黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

这是一份黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间: 120分钟 分值: 150分
命题人：胡俊英
一、选择题(本题共8小题， 每小题 5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)
1. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1，2)， 则z=（ ）
A. -1+2i B. 1+2i C. 1-2i D. -1-2i
2. 已知向量a= (1,-2), b= (x,4),且a//b,则| a-b|=（ ）
A.53 B. 35 C. 25 D. 22
3. 如图, 在△ABC中,AD= 13AB,点E是CD的中点，设AB=a，AC=b，则AE=（ ）
A.-16a+12bB.16a-12b
C. -16a-12bD. 16a+12b
4. 如图，在边长为2的等边△ABC中，点E为中线BD的三等分点(接近点B), 点F为BC的中点, 则EF∙EC=（ ）
A.-316B.-56
C. -103D.-34
5. 在矩形 ABCD中,AB= 3,BC=1,E是边 CD上一点，且AE∙AB=1,则AE∙AC的值为( )
A. 3 B.2C. 32D. 33
6.在矩形ABCD中, AB=3,BC=4.点P 是矩形ABCD内一点,若AP=1,则BP∙BD的取值范围是( )
A. [4,13] B. [4,14]C. [6,13] D. [9,14]
7.已知单位圆O是△ABC的外接圆，若A=π4,则\AB∙AC的最大值为( )
A. 12B. 22
C. 1D. 2
8. 数学家欧拉在1765年发现了九点圆， 即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点(垂心)与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆.已知在△ABC中, A(-2,0), B(4,4), C(2,2), 则△ABC的九点圆的半径为( )
A. 1103B. 1303C. 1102D. 1302
二、选择题(本题共3 小题，每小题6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9.已知向量a= (1,1), b= (-2,0)则下列结论正确的是( )
A.|a |=| b|B. a与b的夹角为34π
C.a+b⊥aD. b在a上的投影向量是(-1,-1)
10. 在△ABC中,若a:b:c=4:5:6,下列结论中正确的有( )
A. sin A:sin B:sin C=4:5:6 B. △ABC是钝角三角形
C. △ABC的最大内角是最小内角的2倍 D. 若c=6, 则△ABC外接圆的半径为877
11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.具体内容是：已知M是△ABC内一点,△BMC,△AMC,△AMB 的面积分别为SA，SB，Sc， 则有 SAMA+SBMB+ScMC=0.以下命题正确的有( )
A. 若 SA:SB:Sc=1:1:1,则M为△ABC的重心
B.若M为△ABC的内心,则 |BC|MA+|AC|MB+|AB|MC=0
C. 若∠BAC=45°,∠ABC=60°, M为△ABC的外心,则. SA:SB:SC=3:2:1
D.若M为△ABC的垂心, 3MA+4MB+5MC=0,则 cs∠AMB=-66
三、填空题(本题共 3 小题， 每小题5分，共15分)
12. 设m∈R,复数z=(m²+m-2)+(m-1)i,其中i为虚数单位， 若z为纯虚数，则m=_____________.
13.已知向量a, b, c满足a+b+c=0, a=1，b=3，c=2 ,则a与c的夹角为_____________.
14. 法国数学家费马被称为业余数学之王， 很多数学定理以他的名字命名.对△ABC而言， 若其内部的点 P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则称P为△ABC的费马点.在△ABC中，已知∠BAC=45°,设P为△ABC的费马点， 且满足∠PBA=45°,PA=2.则△ABC的外接圆直径长为_____________.
四、解答题(本题共5 小题， 共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知向量a, b满足 a=4，b=1，2，
(1)若a//b,求向量a的坐标；
(2)若a+b⊥b求向量a与向量b夹角的余弦值.
16.(15分) 在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且a=4,b=5, cs C=18.
(1)求△ABC的面积；
(2)求边长c及sinA的值.
17.(15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知a-bc=sinA-sinCsinA+sinB
(1)求角B的大小;
(2)若b=2,求△ABC周长的最大值.
18.(17分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知B=π4，4bcsC=2c+2a
(1)求tanC;
(2)若△ABC的面积为32,求BC边上的中线长.
19.(17分)如图,平面凸四边形ABCD中,AB=2BC=2,AD=CD, ∠ADC=π2,M为边BC的中点.
(1)若∠ABC=2π3,求△ACD的面积；
(2)求 DM的最大值.
数学答案
四、解答题(共计77分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D
B
D
B
B
B
C
D
BCD
ACD
11
12
13
14
ABD
-2
120°
23