四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 下列各式中，值为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式和两角和与差的三角函数公式，结合特殊角三角函数值逐项判断即可.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误，
故选:B.
2. 已知向量，，且，那么等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示求参数，再应用向量线性运算的坐标表示求的坐标.
【详解】由题设，故，则.
故选：C
3. 函数，的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数为，根据正弦型函数的最值可求得结果.
【详解】，当，即时，取得最大值.
故选：D.
4. 已知函数的部分图像如图所示，则正数值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图像可得函数周期，从而可求，再根据对称轴可求，结合图像过可求.
【详解】由图像可得，故，
而时，函数取最小值，故，
故，而，故，
因为图像过，故，故，
故选：B.
5. 函数（且）的大致图象是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可将函数化简为，从而可求解.
【详解】由题意，，化简得，
根据函数的图象和性质，
可得在内为增函数且为正值，
在内增函数且为负值，在内为减函数且为负值，故C正确.
故选：C.
6. 在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】如下图所示：
，
由平面向量数量积的定义可得，
因此，
.
故选：B.
7. 已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由投影向量计算公式可得答案.
【详解】在向量上的投影向量为.
.
故选：A
8. 已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件得出周期的范围，即得的范围，由得函数图象的一个对称中心是，则，结合的范围可得答案.
【详解】函数的最小正周期为，则，
在区间上恰好存在两条对称轴，，
所以，即，解得，
因为，所以，
所以点是函数图象的一个对称中心，
则，得，即，
因，则，且随的增大而增大，
当时，，当时，，
则的最大值为.
故选：A.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为，则
D. 若与方向相反，则在上的投影向量的坐标是
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运算律求解判断C；求出投影向量的坐标判断D.
【详解】向量，，
对于A，由，得，因此，A正确；
对于B，由，得，因此，B正确；
对于C，与的夹角为，，，
因此，C错误；
对于D，与方向相反，则在上的投影向量为，D正确.
故选：ABD
10. 设函数，其中，若对任意的，在上有且仅有4个零点，则下列的值中不满足条件的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用换元思想转化为在，上有4个零点，则需满足，进而根据的取值范围得到的取值范围即可．
【详解】解：设，则，所以在，上有4个零点，
可知，所以，
又，所以，即，满足的只有，
故选：．
11. 下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】根据同角函数的基本关系、和差公式、倍角公式逐一判断即可.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
若，则，故D正确；
故选：CD
12. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，，，则
C. 若为的内心，，则
D. 若的垂心在内，，，是的三条高，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】运用奔驰定理，结合三角形内心、垂心的性质可判断个选项的对错.
【详解】对A：由奔驰定理得，A对；
对B：因为，且，
所以即，故B错误；
对C：设内切圆半径为，，
所以即，所以为直角三角形，且，故C对；
对D：因为为的垂心，且为边上的高，所以，同理，，
所以，故D对.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：正确运用给出的奔驰定理，是解决该问题的关键.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设向量，，向量与的夹角为锐角，则x的范围为______.
【答案】且
【解析】
【分析】根据已知可得，且不共线，求解即可.
【详解】向量，，由得，，所以.
由已知得，，所以，即，且不共线.
则，所以
又不共线，则.所以x的取值范围为且.
故答案为：且.
14. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两角和的正切公式，化简得到，代入即可求解.
【详解】因为，可得，
所以，
由.
故答案为：.
15. 设函数，其中.若对任意的恒成立，则的增区间是__________.
【答案】，.
【解析】
【分析】先根据条件，求出函数的解析式，再求函数的增区间.
【详解】由题意：为函数的最大值，所以，
所以，，.
由（）（）.
可记为，.
故答案为：，.
16. 水车在古代是进行灌溉引水工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足（，，），
① ②当时，函数单调递增
③当时， ④当时，的最大值为
则上面叙述正确的是________．
【答案】①③
【解析】
【分析】根据题意，结合条件可得的值，从而求得函数的解析式，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题意，，，所以，
又点代入可得，解得，
又，所以，故①正确；
因为，当时，，
所以函数先增后减，故②错误；
当时，，的纵坐标为，横坐标为，
所以，故③正确；
当时，点到轴的距离的最大值为，故④错误；
所以说法正确的是①③
故答案为: ①③
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 如图，在中，是的中点，点在上，且与交于点，设.

