE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先确定∠OAE=30°，∠AOE=60°，再计算出AE=3，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S扇形EOF进行计算；
（3）作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时EP+FP最小，通过证明∠F′=∠EAF′得到PE+PF最小值为3，然后计算出OP和OB得到此时PB的长．
【解答】（1）证明：作OH⊥AC于H，如图，
∵AB=AC，AO⊥BC于点O，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH=OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵点F是AO的中点，
∴AO=2OF=3，
而OE=3，
∴∠OAE=30°，∠AOE=60°，
∴AE=OE=3，
∴图中阴影部分的面积=S△AOE﹣S扇形EOF=×3×3﹣=；
（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，
∵PF=PF′，
∴PE+PF=PE+PF′=EF′，此时EP+FP最小，
∵OF′=OF=OE，
∴∠F′=∠OEF′，
而∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°，
∴∠F′=30°，
∴∠F′=∠EAF′，
∴EF′=EA=3，
即PE+PF最小值为3，
在Rt△OPF′中，OP=OF′=，
在Rt△ABO中，OB=OA=×6=2，
∴BP=2﹣=，
即当PE+PF取最小值时，BP的长为．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．也考查了等腰三角形的性质和最短路径问题．

6 （2018•山东滨州•12分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：
（1）直线DC是⊙O的切线；
（2）AC2=2AD•AO．
【分析】（1）连接OC，由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知OC∥AD，根据AD⊥DC即可得证；
（2）连接BC，证△DAC∽△CAB即可得．
【解答】解：（1）如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AB=2AO，∠ACB=90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠DAC=∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴=，即AC2=AB•AD，
∵AB=2AO，
∴AC2=2AD•AO．
【点评】本题主要考查圆的切线，解题的关键是掌握切线的判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质．
7（2018•江西•8分）如图，在中，为上一点，以为圆心，长为半径作圆，与相切于点，过点作
交的延长线于点,且.
（1）求证：为的切线；
（2）若， ,求的长.

【解析】 （1）作OE⊥AB于点E
∵切BC于点C
∴OC⊥BC ∠ACB=90°
∵ AD⊥BD ∴∠D=90°
∴∠ABD＋∠BAD =90°
∠CBD＋∠BOC=90°
∵∠BOC=∠AOD ∠AOD=∠BAD
∴∠BOC=∠BAD
∴∠ABD=∠CBD
在△OBC和△OBE中
∴△OBC≌△OBE
∴OE=OC ∴OE是⊙O的半径
. ∵OE⊥AB ∴AB为⊙O的切线. ★★★
（2） ∵tan∠ABC=，BC=6
∴AC=8 ∴AB=
∵BE=BC=6 ∴AE=4
∵∠AOE=∠ABC ∴tan∠AOE= ∴EO=3
∴AO=5 OC=3 ∴BO=
在△AOD和△BOC中
∴△AOD∽△BOC ∴
即 ∴AD=
8（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段 为直径的 上取一点，连接 、 .将 沿 翻折后得到 .
（1）试说明点 在 上；
（2）在线段 的延长线上取一点 ，使 .求证： 为 的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段 、 相交于点 ，若 ， ，求线段 的长.
