2024年甘肃省天水市甘谷县部分学校中考数学一模试卷(含解析）

这是一份2024年甘肃省天水市甘谷县部分学校中考数学一模试卷(含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算(−1)×(−3)的结果为( )
A. 3B. 13C. −3D. −4
2.不等式x≤2在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
3.随着全球新一轮科技革命和产业变革的蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，根据中国乘用车协会的统计数据，2023年第一季度，中国新能源汽车销量为159万辆，同比增长26.2%，其中159万用科学记数法表示为( )
A. 1.59×106B. 15.9×105C. 159×104D. 1.59×102
4.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (−a3b)2=−a6b2C. a6÷a3=a2D. (a2)3=a6
5.如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A=130°，那么∠B的度数是( )
A. 160°B. 150°C. 140°D. 130°
6.某小学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球.为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机选取100名学生进行问卷调查(每位学生仅选一种)，并将调查结果绘制成如下的扇形统计图.下列说法错误的是( )
A. 本次调查的样本容量为100
B. 最喜欢篮球的人数占被调查人数的30%
C. 最喜欢足球的学生为40人
D. “排球”对应扇形的圆心角为10°
7.在四边形ABCD中，AD//BC，AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( )
A. AB/​/CDB. AD=BCC. ∠A=∠BD. ∠A=∠D
8.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为( )
A. 20mB. 28mC. 35mD. 40m
9.一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变.甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙A. 甲同学B. 乙同学C. 丙同学D. 丁同学
10.如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x,PBPC=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为( )
A. 6B. 3C. 4 3D. 2 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：a2+5a= ______．
12.计算：2−1+30= ______．
13.某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发______套劳动工具．
14.如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC=60°，BD=10，点F为BC中点，则EF的长为______．
15.如图，在数轴上，OB=1，过O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA=2，且A在OC上方.连接AB，以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，则C点的横坐标为______．
16.如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为______cm.(杯壁厚度不计)
三、解答题：本题共11小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：( 48−3 13)÷ 3．
18.(本小题6分)
解不等式组：3x>x+612x<−x+5．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：a2−4a+4a2−4÷a−2a2+2a+3，其中a= 3−3．
20.(本小题8分)
如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空．
(1)画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB；
(2)画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C；
(3)填空：∠OCB的度数为______．
21.(本小题10分)
盒玩的贩售方式是将一款玩具装在盒子中贩卖，购买者只能从外盒知道购买的是哪一系列玩具，但无法知道是系列中的哪一款，图1、图2分别为动物系列，汽车系列盒玩中所有可能出现的款式．

已知小友喜欢图1中的A款、C款，喜欢图2中的B款，若他打算购买图1的盒玩一盒，且他买到图1中每款玩具的机会相等；他也打算购买图2的盒玩一盒，且他买到图2中每款玩具的机会相等，求他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的概率．
22.(本小题10分)
为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.(结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cs16°≈0.96，tan16°≈0.29)
23.(本小题8分)
某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程.为了解培训效果，学校对七年级320名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，两次检测项目相同，评委依据同一标准进行现场评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分(比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分).学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成下面的条形统计图：
