2024年湖北省恩施市熊家岩初级中学中考第一次模拟考试数学试卷

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考试范围：第1章--第29章；考试时间：120分钟；满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）某个地区，一天早晨的温度是，中午上升了，则中午的温度是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据早晨的温度是，中午上升了，以及有理数加法法则即可求解；
【详解】解：∵早晨的温度是，中午上升了，
∴中午的温度是：，
故选：C
【考点】本题主要考查有理数加法的应用，掌握有理数加法运算法则并正确理解题意是解题的关键．
2．（本题3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．吉B．祥C．如D．意
【分析】根据轴对称的定义去判断即可．
【详解】∵吉是轴对称图形，
∴A符合题意；
∵祥不是轴对称图形，
∴B不符合题意；
∵如不是轴对称图形，
∴C不符合题意；
∵意不是轴对称图形，
∴D不符合题意；
故选A．
【考点】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义即一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的图形能完全重合，是解题的关键．
3．（本题3分）把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可．
【详解】解：将不等式移项得：，
合并同类项得：，
将不等式的解集表示在数轴上如下：

故选：D．
【考点】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．在数轴上正确表示出不等式的解集是解题的关键．
4．（本题3分）马虎同学在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由合并同类项法则，幂的乘方，同底数的幂的乘除法则逐项判断．
【详解】解：，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D正确，符合题意；
故选：D．
【考点】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
5．（本题3分）下列调查适合做普查 的是 （ ）
A．调查全国中小学生课外阅读情况B．了解一批灯泡的平均使用寿命
C．了解全市中小学生每天的零花钱D．奥运会上对参赛运动员进行的尿样检查
【详解】试题分析：A、调查全国中小学生课外阅读情况，样本容量较大，适合做抽样调查；
B、了解一批灯泡的平均使用寿命，调查具有破坏性，适合做抽样调查；
C、了解全市中小学生每天的零花钱，样本容量较大，适合做抽样调查；
D、奥运会上对参赛运动员进行的尿样检查，要求调查结果准确，适合做普查．
故选D．
点睛：本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．（本题3分）若一个多边形每一个内角都为144°，则这个多边形是（ ）边形
A．6B．8C．10D．12
【分析】根据题意判断这个多边形为正多边形，其每个内角度数相等，即每个外角也相等，结合多边形外角和360°定理解题即可．
【详解】一个多边形每一个内角都为144°，
该多边形是正多边形，
，
故选：C．
【考点】本题考查多边形的内角和与外角和、正多边形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．（本题3分）如图，矩形与矩形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点B的坐标为，则点E的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解决问题的关键．根据位似变换的性质进行解答即可．
【详解】解：∵矩形与矩形是位似图形，点O为位似中心，相似比为，点B的坐标为，
∴点E的坐标是：．
故选：D．
8．（本题3分）小明近期几次数学测试的成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分，则小明第四次测试的成绩是（ ）
A．85分B．93分C．81分D．91分
【分析】本题考查了有理数的加减的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．
根据题意列出算式，即可得出答案．
【详解】分，
即小明第四次测验的成绩是91分，
故选：D．
9．（本题3分）如图，已知AC﹣BC=3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长是15，则AC的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【详解】∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=15，
∵AC﹣BC=3，
∴AC=9，BC=6．
故选D．
点睛：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△BCE的周长=AC+BC是解题的关键．
10．（本题3分）已知二次函数的图像如图所示，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．②④B．③④C．①③④D．②
【分析】根据函数图像与坐标轴的交点、开口方向、对称轴，以及特殊点的代入进行判断每一个选项即可．
【详解】抛物线开口向上，a＞0，与y轴的交点在负半轴，则c＜0，
对称轴＞0，则b＜0，
∴abc＞0，∴①错误；
对称轴，
∴，即，∴②正确；
根据图像可知，当x=-1时，y＞0，即 ，∴③错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0
即，∴④正确；
∴②④正确，
故选：A．
【考点】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，关键是要会利用抛物线的轴对称性以及二次函数与方程之间的转换．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）若分式的值为零，则x的值为 ．
【分析】
根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，
∴；
故答案为：．
【考点】本题考查分式的值为0的条件，解题的关键是掌握分式为0的条件，正确的计算．
12．（本题3分）在数-1，0，1，2中任取两个数作为点的坐标，那么该点刚好在一次函数图像上的概率是 ．
【分析】先列出数-1，0，1，2中任取两个数作为点的坐标所有情况，再判断是否在直线上，最后再利用概率公式的求法得出.
【详解】数-1，0，1，2中任取两个数作为点的坐标可以为（-1,0）、（-1,1）、（-1,2）、（0,-1）、（0,1）、（0,2）、（1,-1）、（1,0）、（1，2）、（2,-1）、（2,0）、（2,1）共12种情况，
依次代入知（-1,0）、（0,1）、（1，2）在直线上，
故概率为=.
【考点】此题主要考查一次函数与概率的结合，依次列出各坐标点是解题的关键.
