2024年湖南省长沙市长沙县部分学校中考数学一模试卷(含解析）

这是一份2024年湖南省长沙市长沙县部分学校中考数学一模试卷(含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2的倒数是( )
A. −2B. −12C. 12D. 2
2.餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心.据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约1700万吨.将数据1700万用科学记数法表示为( )
A. 1.7×107B. 0.17×108C. 1.7×108D. 17×107
3.下列运算正确的是( )
A. a2+a4=a6B. (a−b)2=a2−b2
C. (a2b)3=a6b3D. a6÷a6=a
4.下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.如图，AB/​/CD，△ACE为等边三角形，∠DCE=45°，则∠EAB等于( )
A. 40°
B. 30°
C. 20°
D. 15°
6.如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图，根据折线图判断下列说法正确的是( )
A. 甲的成绩较稳定B. 乙成绩的众数是8环
C. 从平均数看乙的成绩较好D. 以上说法都不对
7.如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠P=40°，OC的延长线交PA于点P，则∠ABC的度数是( )
A. 25°
B. 35°
C. 40°
D. 50°
8.阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A，B的对应点分别是C，D).若物体AB的高为6cm，实像CD的高为3cm，则小孔O到BC的距离OE为( )
A. 2cmB. 1.5cmC. 1cmD. 2.5cm
9.若关于x的方程x2−2x−4m=0有实数根，则实数m的取值范围是( )
A. m<14B. m≤14C. m≥−14D. m>−14
10.对于二次函数y=x2−12x+42，有以下结论：①当x>5时，y随x的增大而增大；②当x=6时，y有最小值6：③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线y=x2向左平移6个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的.其中结论错误的有( )
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：x2+2x+1= ．
12.如图，如果要测量池塘两端A、B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC，BC，点D、E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为12米，则AB的长为______米.
13.一个不透明的盒子中有红黄两种颜色的小球12个，它们除颜色外，其他都相同，小婷从中随机抽取一个小球后又放回，经过反复试验，发现从中抽取的小球中红色小球和黄色小球的次数的比稳定在0.5左右，那么估计红色小球的个数为______．
14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，若AC=3，BC=4，则△ABD的面积为______．
15.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC+BD=18，AB=7.则△OCD的周长为______．
16.如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过点P(4,6)，与反比例函数y=2x的图象在第一象限交于点Q(m,n).若一次函数y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：2÷(−14)−|− 18|+(15)−1+4cs45°．
18.(本小题6分)
解不等式组：x+4>−2x+1x2−x−13≤2．
19.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−5,−4)，B(−4,−2)，C(−1,−3)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)连接MC1，将线段MC1绕点M顺时针旋转90°，得到MC2，求线段MC1在旋转过程中扫过的面积．
20.(本小题8分)
为弘扬国学文化，某校开展了国学知识讲座.为了解学生的学习情况，在七、八年级各抽取了50名学生进行了国学知识测试，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
(1)求抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数；
(2)请确定下表中a，b，c的值：(只要求写出求a的计算过程)
(3)从上表中选择合适的统计量，说明哪个年级的成绩更稳定．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，延长ED交BC的延长线于点F，且AD=DF．
(1)求证：BC=BE；
(2)若CF=3，EF=9，求DE的长．
22.(本小题9分)
为增加校园绿化面积，某校计划在林荫道边栽种甲、乙两种树苗.已知购买15棵甲种树苗和10棵乙种树苗共花费1600元，购买1棵乙种树苗比1棵甲种树苗多花费10元．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元；
