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2023-2024学年江苏省南京市玄武外国语学九年级（下）段测数学试卷（3月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省南京市玄武外国语学九年级（下）段测数学试卷（3月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四个数中，是负数的是( )
A. |−3|B. (−3)2C. −(−3)D. −32
2.已知x=4，y=−2.计算x|y|−yx所得结果是( )
A. 32B. 0C. 1D. 2
3.若a<2 2A. 2B. 5C. 6D. 12
4.关于x的方程x2+ax+b=0，有下列四个命题：
甲：x=1是该方程的根
乙：该方程两根之和为2
丙：x=3是该方程的根
丁：该方程两根异号
如果有一个命题是假命题，则该命题是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5.如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y=kx的图象经过点Q，若S△BPQ=14S△OQC，则k的值为( )
A. −12
B. 12
C. 16
D. 18
6.函数y1、y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y=y1+y2的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.2022年，南京全力推动经济回稳向好，全年经济总量约16907亿元，继续保持全国前十位置.用科学记数法表示16907是______．
8.分解因式a3−4a的结果是______．
9.如图，给出下列四个条件，AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，∠C=∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有______组.
10.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠EBD=31°，则∠A+∠C= ______°.
11.一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为______米.
12.已知：点P(m,n)在直线y=−x+2上，也在双曲线y=−1x上，则m2+n2的值为______。
13.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=4，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥母线l的长为______．
14.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠B+∠E=210°，则∠CAD=______°.
15.如图，AB=3，BD⊥AB，AC⊥AB，且AC=1.点E是线段AB上一动点，过点E作CE的垂线，交射线BD于点F，则BF的长的最大值是 ．
16.如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B′C′交CD边于点G.连接BB′、CC′.若AD=7，CG=4，AB′=B′G，则CC′BB′=______(结果保留根号)．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：(1a+1−1a2−1)÷(aa−1−a)．
18.(本小题8分)
解不等式组5+3x<13x+23−x−12≤2，并写出它的正整数解．
19.(本小题8分)
如图，D是△ABC的边AB的中点，DE//BC，CE//AB，AC与DE相交于点F.求证：△ADF≌△CEF．
20.(本小题8分)
为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量(单位：kW⋅h)进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
(1)该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第______组内；
(2)估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW⋅h的大约有多少户．
21.(本小题8分)
如图，CD是△ABC的中线，∠B是锐角，sinB= 22，tanA=12，AC= 5．
(1)求AB的长．
(2)求tan∠CDB的值．
22.(本小题8分)
定义：若实数x，y满足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，则称点M(x,y)为“线点”.例如，点(0,−2)和(−2,0)是“线点”.已知：在直角坐标系xOy中，点P(m,n)．
(1)P1(3,1)和P2(−3,1)两点中，点______是“线点”；
(2)若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；
(3)若点Q(n,m)是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ−∠AOB|=30°时，直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了有理数的乘方，正数与负数，相反数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
各项利用绝对值的代数意义，乘方的意义，相反数的性质结合负数的定义判断即可．
【解答】
解：A、|−3|=3，不符合题意；
B、原式=9，不符合题意；
C、原式=3，不符合题意；
D、原式=−9，符合题意，
故选D．
2.【答案】B
【解析】解：原式=4|−2|−(−2)4
=42−24
=16−16
=0．
故选：B．
先把x、y的值代入得到原式=4|−2|−(−2)4，利于绝对值的意义和乘方的意义得到原式=42−24，然后进行乘方运算、有理数减法运算即可．
本题考查了有理数的乘方：n个有理数a相乘，记作an．
3.【答案】C
【解析】解：∵4<8<9，
∴2< 8<3，即2<2 2<3．
∴a=2，b=3．
∴ab=6．
故选：C．
依据平方数越大对应的算术平方根越大可求得a、b的值，最后依据有理数的乘法法则求解即可．
