2024年陕西省西安市碑林区尊德中学中考数学二模试卷(含解析）

这是一份2024年陕西省西安市碑林区尊德中学中考数学二模试卷(含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算−4×2的结果是( )
A. −6B. −2C. 8D. −8
2.一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1=60°，则∠2的度数为( )
A. 20°
B. 70°
C. 110°
D. 120°
3.如图，在△ABC中，DE/​/BC，AD=2BD，若BC=6，则DE的长为( )
A. 4
B. 2
C. 6
D. 8
4.下列运算正确的是( )
A. x3⋅x2=x6B. (x2)3=x5
C. x6÷x2=x3D. (−3xy2)⋅13x2y=−x3y3
5.正比例函数y=ax(a≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=12x+a的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，sinA=45，AD=5，则BE的长为( )
A. 35B. 1C. 2D. 65
7.如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，若AC=8，∠BPC=30°，则AB的长为( )
A. 4
B. 4 3
C. 8
D. 8 3
8.若抛物线y=x2+2(1−m)x+m2−5的顶点在第四象限，则m的值可以为( )
A. −12B. 3C. 12D. 2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.4的算术平方根是______．
10.如图，在正五边形ABCDE中，连接DB，则∠EDB的度数为______．
11.如图，东方明珠电视塔高468m，如果把塔身看作一条线段AC，中间的球体看作点B，那么点B是线段AC的黄金分割点，则AB的长为______m.(精确到0.1m)
12.已知点A(5,m)与点B(−5,n)均在反比例函数y=kx的图象上，则m+n的值是______．
13.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长BC至点D，使BD=12，E为边AC上的点，且AE=4，连接ED，P，Q分别为AB，ED的中点，连接PQ，则PQ的长为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算：−22+| 2−2|− 3× 6．
15.(本小题5分)
解不等式：3(1−2x)<7−2(x−4)．
16.(本小题5分)
解分式方程：3x+1+1=xx−1．
17.(本小题5分)
如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．
(不要求写作法，但要保留作图痕迹)
18.(本小题5分)
已知：如图，∠A=∠D，∠ACB=∠DBC，求证：AB=DC．
19.(本小题5分)
直播带货已是热潮，某人利用直播销售甲、乙两种商品，预计用3600元购进一批商品，其中乙种商品的件数比甲种商品的2倍少40件，甲、乙两种商品的单价分别为20元、30元，求这一批商品中甲、乙两种商品各有多少件？
20.(本小题5分)
近几年，西安因丰富的历史文化资源吸引了大量游客来西安游玩，周末，小坤和小颖准备去A.西安大唐芙蓉园，B.秦始皇帝陵博物院，C.陕西历史博物馆，D.西安城墙中的一景点去游玩，他们各自在这四个景点中随机选一个，每个景点被选中的可能性相同．
(1)小坤选择去陕西历史博物馆游玩的概率为______；
(2)用列表或画树状图的方法，求小坤和小颖选择去同一景点游玩的概率．
21.(本小题6分)
某校自开展课后延时服务以来，组建了许多兴趣小组，小明参加了数学兴趣小组，在课外活动中他们带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处有一棵大树，如图所示，小明在平台底部的点C处测得大树的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得大树的顶部的仰角为30°.测量可知平台的纵截面为矩形DCFE，DE=2米，DC=20米，求大树AB的高．
(精确到1米，参考数据： 2≈1.41, 3≈1.73, 6≈2.45)．
22.(本小题7分)
小菲在研究物理学科中的拉力F和重力G的关系时，利用滑轮组及相关器材进行实验，她把得到的拉力F(N)和所悬挂物体的重力G(N)的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象(不计绳重和摩擦)，请你根据图象求：
(1)拉力F和重力G之间的函数解析式；
(2)当拉力F为2.1N时，所悬挂物体的重力为多少？
23.(本小题7分)
某校七、八年级开展了“感受数学魅力，提升数学素养”为主题的趣味数学知识竞赛，现随机抽取七、八年级各15名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：
收集数据
七年级15名学生测试成绩分别为：78，83，89、97，98，85，100，94，87，90，94，92，99，94，100．
八年级15名学生测试成绩分别为：81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，96，97．
分析数据
应用数据
(1)根据以上信息，a= ______，b= ______；
(2)由方差可以推断：七、八年级中，学生测试成绩较稳定的是______；
(3)甲同学说：“这次测试我得了93分，位于年级中等偏上水平”，你认为甲同学更可能来自七年级还是八年级，并简要说明理由．
24.(本小题8分)
如图，⊙O为△ABD的外接圆，AB为⊙O的直径，C是AB延长线上一点，且∠DAC=∠CDB．
