2022-2023学年吉林省长春市经开九中八年级（下）期中数学试卷(含解析）

这是一份2022-2023学年吉林省长春市经开九中八年级（下）期中数学试卷(含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.要使式子 m+3m有意义，m的取值范围应满足( )
A. m≥−3B. m>−3C. m>−3且m≠0D. m≥−3且m≠0
2.科学家在海底发现了世界上最小的生物，它们的最小身长只有0.000000019m.将0.000000019这个数用科学记数法表示为( )
A. 0.19×10−7B. 1.9×10−8C. 1.9×10−9D. 19×10−10
3.已知点M(3,a)和N(b,4)关于x轴对称，则(a+b)2022的值为( )
A. 1B. −1C. 72022D. −72022
4.如图，反比例函数y1=mx与一次函数y2=kx+b相交于A(1,2)，B(n,−1)两点，若mx>kx+b，则x的取值范围是( )
A. 0B. x<−2
C. −2D. 05.如图，已知D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE/​/BC，且BD=3AD.那么AE：AC等于( )
A. 2：3
B. 1：2
C. 1：3
D. 1：4
6.如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE.若∠CAD=70°，则∠DCE的度数为( )
A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°
7.在平面直角坐标系内，若点P(x,y)满足x=y，则把点P叫做“不动点”.例如：M(1,1)，N(−3,−3)都是不动点.当−1≤x≤3时，如果直线y=3x+b上有“不动点”，那么b的取值范围是( )
A. 0≤b≤2B. −2≤b≤6C. −4≤b≤2D. −6≤b≤2
8.如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC、BD的长度分别是一元二次方程x2−mx−x+2m=0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH的值为( )
A. 94B. 114C. 115D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.计算：(2017−π)0−(14)−2+|−2|= ______．
10.在比例尺为1：2500000的地图上，一条路长度约为8cm，那么这条路它的实际长度约为______km．
11.若点A(m+2,2m−5)在y轴上，则点A的坐标是______．
12.若关于x的一元二次方程(a−2)x2−4x−1=0没有实数根，则a的取值范围为______．
13.如图D，E两点分别在线段AB和AC上，在下列四个条件中：①∠AED=∠B；②∠ADE=∠C；③AD⋅AB=AE⋅AC；④AD：AC=DE：BC.其中能使△ADE与△ACB相似的是 .(填序号)
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
用适当的方法解一元二次方程：x2−3x−2=0．
15.(本小题6分)
先化简，再求值：(1−1a−1)÷a−2a2−1，其中a=−2．
16.(本小题6分)
在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：
(1)在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
(2)在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分(保留画图痕迹，不写画法)．
17.(本小题7分)
某商店将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可出售200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元，那么每天的销售量就减少20件，将每件商品提价多少元时，才能使每天的利润为640元？
18.(本小题7分)
已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．
19.(本小题8分)
一辆货车从甲地出发以50km/h的速度匀速驶往乙地，行驶1h后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地.轿车行驶0.8h后两车相遇.图中折线ABC表示两车之间的距离y(km)与货车行驶时间x(h)的函数关系．
(1)甲乙两地之间的距离是______km，轿车的速度是______km/h；
(2)求线段BC所表示的函数表达式；
20.(本小题7分)
近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天50名出行学生使用共享单车次数的情况，并整理成如下统计表．
(1)这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是______，众数是______；
(2)这天中，这50名出行学生平均每人使用共享单车多少次？
21.(本小题9分)
(1)【实验】如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，在直线PQ上取两点A，B，当OA、OB满足数量关系为 时，四边形AMBN平行四边形，理论体是为 ．
(2)【探究】如图②，在平行四边形ABCD中，点E是BC中点，过点E作AE的垂线交边CD于点F，连结AF.可猜想AB、AF、CF三条线段之间的数量关系为 ，并给予证明．
(3)【应用】如图③，在△ABC中，点D为BC的中点，若∠BAD=90°，AD=2，AC= 19时，则△ABC的面积是 ．
22.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=3，BC=10，AD=6.点P从点B出发，沿射线BC方向以每秒4个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿AD以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P、Q同时停止运动，设点Q的运动的时间为t秒．
