黑龙江省哈尔滨市第六中学校2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题及答案

这是一份黑龙江省哈尔滨市第六中学校2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题及答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知集合，且，则（ ）
A．B．
C．或D．
2．已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
3．已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．9B．21C．39D．51
4．2024年3月19日，新加坡共和理工学院代表团一行3位嘉宾莅临我校，就拓宽大学与中学间的合作、深化国际人才培养等议题与我校进行了深入的交流.交流时嘉宾席位共有一排8个空座供3位嘉宾就坐，若要求每位嘉宾的两旁都有空座，且嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，则不同的坐法有（ ）
A．8种B．12种C．16种D．24种
5．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．针对2025年第九届亚冬会在哈尔滨举办，校团委对“是否喜欢冰雪运动与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢冰雪运动的人数占男生人数的，女生中喜欢冰雪运动的人数占女生人数的，若依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可（ ）
附:.
A．48B．54C．60D．66
8．如图，P，M，Q，N是抛物线上的四个点（P，M在轴上方，Q，N在轴下方），已知直线PQ与MN的斜率分别为和2，且直线PQ与MN相交于点，则（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
9．已知函数的最小正周期为，则（ ）
A．
B．是图象的一个对称中心
C．在区间上单调递增
D．在区间上的最小值为
10．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ）
A．B．当时，
C．当时，不是数列中的项D．若是数列中的项，则的值可能为6
11．已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．当时，则在上单调递增
B．当时，函数有唯一极值点
C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有
D．若函数有三个零点，则
三、填空题
12．已知不共线的三个单位向量满足与的夹角为，则实数 .
13．设，则 .
14．已知数列中，，且，若存在正整数，使得成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．记的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求角的大小;
(2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长.
16．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，，是的中点.
(1)求证：平面BDM；
(2)若平面，点为线段CE上一点，且，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值.
17．已知直线与椭圆交于两不同点，且的面积，其中为坐标原点.
(1)证明：和均为定值；
(2)设线段的中点为，求的最大值.
18．已知函数.
(1)求时，在处的切线方程；
(2)讨论在上的最值情况；
(3)恒成立，求实数的取值范围.
19．高三学生参加高考体检，一班共有50人，分成A，B，C三个小组，分别有15，15，20人.
(1)若体检一切正常每组需要二十分钟，若有异常所在组需延长十分钟，每位同学正常的概率为p，求七十分钟内能完成班级检测的概率；
(2)若三组同学在一起排序进行，求最后一位同学来自A组且B组比C组结束的早的概率；
(3)若每位同学的体检时间都是两分钟，三组同学在一起排序进行，求A组同学全部结束所需时间的期望.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考答案：
1．D
【分析】由题意可知，分和两种情况，解得，进而可得集合.
【详解】因为，可知，
若，则，
此时，，不合题意；
若，则，
此时，，符合题意；
综上所述：，，则.
故ABC错误，D正确.
故选：D.
2．B
【分析】根据给定条件，利用复数的乘方运算及除法运算计算即得.
【详解】依题意，，所以.
故选：B
3．B
【分析】根据条件，利用等差数列前项和公式及等差数列的性质，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
故选：B.
4．A
【分析】排列问题，用插空法根据要求即可解决.
【详解】共有8个座位，3个人就坐，所以还剩下5个座位；
因为要求每个人左右都有空座，所以在5个座位的4个空隙中插入3个人，共有种，
又嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，所以共有种，
故选：A.
5．B
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】易知，则
，
当且仅当，即时取得等号.
故选：B
6．B
【分析】设底面的外接圆的半径为，由正、余弦定理求得，再设外接球的半径为，结合球的截面圆的性质，求得，利用求得表面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，在中，，且，
由余弦定理得，
设底面的外接圆的半径为，由正弦定理得，即
再设直三棱柱外接球的球心为，外接球的半径为，
在直角中，可得，
所以球的表面积为.
故选：B.