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若CB=1，CD=3，求⊙O的半径．
25.(本小题8分)
掷实心球是中考体育项目之一，为了在体育中考中取得更好的成绩，小鹏积极训练，如图所示，实心球经过的路线是一条抛物线，掷出时，实心球出手处A距离地面的高度AO是2m，实心球的落地点为C处，以O为原点，OC所在直线为x轴，AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，当实心球运行的水平距离为3m时，达到最大高度3m的B处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若成绩想要达到80分，实心球出手处至球落地处的水平距离至少为8.4m，小鹏此次投掷的成绩能上80分吗？
26.(本小题10分)
问题提出
(1)如图①，点P是半径为1的⊙O上任意一点，点A为⊙O外一点，且AO=2，则线段AP的最小值为______；
问题探究
(2)如图②，在矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，点P是BC边上一动点(点P不与B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，求线段MC的最小值；
问题解决
(3)如图③，在正方形ABCD中，AD=10，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE=CF，AE交DF于点P，连接CP，求线段CP的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：原式=−(4×2)
=−8，
故选：D．
根据两数相乘同号得正异号得负，再把绝对值相乘，可得答案．
本题考查了有理数的乘法，先确定积的符号，再进行绝对值的乘法运算．
2.【答案】D
【解析】解：如图，
由题意可得：AB/​/CD，∠1=60°，
∴∠BCD=∠1=60°，
∴∠2=180°−60°=120°．
故选：D．
由平行线的性质可得∠BCD=60°，从而可得答案．
本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，掌握“两直线平行，内错角相等”是解本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：
∵DE/​/BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB，
∵AD=2BD，
∴ADAB=23，
∵BC=6，
∴DE=4，
故选：A．
根据相似三角形的判定和性质得到比例式，代入数据即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、x3⋅x2=x3+2=x5，故本选项计算错误，不符合题意；
B、(x2)3=x2×3=x6，故本选项计算错误，不符合题意；
C、x6÷x2=x6−2=x4，故本选项计算错误，不符合题意；
D、(−3xy2)⋅13x2y=−x3y3，计算错误，符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式的运算法则计算，判断即可．
本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单项式，掌握它们的运算法则是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵正比例函数y=ax(a≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴a<0，
∴一次函数y=12x+a的图象与y轴负半轴相交，
故选：B．
根据题意可判断a<0，据此推断一次函数y=12x+a的图象位置即可．
本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵DE⊥AB，sinA=45，
∴DEAD=45，
∵AD=5，
∴DE=4，
∴AE= AD2−DE2=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=5，
∴BE=AB−AE=2，
故选：C．
根据锐角三角函数定义求出DE=4，根据勾股定理求出AE=3.利用菱形的性质得到AD=AB=5，根据线段的和差求解即可．
本题考查了菱形的性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数定义，求出菱形的边长是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵∠A=∠BPC=30°，AC=8，
∴BC=12AC=4，
∴AB= AC2−BC2= 82−42=4 3，
故选：B．
根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABC=90°，根据半径以及含30度的直角三角形的性质求解即可．
本题考查的是圆周角定理，含30度的直角三角形，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=x2+2(1−m)x+m2−5的顶点在第四象限，且抛物线开口向上，
∴抛物线与x轴有2个交点，且抛物线对称轴在y轴右侧，
∴4(1−m)2−4(m2−5)>0−2(1−m)2>0，
∴1∴m的值可以为2．
故选项D符合题意．
故选：D．
由抛物线顶点在第四象限，抛物线开口向上，可得抛物线与x轴有两个交点且抛物线对称轴在y轴右侧，进而求解．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
9.【答案】2
【解析】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．
10.【答案】72°
