2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高一（下）月考数学试卷（2月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高一（下）月考数学试卷（2月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|y= −x2+2x+3}，集合B={y|y=lg(x2+1)}，则A∩B=( )
A. (0,3)B. (−1,3]C. [0,3]D. [0,+∞)
2.比较a=(12023)2024，b=202412023，c=lg120232024的大小( )
A. a>b>cB. b>a>cC. b>c>aD. c>a>b
3.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是( )
A. f(x)=sin|x|B. f(x)=cs|x|C. f(x)=|csx|D. f(x)=tan(−x)
4.已知sin(α−π6)=12，则cs(α+4π3)=( )
A. 32B. − 32C. 12D. −12
5.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能是( )
A. f(x)=(4x−4−x)|x|
B. f(x)=4x−4−x|x|
C. f(x)=(4x−4−x)lg2|x|
D. f(x)=(4x+4−x)lg2|x|
6.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水温经有关研究可知：在室温25℃下，某种绿茶用85℃的水泡制，经过xmin后茶水的温度为y℃，且y=k⋅0.9085x+25(x≥0,k∈R)，当茶水温度降至70℃时，此时茶水泡制时间大约为(结果保留整数，参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln0.9085≈−0.0960)．( )
A. 2minB. 3minC. 4minD. 5min
7.下列选项中是“∃x∈[1,2]，2x2−mx+6>0”成立的一个必要不充分条件的是( )
A. m≤8B. m>8C. m≤4 3D. m<8
8.已知f(x)是定义在R上的函数在(0,+∞)上单调递减，且f(2)=0，函数y=f(x+2)的图象关于点(−2,0)对称，则不等式(x+1)f(1−x)≥0的解集为( )
A. (−∞,−1]∪[3,+∞)B. [−1,3]
C. [−1,1]∪[3,+∞)D. (−∞,1]∪[3,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知集合M={x|x=π4+kπ2,k∈Z}，N={x|x=π2+kπ4,k∈Z}，则M⫋N
B. 终边落在y轴上的角的集合可表示为{α|α=90°+kπ,k∈Z}
C. 若sinx−csx>0，则x∈{x|π4+2kπD. 在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
10.已知正实数x，y满足x+2y=1，则( )
A. xy≤18B. x+ 2y≥ 2
C. y+2x≥9xyD. x2+y2<1
11.已知f(x)=− 3tan(2x+π3)，则下列说法正确的有( )
A. f(x)图象对称中心为(−π6+kπ2,0),k∈Z
B. f(x)的最小正周期为π2
C. f(x)的单调递增区间为(−5π12+kπ2,π12+kπ2),k∈Z
D. 若f(x)≥1，则x∈(−5π12+kπ2,−π4+kπ2],k∈Z
12.一般地，若函数f(x)的定义域为[a,b]，值域为[ka,kb]，则称[a,b]为函数f(x)的“k倍伴随区间”，另函数f(x)的定义域为[a,b]，值域也为[a,b]，则称[a,b]为f(x)的“伴随区间”，下列结论正确的是( )
A. 若[2,b]为函数f(x)=x2−4x+6的“伴随区间”，则b=3
B. 函数f(x)=1+2x存在“伴随区间”
C. 若函数f(x)=m− x+1存在“伴随区间”，则m∈[−14,0]
D. 二次函数f(x)=−12x2+x存在“3倍伴随区间”
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数f(x)=(m2+m−5)xm在(0,+∞)上单调递减，则m= ______．
14.已知扇形的圆心角的弧度数为2，其弧长也是2，则该扇形的面积为______．
15.若函数f(x)=cs2x+2sinx+ 3在[−π3,θ]上的值域为[14,2+ 3]，则θ的取值范围为______．
16.已知函数f(x)=|x2−4x|,x≤5−x+10,x>5，若实数a，b，c，d，e满足a四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)3−8+0.2512×(1 2)−4+52lg53−lg311⋅lg1127；
(2)已知a12−a−12=2，求(a32+a−32)(a+a−1−2)．
18.(本小题12分)
已知函数f(θ)=sin(θ−π)cs(θ+π)sin(32π−θ)sin(52π−θ)cs(π−θ)sin(θ+π2)．
(1)求f(113π)的值；
(2)若f(θ)=2，求3sin2θ−2sinθcsθ+1的值．
19.(本小题12分)