本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，
解得x1=3，则x2=−1，符合题意；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，
∵.两根之和不为2，而x1=l，x2=3与两根异号矛盾，与题意不符；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，
令x1=l，则x2=l，与题意不符，
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，
∵x1+x2=4≠2，与题意不符；
故选：A．
因为只有一个假命题，所以可以利用假设法，逐—判断即可．
本题考查了命题真假的判断，一元二次方程根的情况的判断，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵PB//OC(四边形OABC为正方形)，
∴△PBQ∽△COQ，
∴S△BPQS△OQC=(PBOC)2=14，
∴PB=PA=12OC=3．
∵正方形OABC的边长为6，
∴点C(0,6)，点P(6,3)，直线OB的解析式为y=x①，
∴设直线CP的解析式为y=ax+6，
∵点P(6,3)在直线CP上，
∴3=6a+6，解得：a=−12，
故直线CP的解析式为y=−12x+6②．
联立①②得：y=xy=−12x+6，
解得：x=4y=4，
∴点Q的坐标为(4,4)．
将点Q(4,4)代入y=kx中，得：
4=k4，解得：k=16．
故选：C．
由PB//OC可得出△PBQ∽△COQ，结合三角形面积比等于相似比的平方可得出PB=PA=12OC，结合正方形OABC的边长为6可得出点C、点P的坐标，利用待定系数法即可求出直线CP的函数解析式，联立直线OB与直线CP的函数解析式即可得出点Q的坐标，利用待定系数法即可求出k值．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出点Q的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方结合给定条件求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
根据函数图象的开口大小，与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【解答】
解：设y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2，
由图象知，a1>0，b1<0，c1>0，a2>0，b2<0，c2<0，|c2|>|c1|，
∴a1+a2>0，b1+b2<0，c1+c2<0，
∵y=y1+y2=(a1+a2)x2+(b1+b2)x+(c1+c2)，−b1+b22(a1+a2)>0，
∴函数y=y1+y2的图象开口向上，对称轴也在y轴的右侧，开口比函数y1、y2的开口都小，与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴只有选项A符合题意，
故选：A．
7.【答案】1.6907×104
【解析】解：16907=1.6907×104．
故答案为：1.6907×104．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
8.【答案】a(a+2)(a−2)
【解析】解：原式=a(a2−4)
=a(a+2)(a−2)．
故答案为：a(a+2)(a−2)．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9.【答案】3
【解析】解：第①组AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，满足AAS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组AB=DE，∠B=∠E，BC=EF满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故答案为：3．
要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10.【答案】211
【解析】解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，
∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCE=180°，
∵∠ECD=∠EBD=31°，
∴∠A+∠BCD=180°+31°=211°．
故答案为：211．
连接CE，先根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠BCE=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠ECD=∠EBD=31°，然后求解即可．
本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理，作出辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
11.【答案】10 2
【解析】解：设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为1：7，
∴水平距离为7x米，
由勾股定理得：x2+(7x)2=1002，
解得：x1=10 2，x2=−10 2(舍去)，
故答案为：10 2．
设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到水平距离为7x米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
12.【答案】6
【解析】【分析】
直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间关系是解题关键．
【解答】
解：∵点P(m,n)在直线y=−x+2上，
∴n+m=2，
∵点P(m,n)在双曲线y=−1x上，
∴mn=−1，
∴m2+n2=(n+m)2−2mn=4+2=6．
故答案为：6．
13.【答案】12
【解析】解：根据题意得2π×4=120×π×l180，
解得l=12．
故答案为12．