13．（本题3分）如图，在中，对角线，相交于点O，点E是边的中点．已知，则 ．
【分析】直接利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理得出EO的长．
【详解】解：∵在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC的中点，
又∵点E是AB的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO＝BC＝5．
故答案为：5．
【考点】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，正确得出EO是△ABC的中位线是解题关键．
14．（本题3分）一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则 （填“”或“”或“”）．
【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则求出m的取值，再由反比例函数的性质得出结论．
【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
反比例函数经过一、三象限，
又，
，
故答案为：．
【考点】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m值，再由反比例函数的性质求解．
15．（本题3分）已知函数y=，若点P（a，ka）在该函数图像上这样的P恰好有三个，则k的值为 .
【分析】根据分段函数的表达式，结合二次函数的图象和性质，利用数形结合即可得到结论．
【详解】如图，

①当 y=k1x 过（3，3）时，符合题意，∴k1=1.
②当 y=k2x 与 y=(x－5)2－1（x≥3）的图象只有一个公共点时，也符合题意.
由，得 x2－(10+k)x+24=0，由△=0 得
k1=－10+4 ，k2=－10－4 （舍去），
综上，k=1 或 k=－10+4.
故答案为：1 或－10+4.
【考点】本题考查了二次函数的性质，关键是根据分段函数的表达式，结合二次函数的图象和性质解答．
三、解答题（共75分）
16．（本题6分）计算：
(1)．
(2)
【分析】（1）先根据绝对值的意义化简绝对值，然后再按照有理数加减混合运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
【考点】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键．
17．（本题6分）如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长，并证明平分．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得，在中，由勾股定理可求得的长，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的判定，可得结论．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
．
，，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形；
（2）四边形是平行四边形，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
，
，
，
即平分．
【考点】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出是解题关键．
18．（本题7分）某校七年级共有500名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动．为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，童威随机抽取m名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图．
学生读书数量统计表
（1）直接写出m、a、b的值；
（2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？
【分析】（1）根据题意和统计图中的数据可以求得m、a、b的值；
（2）根据统计图中的数据可以求得该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本．
【详解】解：（1）由题意可得，
m=15÷30%=50，b=50×40%=20，a=50﹣15﹣20﹣5=10，
即m的值是50，a的值是10，b的值是20；
（2）（1×15+2×10+3×20+4×5）×=1150（本），
答：该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是1150本．
【考点】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、统计表，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
19．（本题8分）如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB与点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1．7，≈1．4 ）
【详解】试题分析：利用30°的正切值即可求得AE长，进而可求得CE长．CE减去DE长即为信号塔CD的高度．
试题解析：根据题意得：AB=18，DE=18，∠A=30°，∠EBC=60°，
在Rt△ADE中，AE=
∴BE=AE-AB=18-18，
在Rt△BCE中，CE=BE•tan60°=（18-18）=54-18，
∴CD=CE-DE=54-18-18≈5米．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
20．（本题8分）如图1，一次函数y＝kx+b的图象交x轴、y轴分别于B、A两点，反比例函数y＝的图象过线段AB的中点C（﹣2，1.5）．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如图2，在反比例函数上存在异于C点的一动点M，过点M作MN⊥x轴于N，在y轴上存在点P，使得S△ACP＝2S△MNO，请你求出点P的坐标．
【分析】（1）先根据点C的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式，再根根线段中点的定义可求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法可求出一次函数的解析式；
（2）先根据反比例函数的几何意义可得的面积，从而可得的面积，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）将点代入得：，解得，
则反比例函数的表达式为；
设点A的坐标为，点B的坐标为，
由题意得：，解得，
即，
将点代入得：，解得，
则一次函数的表达式为；
（2）设点P的坐标为，则，
由反比例函数的几何意义得：，
，
，
，
的AP边上的高为2，
，
解得或，
则点P的坐标为或．
【考点】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、反比例函数的几何意义等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．
21．（本题8分）如图，在中，，，与交于点，，为直径，点在上，连接，，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为3，求的长．
【分析】（1）连接OD，OD=OB=OE，即有∠OBD=∠ODB，∠ODE=∠OED，再根据BE是直径，得到∠BDE=90°=∠DBE+∠DEB=∠ODB+∠ODE，即有∠DBE+∠ODE=90°，再根据∠ADE=∠DBE，有∠ADE+∠ODE=90°，即有OD⊥AC，则结论得证；
