2024年广东省揭阳市揭西县五校联考中考一模数学试题（含解析）

这是一份2024年广东省揭阳市揭西县五校联考中考一模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．一个光点沿数轴从点向左移动了4个单位长度到达点，若点表示的数是，则点所表示的数是（ ）
A．B．C．D．2
2．在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝十分之一粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，“飞刃”的直径为．数据0.00009用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（ ）
A．210°B．110°C．150°D．100°
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．墨迹覆盖了等式“”中的多项式，则覆盖的多项式为（ ）
A．B．C．D．
6．如图是由个大小相同的小正方体组成的几何体，随机移走标号为①～⑤的小正方体中的一个，左视图不发生改变的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值．已知的中点值是3，其中一个根是2，则x的另一个根是（ ）
A．B．C．2D．4
8．下列关于一次函数的图像性质说法中，不正确的是（ ）
A．直线与x轴交点的坐标是B．直线经过第一、二、四象限
C．y随x的增大而减小D．与两坐标轴围成的三角形面积为4
9．如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（ ）

A．B．C．2D．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11．已知x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
12．因式分解： ．
13．一副三角板如图所示摆放，，，，，则的度数为: ．
14．如图，已知函数和图象交于点P，点P的纵坐标为2.5，则关于x、y的方程组的解是 ．
15．若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
16．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得该影子的长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为

三、解答题 （本大题4小题，其中17-18各4分，19-20各6分共20分）
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中.
19．诗词从来不是曲高和寡的阳春白雪，而是无数中国人“日用而不知”的精神滋养之所在．某学校组织九年级学生参加“黔城读书月诗词大赛”区级选拔赛．为了解该年级学生参赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：
：；：；：；：，并绘制出如下统计图．
解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有多少人？请补全条形统计图；
(2)学校将从组最优秀的名学生甲、乙、丙、丁中随机选取人参加下一轮比赛，利用画树状图或列表得方法，求刚好抽到甲和丁参赛的概率．
20．如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．
四、解答题 （本大题3小题，其中21题8分，22-23各10分，共28分）
21．党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，东营市政府欲购进一批风景树进行绿化，已知购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．
(1)问A，B两种风景树每棵的进价分别是多少元？
(2)东营市政府计划用不超过5460万元购进A，B两种风景树共100万棵，其中要求A风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点．

(1)求k与m的值；
(2)为x轴上的一动点，当的面积为时，求a的值．
(3)请直接写出不等式的解集．
23．小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸的大树的高度．如图，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比（点，，在同一水平线上）．

(1)填空：________度，________度；
(2)求点处距离地面的高度；
(3)求大树的高度（结果保留根号）．
五、解答题 （本大题2小题，每小题12分，共24分）
24．如图，在⊙O中，半径OA垂直弦BC于点D，点E在CD上，使∽，点F在EA的延长线上，连接FB，且FE=FB．

(1)证明：EA=EC；
(2)证明：FB是⊙O的切线；
(3)若AD=10，，求EF的长．
25．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．
(1)求点的坐标；
(2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
(3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，只需要用点B表示的数加上移到的距离即可得到答案．
【解答】解：∵一个光点沿数轴从点向左移动了4个单位长度到达点，点表示的数是，
∴点所表示的数是，
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【解答】数据0.00009用科学记数法表示为．
故选：B．
3．A
【分析】根据三角形的内角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根据平角的定义可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，从而求出结论．
【解答】解：∵∠A=30°，
∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°
∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°
∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°
故选A．
【点拨】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键．
4．D
【分析】利用合并同类项、同底数幂除法、完全平方公式、积的乘方等知识点逐项排查即可．
【解答】解：A. ，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. ，故D选项符合题意．
故选D．
【点拨】本题主要考查了合并同类项、同底数幂除法、完全平方公式、积的乘方等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
5．D
【分析】本题主要考查了整式的加减计算， 根据加法与减法互为逆运算，只需要计算出的结果即可得到答案．
【解答】解：，
∴覆盖的多项式为，
故选D．
6．C
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，以及概率的定义，可得答案．
【解答】解：去掉的小正方体，左视图改变；
去掉的小正方体中的一个，左视图不变，
所以左视图不发生改变的概率是．
故选：C．
【点拨】本题考查了简单组合体的三视图，概率的定义，解题的关键是掌握从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图．
7．D
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，以及解一元二次方程．先根据方程的中点值的定义得到，然后把代入方程求出n，然后解方程即可．
【解答】根据题意得，
解得，
方程化为，
把代入得，
解得，
∴，
∴，
∴或，
∴．
故选D．
8．A
【分析】根据题意由题目中的函数解析式利用一次函数图象的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：A、直线与 x 轴交点的坐标是，故符合题意；
B、一次函数的图象中，，故直线经过第一、二、四象限，故不符合题意；
C.、一次函数的图象中 ，有y 随 x 的增大而减小，故不符合题意；
D、由一次函数 可知与坐标轴的交点坐标分别为和，∴与坐标轴围成的三角形面积为4，故不符合题意；
故选：A．
9．C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】A、由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上，可得，因此，故本选项正确，不符合题意；
B、由抛物线与轴有两个交点，可得，故本选项正确，不符合题意；
C、由对称轴为，得，即，故本选项错误，符合题意；
D、由对称轴为及抛物线过，可得抛物线与轴的另外一个交点是，所以，故本选项正确，不符合题意．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
10．B
【分析】根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可．
【解答】解：连接，，