某甜品店今年年初花费21万元购得一台新设备，经估算该设备每年可为甜品店提供12万元的总收入，已知使用x年(x∈N*)所需的总维护费用为x2+2x万元．
(1)该甜品店第几年开始盈利？
(2)若干年后，该甜品店计划以2万的价格卖出设备，有以下两种方案：
①当年平均盈利最大时卖出；
②当盈利总额达到最大时卖出；
试问哪一方案较为划算？说明理由．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)，函数f(x)图象关于(−13,0)对称，且函数f(x)图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4．
(1)求ω，φ的值；
(2)求函数f(x)的单调增区间；
(3)若方程f(x)−m=0在x∈[0,83]有两个根，求m的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2( x−1−a2+16)定义域为[1,+∞)．
(1)求a的取值范围；
(2)当x∈[1,54]时，函数g(x)=24−4x−12的图象始终在函数f(x)的图象上方，求a的取值范围．
22.(本小题12分)
定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，|f(x)|≤M恒成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为f(x)的上界．
(1)若f(x)=4x+a⋅2x+1在(−∞,0]上是以2为上界的有界函数，求a的取值范围；
(2)已知f(x)=1+(−12)x，m为正整数，是否存在整数k，使得对∀n∈N*，不等式m≤kf(n)≤m+2恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：令−x2+2x+3≥0解得−1≤x≤3，∴A=[−1,3]，
∵x2+1≥1，∴lg(x2+1)≥0即B=[0,+∞)，
∴A∩B=[0,3]．
故选：C．
先化简集合A，B，再根据交集运算定义求解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由指数函数和对数函数的单调性得：01，c<0，
∴b>a>c．
故选：B．
利用指数函数、对数函数的性质比较大小即可．
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
A选项，函数图象如下：
f(x)=sin|x|不是周期函数，
BC选项，f(x)=cs|x|与f(x)=|csx|是偶函数，
D选项，f(x)=tan(−x)=−tanx的周期为π且f(−x)=tanx=−f(x)，
故f(x)=tan(−x)=−tanx为奇函数，D正确．
故选：D．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性和周期性，涉及常见函数的奇偶性，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：cs(α+4π3)=cs[(α−π6)+3π2]=sin(α−π6)=12．
故选：C．
直接利用诱导公式求解即可．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：令g(x)=4x−4−x,h(x)=|x|,u(x)=lg2|x|(x≠0),n(x)=4x+4−x，
易知g(x)+g(−x)=0，h(x)=h(−x)，u(x)=u(−x)，n(x)=n(−x)，
即g(x)，h(x)，u(x)，n(x)分别为奇函数、偶函数、偶函数、偶函数，
由图象可知f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，故排除BCD，
显然对于A项，在x=0处有定义，f(−x)=(4−x−4x)|x|=−(4x−4−x)|x|，
为奇函数，故A成立．
故选：A．
利用函数奇偶性的性质，及特殊值可判定选项．
本题主要考查函数图象的求解，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：当x=0时，k⋅0.90850+25=85，则k=60，
令y=60⋅0.9085x+25=70，∴0.9085x=34，
xln0.9085=ln34=ln3−2ln2，解得x≈3．
故选：B．
当x=0时，求得k=60，当y=70时，求出x值．
本题主要考查指数函数型函数的应用，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∃x∈[1,2]，2x2−mx+6>0，
即∃x∈[1,2]，m<2x2+6x=2(x+3x)，
∴m<[2(x+3x)]max，其中y=2(x+3x)在[1, 3)上单调递减，
在( 3,2]上单调递增，
其中x=1时，y=2×(1+31)=8，当x=2时，y=2×(2+32)=7，
故[2(x+3x)]max=8，即m<8，
由于m<8是m≤8的真子集，故“m<8”的必要不充分条件为“m≤8”，
其他选项均不合要求．
故选：A．
变形得到m<2x2+6x=2(x+3x)，根据函数单调性得到[2(x+3x)]max=8，故m<8，由于m<8是m≤8的真子集，故A正确，其他选项不合要求．
本题主要考查存在量词和特称命题，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由函数y=f(x+2)的图象关于(−2,0)对称可得f(x)图象关于(0,0)对称，