【答案】（1）解：连接OC，OD，
由翻折可得OD=OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴点D在⊙O上。
（2）证明：∵点D在⊙O上，∴∠ADB=90°，
由翻折可得AC=AD，
∵AB2=AC·AE，
∴AB2=AD·AE，
∴ ，又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE~△ADB，
∴∠ABE=∠ADB=90°，
∵OB是半径，
∴BE为的⊙O切线。
（3）解：设EF=x，∵AB2=AC2+BC2=AC·AE，∴AE=5，DE=AE-AD=5-4=1，
∵∠BDF=∠C=90°，∠BFD=∠AFC，
∴△BDF~△ACF，
∴ 即
则BF= ，
在Rt△BDF中，由勾股定理得BD2+DF2=BF2 ，
则22+（1+x）2=( )2 ，
解得x1= ,x2=-1（舍去）,
则EF=
【考点】点与圆的位置关系，切线的判定，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证明点D在⊙O上，则需要证明点D到圆心的距离OD要等于半径，由折叠易知OD=OC；（2）证明BE为的⊙O切线，由切线判定定理可得需要证明∠ABE=90°；易知∠ADB=90°，由公共角∠BAE=∠DAB，则需要△ABE~△ADB，由AB2=AC·AE和AC=AD可证明；（3）易知∠BDF=∠ADB=90°，则△BDF是一个直角三角形，由勾股定理可得BD2+DF2=BF2 ， 而BD=BC=2，DF=DE+EF，EF就是要求的，不妨先设EF=x，看能否求出DE或都BF，求不出的话可用x表示出来，再代入BD2+DF2=BF2解得即可。
9．（2018·湖北省孝感·10分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）已知BD=2，CF=2，求AE和BG的长．
【分析】（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；
（2）连接BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得=，由此构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）连接OD，AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
又∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，
∴OD⊥FG，
∴直线FG与⊙O相切；
（2）连接BE．∵BD=2，
∴，
∵CF=2，
∴DF==4，
∴BE=2DF=8，
∵cs∠C=cs∠ABC，
∴=，
∴=，
∴AB=10，
∴AE==6，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥GF，
∴△AEB∽△AFG，
∴=，
∴=，
∴BG=．
【点评】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及中位线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10（2018·湖北省武汉· 8分）如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若∠APC=3∠BPC，求的值．
【分析】（1）想办法证明△PAO≌△PBO．可得∠PAO=∠PBO=90°；
（2）首先证明BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，再证明BC=PB=PA=2a，由△PAK∽△POA，可得PA2=PK•PO，设PK=x，则有：x2+ax﹣4a2=0，解得x=a（负根已经舍弃），推出PK=a，由PK∥BC，可得==；
【解答】（1）证明：连接OP、OB．
∵PA是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO=90°，
∵PA=PB，PO=PO，OA=OB，
∴△PAO≌△PBO．
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线．
（2）设OP交AB于K．
∵AB是直径，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵PA、PB都是切线，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO，
∵OA=OB，
∴OP垂直平分线段AB，
∴OK∥BC，
∵AO=OC，
∴AK=BK，
∴BC=2OK，设OK=a，则BC=2a，
∵∠APC=3∠BPC，∠APO=∠OPB，
∴∠OPC=∠BPC=∠PCB，
∴BC=PB=PA=2a，
∵△PAK∽△POA，
∴PA2=PK•PO，设PK=x，
则有：x2+ax﹣4a2=0，
解得x=a（负根已经舍弃），
∴PK=a，
∵PK∥BC，
∴==．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
11．（2018·湖南省常德·8分）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF于E．
（1）求证：EA是⊙O的切线；
（2）求证：BD=CF．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠OAC=30°，∠BCA=60°，证明∠OAE=90°，可得：AE是⊙O的切线；
（2）先根据等边三角形性质得：AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，由四点共圆的性质得：∠ADF=∠ABC=60°，
得△ADF是等边三角形，证明△BAD≌△CAF，可得结论．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠BCA=60°，
∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADF=∠ABC=60°，
∵AD=DF，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF，∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠BAF=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∵，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形及外接圆，四点共圆等知识点的综合运用，属于基础题，熟练掌握等边三角形的性质是关键．
