山东省烟台市莱阳市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份山东省烟台市莱阳市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若复数满足其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在平行四边形中，（ ）
A. B. C. D.
3. 下面几何体中是棱柱的有（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
4. 已知点，，则与同方向的单位向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知中，，则角A的值是（ ）
A. B. C. 或D. 或
6. 已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
7. 在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则此三角形的形状是
A. 直角三角形B. 正三角形
C. 腰和底边不等的等腰三角形D. 等腰直角三角形
8. 从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（ ）
A B. C. D.
9. 如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
10. (多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是( )
A. 由一个长方体割去一个四棱柱所构成的
B. 由一个长方体与两个四棱柱组合而成的
C. 由一个长方体挖去一个四棱台所构成的
D. 由一个长方体与两个四棱台组合而成的
11. 若，则n可以是（ ）
A. 102B. 104C. 106D. 108
12. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的外接圆的面积为
B. 若，且有两解，则b的取值范围为
C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D. 若，且，O为的内心，则的面积为
三、填空题
13. 某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数（是虚数单位）．
①；②；③．
从三个式子中选择一个，求出这个常数为______；根据三个式子结构特征及计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式______．
14. 在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示__________．若，则余弦值的最小值为__________．
四、解答题
15. 已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数在复平面内对应的点:
（1）位于第四象限?
（2）在实轴负半轴上?
（3）位于上半平面(含实轴)?
16. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且满足.
(1)求的值;
(2)若为线段上任意一点，求的最小值.
17. 已知的内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的周长.
18. 重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄（如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为（即）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长且点，落在小路上，记弓形花园的顶点为，且，设.

（1）将，用含有的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即，长度），才使得喷泉与山庄距离即值最大？
19. 如图，已知正方形边长为2，点为正方形内一点.
（1）如图1
（i）求的值；
（ii）求值；
（2）如图2，若点满足.点是线段的中点，点是平面上动点，且满足，其中，求的最小值.高一数学月考试题
一、单选题
1. 若复数满足其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，则，再利用共轭复数概念即求.
【详解】设，则，
∴，
∴，故，
∴.
故选：A.
2. 在平行四边形中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，从而可求得答案
【详解】解：因为四边形为平行四边形，
所以,
所以，
故选：D
3. 下面的几何体中是棱柱的有（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据棱柱的定义进行判断即可．
【详解】棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，
观察图形满足棱柱概念的几何体有：①②③④⑤，共五个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查棱柱的概念，属于简单题.
4. 已知点，，则与同方向的单位向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】列方程即可求得与同方向的单位向量.
【详解】，设与同方向的单位向量为
则，解之得或
当时，所求向量为，向量，符合题意；
当时，所求向量为，向量，不符合题意，舍去.
故选：A
5. 已知中，，则角A的值是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理结合大边对大角即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得：，则，
解得：，则或，
因为，所以，所以.
故选：A.
6. 已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.
【详解】由，得，
整理得，则，
因为，所以，
又由及正弦定理，得，化简得，
所以为等边三角形，
故选：B
7. 在中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则此三角形的形状是
A. 直角三角形B. 正三角形
C. 腰和底边不等的等腰三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
由余弦定理和正弦定理的角化边公式，得出，再由，整理得出.
【详解】
，即
，即
故选：B
【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理角化边公式，属于中档题.
8. 从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出截面截圆柱所得的圆面的面积，再求出截面截正四棱锥所得的正方形的面积，从而得出答案.
【详解】截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2，
则截面圆的面积为：
设正四棱锥的底面正方形边长为，则，所以
正四棱锥的底面正方形的面积为
由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似
设圆面中挖去一个正方形的面积为，正四棱锥的底面正方形为
则,从而
所以截面图形的面积为．
故选：C．
9. 如图，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，若一只蚂蚁从圆锥的点出发，沿表面爬到的中点处，则其爬行的最短路线长为，则圆锥的底面圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把半个圆锥沿着直线展开，得到扇形，根据题意，计算扇形的弧长，由展开图和圆锥的关系，得到圆锥底面圆周长，进而计算底面圆半径.
【详解】如图为半圆锥的侧面展开图，
连接，则的长为蚂蚁爬行的最短路线长，
设展开图的扇形的圆心角为，
根据题意得，
在中，，所以，
所以扇形弧长为，
所以圆锥底面圆的周长为，即，得.故选：A
二、多选题
10. (多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是( )
A. 由一个长方体割去一个四棱柱所构成的
B. 由一个长方体与两个四棱柱组合而成的
C. 由一个长方体挖去一个四棱台所构成的
D. 由一个长方体与两个四棱台组合而成的
【答案】AB
【解析】
【分析】根据几何体的特征，利用切割或补全几何体的方法即可求解.
【详解】如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成，如下图所示：
故选:AB.
11. 若，则n可以是（ ）
A. 102B. 104C. 106D. 108
【答案】BD
【解析】
【分析】，，故将次数n拆为进行求解即可.
【详解】∵，，
∴，，
要使，则，则为偶数.
故选：BD.
12. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的外接圆的面积为
B. 若，且有两解，则b的取值范围为
C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为
D. 若，且，O为的内心，则的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积.
【详解】因为，所以由正弦定理，得，
即 ，
因为，所以，且，所以.
选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ，
所以，
所以的外接圆的面积为，选项A正确；
选项B：由余弦定理得，
将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解，
故 ，解得b，所以选项B错误；
选项C：由正弦定理，得 ，即，
因为，所以，
因为为锐角三角形，所以 ，即，所以，
所以，故选项C正确；
选项D：因为，由正弦定理得，
因为，所以，
所以由正弦定理，得，即，
所以，
即，所以，
所以，
又因为，所以，故，，解得 ，
因为，所以，
即是直角三角形，所以内切圆的半径为，
所以的面积为，选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
三、填空题
13. 某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数（是虚数单位）．
①；②；③．
从三个式子中选择一个，求出这个常数为______；根据三个式子的结构特征及计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据复数的运算法则求得这个常数，再结合三个式子的结构特征及计算结果得出推广式，即可求解.
【详解】由复数的运算法则，可得；
根据三个式子的结构特征及上式的计算结果，可以得到：，
证明如下：
由.
故答案为：； .
14. 在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示__________．若，则余弦值的最小值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空（1）使用向量线性运算求解即可；
空（2）以与为基底，用数量积的形式表示出，再由基本不等式求解即可.
【详解】
如图，由已知，
.
∴.
设，即与的夹角为，
，
若，则，
∴，
又∵，，∴由基本不等式，
∴.
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：，.
【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以为夹角的两个向量作为基底，将垂直关系转化为数量积的形式，再借助基本不等式求解.
四、解答题
15. 已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数在复平面内对应的点:
（1）位于第四象限?
（2）在实轴负半轴上?
（3）位于上半平面(含实轴)?
【答案】（1）;（2）;（3）或..
【解析】
【分析】
（1）根据实部大于零，虚部小于零列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
（2）根据实部小于零，虚部为零列式，由此求得值.
（3）根据虚部为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】(1)要使复数z在复平面内对应的点位于第四象限,需满足.
(2)要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上,需满足.
(3)要使复数z在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足,解得或.
【点睛】本小题主要考查复数对应点的位置求参数的取值范围，属于基础题.
16. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且满足.
(1)求的值;
(2)若为线段上任意一点，求的最小值.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
（1）以为基底，将数量积运算通过向量的线性运算，转化成关于基底的运算；
（2）先确定的位置，即，再令，从而将表示成关于的二次函数，利用二次函数的性质，即可得答案.
【详解】(1)在梯形中，因为，，所以，