所以f(x)为R上的奇函数，则f(x)函数图象大致如图所示．
要解(x+1)f(1−x)≥0，即(x+1)[−f(x−1)]≥0，即(x+1)f(x−1)≤0，
当x+1≥0时，即x≥−1时，f(x−1)≤0，所以−2≤x−1≤0或者x−1≥2，解得−1≤x≤1或x≥3；
当x+1<0时，即x<−1时，f(x−1)≥0，所以x−1≤−2，解得x<−1
综上可得不等式(x+1)f(1−x)≥0的解集为(−∞,1]∪[3,+∞)．
故选：D．
先根据函数的性质作出简图，结合函数图象可得不等式的解集．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：集合M表示终边落在直线y=±x上角的集合，
集合N表示终边落在直线y=±x及坐标轴上角的集合，因此A正确；
B选项出现角度与弧度混用错误；
C选项，sinx−csx>0即 2sin(x−π4)>0，即sin(x−π4)>0，
所以2kπD选项，若sin2A=sin2B，
因为A，B∈(0,π)，所以2A，2B∈(0,2π)，
所以2A=2B或2A+2B=π，所以A=B或A+B=π2，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故D错误．
故选：AC．
根据集合M，N表示终所在的位置，即可判断A；根据角度与弧度不能混用即可判断B；根据辅助角公式结合正弦函数的性质即可判断C；由题意可得2A=2B或2A+2B=π，即可判断D．
本题主要考查了象限角及轴上角的表示，还考查了诱导公式的应用，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对A：由x+2y=1及基本不等式得x+2y≥2 2xy，即2 2xy≤1，
所以xy≤18，当且仅当x=2y=12时等号成立，故A正确；
对B：( x+ 2y)2=x+2y+2 2xy≤1+1=2，当且仅当x=2y=12时等号成立，
所以 x+ 2y≤ 2，故B错误；
对C：因为(x+2y)(1x+2y)=5+2yx+2xy≥5+2 4=9，当且仅当2yx=2xy，即x=y=13时等号成立，
所以1x+2y≥9即y+2x≥9xy，故C正确；
对D：x2+y2=(1−2y)2+y2=5y2−4y+1，其中y∈(0,12)，所以x2+y2<1，故D正确．
故选：ACD．
根据基本不等式判断选项ABC，消元利用二次函数求最值判断D．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于A，令2x+π3=kπ2,k∈Z，则x=−π6+kπ4,k∈Z，
即f(x)图象对称中心为(−π6+kπ4,0),k∈Z；选项A错误；
对于B，f(x)最小正周期为T=π|ω|=π2，选项B正确；
对于C，根据正切函数的性质可知，只需求g(x)=tan(2x+π3)的单调递减区间，
显然f(x)无单调增区间，选项C错误；
对于D，f(x)≥1，即tan(2x+π3)≤− 33，
所以−π2+kπ<2x+π3≤−π6+kπ,k∈Z，
解得−5π12+kπ2故选：BD．
A选项，整体法求出函数的对称中心；
B选项，根据T=π|ω|求出答案；
C选项，根据正切函数的性质得到f(x)无单调增区间；
D选项，得到tan(2x+π3)≤− 33，结合图象求出不等式．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
12.【答案】AD
【解析】解：对于选项A，∵f(x)=x2−4x+6在x∈[2,b]上单调递增，且f(2)=22−4×2+6=2，
∴f(b)=b，即b2−4b+6=b，
∴b=2(舍)或b=3，故A正确；
对于选项B，f(x)=1+2x在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，
若存在“伴随区间”[a,b]，则f(a)=b，f(b)=a，
即1+2a=b，1+2b=a，
解得a=2b=2或a=−1b=−1，与b>a矛盾，故选项B错误；
对于选项C，f(x)=m− x+1在上x∈[−1,+∞)单调递减，
假设存在“伴随区间”，[a,b]⊆[−1,+∞)，
则m− b+1=a且m− a+1=b，
∴m= a+1+b= b+1+a, b+1− a+1=b−a=(b+1)−(a+1)，
∴ b+1+ a+1=1，即 b+1=1− a+1或 a+1=1− b+1，
因此m=1− a+1+am=1− b+1+b，
∴m=1− x+1+x在[−1,+∞)内有两个不同根，
令t= x+1，∴t≥0，t2=x+1，x=t2−1，m=t2−1−t+1=t2−t，
∴m∈(−14,0]，故选项C错误；
对于选项D，不妨取x∈[a,0]，则y∈[3a,0]，
所以−12a2+a=3a，解得a=−4，
故存在x∈[−4,0]，y∈[−12,0]，故选项D正确．
故选：AD．
对于ABC：利用伴随区间的定义来判断；对于D：不妨取x∈[a,0]，则y∈[3a,0]，列方程求解即可．
本题考查了函数的定义域和值域，是中档题．
13.【答案】−3
【解析】解：∵幂函数f(x)=(m2+m−5)xm在(0,+∞)上单调递减，
∴m2+m−5=1m<0，
解得m=−3．
故答案为：−3．
利用幂函数的定义和性质直接求解．
本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】1
【解析】解：由弧长公式可得2=2r，解得r=1．
∴扇形的面积S=12lr=12×2×1=1．