(1)这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为______；(填“合格”、“良好”或“优秀”)
(2)求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？
(3)利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=43x−2的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y=kx在第一象限内的图象相交于点B(m,2)，过点B作BC⊥y轴于点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△ABC的面积．
25.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，且∠BCD=12∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
(1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若sinB=35，⊙O的半径为3，求AC的长．
26.(本小题10分)
综合与实践．
(1)提出问题.如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC，AD=AE，连接BD，连接CE交BD的延长线于点O．
①∠BOC的度数是______．
②BD：CE= ______．
(2)类比探究.如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC=∠EDC=90°，且AB=AC，DE=DC，连接AD、BE并延长交于点O．
①∠AOB的度数是______；
②AD：BE= ______．
(3)问题解决.如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上(不与A重合)，以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度.如图4，M为EF的中点，N为BE的中点．
①说明△MND为等腰三角形．
②求∠MND的度数．
27.(本小题12分)
综合与探究
如图，二次函数y=−x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B(1,3)，与y轴交于点C．
(1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标；
(2)点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．
①当PD=12OC时，求m的值；
②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF.设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(−1)×(−3)
=1×3
=3，
故选：A．
根据有理数乘法的计算得出结论即可．
本题主要考查有理数乘法的计算，熟练掌握有理数乘法的计算方法是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：不等式x≤2在数轴上表示为：
．
故选：B．
把已知解集表示在数轴上即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
3.【答案】A
【解析】解：159万=1590000=1.59×106，
故选：A．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4.【答案】D
【解析】解：A.a2⋅a3=a5，故选项不符合题意；
B.(−a3b)2=a6b2，故选项不符合题意；
C.a6÷a3=a3，故选项不符合题意；
D.(a2)3=a6，故选项符合题意．
故选：D．
选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据积的乘方运算法则判断即可；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可；选项D根据幂的乘方运算法则判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，
∴AC/​/BD，
∴∠B=∠A=130°．
故选：D．
由平行线的性质，即可得到∠B=∠A=130°．
本题考查平行线的性质，关键是由题意得到AC/​/BD．
6.【答案】D
【解析】解：A、本次调查的样本容量为100，故此选项不合题意；
B、最喜欢篮球的人数占被调查人数的30%，故此选项不合题意；
C、最喜欢足球的学生为100×40%=40(人)，故此选项不合题意；
D、根据扇形图可得喜欢排球的占10%，“排球”对应扇形的圆心角为360°×10%=36°，故此选项符合题意；
故选：D．
利用扇形图可得喜欢排球的占10%，喜欢篮球的人数占被调查人数的30%，最喜欢足球的学生为100×40%=40人；用360°×喜欢排球的所占百分比可得圆心角．
本题考查的是扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
7.【答案】C
【解析】解：A、∵AB/​/CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由AB=CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD=BC，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
由AB=CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AD/​/BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AB的长为AD与BC间的距离，
∵AB=CD，
∴CD⊥AD，CD⊥BC，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD/​/BC，
∴∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，
∵∠A=∠D，
∴∠B=∠C，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意；
故选：C．
由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可知，AB=37m，CD=7m，