由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则利用弧长公式得到2π×4=120×π×l180，然后解方程即．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】30
【解析】解：连接CE，如图，
∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵∠B+∠AED=210°，
∴∠CED=210°−180°=30°，
∴∠CAD=∠CED=30°．
故答案为30．
连接CE，如图，先利用圆的内接四边形的性质得到∠B+∠AEC=180°，则可计算出∠CED=30°，然后根据圆周角定理得到∠CAD的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的内接四边形的对角互补．
15.【答案】94
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
设AE=x，则BE=3−x，根据垂直的定义得到∠A=∠CEF=∠B=90°，求得∠C=∠BEF，根据相似三角形的性质得到ACBE=AEBF，求得BF=−x2+3x，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】
解：设AE=x，则BE=3−x，
∵BD⊥AB，AC⊥AB，CE⊥EF，
∴∠A=∠CEF=∠B=90°，
∴∠C+∠AEC=∠AEC+∠BEF=90°，
∴∠C=∠BEF，
∴△AEC∽△BFE，
∴ACBE=AEBF，
∴13−x=xBF，
∴BF=−x2+3x，
∴当x=−32×(−1)=32时，BF最大值=−(32)2+3×32=94，
故BF的长的最大值是94，
故答案为：94．
16.【答案】 745
【解析】【分析】
本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，将CC′BB′转化为ACAB，并依据直角三角形的勾股定理列方程求解，从而得出矩形的宽AB，这也是本题的难点所在．
先连接AC，AG，AC′，构造直角三角形以及相似三角形，根据△ABB′∽△ACC′，可得到CC′BB′=ACAB，设AB=AB′=x，则AG= 2x，DG=x−4，Rt△ADG中，根据勾股定理可得方程72+(x−4)2=( 2x)2，求得AB的长以及AC的长，即可得到所求的比值．
【解答】
解：连接AC，AG，AC′，
由旋转可得，AB=AB′，AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，
∴ABAC=AB′AC′，
∴△ABB′∽△ACC′，
∴CC′BB′=ACAB，
∵AB′=B′G，∠AB′G=∠ABC=90°，
∴△AB′G是等腰直角三角形，
∴AG= 2AB′，
设AB=AB′=x，则AG= 2x，DG=x−4，
∵Rt△ADG中，AD2+DG2=AG2，
∴72+(x−4)2=( 2x)2，
解得x1=5，x2=−13(舍去)，
∴AB=5，
∴Rt△ABC中，AC= AB2+BC2= 52+72= 74，
∴CC′BB′=ACAB= 745，
故答案为 745．
17.【答案】解：原式=[a−1(a+1)(a−1)−1(a+1)(a−1)]÷(aa−1−a2−aa−1)
=a−2(a+1)(a−1)÷2a−a2a−1
=a−2(a+1)(a−1)÷a(2−a)a−1
=a−2(a+1)(a−1)⋅a−1−a(a−2)
=1−a(a+1)
=−1a2+a．
【解析】直接根据分式的混合运算法则计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则成为解答本题的关键．
18.【答案】解：5+3x<13①x+23−x−12≤2②，
由①得x<83，
由②得x≥−5，
不等式组的解集为−5≤x<83，
则它的正整数解为1，2．
【解析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集，然后再确定它的正整数解．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】【分析】
依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD=CE，依据CE//AD，即可得出∠A=∠ECF，∠ADF=∠E，即可判定△ADF≌△CEF．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等
【证明】
∵DE//BC，CE//AB，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴BD=CE，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴AD=EC，
∵CE//AD，
∴∠A=∠ECF，∠ADF=∠E，
∴△ADF≌△CEF(ASA)．
【解析】依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD=CE，依据CE//AB，即可得出∠A=∠ECF，∠ADF=∠E，即可判定△ADF≌△CEF．
20.【答案】解：(1)2;
(2)50+100200×10000=7500(户)，
答：估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW⋅h的大约有7500户．
【解析】解：(1)∵有200个数据，
∴六月份的用电量的中位数应该是第100个和第101个数的平均数，
∴该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第2组内；
故答案为：2；
(2)见答案．
本题考查了中位数，用样本估计总体，频数(率)分布表，正确的理解题意是解题的关键．
(1)根据中位数的定义即可得到结论；
(2)根据题意列式计算即可得到结论．
21.【答案】解：(1)作CE⊥AB于E，设CE=x，
在Rt△ACE中，∵tanA=CEAE=12，
∴AE=2x，
∴AC= x2+(2x)2= 5x，
∴ 5x= 5，解得x=1，
∴CE=1，AE=2，
在Rt△BCE中，∵sinB= 22，
∴∠B=45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE=CE=1，
∴AB=AE+BE=3，
答：∠B的度数为45°，AB的值为3；
(2)∵CD为中线，
∴BD=12AB=1.5，
∴DE=BD−BE=1.5−1=0.5，
∴tan∠CDE=CEDE=10.5=2，