∵点E，F分别是，的中点，
∴四边形是矩形，
∴M是的中点，
在正方形中，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
在中，M是的中点，N是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，构造三角形是破解本题的关键．
11．m<3
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ>0，即(-2)2-4m>0，求解即可．
【解答】解：∵x-x+m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2)2-4m>0
解得：m<3，
故答案为: m<3．
【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握“当方程有两个不相等的实数根，Δ>0；当方程有两个相等的实数根，Δ=0；当方程没有实数根，Δ<0”是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．先提取公因式，再用平方差公式分解．
【解答】解：
．
故答案为：．
13．##15度
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．利用平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题，把代入，得出，则两个一次函数的交点；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【解答】解：把代入，
解得，
函数和的图象交于点，
即，同时满足两个一次函数的解析式，
所以关于，的方程组的解是．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键．
【解答】解：，
，
，
∵关于的分式方程有增根，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】现根据题意画出几何图形，延长交于，，，，易得，，再根据在同一时刻物高与影长的比相等，得到，从而可以算出，然后计算即可．
【解答】解：如图，表示树高，表示树在地上的影长，表示树在台阶上的影长，为第一级台阶的高，延长交于，，，，易得为矩形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．

【点拨】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等，熟练画出几何模型是解题的关键．
17．1
【分析】根据求一个数的算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂，化简绝对值进行计算求解即可．
【解答】解：原式
【点拨】本题考查了实数的混合运算，掌握求一个数的算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂，化简绝对值是解题的关键．
18．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解．
【解答】解：原式=
将代入原式得．
【点拨】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则．
19．(1)共有人，图见解析
(2)
【分析】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，画树状图或列表法求概率，解题的关键是数形结合．
（1）由扇形统计图可得组的百分比，再结合条形统计图中组的人数可求出本次调查的学生人数，然后求出组的人数，最后补全条形统计图即可；
（2）列表得到所有等可能的结果数，以及刚好抽到甲和丁参赛的结果数，再利用概率公式即可求解．
【解答】（1）解：本次调查的学生人数：（人），
组的人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）列表如下：
由表可知，一共有可能的结果数，其中刚好抽到甲和丁参赛的有种，
刚好抽到甲和丁参赛的概率为．
20．(1)证明，见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，；再根据为线段的中点，全等三角形的判定，则，根据矩形的判定，即可；
（2）过点作于点，根据勾股定理，求出的长，再根据四边形的面积等于，即可．
【解答】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）过点作于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积等于，
∵，，
∵点是对角线的中心，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积为：．

【点拨】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．
21．(1)A风景树每棵的进价为50元，B风景树每棵的进价为60元
(2)5种
【分析】（1）设A风景树每棵的进价为x元，B风景树每棵的进价为y元，根据购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设购进A风景树m万棵，B风景树万棵，根据A风景树的数量不多于58万棵和购买A，B风景树的总费用不超过5460万元列出不等式组，解不等式组求出m的取值范围即可．
【解答】（1）解：设A风景树每棵的进价为x元，B风景树每棵的进价为y元，
根据题意得：，
解得，
答：A风景树每棵的进价为50元，B风景树每棵的进价为60元；
（2）设购进A风景树m万棵，B风景树万棵，
则，
解得，
∵m为整数，
∴m为54，55，56，57，58，
∴共有5种购买方案．
【点拨】本题考查的是一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
22．(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
（2）根据，构建方程求解即可；
（3）根据图象判断出两个函数的大小关系，即可得到不等式的解集．
【解答】（1）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴，
把代入，得，
∴；
（2）解：在中，当时，，
∴，
∵为x轴上的动点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴或．
（3）解：由题可得：
，解得
则的解集为或．
【点拨】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，熟练掌握反比例函数、一次函数的性质以及图形面积的计算是解题的关键．
23．(1)，
(2)点处距离地面的高度为米
(3)
【分析】（1）过点作于点， 根据题意得出，，进而即可求解．
（2）作于，解，即可求出；
（3）延长交于点，解、，求出、，得到，再说明，在中，利用正切的定义求出即可．
【解答】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵在点处测得树顶端的仰角为，
∴.
∴，
∵，，
∴，
∴
故答案为：，．

（2）解：过作于，如图所示：

在中，，
，
∵，
∴，
解得：(负值已舍去)，
∴点处距离地面的高度为米；
（3）延长交于点，

设米，
由题意得，，
，
，
，
在中，，
，
，
解得：，
即大树的高度为米．
【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
24．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）根据相似三角形的性质及圆周角定理可得结论；
（2）连接，根据圆心角与圆周角定理可得．然后由余角性质及切线的判定可得结论；
（3）由三角函数及勾股定理得．由相似三角形的性质得，，．作，垂足为，然后根据直角三角形性质及平行线截线段定理可得答案．
【解答】（1）证明：，
．
半径垂直弦于点，
．
．
．
；
（2）连接，

．
，．
．
．
，
．
．
，
．
．
．
．
为的切线；
（3）解：，，
．
，．
，
．
．
，，．
作，垂足为，

，
．
，
．
．
．
【点拨】此题考查的是圆的综合题，掌握圆的性质、切线的判定与性质、勾股定理、三角函数、相似三角形的性质是解决此题关键．
25．(1)
(2)最大为
(3)存在，的坐标为或（3，-16）或
【分析】（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可；
（2）过作于点，过点作轴交于点，证明 是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）分①当AC为平行四边形ANMC的边，②当AC为平行四边形AMNC的边，③当AC为对角线三种情况讨论求解即可．
【解答】（1）（1）∵点在抛物线的图象上，
∴
∴，
∴点的坐标为；
（2）过作于点，过点作轴交于点，如图：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴此时最大为，即点到直线的距离值最大；
（3）存在．
∵
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴，即
解得，x=3.
∴
∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，
方法同①可得，，
∴
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为，即H（）
∴，解得，。
∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点的坐标为：或（3，-16）或．
【点拨】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）