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EDC=∠C=(5−2)×180°5=108°，CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD=12×(180°−108°)=36°，
∴∠EDB=108°−36°=72°．
故答案为：72°．
由正五边形ABCDE的每个内角相等，得到∠EDC=∠C=(5−2)×180°5=108°，由等腰三角形的性质得到∠CDB=∠CBD=36°，即可求出∠EDB=108°−36°=72°．
本题考查多边形的内角和外角，关键是掌握正多边形的每个内角相等，各边相等．
11.【答案】289.2
【解析】解：AB= 5−12AC≈468×0.618≈289.2(m)．
故答案为289.2．
根据黄金分割的定义得到AB= 5−12AC，然后进行近似计算即可．
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中AC= 5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
12.【答案】0
【解析】解：∵点A(5,m)与点B(−5,n)均在反比例函数y=kx的图象上，
∴5m=−5n，
∴5m+5n=0，
∴m+n=0．
故答案为：0．
根据反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
13.【答案】2 10
【解析】解：如图，连接AD，取AD的中点F，连接PF、QF，
∵P，Q分别为AB，ED的中点，
∴PF是△ABD的中位线，QF是△ADE的中位线，
∴PF=12BD=12×12=6，PF//BD，QF=12AE=12×4=2，QF/​/AC，
∵∠ACB=90°，
∴∠PFQ=90°，
∴PQ= PF2+QF2= 62+22=2 10，
故答案为：2 10．
连接AD，取AD的中点F，连接PF、QF，根据三角形中位线定理得到PF=12BD=12×12=6，PF//BD，QF=12AE=12×4=2，QF/​/AC，根据平行线的性质得到∠PFQ=90°，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14.【答案】解：−22+| 2−2|− 3× 6
=−4+2− 2−3 2
=−2−4 2．
【解析】先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15.【答案】解：∵3(1−2x)<7−2(x−4)，
∴3−6x<7−2x+8，
−6x+2x<7+8−3，
−4x<12，
x>−3．
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
16.【答案】解：去分母得：3(x−1)+x2−1=x(x+1)，
解得：x=2，
检验：把x=2代入得：(x+1)(x−1)≠0，
∴分式方程的解为x=2．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17.【答案】解：如图，过O作∠AOB或∠BOC的平分线，与直线MN交于点P，点P即为所求作的点．


【解析】先作∠AOB或其邻补角的平分线，与直线MN交于点P，点P即为所求作的点．
本题主要考查了基本作图以及角平分线的性质的运用，解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
18.【答案】证明：在△ABC和△DCB中，
∠A=∠D∠ACB=∠DBCBC=CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴AB=DC．
【解析】利用AAS得到三角形ABC与三角形DCB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
19.【答案】解：设这一批商品中甲种商品有x件，则乙种商品有(2x−40)件，
根据题意得：20x+30(2x−40)=3600，
解得：x=60，
∴2x−40=2×60−40=80(件)．
答：这一批商品中甲种商品有60件，乙种商品有80件．
【解析】设这一批商品中甲种商品有x件，则乙种商品有(2x−40)件，利用总价=单价×数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出这一批商品中甲种商品的件数，再将其代入(2x−40)中，即可求出这一批商品中乙种商品的件数．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20.【答案】14
【解析】解：(1)由题意得，小坤选择去陕西历史博物馆游玩的概率为14．
故答案为：14．
(2)画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小坤和小颖选择去同一景点游玩的结果有4种，
∴小坤和小颖选择去同一景点游玩的概率为416=14．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及小坤和小颖选择去同一景点游玩的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21.【答案】解：延长EF交AB于点G，

则DE=CF=AG=2米，DC=EF=20米，CA=FG，DA=EG，∠EGB=90°，
设CA=FG=x米，
∴EG=DA=DC+AC=(20+x)米，
在Rt△ABC中，∠BCA=60°，
∴AB=AC⋅tan60°= 3x(米)，
∴BG=AB−AG=( 3x−2)米，
在Rt△BEG中，∠BEG=30°，
∴tan30°=BGEG= 3x−220+x= 33，
∴x=10+ 3，
经检验：x=10+ 3是原方程的根，
∴AB= 3x=10 3+3≈20(米)，
∴大树AB的高约为20米．