即tan∠CDB的值为2．
【解析】(1)作CE⊥AB于E，设CE=x，利用∠A的正切可得到AE=2x，则根据勾股定理得到AC= 5x，所以 5x= 5，解得x=1，于是得到CE=1，AE=2，接着利用sinB= 22得到∠B=45°，则BE=CE=1，最后计算AE+BE得到AB的长；
(2)利用CD为中线得到BD=12AB=1.5，则DE=BD−BE=0.5，然后根据正切的定义求解．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此类题目的关键是熟练应用勾股定理和锐角三角函数的定义．
22.【答案】解：(1)P2；
(2)∵点P(m,n)为“线点”，
则m2−2n=t，n2−2m=t，
∴m2−2n−n2+2m=0，m2−2n+n2−2m=2t，
∴(m−n)(m+n+2)=0，
∵m≠n，
∴m+n+2=0，
∴m+n=−2，
∵m2−2n+n2−2m=2t，
∴(m+n)2−2mn−2(m+n)=2t，
即：(−2)2−2mn+2×2=2t，
∴mn=4−t，
∵m≠n，
∴(m−n)2>0，
∴m2−2mn+n2>0，
∴(m+n)2−4mn>0，
∴(−2)2−4mn>0，
∴mn<1，
∵mn=4−t，
∴t>3；
(3)设PQ直线的解析式为：y=kx+b，
则n=mk+bm=nk+b，解得：k=−1，
∵直线PQ分别交x轴，y轴于点A、B，
∴∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵|∠AOB−∠POQ|=30°，
∴∠POQ=120°或60°，
∵P(m,n)，Q(n,m)，
∴P、Q两点关于y=x对称，
①若∠POQ=120°时，如图1所示：
作PC⊥x轴于C，QD⊥y轴于D，作直线MN⊥AB．
∵P、Q两点关于y=x对称，∴∠PON=∠QON=12∠POQ=60°，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AON=BON=45°，
∴∠POC=∠QOD=15°，
在OC上截取OT=PT，则∠TPO=∠TOP=15°，
∴∠CTP=30°，
∴PT=2PC=2n，TC= 3n，
∴−m= 3n+2n，
由(2)知，m+n=−2，
解得：m=−1− 3，n= 3−1，
由(2)知：mn=4−t，t>3，
∴(−1− 3)(−1+ 3)=4−t，解得：t=6，
②若∠POQ=60°时，如图2所示，
作PD⊥x轴于D，QC⊥y轴于C，作直线MN⊥AB．
∵P、Q两点关于y=x对称，
∴∠PON=∠QON=12∠POQ=30°，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AON=BON=45°，
∴∠POD=∠QOC=15°，
在OD上截取OT=PT，则∠TPO=∠TOP=15°，
∴∠DTP=30°，
∴PT=2PD=−2n，TD=− 3n，
∴−m=− 3n−2n，
由(2)知，m+n=−2，
解得m=−1− 33，n=−1+ 33，
由(2)知：mn=4−t，t>3，
∴(−1− 33)(−1+ 33)=4−t，解得：t=103，
综上所述，t的值为：6或103．
【解析】【分析】
本题是三角形综合题目，考查了新定义“线点”、轴对称图形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、待定系数法求直线的解析式、因式分解、完全平方公式、三角函数以及分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度．
(1)若x，y满足x2+2y=t，y2+2x=t且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，由新定义即可得出结论；
(2)由新定义得出a2+2b=t，b2+2a=t，得出a2+2b−b2−2a=0，a2+2b+b2+2a=2t，分解因式得出(a−b)(a+b−2)=0，得出a+b=2，ab=4−t，由完全平方公式得出(a+b)2−4ab>0，得出ab<1，即可得出结果；
(3)证出△AOB是等腰直角三角形，求出∠POQ=120°或60°，得出P、Q两点关于y=x对称，再分两种情况讨论，求出t的值即可．
【解答】
解：(1)∵当M点(x,y)，若x，y满足x2−2y=t，y2−2x=t且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，
又∵P1(3,1)，则32−2×1=7，12−2×3=−5，7≠−5，
∴点P1不是线点；
∵P2(−3,1)，则(−3)2−2×1=7，12−2×(−3)=7，7=7，
∴点P2是线点，
故答案为：P2；
(2)见答案；
(3)见答案．组别
用电量分组
频数
1
8≤x<93
50
2
93≤x<178
100
3
178≤x<263
34
4
263≤x<348
11
5
348≤x<433
1
6
433≤x<518
1
7
518≤x<603
2
8
603≤x<688
1
1.下列四个数中，是负数的是( )
A. |−3|B. (−3)2C. −(−3)D. −32
2.已知x=4，y=−2.计算x|y|−yx所得结果是( )
A. 32B. 0C. 1D. 2
3.若a<2 2
4.关于x的方程x2+ax+b=0，有下列四个命题：
甲：x=1是该方程的根
乙：该方程两根之和为2
丙：x=3是该方程的根
丁：该方程两根异号
如果有一个命题是假命题，则该命题是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5.如图，正方形OABC的边长为6，A，C分别位于x轴、y轴上，点P在AB上，CP交OB于点Q，函数y=kx的图象经过点Q，若S△BPQ=14S△OQC，则k的值为( )
A. −12
B. 12
C. 16
D. 18
6.函数y1、y2在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数y=y1+y2的大致图象是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.2022年，南京全力推动经济回稳向好，全年经济总量约16907亿元，继续保持全国前十位置.用科学记数法表示16907是______．
8.分解因式a3−4a的结果是______．
9.如图，给出下列四个条件，AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，∠C=∠F，从中任选三个条件能使△ABC≌△DEF的共有______组.
