2024年陕西省汉中市汉台区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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第一部分（选择题 共21分）
一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算：的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据零指数幂的计算可得到结果．
【详解】解：原式=1-2=-1．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的运算，准确应用零指数幂的计算公式是关键．
2. 斗笠，又名箬笠，即以竹皮编织的用来遮光遮雨的帽子，可以看做一个圆锥，下列平面展开图中能围成一个圆锥的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆锥的展开图可直接得到答案．
【详解】解：圆锥的展开图是扇形和圆，且圆在扇形的弧线上．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的展开图，题目比较简单．
3. 如图，已知，，平分，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】线线求出，再根据角平分线定义求得，把对应的数值代入即可求解．
【详解】∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴
故选：D
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和角的运算，找到等量关系是解题的关键．
4. 如图，在平面直角坐标系中，直线上一点关于轴的对称点为，则的值为
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，根据关于轴的对称点的坐标特点可得，然后再把点坐标代入可得的值．
【详解】解：点，
点关于轴的对称点，
在直线上，
，
．
故选：B．
5. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点M，N分别是边的中点，连接，若，，则的长为（ ）

A. 3B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中位线定理可得，由菱形的面积可得，进而可求出，再根据斜中半定理可求出的长．
【详解】解：∵四边形是菱形
∴
∵点M，N分别是边的中点，
∴
∵
∴
∴
∴
故选：D
【点睛】本题综合考查了菱形的性质、中位线定理、斜中半定理、勾股定理等．熟记相关结论是解题关键．
6. 如图，点在的边上，经过点，且与相切于点．若，则的长为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设与的另一个交点为点D，连接，解直角三角形求出，然后可得和的度数，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，设与的另一个交点为点D，连接，