(2)若购买甲、乙两种树苗共40棵，且购买乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的3倍，则购买甲、乙两种树苗至少要花费多少钱？请写出购买方案．
23.(本小题9分)
如图1，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点E是线段BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F.点B与点B′关于直线AF对称，延长AB′交CD于点M，连接B′E．
(1)求证：AM=FM；
(2)如图2，若点B′恰好落在对角线AC上，求tan∠F的值；
(3)若BECE=53，求线段AM的长．
24.(本小题10分)
定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．
(1)若▱ABCD是圆的“奇妙四边形”，则▱ABCD是______(填序号)；
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知⊙O的半径为R，四边形ABCD是⊙O的“奇妙四边形”.求证：AB2+CD2=4R2；
(3)如图2，四边形ABCD是“奇妙四边形”，P为圆内一点，∠APD=∠BPC=90°，∠ADP=∠PBC，BD=4，且AB= 3DC，当DC的长度最小时，求APDP的值．
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且OB=OC=2OA．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点M，使∠ABC=∠BCM，如果存在，求点M的坐标，如果不存在，说明理由；
(3)若点D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A，B，D的圆与DF交于点E，连接AE，BE，求△ABE的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数．
本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数互为倒数．
【解答】
解：因为−2×(−12)=1．
所以−2的倒数是−12，
故选：B．
2.【答案】A
【解析】解：1700万=17000000=1.7×107，
故选：A．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵a2，a4不是同类项，不能合并，
∴A不合题意．
∵(a−b)2=a2−2ab+b2，
∴B不合题意．
∵(a2b)3=a6b3，
∴C符合题意．
∵a6÷a6=a0=1，
∴D不合题意．
故选：C．
用完全平方公式，合并同类项，幂的运算法则依次判断即可．
本题考查完全平方公式，合并同类项，幂的运算法则，掌握相应法则是求解本题的关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】
解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
5.【答案】D
【解析】解：∵△ACE为等边三角形，
∴∠ECA=∠EAC=60°，
∵AB//CD，
∴∠DCA+∠BAC=180°，
∴∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°，
∵∠DCE=45°，
∴45°+60°+60°+∠EAB=180°，
解得∠EAB=15°．
故选：D．
先根据等边三角形的性质可得∠ECA=∠EAC=60°，再根据平行线的性质可得∠DCA+∠BAC=180°，然后根据角的和差计算即可．
本题主要考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：由折线统计图得，乙运动员的10次射击成绩的波动性较小，甲运动员的10次射击成绩的波动性较大，所以甲的成绩不稳定；
因为乙的成绩8环出现了5次，出现的次数最多，
所以众数是8环；
因为甲的平均数是：110×(8+9+4+10+6+10+8+4+9+8)=7.6(环)，
乙的平均数是：110×(7+8+7+8+9+7+8+6+8+8)=7.6(环)，
从平均数看甲和乙的成绩一样好．
故选：B．
利用折线统计图判断甲、乙成绩的波动性的大小，再根据众数和平均数的计算公式可判断出正确答案．
本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了方差的意义．
7.【答案】A
【解析】解：∵PA与⊙O相切于点A，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=40°，
∴∠AOP=90°−∠P=90°−40°=50°，
∴∠ABC=12∠AOP=12×50°=25°，
故选：A．
由切线的性质求得∠OAP=90°，则∠AOP=90°−∠P=50°，由圆周角定理求得∠ABC=12∠AOP=25°，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质定理、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明∠OAP=90°是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：由题意得AB⊥BC，OE⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABC=∠OEC=∠OEB=∠DCB=90°，
∵∠ACB=∠OCE，
∴△ACB∽△OCE，