12．（2018·湖南省衡阳·8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC=4，CE=2，求的长度．（结果保留π）
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE=∠DAO，
∴∠DAE=∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）如图，作OG⊥AE于点G，
则AG=CG=AC=2，∠OGE=∠E=∠ODE=90°，
∵OD=OG，
∴四边形ODEG是正方形，
∴OA=OD=OG=CG+CE=2+2=4，∠DOG=90°，
在Rt△AOG中，∵OA=2AG，
∴∠AOG=30°，
∴∠BOD=60°，
则的长度为=．
13.（2018·山东临沂·9分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，作OF⊥AC于F，如图，利用等腰三角形的性质得AO⊥BC，AO平分∠BAC，再根据切线的性质得OD⊥AB，然后利用角平分线的性质得到OF=OD，从而根据切线的判定定理得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，利用勾股定理得到r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，则OD=1，OB=2，利用含30度的直角三角三边的关系得到∠B=30°，∠BOD=60°，则∠AOD=30°，于是可计算出AD=OD=，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF进行计算．
【解答】（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB，
而OF⊥AC，
∴OF=OD，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，
∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，
∴OD=1，OB=2，
∴∠B=30°，∠BOD=60°，
∴∠AOD=30°，
在Rt△AOD中，AD=OD=，
∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF
=2××1×﹣
=﹣．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了等腰三角形的性质．
14（2018·山东潍坊·8分）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．
（1）求证：AE与⊙O相切于点A；
（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．
【分析】（1）连接OA，根据同圆的半径相等可得：∠D=∠DAO，由同弧所对的圆周角相等及已知得：∠BAE=∠DAO，再由直径所对的圆周角是直角得：∠BAD=90°，可得结论；
（2）先证明OA⊥BC，由垂径定理得：，FB=BC，根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可．
【解答】证明：（1）连接OA，交BC于F，则OA=OB，
∴∠D=∠DAO，
∵∠D=∠C，
∴∠C=∠DAO，
∵∠BAE=∠C，
∴∠BAE=∠DAO，（2分）
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
即∠DAO+∠BAO=90°，（3分）
∴∠BAE+∠BAO=90°，即∠OAE=90°，
∴AE⊥OA，
∴AE与⊙O相切于点A；（4分）
（2）∵AE∥BC，AE⊥OA，
∴OA⊥BC，（5分）
∴，FB=BC，
∴AB=AC，
∵BC=2，AC=2，
∴BF=，AB=2，
在Rt△ABF中，AF==1，
在Rt△OFB中，OB2=BF2+（OB﹣AF）2，
∴OB=4，（7分）
∴BD=8，
∴在Rt△ABD中，AD====2．（8分）
【点评】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”．
15. （2018年江苏省南京市）结果如此巧合!
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，
求△ABC的面积．
解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．
根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．
整理，得x2+7x=12．
所以S△ABC=AC•BC
=（x+3）（x+4）
=（x2+7x+12）
=×（12+12）
=12．
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．
可以一般化吗？
（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．
倒过来思考呢？
（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．
改变一下条件……
（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．
【分析】（1）由切线长知AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，根据勾股定理得（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2，即x2+（m+n）x=mn，再利用三角形的面积公式计算可得；
（2）由由AC•BC=2mn得（x+m）（x+n）=2mn，即x2+（m+n）x=mn，再利用勾股定理逆定理求证即可；
（3）作AG⊥BC，由三角函数得AG=AC•sin60°=（x+m），CG=AC•cs60°=（x+m）、BG=BC﹣CG=（x+n）﹣（x+m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2+（m+n）x=3mn，最后利用三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，
根据切线长定理，得：AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，
（1）如图1，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2，