∵是切线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理的推论以及弧长公式的运用，求出的度数是解答本题的关键．
7. 已知抛物线的对称轴在y轴左侧，现将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A. 或1B. C. 1D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】，由对称轴在y轴左侧可得，即，由题意知，平移后的抛物线解析式为，将代入得，计算求出满足要求的值即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
由题意知，平移后的抛物线解析式为，
将代入得，整理得，，
解得或（舍去），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
第二部分（非选择题 共99分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
8. 如图，数轴上A，B两点表示的两个数互为相反数（一格表示单位长度为1），则点C表示的数是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据数轴上表示的数互为相反数的性质：即到原点的距离相等，再由两点之间的距离确定出A表示的数，进而可得答案．
【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数互为相反数，
∴A，B两点到原点的距离相等，
∵点A与点B之间的距离为6个单位长度，
∴点A到原点的距离为6÷2＝3，
∵点A在原点的左侧，
∴点A表示的数是-3，
∴点C表示的数是-1
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数的性质，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．
9. 因式分解：___________．
【答案】
【解析】
【分析】首先提公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解即可．
【详解】原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
10. 如图，内接于，，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数是________．
【答案】5
【解析】
【分析】如图所示，连接，由圆周角定理得到，则该多边形的中心角为，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴该正多边形是正五边形，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角，难度不大．
11. 如图，在矩形中，点在边上，于点．若，，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求得，得到，可求得，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，得到是解题的关键．
12. 已知A（﹣1，m）与B（2，m﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m的值_____．
【答案】2
【解析】
【详解】试题分析：∵A（﹣1，m）与B（2，m﹣3）是反比例函数图象上的两个点，∴（﹣1）×m=2×（m﹣3），解得m=2．故答案为2．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
13. 如图，点是等边的边上的一个动点，连结，将射线绕点顺时针旋转交于点，若，则的最小值是 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】由等边三角形的性质可知∠B=∠C，利用外角的性质证得∠BAD=∠EDC，可得出△ABD∽△DCE，设BD的长为x，由相似的性质求出CE的长，再求出AC的长，利用函数的性质可求出AE的最小值．
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=4，
∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC，∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠EDC，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
设BD=x，则CD=4-x，
∴，
∴CE=-x2+x，
∴AE=AC-CE
=4-（-x2+x）
=x2-x+4
=（x-2）2+3，
∵＞0，
由二次函数的性质可知，当x的值为2时，AE有最小值，最小值为3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似的判定与性质以及二次函数的性质等，解题的关键是能够用字母将所求线段的长段表示出来，用函数的性质求极值．
三、解答题（共14小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方，余弦，绝对值．熟练掌握有理数的乘方，余弦，绝对值是解题的关键．
分别计算有理数的乘方，余弦，绝对值，然后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
15. 解不等式，并写出其非负整数解．
【答案】，非负整数解为：0，1，2
【解析】
【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解．根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，进而求出其非负整数解即可．正确的计算，是关键．
【详解】解：
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
∴非负整数解为：0，1，2．
16. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简，利用平方差公式进行因式分解．熟练掌握分式的化简，利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．
先通分，然后进行除法运算即可．
【详解】解：
．
17. 如图，已知中，，．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】
【分析】利用等边对等角及三角形内角和得到，故作即可得．
【详解】如图点D为所求．
【点睛】本题考查等边对等角，尺规作垂直平分线，需要在一定构图特殊性下尺规作图，需要分析题中条件，得到长度角度关系，再考虑基础尺规作图的方法进行构造即可．
18. 如图，在中，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点A，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质得到，则由平行线的性质得到，再由线段中点的定义得到，由此即可利用证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∵点F是中点，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟知平行四边形对边平行是解题的关键．
19. 春节期间，小明帮妈妈在小区里开的生活超市销售年货．其中，有一种有机蔬菜进价是38元，加价作为标价．小明的妈妈告诉小明这种有机蔬菜按利润率销售，小明销售这种蔬菜应打几折？
【答案】8折
【解析】
【分析】设小明销售这种蔬菜应打折，根据售价=进价×（1+利润率）×折扣率列出相应的方程求解即可．
【详解】解：设小明销售这种蔬菜应打折．
根据题意，得，
解得．
答：小明销售这种蔬菜应打8折．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理清题意找到相等关系列方程．
20. 如图，是长方形，，，和是对角线，图中的阴影部分以为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体图形的体积是多少立方厘米？
【答案】立方厘米
【解析】
【分析】设以为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是V，V等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积，计算即可．
【详解】解：设以为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是V，则
，
即：（立方厘米）．
答：阴影部分扫过的立体图形的体积是立方厘米．
【点睛】本题考查圆柱与圆锥的展开图的特点以及圆柱的体积公式及圆锥的体积公式，从运动的观点来看，点动成线，线动成面，面动成体，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
21. 为参加学校举办的冬季运动会，九年级一班的嘉嘉、淇淇两名同学练习百米赛跑．操场上从内道到外道，分别标有四个跑道，他们抽签占跑道．
（1）若嘉嘉抽到2道，则淇淇抽到3道的概率是______；
（2）请用列表法或画树状图方法，求嘉嘉、淇淇两名同学在相邻跑道的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查简单概率计算，利用树状图或列表法求概率．
（1）根据题意列式即可求出；
（2）先根据等可能性列表，即可求出本题答案．
【小问1详解】
解：∵操场上从内道到外道，分别标有四个跑道，他们抽签占跑道，
又∵嘉嘉抽到2道，
∴还有3条可选择，
∴设淇淇抽到3道为事件A，
即；
【小问2详解】
解：∵抽到的跑道等可能性，如下表所示：
， 通过列表法可知：共有12种等可能性，符合题意可能性有6种，
∴设嘉嘉、淇淇两名同学在相邻跑道为事件B，
．
22. 为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：

请结合图表完成下列各题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用总人数50减去其它组的人数即可求解；
（2）根据统计表即可补全直方图；
（3）根据优秀率的定义即可求解．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
根据题意画图如下：
；
【小问3详解】
本次测试的优秀率是，
答：本次测试的优秀率是．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23. “参天三柏倚高峰，武帝曾经驻六龙”讲的是嵩阳书院内的三棵古柏现存两棵，分别名为“大将军柏”和“二将军柏”，林学专家测定，古柏的树龄不低于年，是我国现存最古老和最大的柏树某中学数学课题学习小组欲测量“二将军柏”的高度，他们利用太阳光照射下的影长进行测量小西先在大树影子端点处竖立了一根长为米的木棒，并测得木棒的影长米，然后小乐在的延长线上找到点，使得点，，在同一直线上，并测得米，已知图中所有点均在同一平面内，且，，根据以上测量过程及测量数据，请你帮助该课题学习小组求出“二将军柏”的高度结果精确到米．
【答案】20米
【解析】
【分析】从实际问题中抽象出相似三角形，利用相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
，
∴，即，
∴，
∵，，
，
∴，即，
解得，
答：“二将军柏”的高度约为米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形，难度不大．
24. 随着电子信息产业的迅猛发展，智能手机已经走入普通百姓家，也影响着人们的生活．随着其功能的不断增加，致使手机电量的使用时间不断下降，手机充电问题便进入了大家的视线，手机电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）
某位助农达人在直播期间，两部相同的手机电池电量都剩余，为了不耽误助农直播卖农产品（建议充电时，不玩手机、避免手机高温）；第二部手机在15分钟后电量剩余时开始充电，已知两部手机的电量E与充电时间t的函数图象如下：