(1)CD的长为 ．
(2)求PC的长(用含t的代数式表示)．
(3)当以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
(4)直接写出△PCD是以CD为腰的等腰三角形时t的值．
23.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(−2,3)、(4,1)，以OA、OC为邻边作平行四边形OABC，一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的图象过点B．
(1)点B的坐标为______；
(2)求用含k的代数式表示b；
(3)当一次函数y=kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，求k的值．
(4)直接写出一次函数y=kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：要使式子 m+3m有意义，
则m+3≥0，且m≠0，
解得：m≥−3且m≠0．
故选：D．
根据分式有意义的条件是分母不等于零，结合二次根式有意义被开方数是非负数，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：0.000000019=1.9×10−8．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】A
【解析】解：∵点M(3,a)和N(b,4)关于x轴对称，
∴a=−4，b=3，
则(a+b)2022=(−4+3)2022=(−1)2022=1，
故选：A．
直接利用关于x轴对称点的性质，得出a，b的值，然后代入求解即可．
此题考查了关于x轴对称的点的特点，正确得出a，b的值是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：把A(1,2)代入y=mx得，
m1=2，
解得m=2，
∴反比例函数的解析式为y=2x，
把B(n,−1)代入得2n=−1，
解得n=−2，
∴B(−2,−1)，
当mx>kx+b时，正比例函数图象在反比例图象下方，
∴x<−2或0故选：D．
把A(1,2)代入y=mx即可求得m的值，进而得到B(−2,−1)，根据mx>kx+b时，正比例函数图象在反比例图象下方，结合图象解答即可．
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，根据题意求出点B的横坐标是解题关键．属于基础题型．
5.【答案】D
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴ADAB=AEAC，
∵BD=3AD，
∴ADBD=AEEC=13，
∴AE：AC=1：4；
故选：D．
根据DE/​/BC，得出ADAB=AEAC，再根据BD=3AD，即可得出AE：AC的值．
本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．
6.【答案】C
【解析】解：∵MN是AC的垂直平分线，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠EAC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，∠D=90°，
∴∠DAC=∠EAC=90°−∠CAD=20°，
∴∠DCE=∠DAC+∠ECA=40°，
故选：C．
根据线段垂直平分线得EC=EA，则∠ECA=∠EAC，根据矩形的性质可得∠DAC，即可得∠DCE．
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
7.【答案】D
【解析】解：∵x=y，
∴x=3x+b，即x=−12b.
∵−1≤x≤3，
∴−1≤−12b≤3，
∴−6≤b≤2．
故选：D．
根据x=y，−1≤x≤3可得出关于b的不等式，求出b的取值范围即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于b的不等式是解答此题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质和面积，勾股定理，根与系数的关系的应用，能得出关于m的方程是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．
根据菱形的性质得出AB=4，AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，∠AOB=90°，根据勾股定理得出AO2+BO2=16，根据根与系数的关系得出2AO+2BO=m+1，2AO⋅2BO=2m，变形后代入求出m的值，即可得出答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=4，AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO，∠AOB=90°，
∴AO2+BO2=AB2=42=16，
∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2−(m+1)x+2m=0的两实数根，
∴2AO+2BO=m+1，2AO⋅2BO=2m，
∴AO+BO=12(m+1)，AO⋅BO=12m，
∴AO2+BO2=(AO+BO)2−2AO×BO=16，
∴14(m+1)2−m=16，
解得：m1=9，m2=−7，
∴当m=−7时，AO⋅BO=−3.5<0，不符合题意，舍去，
∴m=9，
则AO⋅BO=4.5，AC⋅BD=2AO⋅2BO=4AO⋅BO=18，
∵DH是AB边上的高，
∴S菱形ABCD=AB⋅DH=12AC⋅BD，
∴4DH=12×18，
∴DH=94．
故选：A．
9.【答案】−13
【解析】解：原式=1−16+2
=−13．
故答案为：−13．
先利用零次幂、负整数指数幂、绝对值的性质进行化简，再进一步计算即可．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零次幂、负整数指数幂和绝对值的性质是解题的关键．