∴OEAB=CECB，
∵∠DBC=∠OBE，
∴△BOE∽△BDC，
∴OEDC=BEBC，
∴OEAB+OEDC=CEBC+BEBC=CE+BEBC=BCBC=1，
∵AB=6cm，CD=3cm，
∴OE6+OE3=1，
解得：OE=2，
∴小孔O到BC的距离OE为2cm，
故选：A．
根据题意可得AB⊥BC，OE⊥BC，DC⊥BC，从而可得∠ABC=∠OEC=∠OEB=∠DCB=90°，然后证明A字模型相似△ACB∽△OCE，△BOE∽△BDC，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵关于x的方程x2−2x−4m=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×(−4m)≥0，
解得m≥−14．
故选：C．
根据一元二次方程有实数根可得Δ≥0，直接求解即可．
此题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是一元二次方程有实数根即Δ≥0．
10.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=x2−12x+42=(x−6)2+6，
∴该函数的对称轴为直线x=6，函数图象开口向上，
当56时，y随x的增大而增大，故①符合题意；
当x=6时，y有最小值6，故②不符合题意；
当y=0时，无实数根，即图象与x轴无交点，故③符合题意；
图象是由抛物线y=x2向右平移6个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，故④符合题意；
故选：B．
将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11.【答案】(x+1)2
【解析】【分析】
本题考查了公式法分解因式．掌握因式分解的方法是解题的关键．
直接运用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】
解：x2+2x+1=(x+1)2．
故答案为：(x+1)2．
12.【答案】24
【解析】解：∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴AB=2DE=2×12=24(米)．
故答案为：24．
应用三角形的中位线定理，计算得结论．
本题考查了三角形的中位线，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”是解决本题的关键．
13.【答案】4
【解析】解：设红色小球的个数为x，根据题意，得：
x12−x=0.5，
解得：x=4，
即估计红色小球的个数为4．
故答案为：4．
根据利用频率估计红色小球和黄色小球的次数的比稳定在0.5左右，列方程求解可得．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
14.【答案】3.75
【解析】解：过D作DH⊥AB于H，
∵∠C=90°，AD平分∠CAB，
∴DC=DH，
∵AC=3，BC=4，
∴AB= 32+42=5，
∵△ABC的面积=△ACD的面积+△ABD的面积，
∴12BC⋅AC=12AC⋅CD+12AB⋅DH，
∴3×4=3DH+5DH，
∴DH=1.5，
∴△ABD的面积=12AB⋅DH=12×5×1.5=3.75．
故答案为：3.75．
由角平分线的性质推出DC=DH，由勾股定理求出AB= 32+42=5，由三角形面积公式得到12BC⋅AC=12AC⋅CD+12AB⋅DH，因此3×4=3DH+5DH，即可求出DH=1.5，于是得到△ABD的面积=12AB⋅DH=3.75．
本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到CD=DH，由三角形面积公式得到12BC⋅AC=12AC⋅CD+12AB⋅DH．
15.【答案】16
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴OC=OA=12AC，OD=OB=12BD，CD=AB=7，
∵AC+BD=18，
∴OC+OD=12(AC+BD)=12×18=9，
∴OC+OD+CD=9+7=16，
∴△OCD的周长为16，
故答案为：16．
由平行四边形的性质得OC=12AC，OD=12BD，CD=AB=7，则OC+OD=12(AC+BD)=9，所以OC+OD+CD=9+7=16，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，证明OC=12AC，OD=12BD，并且求得OC+OD=9是解题的关键．
16.【答案】13【解析】解：过点P作PA/​/x轴，交双曲线于点A，过点P作PB/​/y轴，交双曲线于点B，如图，
∵P(4,6)，反比例函数y=2x，
∴A(13,6)，B(4,12).
∵一次函数y的值随x值的增大而增大，
∴点Q(m,n)在A，B之间，
∴13故答案为：13过点P分别作x轴，y轴的平行线，与双曲线分别交于点A，B，利用解析式分别求得A，B坐标，依据题意确定点Q的移动范围，从而得出结论．
本题主要考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，待定系数法，反比例函数的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，确定点Q的移动范围是解题的关键．
17.【答案】解：原式=2×(−4)−3 2+5+4× 22
=−8−3 2+5+2 2
=−3− 2．
【解析】利用绝对值的性质，负整数指数幂，有理数除法法则，特殊锐角三角函数值计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：x+4>−2x+1①x2−x−13≤2②，