（1）求出线段对应的函数表达式．
（2）第一部手机充电时长为多少时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量？
【答案】（1）
（2）当时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出线段对应的函数表达式为，根据，得出，求出t的范围即可．
【小问1详解】
解：设线段对应的函数表达式为，
把代入得，
，
解得：，
线段对应的函数表达式为 ；
小问2详解】
设线段对应的函数表达式为，
把代入得，
，
解得：，
线段对应的函数表达式为 ，
当时， ，解得，
当时，第二部手机电量超过了第一部的手机电量．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，利用不等式或图象比较大小的具体知识；做题的关键是从图象中读取信息，分析图象、将实际问题转化为函数问题．
25. 如图，内接于，是的直径，E是长线上一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得出，再由各角之间的等量代换得出，利用切线的判定证明即可；
（2）根据（1）可知，，再由正切函数的定义得出，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，即是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
由（1）知，，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
解得（负值舍去），
即线段的长为．
【点睛】题目主要考查切线的判定和性质，正切函数的定义，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
26. 如图，抛物线：与x轴分别交于点，点，与y轴交于点C，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若抛物线与抛物线关于原点O对称，点P是第四象限抛物线上的点，过点P作轴于点D，连接．若与相似，求点P 的坐标．
【答案】（1）
（2）或或或，
【解析】
【分析】（1）将，，代入，即可求解；
（2）先求出抛物线的解析式为，设，则，，分两种情况讨论：①当时，，求出或；②当时，，求出或，．
【小问1详解】
解：将，代入中，
得，解得：，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
，
顶点坐标为，，
，关于原点对称的点为，，
抛物线的解析式为，
，，
，
轴，
，
设，
，，
∵与相似，
①当时，，
或，
或；
②当时，，
解得或，
或，；
综上所述：点坐标为或或或，．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，会求函数图象关于原点对称的函数解析式是解题的关键．
27. 将边长为4的正方形与边长为5的正方形按图1位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．将正方形绕点逆时针旋转一周，直线与直线交于点，
（1）与的数量关系：______；与的位置关系：______．
（2）如图2，当点在线段上时，求的面积．
（3）连结，当时，求的值．

【答案】（1）相等；垂直；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）由题意可得△DAG≌△BAE，从而可得DG=BE，再利用全等三角形的性质和直角三角形的知识可以得知DG⊥BE；
（2）连结AC交DG于点 O，则由勾股定理可得OG的长度，从而得到△ADG 的面积；
（3）连结GE并旋转△PGF至△HEF，由勾股定理即可得到正确解答．
【详解】（1）在△DAG与△BAE中，DA=BA，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，
∴△DAG≌△BAE，
∴DG=BE，∠DGA=∠BEA，
∴∠BEA+∠GDE=∠DGA+∠GDE=90°，
∴∠DPE=90°，∴DG⊥BE；
（2）如图，当在线段上时，连结交DG于点，则，
，
（3）如图，连结，以F为中心旋转△FGP至△FEH，
则与（1）类似有△DAG≌△BAE，∴∠DGA=∠BEA，
∴∠DGE+∠GEP=∠DGA+45°+∠GEP=45°+∠BEA+∠GEP=45°+45°=90°，
∴∠GPE=90°，
∴，
由旋转性质可知∠FEH=∠FGP，
∴∠FEH+∠FEP=∠FGP+∠FEP=360°-（∠GFE+∠GPE）=360°-180°=180°，
∴P、E、H三点共线，且是等腰直角三角形，
∵PH=PE+EH=PE+GP=，
∴，PF=7．
【点睛】本题考查正方形的综合应用，灵活运用三角形全等的判定与性质、旋转的性质和勾股定理求解是解题关键．
淇淇
嘉嘉
1
2
3
4
1
（2，1）
（2，1）
（4，1）
2
（1，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
组别
成绩x分
频数（人数）
第1组
4
第2组
8
第3组
16
第4组
a
第5组
10