设主桥拱半径为R m，
∴OD=OC−CD=(R−7)m，
∵OC是半径，OC⊥AB，
∴AD=BD=12AB=372m，
在RtADO中，AD2+OD2=OA2，
∴(372)2+(R−7)2=R2，
解得R=156556≈28．
故选：B．
设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD=372，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R的方程解决问题．
9.【答案】B
【解析】解：根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂可得，
∵阻力×阻力臂是个定值，即水桶的重力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变，
∴动力越小，动力臂越大，即压力最小，压力的作用点到支点的距离最远，
∵F乙最小，
∴乙同学到支点的距离最远．
故选：B．
根据杠杆平衡原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值即可判断．
本题考查反比例函数的应用，确定水桶的拉力和水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长乘积是定值是本题关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
∖
结合图象可知，当点P在AO上运动时，PBPC=1，
∴PB=PC，AO=2 3，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
在△APB和△APC中
AB=ACPB=PCAP=AP
∴△APB≌△APC(SSS)，
∴∠BAO=∠CAO=30°，
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4 3，
∴OB=2 3，即AO=OB=2 3，
∴∠BAO=∠ABO=30°，
过点O作OD⊥AB，垂足为D，
∴AD=BD，则AD=AO⋅cs30°=3，
∴AB=AD+BD=6，
即等边三角形ABC的边长为6．
故选：A．
如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB=PC，AO=2 3，易知∠BAO=∠CAO=30°，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4 3，可知AO=OB=2 3，过点O作OD⊥AB，解直角三角形可得AD=AO⋅cs30°，进而得出等边三角形ABC的边长．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
11.【答案】a(a+5)
【解析】解：∵a2+5a公有因式为a，
∴原式=a(a+5)，
故答案为：a(a+5)．
由提公因式am+bm=m(a+b)，可直接得出结论．
本题考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解题的关键．
12.【答案】32
【解析】解：2−1+30
=12+1
=32，
故答案为：32．
根据负整数指数幂和零指数幂计算即可．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键．
13.【答案】3n
【解析】解：∵给每个年级配发n套劳动工具，
∴3个年级共需配发3n套劳动工具．
故答案为：3n．
根据题意列出代数式即可．
本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，用含n的代数式表示3个年级劳动工具的套数．
14.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=DC，AC⊥BD，
∴∠BEC=90°，
∵∠DBC=60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴BC=BD=10，
∵点F为BC中点，
∴EF=12BC=5，
故答案为：5．
由四边形ABCD是菱形，可得BC=DC，AC⊥BD，∠BEC=90°，又∠DBC=60°，知△BDC是等边三角形，BC=BD=10，而点F为BC中点，故EF=12BC=5．
本题考查菱形的性质及应用，涉及等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
15.【答案】1+ 5
【解析】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，AB= OA2+OB2= 22+12= 5，
∵以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，
∴AB=BC= 5，
∴OC=OB+BC=1+ 5，
∴点C的横坐标为1+ 5．
故答案为：1+ 5，
在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB= 5，则AB=BC= 5，进而求得OC=1+ 5，据此即可求解．
本题主要考查勾股定理，实数与数轴，利用勾股定理正确求出AB的长是解题关键．
16.【答案】10
【解析】解：如图：
将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，
连接B′A，则B′A即为最短距离，
B′A= B′D2+AD2= 82+62=10(cm)．
故答案为：10．
将杯子侧面展开，建立B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知B′A的长度即为所求．
本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
17.【答案】解：原式=(4 3− 3)÷ 3
=3 3÷ 3
=3．
【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．
18.【答案】解：3x>x+6①12x<−x+5②，
解不等式①，得x>3，
解不等式②，得x<103，
所以不等式组的解集是3【解析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键，同大取大，同小取小，大大小小取不了，小大大小取中间．
19.【答案】解：原式=(a−2)2(a+2)(a−2)⋅a(a+2)a−2+3
=a−2a+2⋅a(a+2)a−2+3
=a+3，
当a= 3−3时，原式= 3−3+3= 3．