整理，得：x2+（m+n）x=mn，
所以S△ABC=AC•BC
=（x+m）（x+n）
= [x2+（m+n）x+mn]
=（mn+mn）
=mn，
（2）由AC•BC=2mn，得：（x+m）（x+n）=2mn，
整理，得：x2+（m+n）x=mn，
∴AC2+BC2=（x+m）2+（x+n）2
=2[x2+（m+n）x]+m2+n2
=2mn+m2+n2
=（m+n）2
=AB2，
根据勾股定理逆定理可得∠C=90°；
（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，
在Rt△ACG中，AG=AC•sin60°=（x+m），CG=AC•cs60°=（x+m），
∴BG=BC﹣CG=（x+n）﹣（x+m），
在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x+m）]2+[（x+n）﹣（x+m）]2=（m+n）2，
整理，得：x2+（m+n）x=3mn，
∴S△ABC=BC•AG
=×（x+n）•（x+m）
= [x2+（m+n）x+mn]
=×（3mn+mn）
=mn．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握切线长定理的运用、三角函数的应用及勾股定理及其逆定理等知识点．
16（2018年江苏省泰州市•10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；
（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠BDO，
∴DO∥BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE=DF=3，
∵BE=3，
∴BD==6，
∵sin∠DBF==，
∴∠DBA=30°，
∴∠DOF=60°，
∴sin60°===，
∴DO=2，
则FO=，
故图中阴影部分的面积为：﹣××3=2π﹣．
【点评】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO的长是解题关键．
17 （2018•湖南省永州市•10分）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，=，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若cs∠ABE=，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．
【分析】（1）延长CD交⊙O于G，如图，利用垂径定理得到=，则可证明=，然后根据圆周角定理得∠CBE=∠GCB，从而得到CF=BF；
（2）连接OC交BE于H，如图，先利用垂径定理得到OC⊥BE，再在Rt△OBH中利用解直角三角形得到BH=，OH=，接着证明△OHB∽△OCM得到∠OCM=∠OHB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图，
∵CD⊥AB，
∴=，
∵=，
∴=，
∴∠CBE=∠GCB，
∴CF=BF；
（2）连接OC交BE于H，如图，
∵=，
∴OC⊥BE，
在Rt△OBH中，cs∠OBH==，
∴BH=×6=，
∴OH==，
∵==，==，
∴=，
而∠HOB=∠COM，
∴△OHB∽△OCM，
∴∠OCM=∠OHB=90°，
∴OC⊥CM，
∴直线CM是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．
18. （2018·新疆生产建设兵团·12分）如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．
【分析】（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接OBB，证明OB⊥PE即可．
（2）要求sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题
【解答】（1）证明：连接OB∵PO⊥AB，
∴AC=BC，
∴PA=PB
在△PAO和△PBO中
∴△PAO和≌△PBO
∴∠OBP=∠OAP=90°
∴PB是⊙O的切线．
（2）连接BD，则BD∥PO，且BD=2OC=6
在Rt△ACO中，OC=3，AC=4
∴AO=5
在Rt△ACO与Rt△PAO中，
∠APO=∠APO，
∠PAO=∠ACO=90°
∴△ACO∼△PAO
=
∴PO=，PA=
∴PB=PA=
在△EPO与△EBD中，
BD∥PO
∴△EPO∽△EBD
∴=，
解得EB=，
PE=，
∴sinE==
【点评】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．
19. （2018·四川宜宾·10分）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC=CD，CE⊥AD于点E．
（1）求证：直线EC为圆O的切线；
（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，PF=4，求sin∠PEF的值．
【考点】ME：切线的判定与性质；M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．
【分析】（1）说明OC是△BDA的中位线，利用中位线的性质，得到∠OCE=∠CED=90°，从而得到CE是圆O的切线．
（2）利用直径上的圆周角，得到△PEF是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF∽△PEA、△PCF∽△PAC，从而得到PC=PE=5．然后求出sin∠PEF的值．
【解答】解：（1）证明：∵CE⊥AD于点E
∴∠DEC=90°，
∵BC=CD，
∴C是BD的中点，又∵O是AB的中点，
∴OC是△BDA的中位线，
∴OC∥AD
∴∠OCE=∠CED=90°
∴OC⊥CE，又∵点C在圆上，
∴CE是圆O的切线．
（2）连接AC
∵AB是直径，点F在圆上
∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA
∵∠EPF=∠EPA
∴△PEF∽△PEA
∴PE2=PF×PA
∵∠FBC=∠PCF=∠CAF
又∵∠CPF=∠CPA
∴△PCF∽△PAC
∴PC2=PF×PA
∴PE=PC
在直角△PEF中，sin∠PEF==．
【点评】本题考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定等知识点．利用三角形相似，说明PE=PC是解决本题的难点和关键．
20. （2018·天津·10分）已知是的直径，弦与相交，.