;
(2)令，
则，即，
令，则，，
所以当时，有最小值.
【点睛】本题考查向量的线性运算、向量数量积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将最值问题转化为函数的最值问题.
17. 已知的内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，进而可求得的周长.
【小问1详解】
解：由，
利用正弦定理可得，化为，
所以，，，.
【小问2详解】
解：，且，所以，，
由余弦定理可得，
所以，，解得，
因此，周长为.
18. 重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄（如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为（即）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长且点，落在小路上，记弓形花园的顶点为，且，设.

（1）将，用含有的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即，长度），才使得喷泉与山庄距离即值最大？
【答案】（1）；；（2）当时，取最大值.
【解析】
分析】
（1）在中，利用正弦定理即可将，用含有的关系式表示出来；
（2）在中，由余弦定理得出，结合三角函数的性质，即可得出的最大值，再求出的长度即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理可知，
则；
同理由正弦定理可得，
则，
（2）∵，，
∴，
中，由余弦定理可知
，
∵，
∴，
∴，
当时，即时，
取最大值，
此时，
，
即当时，取最大值.
【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的实际应用，涉及了三角函数求值域，属于中档题.
19. 如图，已知正方形的边长为2，点为正方形内一点.
（1）如图1
（i）求的值；
（ii）求的值；
（2）如图2，若点满足.点是线段的中点，点是平面上动点，且满足，其中，求的最小值.
【答案】(1) （i） 4 （ii） 8 （2）
【解析】
【分析】(1) （i）由向量的数量积的运算性质和向量的加法法则可得，结合数量积的定义可得答案.
（ii）利用向量数量积的运算性质结合图形将原式化为，利用向量的加法法则即化为，结合数量积的定义可得答案.
（2）以 为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，得出相应点的坐标，根据条件得出点的坐标，再由向量数量积的坐标公式可得答案.
【详解】（1）（i）正方形的边长为2，则,.
（ii）
（2）以 为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系.
由，则
所以,
点是线段的中点，则
设，，，
由，即
所以 ，解得，即
,

当时，的最小值为
【点睛】关键点睛：本题考查向量的加法法则和数量积的运算，建立坐标系利用坐标法求解向量的数量积的最值，解答本题的关键是建立坐标系，根据条件得出点坐标，从而得出，属于中档题.