【解析】根据分式的除法法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，OB为所作；
(2)如图，△COB为所作；
(3)45°
【解析】解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)∵线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，
∴OB=OA，∠AOB=90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵△COB与△AOB关于直线OB对称，
∴∠OCB=∠OAB=45°．
故答案为：45°．
(1)利用网格特点和旋转的性质画出点A的对称点B，从而得到OB；
(2)延长AO到C点使OC=OA，则△COB满足条件；
(3)先根据旋转的性质得到OB=OA，∠AOB=90°，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠OAB=45°，然后利用对称的性质得到∠OCB的度数．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
21.【答案】解：列表如下：
共有30种等可能的结果，其中他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的结果有：(A,B)，(C,B)，共2种，
∴他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的概率为230=115．
【解析】列表可得出所有等可能的结果数以及他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22.【答案】解：过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，如图：

在Rt△ABT中，
BT=AB⋅sin∠BAT=5×sin16°≈1.4(米)，AT=AB⋅cs∠BAT=5×cs16°≈4.8(米)，
∵∠ATC=∠C=∠CKA=90°，
∴四边形ATCK是矩形，
∴CK=AT=4.8米，AK=CT=BC−BT=4−1.4=2.6(米)，
在Rt△AKD中，
∵∠ADK=45°，
∴DK=AK=2.6米，
∴CD=CK−DK=4.8−2.6=2.2(米)，
∴阴影CD的长约为2.2米．
【解析】过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，在Rt△ABT中，BT=AB⋅sin∠BAT=1.4(米)，AT=AB⋅cs∠BAT≈4.8(米)，可得CK=AT=4.8米，AK=CT=BC−BT=4−1.4=2.6(米)，而∠ADK=45°，知DK=AK=2.6米，故CD=CK−DK=4.8−2.6=2.2米．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度．
23.【答案】解：(1)合格；
(2)培训前的平均分为：(25×2+5×6+2×8)÷32=3(分)，
培调后的平均分为：(8×2+16×6+8×8)÷32=5.5(分)，
5.5−3=2.5(分)，
培训后比培训前的平均分提高了2.5分；
(3)培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有320×16+832=240(名)，
答：培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是240名．
【解析】解：(1)由题意得，这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为合格，
故答案为：合格；
(2)(3)见答案．
(1)中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)；
(2)根据加权平均数的计算公式计算即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查的是条形统计图、中位数、加权平均数的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
24.【答案】解：(1)∵B点是直线与反比例函数交点，
∴B点坐标满足一次函数解析式，
∴43m−2=2，
∴m=3，
∴B(3,2)，
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x；
(2)∵BC⊥y轴，
∴C(0,2)，BC/​/x轴，
∴BC=3，
令x=0，则y=43x−2=−2，
∴A(0,−2)，
∴AC=4，
∴S△ABC=12AC⋅BC=6，
∴△ABC的面积为6．
【解析】(1)因为一次函数与反比例函数交于B点，将B代入到一次函数解析式中，可以求得B点坐标，从而求得k，得到反比例函数解析式；
(2)因为BC⊥y轴，所以C(0,2)，利用一次函数解析式可以求得它与y轴交点A的坐标(0,−2)，由A，B，C三点坐标，可以求得AC和BC的长度，并且BC/​/x轴，所以S△ABC=12AC⋅BC，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，会用坐标求解析式，会用解析式求坐标是解决此题的基本要求，同时要注意在平面直角坐标系中如何利用坐标表示水平线段和竖直线段．
25.【答案】解：(1)直线AB与⊙O相切，
理由：连接OD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠DOB=∠OCD+∠ODC=2∠BCD，
∴∠BCD=12∠BOD，
∵∠BCD=12∠A，
∴∠BOD=∠A，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠BOD+∠B=90°，
∴∠BDO=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线AB与⊙O相切；
(2)∵sinB=ODOB=35，OD=3，
∴OB=5，
∴BC=OB+OC=8，
在Rt△ACB中，sinB=ACAB=35，
∴设AC=3x，AB=5x，
∴BC= AB2−AC2=4x=8，
∴x=2，
∴AC=3x=6．
【解析】(1)连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD=∠ODC，求得∠DOB=∠OCD+∠ODC=2∠BCD，等量代换得到∠BOD=∠A，求得∠BDO=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