（Ⅰ）如图①，若为的中点，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小.
【答案】（1）52°，45°；（2）26°
【解析】分析：（Ⅰ）运用直径所对的圆周角是直角以及圆周角的度数等于它所对弧的度数求解即可；
（Ⅱ）运用圆周角定理求解即可.
详解：（Ⅰ）∵是的直径，∴.
∴.
又∴，∴.
由为的中点，得.
∴.
∴.
（Ⅱ）如图，连接.
∵切于点，
∴，即.
由，又，
∴是的外角，
∴.
∴.
又，得.
∴.
点睛：本题考查了圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21. （2018·四川自贡·10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）
【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于E，作EO⊥AC交AB于点O，以O为圆心，OB为半径画圆即可解决问题；
（2）作OH⊥BC于H．首先求出OH、EC、BE，利用△BCE∽△BED，可得=，解决问题；
【解答】解：（1）⊙O如图所示；
（2）作OH⊥BC于H．
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，
∴四边形ECHO是矩形，
∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=，
在Rt△OBH中，OH==2，
∴EC=OH=2，BE==2，
∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，
∴△BCE∽△BED，
∴=，
∴=，
∴DE=．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（2018•湖北黄石•8分）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
【分析】（1）连接DB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°，再根据圆周角定理得到∠BDE=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；
（2）连接EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而A为的中点，则∠ABE=45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP为等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】（1）解：连接DB，如图，
∵∠BCD+∠DEB=90°，
∴∠DEB=180°﹣120°=60°，
∵BE为直径，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，
BD=DE=×=3；
（2）证明：连接EA，如图，
∵BE为直径，
∴∠BAE=90°，
∵A为的中点，
∴∠ABE=45°，
∵BA=AP，
而EA⊥BA，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠PEB=90°，
∴PE⊥BE，
∴直线PE是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
23.（2018•湖北黄冈•7分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.
（1）求证：∠CBP=∠ADB.
（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长.
（第18题图）
【考点】圆，切线的性质，相似三角形.
【分析】（1）连接OB，证明∠OBD=∠CBP，又OD=OB，∠OBD=∠ODB，∴∠ODB=∠CBP，即∠ADB=∠CBP.
（2）证明Rt△ADB∽Rt△APO，即可求得线段BP的长.
【解答】证：（1）连接OB，则OB⊥BC，∠OBD＋∠DBC＝90°，
又AD为直径，∠DBP=∠DBC+∠CBP＝90°，
∴∠OBD=∠CBP
又OD=OB，∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠CBP，即∠ADB=∠CBP.
解：（2）在Rt△ADB与Rt△APO中，∠DAB＝∠PAO，
Rt△ADB∽Rt△APO
AB=1，AO=2，AD=4，=，
AP=8，
∴BP=AP-AB=8-1=7.