10.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠EBD=31°，则∠A+∠C= ______°.
11.一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，每前进100米所上升的高度为______米.
12.已知：点P(m,n)在直线y=−x+2上，也在双曲线y=−1x上，则m2+n2的值为______。
13.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=4，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥母线l的长为______．
14.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠B+∠E=210°，则∠CAD=______°.
15.如图，AB=3，BD⊥AB，AC⊥AB，且AC=1.点E是线段AB上一动点，过点E作CE的垂线，交射线BD于点F，则BF的长的最大值是 ．
16.如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B′C′交CD边于点G.连接BB′、CC′.若AD=7，CG=4，AB′=B′G，则CC′BB′=______(结果保留根号)．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：(1a+1−1a2−1)÷(aa−1−a)．
18.(本小题8分)
解不等式组5+3x<13x+23−x−12≤2，并写出它的正整数解．
19.(本小题8分)
如图，D是△ABC的边AB的中点，DE//BC，CE//AB，AC与DE相交于点F.求证：△ADF≌△CEF．
20.(本小题8分)
为了了解某地居民用电量的情况，随机抽取了该地200户居民六月份的用电量(单位：kW⋅h)进行调查，整理样本数据得到下面的频数分布表．
根据抽样调查的结果，回答下列问题：
(1)该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第______组内；
(2)估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW⋅h的大约有多少户．
21.(本小题8分)
如图，CD是△ABC的中线，∠B是锐角，sinB= 22，tanA=12，AC= 5．
(1)求AB的长．
(2)求tan∠CDB的值．
22.(本小题8分)
定义：若实数x，y满足x2=2y+t，y2=2x+t，且x≠y，则称点M(x,y)为“线点”.例如，点(0,−2)和(−2,0)是“线点”.已知：在直角坐标系xOy中，点P(m,n)．
(1)P1(3,1)和P2(−3,1)两点中，点______是“线点”；
(2)若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；
(3)若点Q(n,m)是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ−∠AOB|=30°时，直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了有理数的乘方，正数与负数，相反数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
各项利用绝对值的代数意义，乘方的意义，相反数的性质结合负数的定义判断即可．
【解答】
解：A、|−3|=3，不符合题意；
B、原式=9，不符合题意；
C、原式=3，不符合题意；
D、原式=−9，符合题意，
故选D．
2.【答案】B
【解析】解：原式=4|−2|−(−2)4
=42−24
=16−16
=0．
故选：B．
先把x、y的值代入得到原式=4|−2|−(−2)4，利于绝对值的意义和乘方的意义得到原式=42−24，然后进行乘方运算、有理数减法运算即可．
本题考查了有理数的乘方：n个有理数a相乘，记作an．
3.【答案】C
【解析】解：∵4<8<9，
∴2< 8<3，即2<2 2<3．
∴a=2，b=3．
∴ab=6．
故选：C．
依据平方数越大对应的算术平方根越大可求得a、b的值，最后依据有理数的乘法法则求解即可．
本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，
解得x1=3，则x2=−1，符合题意；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，
∵.两根之和不为2，而x1=l，x2=3与两根异号矛盾，与题意不符；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，
令x1=l，则x2=l，与题意不符，
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，
∵x1+x2=4≠2，与题意不符；
故选：A．
因为只有一个假命题，所以可以利用假设法，逐—判断即可．
本题考查了命题真假的判断，一元二次方程根的情况的判断，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵PB//OC(四边形OABC为正方形)，
∴△PBQ∽△COQ，
∴S△BPQS△OQC=(PBOC)2=14，
∴PB=PA=12OC=3．
∵正方形OABC的边长为6，
∴点C(0,6)，点P(6,3)，直线OB的解析式为y=x①，
∴设直线CP的解析式为y=ax+6，