（2）先证，则有，利用=可求出OA，即可求出BC的值．
【详解】（1）连接OD，如图，
∵OD=OB=OE，
∴∠OBD=∠ODB，∠ODE=∠OED，
∵BE是直径，
∴∠BDE=90°=∠DBE+∠DEB=∠ODB+∠ODE，
∴∠DBE+∠ODE=90°，
∵∠ADE=∠DBE，
∴∠ADE+∠ODE=90°，
∴OD⊥AC，
∵OD为半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）根据（1）的结论，有OD⊥AC，
∵∠C=90°，
∴BC⊥AC，
∴，
∴，
∵在中，=，
又∵OD=OB=3，
∴OA=5，
∴AB=OA+OB=8，
∵，
∴．
即BC为．
【考点】本题考查了切线的判定与性质、直径作对圆周角为90°、平行的性质、勾股定理、三角函数等知识，证明切线是解答本题的关键．
22．（本题10分）“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元．若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤，若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
(1)若降价2元，则每天的销售利润是多少元？
(2)若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降低多少元？（其他成本忽略不计）
(3)将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意，每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，若每斤的价格降低2元，则可增加20斤，再根据每斤利润×销量可得解；
（2）根据每天盈利1100元列方程，解出x的值即可求解；
（3）设每天盈利y元，根据题意建立二次函数，根据二次函数的图象及性质即可求得．
【详解】（1）解：根据题意，降价2元则销售量为（斤），
销售利润为：（元），
答：若降价2元，则每天的销售利润是1040元；
（2）解：设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价x元，
根据题意得：，
整理得：，
解得，
∵为了尽快减少库存，
∴，
此时，
答：每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤25元；
（3）解：设水果商每天获得的利润为y元，
根据题意得： ，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为，
此时，
答：将商品的销售单价定为元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是元．
【考点】本题考查了二次函数的实际应用问题，根据等量关系列方程及二次函数，利用二次函数的图象及性质求解是解题的关键．
23．（本题10分）如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．

(1)观察猜想：
图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；
(2)探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【分析】（）根据，，得 ，再根据三角形中位线定理可知， ，，，利用平行线的性质可证得；
（）先通过证明，得 ，，再由()同理可证；
（）由三角形三边关系可知：，由() 知：是等边三角形，，则最大值为，即可求得的最大面积．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵点分别为的中点，
∴，，，，
∴，，，
∴，
∵∠，
∴，
故答案为：，；
（2）解：为等腰直角三角形，理由如下：
由旋转可知：，
又∴，，
∴，
∴，，
∵点分别为的中点，
∴，，，，
∴，， ，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形；
（3）解：由三角形三边关系可知：，即，
∴的最大值为，
由()知，是等腰直角三角形， ，
∴时，最大，．
【考点】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边性质，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明是解题的关键．
24．（本题12分）如图，抛物线交x轴于A(-4，0)，B（1，0)，交y轴于C点，且OC=2OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线BC上找点D，使△ABD为以AB为腰的等腰三角形，求D点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在异于B的点P，过P点作PQ⊥AC于Q，使△APQ与△ABC相似？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点C（0，-2），再利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先求出直线BC的解析式为y=2x−2，可设D（x，2x−2），然后分两种情况讨论：以AD为底时，AB=BD；以BD为底时，AB=AD，即可求解；
（3）根据勾股定理逆定理可得∠ACB=90°，然后分两种情况讨论：当P点在第三象限时，当P点在第一象限时，分别根据相似三角形的判定和求解．
【详解】（1）解：∵B（1，0)，
∴OB=1，
∵OC=2OB．
∴OC=2，
∴点C（0，-2），
把点A(-4，0)，B（1，0)， C（0，-2），代入得：
，解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵B（1，0)， A(-4，0)，
∴AB=5，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（1，0)， C（0，-2）代入得：
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y=2x−2，
设D（x，2x−2），
①以AD为底时，AB=BD，
∴ ，
解得：，
∴，，
②以BD为底时，AB=AD，
∴，
解得：x=-1或1（舍去），
∴点，
综上所述，满足条件的D点有， ，（−1，−4）；
（3）解：∵点A(-4，0)，B（1，0)， C（0，-2），
∴AB=5，，
∴，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
 当P点在第三象限时，
设（2）中交抛物线于P点，
过P点作PQ⊥AC于Q点，
由（2）得：∠BAC=∠PAC，
∵∠ACB=∠AQP=90°，
∴△APQ∽△ABC，
设直线AP的解析式为y=mx+n，
把点A(-4，0)， 点代入得：
，解得，，
∴直线AP的解析式为，
由，解得，或（舍去），
∴P；
当P点在第一象限时，
过A点作，交抛物线于P′点，
过P′点作P′Q′⊥AC于Q′点，由（2）可知∠BAC=∠PAC，
∴∠ACB=∠AQ′P′=90°，∠PAP′=90°，
∴∠PAC+∠CAP′=90°，∠AP′Q′ +∠CAP′=90°，
∴∠BAC=∠AP′Q′，
∴△P′AQ′∽△ABC，
∵，
∴可设直线AP′的解析式为，
把点A（-4，0）代入得：，
解得：t=3，
∴直线AP′的解析式为，
联立，解得：或（舍去），
∴P′；
综上，满足条件的点P有和
【考点】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，会利用待定系数法求函数解析式；能运用两点间的距离公式和相似的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
阅读量/本
学生人数
1
15
2
a
3
b
4
5