(2)根据三角函数的定义得到OB=5，求得BC=OB+OC=8，设AC=3x，AB=5x，根据勾股定理得到BC= AB2−AC2=4x=8，于是得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26.【答案】(1)①90°；
② 1：1 ；
(2)①45°;
② 1： 2
(3)①解：连接BF、CE，延长CE交MN于点P，交BF于点O．
在等边△ABC中AB=AC，又∵图3中AD⊥BC于点D，
∴D为BC的中点，
又∵M为EF的中点，N为BE的中点，
∴MN、ND分别是在△BEF、△BCE的中位线，
∴MN=12BF，DN=12EC．
∵∠FAE=∠BAC=60°，
∴∠FAE+∠EAB=∠BAC+∠EAB．
∴∠FAB=∠EAC．
在△ACE和△ABF中，
AF=AE∠FAB=∠EACAB=AC，
∴△ACE≌△ABF(SAS)．
∴BF=EC．
∴MN=DN．
∴△MND为等腰三角形．
②∵△ACE≌△ABF，
∴∠ACE=∠ABF，
由(1)(2)规律可知：∠BOC=60°，
∴∠FOC=180°−∠BOC=180°−60°=120°，
又∵BF//MN，CP//DN，
∴∠MND=∠MPE=∠FOC=120°．
【解析】【分析】
(1)①通过证明△BAD≌△CAE(SAS).推出∠ABD=∠ACE，再根据三角形内角和解答即可；
②根据全等三角形对应边相等，即可得出答案；
(2)①通过证明△ECB∽△DCA，推出∠CBE=∠CAD，再根据三角形内角和解答即可；
②根据相似三角形的性质以及等腰直角三角形的三边关系即可得出答案；
(3)①通过证明△ACE≌△ABF(SAS)，得出BF=EC.结合三角形中位线定理即可证明结论；
②根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定及性质．方法灵活多变，需要较强的构造能力．
【解答】
解：(1)①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
在△BAD≌和△CAE中
∵AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠OBC+∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠OBC+∠ACB=90°，
即：∠BCE+∠OBC=90°，
∴∠BOC=90°．
故∠BOC的度数是90°．
②由①得△BAD≌△CAE，
∴BD=CE．
故BD：CE=1：1．
(2)①∵AB=AC，DE=DC，
∴ABDE=ACDC，
又∵∠BAC=∠EDC=90°，
∴△ABC∽△DEC，
∴∠ACB=∠DCE，BCAC=ECDC．
∴∠ACE+∠ECB=∠DCA+∠ACE，
∴∠ECB=∠DCA．
∴△ECB∽△DCA，
∴∠CBE=∠CAD，
∴∠AOB=180°−∠ABO−∠BAO=180°−∠ABO−∠CAD−∠BAC=180°−∠ABO−∠CBE−90°=180°−45°−90°=45°．
故∠AOB的度数是45°．
②由①得：△ECB∽△DCA．
∴AD：BE=DC：EC，
∵∠EDC=90°，且DE=DC，
∴∠DCE=45°，
∴DCEC=cs45°= 22．
∴AD：BE=1： 2．
(3)见答案．
27.【答案】解：(1)由y=−x2+4x得，当y=0时，−x2+4x=0，
解得x1=0，x2=4，
∵点A在x轴正半轴上．
∴点A的坐标为(4,0)．
设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0)．
将A，B两点的坐标(4,0)，(1,3)分别代入y=kx+b，
得4k+b=0k+b=3，
解得k=−1b=4，
∴直线AB的函数表达式为y=−x+4．
将x=0代入y=−x+4，得y=4．
∴点C的坐标为(0,4)；
(2)①解：∵点P在第一象限内二次函数y=−x2+4x的图象上，且PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，其横坐标为m．
∴点P，D的坐标分别为P(m,−m2+4m)，D(m,−m+4)，
∴PE=−m2+4m.DE=−m+4，OE=m，
∵点C的坐标为(0,4)，
∴OC=4．PD=12OC，
∴PD=2．
如图1，当点P在直线AB上方时，PD=PE−DE=−m2+4m−(−m+4)=−m2+5m−4，

∵PD=2，
∴−m2+5m−4=2，
解得m1=2.m2=3．
如图2，当点P在直线AB下方时，PD=DE−PE=−m+4−(−m2+4m)=m2−5m+4，

∵PD=2，
∴m2−5m+4=2，
解得m=5± 172，
∵0综上所述，m的值为2或3或5− 172；
②解：如图3，

由(1)得，OE=m，PE=−m2+4m，DE=−m+4．
∵BQ⊥x轴于点Q，交OP于点F，点B的坐标为(1,3)，
∴OQ=1，
∵点P在直线AB上方，
∴EQ=m−1．
∵PE⊥x轴于点E，
∴∠OQF=∠OEP=90°，
∴FQ//DE，∠FOQ=∠POE，
∴△FOQ∽△POE，
∴FQPE=OQOE，
∴FQ−m2+4m=1m，
∴FQ=−m2+4mm=−m+4，
∴FQ=DE，
∴四边形FQED为平行四边形，
∵PE⊥x轴，
∴四边形FQED为矩形．
∴S=EQ+FQ=(m−1)(−m+4)，即S=−m2+5m−4=−(m−52)2+94，
∵−1<0，1∴当m=52时，S的最大值为94；
【解析】(1)利用待定系数法可求得直线AB的函数表达式，再求得点C的坐标即可；
(2)①分当点P在直线AB上方和点P在直线AB下方时，两种情况讨论，根据PD=2列一元二次方程求解即可；
②证明△FOQ∽△POE，推出FQ=−m+4，再证明四边形FQED为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，特殊四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．A
B
C
D
E
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
(A,D)
(A,E)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
(B,D)
(B,E)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
(C,D)
(C,E)
D
(D,A)
(D,B)
(D,C)
(D,D)
(D,E)
E
(E,A)
(E,B)
(E,C)
(E,D)
(E,E)
F
(F,A)
(F,B)
(F,C)
(F,D)
(F,E)