∵点P(6,3)在直线CP上，
∴3=6a+6，解得：a=−12，
故直线CP的解析式为y=−12x+6②．
联立①②得：y=xy=−12x+6，
解得：x=4y=4，
∴点Q的坐标为(4,4)．
将点Q(4,4)代入y=kx中，得：
4=k4，解得：k=16．
故选：C．
由PB//OC可得出△PBQ∽△COQ，结合三角形面积比等于相似比的平方可得出PB=PA=12OC，结合正方形OABC的边长为6可得出点C、点P的坐标，利用待定系数法即可求出直线CP的函数解析式，联立直线OB与直线CP的函数解析式即可得出点Q的坐标，利用待定系数法即可求出k值．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求出点Q的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方结合给定条件求出点Q的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
根据函数图象的开口大小，与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【解答】
解：设y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2，
由图象知，a1>0，b1<0，c1>0，a2>0，b2<0，c2<0，|c2|>|c1|，
∴a1+a2>0，b1+b2<0，c1+c2<0，
∵y=y1+y2=(a1+a2)x2+(b1+b2)x+(c1+c2)，−b1+b22(a1+a2)>0，
∴函数y=y1+y2的图象开口向上，对称轴也在y轴的右侧，开口比函数y1、y2的开口都小，与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴只有选项A符合题意，
故选：A．
7.【答案】1.6907×104
【解析】解：16907=1.6907×104．
故答案为：1.6907×104．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
8.【答案】a(a+2)(a−2)
【解析】解：原式=a(a2−4)
=a(a+2)(a−2)．
故答案为：a(a+2)(a−2)．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
9.【答案】3
【解析】解：第①组AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，满足AAS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组AB=DE，∠B=∠E，BC=EF满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故答案为：3．
要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10.【答案】211
【解析】解：如图，连接CE，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，
∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCE=180°，
∵∠ECD=∠EBD=31°，
∴∠A+∠BCD=180°+31°=211°．
故答案为：211．
连接CE，先根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠BCE=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠ECD=∠EBD=31°，然后求解即可．
本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理，作出辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键．
11.【答案】10 2
【解析】解：设上升的高度为x米，
∵上山直道的坡度为1：7，
∴水平距离为7x米，
由勾股定理得：x2+(7x)2=1002，
解得：x1=10 2，x2=−10 2(舍去)，
故答案为：10 2．
设上升的高度为x米，根据坡度的概念得到水平距离为7x米，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
12.【答案】6
【解析】【分析】
直接利用一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征得出n+m以及mn的值，再利用完全平方公式将原式变形得出答案．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的特征，正确得出m，n之间关系是解题关键．
【解答】
解：∵点P(m,n)在直线y=−x+2上，
∴n+m=2，
∵点P(m,n)在双曲线y=−1x上，
∴mn=−1，
∴m2+n2=(n+m)2−2mn=4+2=6．
故答案为：6．
13.【答案】12
【解析】解：根据题意得2π×4=120×π×l180，
解得l=12．
故答案为12．
由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则利用弧长公式得到2π×4=120×π×l180，然后解方程即．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】30