7．A
【分析】根据已知条件设男生人数为，结合独立性检验公式得出不等式，根据的取值，即可求解.
【详解】设男生人数为，因为被调查的男、女生人数相同，
所以女生人数也为，根据题意列出列联表：
则，
因为依据的独立性检验，认为是否喜欢冰雪运动与学生性别有关，
所以，即，解得，又，
所以B、C、D正确，A错误.
故选：A
8．A
【分析】设出点的坐标，写出直线的方程，联立抛物线方程，再根据韦达定理和弦长公式分别求得，再求结果即可.
【详解】设，则直线的方程为，
联立抛物线方程可得，，
则；
又直线方程为，
联立抛物线方程可得，
则，；
故，，，；
故.
故选：A.
9．BC
【分析】由周期公式可得A错误；由余弦函数的对称中心可得B正确；由余弦函数的递增区间可得C正确；由余弦函数的单调性可得D错误.
【详解】A：由最小正周期是，故A错误；
B：因为，对称中心，解得，
当时，对称中心为，故B正确；
C：由余弦函数的递增区间可知，解得，
当时，在区间上单调递增，故C正确；
D：由C可知，在上单调递增，故最小值为，故D错误；
故选：BC.
10．ABD
【分析】对A，根据等差数列通项公式求解即可；对B，分析的公差再求解即可；对C，由B中通项公式判断即可；对D，根据题意判断当时即可.
【详解】对A，，故A正确；
对B，当时，公差，此时，故B正确；
对C，当时，此时，，即是数列中的项，故C错误；
对D，当时，，又，故D正确.
故选：ABD
11．ACD
【分析】对于A：直接代入求单调性即可；对于B：直接代入求极值即可；对于C：将函数两个不等于1的零点转化为有两个不等于1的根，，求导，研究其单调性，根据单调性确定，然后证明和对应的值一样即可；对于D：将问题转化为函数有两个极值点，求导解答即可.
【详解】对于A：当时，，
则，令，
则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，所以在上单调递增，A正确；
对于B：当时，，
则，令，
则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，所以在上单调递增，无极值，B错误；
对于C：令，得，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，单调递增，且，
当时，，单调递减，且，
若函数只有两个不等于的零点，即函数与有两个交点，
则不妨取，
当时，，
所以函数与的两个交点横坐标互为倒数，即，C正确；
对于D：明显，所以是函数的一个零点，且，
函数有三个零点，且函数在上为连续函数，则函数必有两个极值点（不为1），
因为，
所以，
设，则
当时，令，得，单调递减，
，得，单调递增，
所以，所以在上单调递减，不可能有3个零点，
所以，令，得，单调递减，
，得，单调递增，
所以，
所以，所以，D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：导数问题要学会将问题进行转化，比如选项C，将零点问题转化为函数图象的交点问题，选项D，将零点个数问题转化为极值点个数问题.
12．-1
【分析】由已知等式可得，两边平方后，结合数量积运算，即可求得答案.
【详解】由题意知，故，
则，即，
即，解得或，
时，，不合题意，故，
故答案为：
13．57
【分析】分别令和，再根据二项展开式求解即可.
【详解】令，则，令，则，
故.
又，故.
故，则.
故答案为：57
14．
【分析】构造数列先计算，分奇偶讨论结合指数函数的单调性计算即可.
【详解】由，令，
若为奇数，则，
若为偶数，则，
即奇数项与偶数项分别成以为公差的等差数列，
易知，
所以，则，
若为奇数，则
有解，即，
由指数函数的单调性可知；
若为偶数，则
有解，即，
由指数函数的单调性可知；
综上满足题意.
故答案为：
【点睛】易错点睛：首先构造等差数列需要分奇偶项进行讨论，务必注意符号，其次结合指数函数的单调性解不等式有解问题时，注意取值范围的大小，保证有解即可.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和，得到，从而求出角；
（2）由三角形面积公式和余弦定理得到，从而求出周长.
【详解】（1）由已知，得，
根据正弦定理，得，
即，
即，
由于，，
所以，所以；
（2）因为，
所以，
因为直线为的平分线，
所以，
所以，
则，即，
由余弦定理得，即，
所以，
解得或（舍），
故的周长为.
16．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）连接AC交BD于，连接MN，通过可证明；
（2）建立空间直角坐标系，，利用坐标运算通过求出，再利用向量法求线面角.
【详解】（1）连接AC交BD于，连接MN，
因为四边形ABCD是正方形，故为AC中点，是AE的中点，
所以在中，有，
又平面平面，
所以平面；
（2）如图，建立空间直角坐标系，设，
则，
又是AE的中点，故，
，因为，
所以，解得，
设，即，
可得，则，
又，设平面AEF的一个法向量为，
则，令，则，即，
设直线PM与平面AEF所成角为，
则
所以直线PM与平面AEF所成角的正弦值为.
17．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，可得出，，根据的面积求得、的值，可得出和的值；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可求得和的值，进而得出结论；
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，可直接求得的值；在直线的斜率存在时，求得、关于的表达式，利用基本不等式可求得的最大值，进而可得出结论.
【详解】（1）当直线的斜率不存在时，、两点关于轴对称，所以，，
在椭圆上，①，又，②
由①②得，，此时，；
当直线的斜率存在时，是直线的方程为，
将直线的方程代入得，
，
所以，，
，
点到直线的距离为，
，
整理得，即，
所以，
，
综上所述，，结论成立.
（2）当直线的斜率不存在时，由（1）知，，因此；
当直线的斜率存在时，由（1）知，，
，，
所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
综上所述，的最大值为.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
18．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由已知，求出，再求出和，再由点斜式写出方程；
（2）对求导，得到导函数等于0时的两根，然后对函数的极值分类讨论，然后讨论在上的最值情况；
（3）通过对函数适当放缩，讨论两个函数的大小关系，再通过函数的单调性得出，从而得到的参数的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
则，，
又当时，所以在处的切线方程为：.
（2）由得
①当，即时，在上单调递增，函数无最值；
②当，即时，由，
解得，
由得，
③当，即时，
，且时，时，，此时无最值；
④当，即时，
，且时，时，，所以有最小值，无最大值.
综上可知，当时，有最小值，无最大值；当时，无最值.
（3）由，，，
所以是在处的切线，
若，则当，且时

所以此时，所以存在x使得，不符合条件；
当时，
设
现证明，
得，故在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，，
当或时，，所以成立.
综上，实数的取值范围是.
19．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）设事件“组正常”;“组正常”;“组正常”;“七十分钟完成体检”，结合相互独立的概率乘法公式，即可求解；
（2）设“最后是组同学，且比先完成”，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（3）设所需时间为，得到，进而求得的值.
【详解】（1）设事件“组正常”;“组正常”;“组正常”;“七十分钟完成体检”
则
.
（2）设“最后是组同学，且比先完成”，
由古典概型得.
（3）设所需时间为，则可取 ，
则，
，
因为，
所以.
男生
女生
合计
喜欢冰雪运动
不喜欢冰雪运动
合计
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增