解不等式①，得x>−1，
解不等式②，得x≤10，
∴原不等式组的解集为：−1【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．

(2)由勾股定理得，MC1= 22+22=2 2，
∴线段MC1在旋转过程中扫过的面积为90π×(2 2)2360=2π．
【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．
(1)利用勾股定理求出MC1的长，再利用扇形面积公式计算即可．
本题考查作图−轴对称变换、旋转变换、扇形面积公式，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质、扇形面积公式是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)根据题意得：
50×(1−14%−24%−22%−28%)=6(人)，
答：抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数有6人；
(2)把七年级抽取的50名学生成绩从小到大排列，则中位数是第25、26个数的平均数，
所以c=8+82=8；
a=150×(6×10+50×28%×9+50×22%×8+50×24%×7+50×14%×6)=8，
∵9分的人数最多，
∴众数b=9；
(3)∵七年级的方差是1.16，八年级的方差的1.56，且1.16<1.56，
∴七年级的成绩更稳定．
【解析】(1)用抽取的总人数乘以所占的百分百即可；
(2)根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可；
(3)根据方差的意义即可得出答案．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
21.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，
∴DC⊥BC，
∵BD是∠ABC的平分线，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴DC=DE，∠DEB=∠DCB=90°，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
BD=BDDC=DE，
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，
∴BC=BE．
(2)解：∵∠DCF=90°，∠DEA=90°，
∴∠DCF=∠DEA，
在△DCF和△DEA中，
∠DCF=∠DEADC=DE∠CDF=∠EDA，
∴△DCF≌△DEA(ASA)，
∴CF=EA=3，FD=AD，
∵EF=9，
∴FD=AD=9−DE，
∵EA2+DE2=AD2，
∴32+DE2=(9−DE)2，
解得DE=4，
∴DE的长为4．
【解析】(1)由角平分线的性质证明DC=DE，而BD=BD，即可根据“HL”证明Rt△BCD≌Rt△BED，得BC=BE；
(2)由∠DCF=∠DEA，DC=DE，∠CDF=∠EDA，根据“ASA”证明△DCF≌△DEA，得CF=EA=3，FD=AD=9−DE，由勾股定理得32+DE2=(9−DE)2，求得DE=4．
此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，适当选择全等三角形的判定定理，证明Rt△BCD≌Rt△BED及△DCF≌△DEA是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设甲种树苗每棵的价格为x元，乙种树苗每棵的价格为y元，
根据题意，得：15x+10y=1600y−x=10，
解得：x=60y=70，
答：甲种树苗每棵的价格为60元，乙种树苗每棵的价格为70元．
(2)设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗(40−m)棵，
根据题意得：40−m≥3m，
解得m≤10，
购买甲、乙两种树苗需要花费60m+70(40−m)
=−10m+2800(元)，
当m=10时，−10m+2800≥2700(元)，
答：购买甲、乙两种树苗至少要花费2700元钱，此时购买甲种树苗10棵，乙种树苗30棵．
【解析】(1)设甲种树苗每棵的价格为x元，乙种树苗每棵的价格为y元，根据“购买15棵甲种树苗和10棵乙种树苗共花费1600元，购买1棵乙种树苗比1棵甲种树苗多花费10元”列二元一次方程组求解即可；
(2)设购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗(40−m)棵，根据“购买乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的3倍”列不等式求出m的范围，继而根据购买甲、乙两种树苗需要花费60m+70(40−m)=−10m+2800求解即可．
本题主要考查一元一次不等式和二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系和相等关系，并据此列出不等式．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB/​/CD，
∴∠F=∠BAF，
由折叠可知：∠BAF=∠MAF，
∴∠F=∠MAF，
∴AM=FM；
(2)解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=4，CD=AB=3，∠D=90°，
由(1)可知△ACF是等腰三角形，AC=CF，
在Rt△ABC中，∵AB=3，BC=4，
∴AC= AB2+BC2=5，
∴CF=AC=5，
∴DF=CD+CF=3+5=8，