【点评】本题考查了圆，直径所对的圆周角是直角，切线的性质，相似三角形的判定和性质. （1）连接OB是解决问题的关键；（2）证明Rt△ADB∽Rt△APO是解决问题的关键。
24（2018•河南•9分）如图，AB是圆0的直径，DO垂直于点O，连接DA交圆O于点C，过点C作圆O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F。
（1）求证：CE=EF；
（2）连接AF并延长，交圆O于点G，填空：
①当∠D的度数为______时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为______时，四边形ECOG为正方形。
25．（2018•湖北恩施•10分）如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．
（1）求证：DE为⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD；
（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）如图1，连接OD、BD，根据圆周角定理得：∠ADB=90°，则AD⊥BD，OE⊥BD，由垂径定理得：BM=DM，证明△BOE≌△DOE，则∠ODE=∠OBE=90°，可得结论；
（2）设AP=a，根据三角函数得：AD=3a，由勾股定理得：PD=2a，在直角△OPD中，根据勾股定理列方程可得：32=（3﹣a）2+（2a）2，解出a的值可得AD的值；
（3）先证明△APF∽△ABE，得，由△ADP∽△OEB，得，可得PD=2PF，可得结论．
【解答】证明：（1）如图1，连接OD、BD，BD交OE于M，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，AD⊥BD，
∵OE∥AD，
∴OE⊥BD，
∴BM=DM，
∵OB=OD，
∴∠BOM=∠DOM，
∵OE=OE，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴DE为⊙O切线；
（2）设AP=a，
∵sin∠ADP==，
∴AD=3a，
∴PD===2a，
∵OP=3﹣a，
∴OD2=OP2+PD2，
∴32=（3﹣a）2+（2a）2，
9=9﹣6a+a2+8a2，
a1=，a2=0（舍），
当a=时，AD=3a=2，
∴AD=2；
（3）PF=FD，
理由是：∵∠APD=∠ABE=90°，∠PAD=∠BAE，
∴△APF∽△ABE，
∴，
∴PF=，
∵OE∥AD，
∴∠BOE=∠PAD，
∵∠OBE=∠APD=90°，
∴△ADP∽△OEB，
∴，
∴PD=，
∵AB=2OB，
∴PD=2PF，
∴PF=FD．
【点评】本题考查了圆的综合问题，熟练掌握切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理，垂径定理等知识点的应用，难度适中，连接BD构造直角三角形是解题的关键．
26（2018•湖北荆门•10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．
（1）求证：AC平分∠DAE；
（2）若csM=，BE=1，①求⊙O的半径；②求FN的长．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，则判断OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，从而得到∠1=∠2；
（2）①利用圆周角定理和垂径定理得到=，则∠COE=∠FAB，所以∠FAB=∠M=∠COE，设⊙O的半径为r，然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到=，从而解方程求出r即可；
②连接BF，如图，先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF=，再计算出OC=3，接着证明△AFN∽△AEC，然后利用相似比可计算出FN的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵直线DE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DE，
又∵AD⊥DE，
∴OC∥AD．
∴∠1=∠3
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平方∠DAE；
（2）解：①∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
而DE⊥AD，
∴BF∥DE，
∴OC⊥BF，
∴=，
∴∠COE=∠FAB，
而∠FAB=∠M，
∴∠COE=∠M，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OCE中，cs∠COE==，即=，解得r=4，
即⊙O的半径为4；
②连接BF，如图，
在Rt△AFB中，cs∠FAB=，
∴AF=8×=
在Rt△OCE中，OE=5，OC=4，
∴CE=3，
∵AB⊥FM，
∴，
∴∠5=∠4，
∵FB∥DE，
∴∠5=∠E=∠4，
∵=，
∴∠1=∠2，
∴△AFN∽△AEC，
∴=，即=，
∴FN=．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
27.（2018•河北•10分）如图15，点在数轴上对应的数为26，以原点为圆心，为半径作优弧，使点在右下方，且.在优弧上任取一点，且能过作直线交数轴于点，设在数轴上对应的数为，连接.
（1）若优弧上一段的长为，求的度数及的值；
（2）求的最小值，并指出此时直线与所在圆的位置关系；
（3）若线段的长为，直接写出这时的值.
28．（2018四川省泸州市12分）如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF=EF．
（1）求证：CO2=OF•OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC=4，PB=4，求GH的长．
【分析】（1）想办法证明△OFD∽△OCP，可得=，由OD=OC，可得结论；
（2）如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC=OB=r．在Rt△POC中，利用勾股定理求出r，再利用面积法求出CM，由四边形EFMC是矩形，求出EF，在Rt△EOF中，求出OF，再求出EC，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∵AB是直径，EF=FD，
∴AB⊥ED，
∴∠OFD=∠OCP=90°，
∵∠FOD=∠COP，
∴△OFD∽△OCP，
∴=，∵OD=OC，
∴OC2=OF•OP．
（2）解：如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC=OB=r．
在Rt△POC中，∵PC2+OC2=PO2，
∴（4）2+r2=（r+4）2，
∴r=2，
∵CM==，
∵DC是直径，
∴∠CEF=∠EFM=∠CMF=90°，
∴四边形EFMC是矩形，
∴EF=CM=，
在Rt△OEF中，OF==，
∴EC=2OF=，
∵EC∥OB，
∴==，
∵GH∥CM，
∴==，
∴GH=．
【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
29(2018四川省绵阳市)如图，AB是 的直径，点D在 上（点D不与A，B重合），直线AD交过点B的切线于点C，过点D作 的切线DE交BC于点E。
（1）求证：BE=CE；
（2）若DE平行AB，求 的值。
【答案】（1）证明：连接OD、BD，
∵EB、ED分别为圆O的切线，
∴ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
又∵AB为圆O的直径，
∴BD⊥AC，
∴∠BDE+∠CDE=∠EBD+∠DCE，
∴∠CDE=∠DCE，
∴ED=EC，
∴EB=EC.