（1）求的值；
（2）当时，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三点共线的知识求得.
（2）根据向量数量积的运算求得.
【小问1详解】
依题意，
由于三点共线，所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以
.
18. 已知在平面直角坐标系中，向量．
（1）若向量满足，且，求的坐标；
（2）若向量满足，且与的夹角为，求与的夹角的余弦值．
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】(1)先假设 的坐标，再根据条件列方程即可；
(2)先假设 的坐标列方程求出代数关系，再用数量积的方法求夹角.
【小问1详解】
设 ，则有 解得 ，即 或 ；
【小问2详解】
设 ，则有 ，得 …①
，
设向量 与 的夹角为 ，
则有：
将①代入上式得 ；
综上， 或， 与夹角的余弦值为 .
19. 在条件：①；②；③中任选一个，补充在下面的题目中，并求解.
已知，且满足条件___________.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，先求出，再求齐次式的值.
（2）先确定两角和的取值范围，再确定两角和的三角函数值，可得角的大小.
【小问1详解】
若选①，则原式可化为：.
若选②，则，且，所以，
所以.
若选③，则且，所以，
所以.
所以总有.
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，，，且，
又，且，所以，
所以：，
且.
所以.
20. 已知向量，，设函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）若函数在区间上的最大值为6，求实数a的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据向量的数量积运算及恒等变换可求的表达式，再由正弦函数的单调性求解即可；
（2）由已知可求，利用换元，把问题转化为二次函数在给定区间的最值问题，通过对称轴与区间的关系分类讨论求解即可．
【小问1详解】
因为，，
所以
由得，
所以的单调递减区间为
【小问2详解】
，
令，
因为，所以，且，
所以，
当即时，当时有最大值，此时，解得不合题意；
当即，当时有最大值，此时，解得符合题意；
当即，当时有最大值，此时，解得符合题意；
综上， 的值为或．
21. 如图，扇形的半径，圆心角，点是圆弧上的动点（不与点重合），现在以动点为其中一个顶点在扇形中截出一个四边形，下面提供了两种截出方案，如果截出的两个四边形面积的最大值之差的绝对值不大于，则称这两个四边形为“和谐四边形”. 试问提供的两种方案截出的两个四边形是否是“和谐四边形”？请说明理由.
【答案】截出的这两个四边形为“和谐四边形”，理由见解析
【解析】
【分析】方案一：连接，假设，用三角函数表示，由三角函数的性质即可求出的最大值，方案二：连接，假设，过点作，，用三角函数表示出，由三角函数的性质即可求出的最大值，得出即可得出结论.
【详解】方案一：连接，假设，则，
又，所以， ，
，
，时，；
方案二：连接，假设，过点作，，
则，，，
，时，；
，而，
即，所以截出的这两个四边形为“和谐四边形”.
22. 已知函数．
（1）求方程在上的解集；
（2）设函数；
（i）证明：有且只有一个零点；
（ii）记函数的零点为，证明：．
【答案】（1）
（2）（i）证明见详解
（ii）证明见详解
【解析】
【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可
（2）（i）根据三角函数的性质分区间研究函数的性质，利用零点存在定理可证明；（ii）然后利用换元法求值域即可证明.
【小问1详解】
所以.
所以或
当时,，则，又，所以
当，则，又.
所以或，所以
所以方程在上的解集为
【小问2详解】
（i）设
当，则，
此时在单调递增
在也单调递增，所以在单调递增
所以在时有唯一零点
当，所以
所以在没有零点
当时，，所以，所以
所以在没有零点
综上,在有唯一零点
（ii）记函数的零点为，
所以，且，所以
所以
令，因为，所以
又，则
所以
【点睛】方法点睛：含有三角函数、指数对数的零点问题，一般要根据三角函数图像特点划分区间，分段研究.