∴tanF=ADFD=48=12；
(3)解：当点E在线段BC上时，如图3，AB′的延长线交CD于点M，

由AB//CF可得：△ABE∽△FCE，
∴ABCF=BECE=53，即3CF=53，
∴CF=95，
由(1)可知AM=FM．
设DM=x，则MC=3−x，则AM=FM=5−x，
在Rt△ADM中，AM2=AD2+DM2，即(5−x)2=42+x2，
解得：x=910
∴AM=5−x=5−910=4110．
【解析】(1)由折叠的性质及等腰三角形的判定可得出答案；
(2)由勾股定理求出AC=5，得到CF=AC=5，求得DF=CD+CF=3+5=8，根据三角函数的定义得到tanF=ADFD=48=12；
(3)设DM=x，根据勾股定理得到AM2=AD2+DM2，得到关于x的方程，求得x的值即可．
本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的综合应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
24.【答案】③
【解析】(1)解：若平行四边形ABCD是“雅系四边形”，则四边形ABCD是正方形．理由：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∵四边形ABCD是“雅系四边形”，
∴AC⊥BD，
∴矩形ABCD是正方形，
故答案为：③；
(2)证明：过点B作直径BE，分别连接OA，OE，OD，OC，AE．
∵BE是⊙O的直径，
∴∠EAB=90°，
∴∠2+∠E=90°，
∵AC⊥BD，
∴∠1+∠ACB=90°．
∵∠E=∠ACB，
∴∠1=∠2，
∵∠AOE=2∠2，∠DOC=2∠1；
∴∠AOE=∠DOC，
∴DC=AE，
∴AB2+CD2=AB2+AE2=BE2，
∴AB2+CD2=(2R)2=4R2；
(3)解：设DC的长度为a，CE=x，
∵∠AEB=∠DEC=90°，∠BAC=∠BDC，
∴△ABE∽△DCE，
∴BECE=ABCD，
∵AB= 3DC，
∴BE= 3CE= 3x，
∵BD=4，
∴DE=4− 3x，
∵CE2+DE2=CD2，
∴x2+(4− 3x)2=a2，
∴4x2−8 3x+16−a2=0．
∵Δ=(−8 3)2−4×4×(16−a2)≥0，
∴a2≥4，
∵a>0，
∴a≥2，
∴a有最小值2，
即DC的长度最小值为2，
∴x2+(4− 3x)2=4，
解得：x= 3，
∴CE= 3，
∴BE=3，
∴DE=BD−BE=1，
∴AE= 3DE= 3，
∴AC=AE+CE=2 3，
由(2)知：△APC∽△DPB，
∴APPD=ACDB=2 34= 32．
(1)利用平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，“雅系四边形”的定义和正方形的判定定理解得即可；
(2)过点B作直径BE，分别连接OA，OE，OD，OC，AE.证明∠2+∠E=90°，∠1+∠ACB=90°.可得∠1=∠2，可得DC=AE，再利用勾股定理可得答案；
(3)设DC的长度为a，CE=x，在Rt△DEC中，利用勾股定理列出方程，利用Δ≥0即可求得DC的最小值，求得x值，再利用相似三角形是性质即可求得结论．
本题是圆的综合题，考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键．
25.【答案】解：(1)设点B(2m,0)(m>0)，
∵OB=OC=2OA，
则点C(0,−2m)、B(2m,0)，
则抛物线的表达式为：y=12(x−2m)(x+m)=12(x2−mx−2m2)，
∵C(0,−2m)，
则−m2=−2m，
解得：m=2，
则抛物线的表达式为：y=12x2−x−4；
(2)存在，理由：
由(1)知，点A、B、C的坐标分别为：(−2,0)、(4,0)、(0,−4)，
在抛物线上存在点M，使∠ABC=∠BCM，理由如下：
过点C作CM/​/x轴，交抛物线于点M，

∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠OCB=45°，
∵∠ABC=∠BCM，
∴∠BCM=45°，
∴∠OCM=90°，
∴CM⊥y轴，
把y=−4代入y=12x2−x−4=−4，
解得x1=2，x2=0(点C的横坐标，舍去)，
∴点M的坐标为(2,−4)；
(3)点A的坐标为(−2,0)，
∴AB=6，
设过点A、B、D得圆的圆心为点G，
∵GA=GB，
∴点G在线段AB的垂直平分线上，
设点G的坐标为(1,t)，
同理可得点G在线段DE的垂直平分线上，
∵DE⊥x轴于点F，

∴设D(m,n)，则E(m,2t−n)，
∴S△ABE=12×AB⋅EF=12×6×(2t−n)=3(2t−n)，
∵GD2=GA2，
∴(1−m)2+(t−n)2=(−2−1)2+(0−t)2，
整理得m2−2m+1+n2−2tn−9=0①，
∵点D在抛物线上，
∴12m2−m−4=n，
得m2=2m+2n+8②，
将②代入①得，n2−2tn+2n=0，
∵n≠0，
∴n−2t+2=0，即2t−n=2，
∴S△ABE=3(2t−n)=6．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)过点C作CM/​/x轴，交抛物线于点M，把y=−4代入函数表达式，即可求出点M的坐标；
(3)设过点A、B、D得圆的圆心为点G，证明点G在线段AB的垂直平分线上，设点G的坐标为(1,t)，进而设D(m,n)，则E(m,2t−n)，由S△ABE=12×AB⋅EF，即可求解．
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等，本题的关键是熟练掌握设而不求的方式解题．统计量
平均数
众数
中位数
方差
七年级
8
8
c
1.16
八年级
a
b
8
1.56