10.【答案】200
【解析】【分析】
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．也考查了比例尺．设它的实际长度为x厘米，根据比例尺的定义得到8x=12500000，然后利用比例的性质计算出x，再把单位化为千米即可．
【解答】
解：设它的实际长度为x厘米，
根据题意得8x=12500000，
解得x=20000000(cm)，
20000000cm=200km．
故答案为200．
11.【答案】(0,−9)
【解析】解：∵点A(m+2,2m−5)在y轴上，
∴m+2=0，
解得：m=−2，
故2m−5=−9，
故点A的坐标为：(0,−9)．
故答案为：(0,−9)．
直接利用y轴上横坐标为0，进而得出m的值即可得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确得出m的值是解题关键．
12.【答案】a<−2
【解析】解：∵关于x的一元二次方程(a−2)x2−4x−1=0没有实数根，
∴a−2≠0，Δ=(−4)2−4×(a−2)×(−1)=4a+8<0，
解得：a<−2．
故答案为：a<−2．
根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
13.【答案】①②③
【解析】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴根据“两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似”可证△ADE～△ACB，故①满足题意；
∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴根据“两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似”可证△ADE～△ACB，故②满足题意；
∵AD⋅AB=AE⋅AC，
∴AD：AC=AE：AB，
∴根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”可证△ADE～△ACB，故③满足题意；
∵AD：AC=DE：BC，而∠ADE与∠C不一定相等，故④不满足题意，
∴综上可得：①②③符合题意．
故答案为：①②③．
根据相似三角形的判定定理逐个排查即可．
本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
14.【答案】解：x2−3x−2=0，
a=1，b=−3，c=−2，
Δ=(−3)2−4×1×(−2)=17>0，
x=−b± b2−4ac2a=3± 172×1=3± 172，
所以x1=3+ 172，x2=3− 172．
【解析】先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程−公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
15.【答案】解：原式=(a−1a−1−1a−1)÷a−2(a+1)(a−1)
=a−2a−1⋅(a+1)(a−1)a−2
=a+1，
当a=−2时，原式=−2+1=−1．
【解析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
16.【答案】解：(1)画出图形如图1所示；
(2)如图2所示．

【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
(1)画出图形即可；
(2)根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．
17.【答案】解：设售价为x元，
根据题意列方程得(x−8)(200−x−101×20)=640，
整理得：(x−8)(400−20x)=640，
即x2−28x+192=0，
解得x1=12，x2=16．
故将每件售价定为12或16元时，才能使每天利润为640元．
原价为10元，
∴12−10=2(元)，16−10=6(元)，
故应将商品的售价提高2元或6元．
【解析】设售价为x元，则有(x−进价)(每天售出的数量−x−101×20)=每天利润，解方程求解即可．
本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．
18.【答案】解：(1)依题意，得
∵Δ=(−2m)2−4×1×(m2−1)=4m2−4m2+4=4>0
∴方程总有两个实数根；
(2)解：方程x2−2mx+m2−1=0
由(1)得Δ=4
∴x=−(−2m)± 42×1=m±1，
∴x1=m+1，x2=m−1，
∵方程的一根大于2，一根小于1，m+1>m−1
∴m+1>2m−1<1
∴1∴m的取值范围是1【解析】(1)表示出Δ，根据Δ的数值判断即可；
(2)利用公式求出两根，根据两根及其条件列出不等式，并解不等式即可．
本题考查了一元二次方程，相关知识点有：根的判别式、解一元二次方程等，熟悉一元二次方程的知识点是解题关键．
19.【答案】150 75
【解析】解：(1)由函数图象得：甲乙两地之间的距离是150km，
轿车的速度为：(150−50×1.8)÷0.8=75km/h，
故答案为：150；75；
(2)∵轿车行驶0.8h后两车相遇，
∴C点坐标为(1.8,0)，
∵货车从甲地出发1小时后，两车相距150−50×1=100km，
∴B点坐标为(1,100)，
设线段BC所表示的函数表达式为y=kx+b(k≠0)，
代入B(1,100)，C(1.8,0)得：k+b=1001.8k+b=0，
解得：k=−125b=225，
∴线段BC所表示的函数表达式为y=−125x+225(1≤x≤1.8)．
(1)根据图象纵坐标直接得出甲乙两地之间的距离，根据速度=路程÷时间可得轿车的速度；
(2)先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可．
此题主要考查了一次函数的应用，要求学生读懂图象，并善于从图象中得到正确的信息，将所给的函数图象与其表示的实际意义联系起来，并结合图象分析和解决问题．
20.【答案】6 2