（2）解：过O作OH⊥AC，设圆O半径为r，
∵DE∥AB，DE、EB分别为圆O的切线，
∴四边形ODEB为正方形，
∵O为AB中点，
∴D、E分别为AC、BC的中点，
∴BC=2r，AC=2 r，
在Rt△COB中，
∴OC= r，
又∵ = ·AO·BC= ·AC·OH，
∴r×2r=2 r×OH,
∴OH= r，
在Rt△COH中，
∴sin∠ACO= = = .
【考点】三角形的面积，正方形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义，切线长定理
【解析】【分析】（1）证明：连接OD、BD，由切线长定理得ED=EB，由等腰三角形性质得∠EDB=∠EBD；根据圆周角定理得BD⊥AC，由等角的余角相等得∠CDE=∠DCE，再由等腰三角形性质和等量代换可得EB=EC.（2）过O作OH⊥AC，设圆O半径为r，根据切线长定理和正方形的判定可得四边形ODEB为正方形，从而得出D、E分别为AC、BC的中点，从而得BC=2r，AC=2 r，在Rt△COB中，
再根据勾股定理得OC= r；由 = ·AO·BC= 求出OH= r，在Rt△COH中，
根据锐角三角函数正弦的定义即可得出答案.
30. （2018•甘肃白银，定西，武威）如图，点是的边上一点，与边相切于点，与边，分别相交于点，，且.
（1）求证：；
（2）当，时，求的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】【分析】（1）连接OE,BE．证明OE∥BC. OE⊥AC．根据平行线的性质得到BC⊥AC,即可证明；
（2）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，，求得AB=5．在Rt △AOE中，,．．
【解答】（1）证明：连接OE,BE．
∵ DE=EF，
∴ =,
∴
∵
∴
∴
∴OE∥BC.
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴ OE⊥AC．
∴BC⊥AC,
∴∠C=90°.
（2）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，，
∴AB=5．
设⊙O的半径为r，则
在Rt △AOE中，,
∴ ．
∴．
【点评】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形，题目比较典型，综合性比较强，难度适中．
31. （2018•甘肃白银，定西，武威）如图，在中，.
（1）作的平分线交边于点，再以点为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中与的位置关系，直接写出结果.
【答案】（1）作图见解析；（2）AC与⊙O相切．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法求出角平分线CO；
（2）过O作OD⊥AC交AC于点D，先根据角平分线的性质求出DO=BO，再根据切线的判定定理即可得出答案．
【解答】（1）如图,作出角平分线CO;
作出⊙O.
（2）AC与⊙O相切.
【点评】考查作图—复杂作图，直线与圆的位置关系，熟练掌握角平分线的作法是解题的关键.
32．（2018•北京•5分）如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，．
（1）求证：；
（2）连接，，若，，，求的长．
【解析】（1）证明：∵、与相切于、．
∴，平分．
在等腰中，，平分．
∴于，即．
（2）解：连接、．
∵
∴
∴
同理：
∴．
在等腰中，．
∴．
∵与相切于．
∴．
∴．
在中，，
∴．
【考点】切线的性质，切线长定理，锐角三角函数