故答案为：1．
利用扇形的面积计算公式、弧长公式即可得出．
本题考查了扇形的面积计算公式、弧长公式，属于基础题．
15.【答案】[π2,4π3]
【解析】解：因为f(x)=cs2x+2sinx+ 3=1−sin2x+2sinx+ 3，x∈[−π3,θ]，
令t=sinx，则y=−t2+2t+ 3+1，因为y∈[14,2+ 3]，
当x=−π3时，t=sinx=− 32，此时y=14；
令y=2+ 3即−t2+2t+ 3+1=2+ 3，解得t=1，
又t=sinx，x∈[−π3,θ]，
结合t=sinx图象可知：π2≤θ≤4π3，所以θ的取值范围为[π2,4π3]．
故答案为：[π2,4π3]．
依题意可得f(x)=1−sin2x+2sinx+ 3，令t=sinx则y=−t2+2t+ 3+1，结合函数的值域，求出所对应的t的值，再结合正弦函数的性质可得．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的图象和性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】(0,56)
【解析】解：由题意可得f(x)图象大致如图所示：
令f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=k，则0由图象知：a+d=4，b+c=4，6所以t=af(a)+bf(b)+cf(c)+df(d)+ef(e)
=(b+c)k+(a+d)k+ek
=(8+e)k=(8+e)(10−e)
=−e2+2e+80，且6根据二次函数的性质可知：t∈(0,56)．
故答案为：(0,56)．
利用分段函数的图象与性质先确定a+d=4，b+c=4，6本题考查了分段函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)原式=−2+12×4+9−lg327=6．
(2)∵(a12−a−12)2=a−2+a−1=4，∴a+a−1=6，
(a12+a−12)2=(a12−a−12)2+4=8，
∵a12+a−12>0，
∴a12+a−12=2 2，
原式=(a12+a−12)(a−1+a−1)(a+a−1−2)
=2 2(6−1)(6−2)=40 2．
【解析】(1)由指数幂与对数的运算性质求解即可；
(2)给a12−a−12=2两边同时平方，可得a+a−1=6，然后求出a12+a−12的值，计算即可．
本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为f(θ)=(−sinθ)⋅(−csθ)⋅(−csθ)csθ⋅(−csθ)⋅csθ=tanθ，
所以f(113π)=tan113π=tan(−π3)=−tanπ3=− 3；
(2)由(1)知，f(θ)=tanθ，
故tanθ=2，
原式=4sin2θ−2sinθcsθ+cs2θsin2θ+cs2θ
=4tan2θ−2tanθ+1tan2θ+1
=135．
【解析】(1)利用诱导公式化简得到f(θ)=tanθ，再代入求值即可；
(2)求出tanθ=2，再化为齐次式，化弦为切，代入求值．
本题主要考查了诱导公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)设该甜品店x年后所得总利润为y万元，
则y=12x−(x2+2x)−21=−x2+10x−21，
若开始盈利即y>0，
∴−x2+10x−21>0，解得3∴第四年开始盈利．
(2)方案①：设年平均利润为w(x)，
则w(x)=yx=−(x+21x)+10，
由对勾函数性质可得w(x)在x∈(0, 21)上单调递增，x∈( 21,+∞)上为单调递减，
又x∈N*，4< 21<5，
x=4时，w(4)=34，4年总利润为3万元，
x=5时，w(5)=45，5年总利润为4万元，故选择第5年卖出，
方案②：y=−x2+10x−21=−(x−5)2+4，ymax=4，
即x=5时总利润最大为4万元，
故选择方案一或方案二是一样的，最终都是在x=5即第5年总利润达到最大值4万元，加上卖设备的2万元，一共6万元利润．
【解析】(1)表达出x年后所得总利润y=−x2+10x−21，解不等式，求出答案；
(2)设方案①的年平均利润为w(x)，表达出w(x)=−(x+21x)+10，由对勾函数单调性求出最大值，再求出方案②的总利润，比较后得到结论．
本题考查了函数在解决实际问题上的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵f(x)图象上相邻的最高点与最低点的距离为4.且A= 3，
∴(T2)2+(2 3)2=16，∴T=4即2πω=4，∴ω=π2，
又f(x)图象关于(−13,0)对称，
∴−13×π2+φ=kπ，k∈Z，∴φ=π6+kπ，k∈Z，
又∵|φ|<π2，∴φ=π6．
(2)f(x)= 3sin(π2x+π6)，
由−π2+2kπ≤π2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z解得−43+4k≤x≤23+4k,k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为[−43+4k,23+4k],k∈Z．
(3)当x∈[0,83]时，f(0)= 32,f(23)= 3，
作出x∈[0,83]时f(x)的图象如下图：

若方程f(x)−m=0在x∈[0,83]有两个根，则 32≤m< 3．
即m的取值范围为{m| 32≤m< 3}.