【解析】延长EF交AB于点G，则DE=CF=AG=2米，DC=EF=20米，CA=FG，DA=EG，∠EGB=90°，然后设CA=FG=x米，则EG=(20+x)米，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而求出BG的长，最后在Rt△BEG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设拉力F和重力G之间的函数解析式为F=kG+b(k≠0)，
将(1,0.7)，(4,1.3)代入F=kG+b得：k+b=0.74k+b=1.3，
解得：k=0.2b=0.5，
∴拉力F和重力G之间的函数解析式为F=0.2G+0.5；
(2)当F=2.1时，0.2G+0.5=2.1，
解得：G=8．
答：所悬挂物体的重力为8N．
【解析】(1)设拉力F和重力G之间的函数解析式为F=kG+b(k≠0)，根据图中点的坐标，利用待定系数法，即可求出拉力F和重力G之间的函数解析式；
(2)代入F=2.1N，求出G值即可．
本题考查了一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出拉力F和重力G之间的函数解析式是解题的关键．
23.【答案】94 87 八年级
【解析】解：(1)把七年级15名学生的测试成绩排好顺序为：78，83，85，87，89、90，92，94，94，94，97，98，99，100，100，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a=94，
八年级15名学生测试成绩分别为：81，82，83，85，87，87，87，92，93，94，95，95，96，96，97．
八年级8名学生的成绩中87分的最多有3人，
所以众数b=87，
故答案为：94，87；
(2)八年级．
∵把年级的方差小于七年级的方差，
∴学生测试成绩较稳定的是八年级．
故答案为：八年级；
(3)八年级．
∵七年级的中位数为94，八年级的中位数为92，甲同学这次测试得了93分，位于年级中等偏上水平，
∴甲同学在八年级．
(1)根据中位数和众数的定义求解即可；
(2)根据方差的意义解答即可；
(2)根据利用中位数的值作出判断即可．
本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图1，连接OD．

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠OBD=90°．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠A=∠CDB，
∴∠ODB+∠BDC=90°，
∴OD⊥CD，
∵OD是半径，
∴CD为⊙O的切线．
(2)解：设OD=OB=x，
∵CB=1，CD=3，
∴OC=1+x，
∵∠ODC=90°，
∴OD2+CD2=OC2，
∴x2+32=(1+x)2，
∴x=4，
∴OD=4，
即⊙O的半径为4．
【解析】(1)连接OD.证出OD⊥CD，则可得出结论；
(2)设OD=OB=x，由勾股定理求出x即可得出答案．
本题考查了切线的判定，圆周角的有关性质，勾股定理等知识，灵活运用勾股定理建立方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意得：点B(3,3)为抛物线的顶点坐标．
∴设抛物线的解析式为y=a(x−3)2+3．
∵抛物线经过点A(0,2)，
∴9a+3=2．
解得：a=−19．
∴抛物线的解析式为：y=−19(x−3)2+3；
(2)当y=0时，−19(x−3)2+3=0．
∴(x−3)2=27．
∴x−3=±3 3．
∴x1=3+3 3，x2=3−3 3(不合题意，舍去)．
∴点C的坐标为：(3+3 3,0)．
∴OC=3+3 3．
∵3+3 3<8.4，
∴小鹏此次投掷的成绩不会上80分．
【解析】(1)易得抛物线的顶点坐标为(3,3)，用顶点式设出抛物线解析式，把点A(0,2)代入可得抛物线二次项的系数，即可求得抛物线的解析式；
(2)实心球出手处至球落地处的水平距离为OC的长，让y=0，求出点C的坐标即可求得OC的长，与8.4比较即可判断小鹏此次投掷的成绩能否上80分．
本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：若所求的抛物线中有顶点坐标(h,k)，设所求的抛物线解析式为：y=a(x−h)2+k比较简便．
26.【答案】1
【解析】解：(1)由题意得，当A、P、O共线时，AP最小，
则AP=AO−1=2−1=1，
故答案为：1；
(2)如图，连接AC，AM，
∵点B，点M关于直线AP对称，
∴AB=AM=6，
∴点M在以点A为圆心，AB为半径的圆上运动，
∴当点M在线段AC上时，MC有最小值，
∵AB=6，BC=8，
∴AC= AC2+BC2=10，
∴CM的最小值为CM=AC−AM=10−6=4；
(3)∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
在△ADE和△DCF中，
AD=CD∠ADC=∠DCFDE=CF，
∴△ADE≌△DCF(SAS)，
∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADP+∠DCF=90°，
∴∠ADP+∠DAE=90°，
∴∠APD=180°−90°=90°，
∴AE⊥DF；
如图，连接AC，BD交于点O，
∵点P在运动中保持∠APD=90°，
取AD的中点R，
∴点P的运动路径是以AD为直径的圆R上，
当C、P、R共线时，CP最小，
此时CP=CR−PR=CR−12AD= CD2+(12AD)2−12AD= 102−52−5=5 3−5，
即线段CP的最小值为5 3−5．
(1)由题意得，当A、P、O共线时，AP最小，即可求解；
(2)当点M在线段AC上时，MC有最小值，即可求解；
(3)证明AE⊥DF，得到点P的运动路径是以AD为直径的圆R上，当CPR共线时，CP最小，即可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
92
94
a
40.9
八年级
90
b
92
29.7