【解析】解：连接CE，如图，
∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠AEC=180°，
∵∠B+∠AED=210°，
∴∠CED=210°−180°=30°，
∴∠CAD=∠CED=30°．
故答案为30．
连接CE，如图，先利用圆的内接四边形的性质得到∠B+∠AEC=180°，则可计算出∠CED=30°，然后根据圆周角定理得到∠CAD的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的内接四边形的对角互补．
15.【答案】94
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
设AE=x，则BE=3−x，根据垂直的定义得到∠A=∠CEF=∠B=90°，求得∠C=∠BEF，根据相似三角形的性质得到ACBE=AEBF，求得BF=−x2+3x，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】
解：设AE=x，则BE=3−x，
∵BD⊥AB，AC⊥AB，CE⊥EF，
∴∠A=∠CEF=∠B=90°，
∴∠C+∠AEC=∠AEC+∠BEF=90°，
∴∠C=∠BEF，
∴△AEC∽△BFE，
∴ACBE=AEBF，
∴13−x=xBF，
∴BF=−x2+3x，
∴当x=−32×(−1)=32时，BF最大值=−(32)2+3×32=94，
故BF的长的最大值是94，
故答案为：94．
16.【答案】 745
【解析】【分析】
本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，将CC′BB′转化为ACAB，并依据直角三角形的勾股定理列方程求解，从而得出矩形的宽AB，这也是本题的难点所在．
先连接AC，AG，AC′，构造直角三角形以及相似三角形，根据△ABB′∽△ACC′，可得到CC′BB′=ACAB，设AB=AB′=x，则AG= 2x，DG=x−4，Rt△ADG中，根据勾股定理可得方程72+(x−4)2=( 2x)2，求得AB的长以及AC的长，即可得到所求的比值．
【解答】
解：连接AC，AG，AC′，
由旋转可得，AB=AB′，AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，
∴ABAC=AB′AC′，
∴△ABB′∽△ACC′，
∴CC′BB′=ACAB，
∵AB′=B′G，∠AB′G=∠ABC=90°，
∴△AB′G是等腰直角三角形，
∴AG= 2AB′，
设AB=AB′=x，则AG= 2x，DG=x−4，
∵Rt△ADG中，AD2+DG2=AG2，
∴72+(x−4)2=( 2x)2，
解得x1=5，x2=−13(舍去)，
∴AB=5，
∴Rt△ABC中，AC= AB2+BC2= 52+72= 74，
∴CC′BB′=ACAB= 745，
故答案为 745．
17.【答案】解：原式=[a−1(a+1)(a−1)−1(a+1)(a−1)]÷(aa−1−a2−aa−1)
=a−2(a+1)(a−1)÷2a−a2a−1
=a−2(a+1)(a−1)÷a(2−a)a−1
=a−2(a+1)(a−1)⋅a−1−a(a−2)
=1−a(a+1)
=−1a2+a．
【解析】直接根据分式的混合运算法则计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则成为解答本题的关键．
18.【答案】解：5+3x<13①x+23−x−12≤2②，
由①得x<83，
由②得x≥−5，
不等式组的解集为−5≤x<83，
则它的正整数解为1，2．
【解析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集，然后再确定它的正整数解．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】【分析】
依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD=CE，依据CE//AD，即可得出∠A=∠ECF，∠ADF=∠E，即可判定△ADF≌△CEF．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等
【证明】
∵DE//BC，CE//AB，
∴四边形DBCE是平行四边形，
∴BD=CE，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴AD=EC，
∵CE//AD，
∴∠A=∠ECF，∠ADF=∠E，
∴△ADF≌△CEF(ASA)．
【解析】依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD=CE，依据CE//AB，即可得出∠A=∠ECF，∠ADF=∠E，即可判定△ADF≌△CEF．
20.【答案】解：(1)2;
(2)50+100200×10000=7500(户)，
答：估计该地1万户居民六月份的用电量低于178kW⋅h的大约有7500户．
【解析】解：(1)∵有200个数据，
∴六月份的用电量的中位数应该是第100个和第101个数的平均数，
∴该地这200户居民六月份的用电量的中位数落在第2组内；
故答案为：2；
(2)见答案．
本题考查了中位数，用样本估计总体，频数(率)分布表，正确的理解题意是解题的关键．
(1)根据中位数的定义即可得到结论；
(2)根据题意列式计算即可得到结论．
21.【答案】解：(1)作CE⊥AB于E，设CE=x，
在Rt△ACE中，∵tanA=CEAE=12，
∴AE=2x，
