2024年山西省吕梁市文水县多校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 的相反数是( )
A. 7B. -7C. D.
2. 如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中，与“瞰”字所在面相对面上的汉字是（ ）
A. 魅B. 力C. 山D. 西
3. 将一把直尺和一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 用配方法解一元二次方程时，配方的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 某校按照《山西省教育厅关于组织开展2024年全省教育系统“爱眼护眼从我做起”主题系列活动的通知》积极开展了校园板报评比活动，宣传有益的经验做法，营造健康、积极的用眼护眼氛围．七年级（1）班8个小组在此次评比中的得分（单位：分）分别为，，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 分，分B. 分，分C. 分，分D. 分，分
6. 化简结果是（ ）
A. B. C. D.
7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何．”其大意为：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行．问人与车各有多少．设共有x人，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，点在上．若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
9. 如图，二次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交AB于点D，当时，的长是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：________．
12. 某校组织“用勤劳的双手，打造温馨的家”主题教育活动．实践小组对七年级学生每周做家务的时长（单位：小时）进行了随机问卷调查（．；．；．；．；E．），所有问卷都有效且全部收回，并根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图．在扇形统计图中，“”所在扇形的圆心角度数为______．
13. 如图，小宇为了测量树的高度，在距离点的地面上放置一个高度为的支架，并在支架上水平放置一平面镜，当他与镜子的距离为时，刚好能从镜子中看到树的顶端．已知小宇的眼睛到地面的高度为于点，于点，于点，点，，，，，在同一竖直平面内，则树的高度为_____．
14. 如图，直线分别与轴、轴交于两点，以为边作正方形，双曲线经过点，则的值为______．
15. 如图，在正方形中，点为的中点，点在的延长线上，与相交于点，若，，则的长为_____．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16 （1）解不等式：；
（2）化简：．
17. 为全力做好2024年春运期间新能源汽车充电服务，国网山西电动汽车启动节日保障模式：24小时服务高速充电站．张师傅在某高速服务站充电时了解到以下信息：
①该服务站有数量相同的甲、乙两种型号的充电桩；
②购买甲型充电桩花费了12万元，购买乙型充电桩花费了18万元；
③已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价少万元．
求甲、乙两种型号充电桩的单价．
18. 如图，在中，平分．
（1）作交于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：．
19. 截止2024年1月，山西省教育厅共公布了三批“山西省省级中小学研学实践教育示范基地名单”．小宇计划周末和妹妹一起到“研学基地”参观，他收集了如图所示的四个基地的卡片（A：太原古县城；B：六味斋；C：山西文旅数字体验馆；D：山西中医药博物馆），这些卡片的背面完全相同．
（1）把这四张卡片背面朝上洗匀后，妹妹从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，小宇再随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求两人抽到同一张卡片的概率；
（2）把这四张卡片背面朝上洗匀后，小宇和妹妹从中各随机抽取一张（不放回），然后根据抽到的卡片到相应的“研学基地”参观．请用列表或画树状图的方法求两人分别到太原古县城和山西文旅数字体验馆参观的概率．
20. 请阅读下面材料，并完成相应的任务．
妙用平方差公式解决问题
学完平方差公式后，王老师展示了以下例题：
例计算：．
观察算式发现：如果将乘，这时可以连续运用平方差公式进行计算，
为使等式恒成立，需将式子整体再乘2．
解：原式
．
以上计算的关键是将原式进行适当的变形后，运用平方差公式解决问题．计算符合算理，过程简洁．这种变形来源于认真观察（发现特点）、大胆猜想（运用公式）、严格推理（恒等变形）．学习数学要重视观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程，
任务：
（1）请仿照上述方法计算：；
（2）请认真观察，计算：．
21. 某实践活动小组利用课余时间测量湖边两处距离，并形成了如下实践活动记录表：
该小组成员思考后发现不需要上表中的全部数据就可以计算出两处的距离，并写出了以下问题，请从记录表中再选择一个条件填入下面的横线并解答．
如图，在中，， ．求湖边两处的距离．（结果保留整数；）
22. 综合与实践
数学课上，老师以“矩形折叠”为主题开展活动．
实践操作：
现有一张矩形纸片．
第一步：如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，得到折痕，然后把纸片展平；
第二步：如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，得到折痕，然后把纸片展平，与的交点为点，连接．
第三步：如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，点的对应点为点，点的对应点为点与交于点，然后把纸片展平．
问题解决：
（1）的长为 ；
（2）判断四边形的形状，并说明理由；
拓展探索：
（3）若，求的长．
23. 综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，抛物线的对称轴与轴于点，过点作交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）点为抛物线上第四象限的一个动点，过点作轴于点，当时，求的长；
（3）在（）的条件下，若点是轴上一点，则平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．实践活动记录表
活动内容
测量湖边两处的距离
成员
组长：×× 组员：××× ××× ××× ×××
工具
测角仪、皮尺等
测量示意图
说明：因为湖边两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置，可测量处到两处的距离，利用测角仪可测得的度数．
测量数据
角的度数
边的长度
米
米
…
…