【解析】解：(1)这50名出行学生使用共享单车次数的中位数是3+32=3(次)，众数为2，
故答案为：1，2；
(2)这50名出行学生平均每人使用共享单车150×(1×8+2×13+3×11+4×12+5×6)=2.9(次)．
(1)根据中位数的概念求解可得；
(2)利用加权平均数的概念列式计算可得；
本题考查了中位数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．抓住概念进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求，以免出错．
21.【答案】OA=OB 平行四边形的对角线互相平分 AF=AB+CF 2 3
【解析】解：(1)∵点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于点O，在直线PQ上取两点A，B，
∴当OA=OB时，四边形AMBN平行四边形，
故答案为：OA=OB，平行四边形的对角线互相平分；
(2)AF=AB+CF，
证明：延长FE，交AB延长线于H，
∵∠BEH=∠CEF，
又∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
∵AB/​/CD，
∴∠HBE=∠FCE，
在△EBH和△ECF中，
∠FEC=∠HEBBE=CE∠HBE=∠FCE，
∴△EBH≌△ECF(ASA)，
∴CF=BH且HE=FE，
又∵AE⊥HF，
∴AH=AF，
∴AH=AB+BH=AB+CF，
∴AF=AB+CF，
故答案为：AF=AB+CF；
(3)在AC上取点E，使DE/​/AB，
∴∠ADE=∠BAD=90°，
又∵DE//AB，
∴∠CED=∠CAB，∠CDF=∠CBA，
∴△CED∽△CAB，
∴CDBC=DEAB=EC 19=12，
∴EC= 192，
∴AE= 192，
在Rt△ADE中，DE= AE2−AD2= 32，
∴AB=2DE= 3，
∴S△ABD=12AB⋅AD=12× 3×2= 3，
∵△ABD和△ACD等底等高，
∴S△ABD=S△ACD，
∴S△ABC=2S△ABD=2 3，
故答案为：2 3．
(1)根据平行四边形对角线互相平分得出结论即可；
(2)延长FE交AB延长线于H，证BH=CF，AF=AH即可得出结论；
(3)在AC上取点E，使DE/​/AB，根据△CED∽△CAB，根据相似比得出EC，AE的长度，然后利用勾股定理求出DE，进而得出AB及△ABD的面积，根据△ABD和△ACD面积相等得出结论即可．
本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
22.【答案】5
【解析】解：(1)如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴AB⊥AD，
∴AB//DE，
∵AD/​/BC，∠A=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=3，EC=BC−AD=4，∠DEC=90°，
∴CD= DE2+EC2= 32+42=5，
故答案为：5；
(2)∵AQ≤AD，
∴0∴PC=|BP−BC|=|4t−10|=4t−10(2.5≤t≤6) 10−4t(0(3)∵四边形ACPQ是平行四边形，
∴AQ/​/CP，AQ=CP，
即t=|4t−10|(0∴t2=16t2−80t+100，
∴15t2−80t+100=0，
∴t=2或103，
(4)①当PC=CD时，|4t−10|=5，
解得，t=154或54；
②当DP=DC时，则DE垂直平分PC，
∴PC=2EC=8，
即10−4t=8，
∴t=12，
综上，△PCD是以CD为腰的等腰三角形时t的值为154或54或12．
(1)过点D作DE⊥BC于E，根据题意推出四边形ABED是矩形，根据勾股定理求解即可；
(2)根据线段的和差结合绝对值性质求解即可；
(3)当四边形ACPQ为平行四边形时，AQ=CP，即t=|4t−10|(0(4)①当PC=CD时，|4t−10|=5，据此求解即可；
②当DP=DC时，则DE垂直平分PC，则PC=2EC=8，即10−4t=8，据此求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
23.【答案】(2,4)
【解析】解：(1)∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB/​/OC，AB=OC，
∴AB可由OC平移得到，
∵A(−2,3)、C(4,1)、O(0,0)，
∴B(4−2,1+3)，
即B(2,4)，
故答案为：(2,4)；
(2)把B(2,4)代入y=kx+b，得2k+b=4，
∴b=4−2k；
(3)∵一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的图象过点B，
∴当一次函数y=kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，则图象必过点O(0,0)，
∴b=02k+b=4，
解得k=2；
(4)当直线y=kx+b经过A点时，得−2k+b=32k+b=4，
解得k=14，
当直线y=kx+b经过C点时，得4k+b=12k+b=4，
解得k=−32，
根据一次函数的性质知，当k>14或k<−32时，一次函数y=kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点，
∴一次函数y=kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围是：k>14或k<−32．
(1)由平移的性质得B点坐标；
(2)把B点坐标代入解析式便可得出答案；
(3)一次函数图象再过原点，则可把平行四边形的面积等分，把原点和B点坐标代入一次函数的解析式便可求得k；
(4)求出一次函数图象经过A点的k值，和一次函数图象经过C点的k值，再根据一次函数的性质便得结果．
本题考查了一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，平移的性质，关键是综合应用这些知识解题．使用次数
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