∴AC= x2+(2x)2= 5x，
∴ 5x= 5，解得x=1，
∴CE=1，AE=2，
在Rt△BCE中，∵sinB= 22，
∴∠B=45°，
∴△BCE为等腰直角三角形，
∴BE=CE=1，
∴AB=AE+BE=3，
答：∠B的度数为45°，AB的值为3；
(2)∵CD为中线，
∴BD=12AB=1.5，
∴DE=BD−BE=1.5−1=0.5，
∴tan∠CDE=CEDE=10.5=2，
即tan∠CDB的值为2．
【解析】(1)作CE⊥AB于E，设CE=x，利用∠A的正切可得到AE=2x，则根据勾股定理得到AC= 5x，所以 5x= 5，解得x=1，于是得到CE=1，AE=2，接着利用sinB= 22得到∠B=45°，则BE=CE=1，最后计算AE+BE得到AB的长；
(2)利用CD为中线得到BD=12AB=1.5，则DE=BD−BE=0.5，然后根据正切的定义求解．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此类题目的关键是熟练应用勾股定理和锐角三角函数的定义．
22.【答案】解：(1)P2；
(2)∵点P(m,n)为“线点”，
则m2−2n=t，n2−2m=t，
∴m2−2n−n2+2m=0，m2−2n+n2−2m=2t，
∴(m−n)(m+n+2)=0，
∵m≠n，
∴m+n+2=0，
∴m+n=−2，
∵m2−2n+n2−2m=2t，
∴(m+n)2−2mn−2(m+n)=2t，
即：(−2)2−2mn+2×2=2t，
∴mn=4−t，
∵m≠n，
∴(m−n)2>0，
∴m2−2mn+n2>0，
∴(m+n)2−4mn>0，
∴(−2)2−4mn>0，
∴mn<1，
∵mn=4−t，
∴t>3；
(3)设PQ直线的解析式为：y=kx+b，
则n=mk+bm=nk+b，解得：k=−1，
∵直线PQ分别交x轴，y轴于点A、B，
∴∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵|∠AOB−∠POQ|=30°，
∴∠POQ=120°或60°，
∵P(m,n)，Q(n,m)，
∴P、Q两点关于y=x对称，
①若∠POQ=120°时，如图1所示：
作PC⊥x轴于C，QD⊥y轴于D，作直线MN⊥AB．
∵P、Q两点关于y=x对称，∴∠PON=∠QON=12∠POQ=60°，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AON=BON=45°，
∴∠POC=∠QOD=15°，
在OC上截取OT=PT，则∠TPO=∠TOP=15°，
∴∠CTP=30°，
∴PT=2PC=2n，TC= 3n，
∴−m= 3n+2n，
由(2)知，m+n=−2，
解得：m=−1− 3，n= 3−1，
由(2)知：mn=4−t，t>3，
∴(−1− 3)(−1+ 3)=4−t，解得：t=6，
②若∠POQ=60°时，如图2所示，
作PD⊥x轴于D，QC⊥y轴于C，作直线MN⊥AB．
∵P、Q两点关于y=x对称，
∴∠PON=∠QON=12∠POQ=30°，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AON=BON=45°，
∴∠POD=∠QOC=15°，
在OD上截取OT=PT，则∠TPO=∠TOP=15°，
∴∠DTP=30°，
∴PT=2PD=−2n，TD=− 3n，
∴−m=− 3n−2n，
由(2)知，m+n=−2，
解得m=−1− 33，n=−1+ 33，
由(2)知：mn=4−t，t>3，
∴(−1− 33)(−1+ 33)=4−t，解得：t=103，
综上所述，t的值为：6或103．
【解析】【分析】
本题是三角形综合题目，考查了新定义“线点”、轴对称图形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、待定系数法求直线的解析式、因式分解、完全平方公式、三角函数以及分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度．
(1)若x，y满足x2+2y=t，y2+2x=t且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，由新定义即可得出结论；
(2)由新定义得出a2+2b=t，b2+2a=t，得出a2+2b−b2−2a=0，a2+2b+b2+2a=2t，分解因式得出(a−b)(a+b−2)=0，得出a+b=2，ab=4−t，由完全平方公式得出(a+b)2−4ab>0，得出ab<1，即可得出结果；
(3)证出△AOB是等腰直角三角形，求出∠POQ=120°或60°，得出P、Q两点关于y=x对称，再分两种情况讨论，求出t的值即可．
【解答】
解：(1)∵当M点(x,y)，若x，y满足x2−2y=t，y2−2x=t且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，
又∵P1(3,1)，则32−2×1=7，12−2×3=−5，7≠−5，
∴点P1不是线点；
∵P2(−3,1)，则(−3)2−2×1=7，12−2×(−3)=7，7=7，
∴点P2是线点，
故答案为：P2；
(2)见答案；
(3)见答案．组别
用电量分组
频数
1
8≤x<93
50
2
93≤x<178
100
3
178≤x<263
34
4
263≤x<348
11
5
348≤x<433
1
6
433≤x<518
1
7
518≤x<603
2
8
603≤x<688
1
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