【解析】(1)根据相邻的最高点与最低点的距离为4求得ω，根据图象关于(−13,0)对称求得φ=π6．
(2)由−π2+2kπ≤π2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z解得f(x)的单调增区间；
(3)作出x∈[0,83]时f(x)的图象，观察图象得m的取值范围．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，正弦型定理余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1) x−1−a2+16>0对∀x∈[1,+∞)恒成立，
即a2−16<( x−1)min，∵x≥1则 x−1≥0，
所以a2−16<0即−4(2)根据已知条件有：g(x)>f(x)对∀x∈[1,54]恒成立，
令u= x−1−a2+16，y=lg2u单调递增，
u= x−1−a2+16也单调递增，∴f(x)单调递增；
令t=4−4x，y=2t−12单调递增，
t=4−4x单调递减，∴g(x)单调递减；
所以g(x)min>f(x)max，
g(x)=161−x−12是单调减函数x∈[1,54]时g(x)min=g(54)=0，
f(x)=lg2( x−1−a2+16)是单调增函数x∈[1,54]时，
f(x)max=f(54)=lg2(332−a2)，
lg2(332−a2)<0即0<332−a2<1，结合定义域有：0<332−a2<1−4即− 662所以a∈(−4,− 622)∪( 622,4)．
【解析】(1)根据函数定义域确定 x−1−a2+16>0对∀x∈[1,+∞)恒成立，转化为a2−16<( x−1)min，求出 x−1的最小值即可；
(2)根据已知条件，先判断复合函数f(x)、g(x)的单调性，结合题意确定g(x)min>f(x)max，在定义域内，分别求出g(x)min、f(x)max，再结合g(x)min>f(x)max，−4本题主要考查恒成立问题，属于中档题．
22.【答案】解：(1)令t=2x，x∈(−∞,0]，则t∈(0,1]，
由题意可得，|f(x)|≤2在x∈(−∞,0]上恒成立，
则|t2+at+1|≤2在t∈(0,1]上恒成立，
所以−2≤t2+at+1≤2，即−t−3t≤a≤−t+1t，
易知y=−t+1t在(0,1]上单调递减，则ymin=0，
根据对勾函数的性质可知：y=−t−3t在(0,1]上单调递增，则ymax=−4，
综上：−4≤a≤0．
(2)假设存在k满足题意，m≤k⋅[1+(−12)n]≤m+2,n∈N*，
当n为正偶数时，m≤k⋅[1+(12)n]≤m+2，即m1+(12)n≤k≤m+21+(12)n，
设y=1+(12)n(n=2t,t∈N*)，易知1+(12)n∈(1,54],
则4m5≤m1+(12)n所以m≤k≤45(m+2)，
当n为正奇数时，m≤k⋅[1−(12)n]≤m+2，即m1−(12)n≤k≤m+21−(12)n，
同理设y=1−(12)n(n=2t−1,t∈N*)，易知1−(12)n∈[12,1),
则m所以2m≤k≤m+2，
若k存在，则2m≤k≤45(m+2)且m+2≥2m45(m+2)≥2mm>0，即0所以m=1，即2≤k≤125，
所以k=2．
【解析】(1)利用上界的定义，换元令t=2x转化函数式得−t−3t≤a≤−t+1t，再结合y=−t+1t与y=−t−3t的单调性计算即可；
(2)假设存在k满足题意，分离参数得m1+(−12)n≤k≤m+21+(−12)n，然后分类讨论n为奇数或偶数，结合1+(−12)n的取值范围计算即可．
本题主要考查恒成立问题，属于中档题．