第34节 已知极值点求参数的值或范围 讲义——高考数学一轮复习导数从入门到精通

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1.已知函数有极值点，求参数的值或范围,一般有两种情况：
（1）由可以解出参数的值，这类题较为简单，只需由求出参数的值，再代回去研究的单调性，确认在处取得极值即可.
（2）由不能解出参数的值，这类题一般需要对参数进行分类讨论，研究函数的单调性，当的表达式较为复杂时，可能需要用到二阶导数，甚至三阶导数.
2.高等代数视角：设函数在处存在阶导数，且满足，而，则当n为偶数时，必为的极值点，若，则为极小值点，若，则为极大值点；当n为奇数时，不是的极值点，其中表示在处的n阶导数值.
注意：采用高等代数的方法作答存在被扣分的风险，所以在正式作答时不建议大家使用此法，本节后续题目给出的高等代数解法仅供参考.在实际作答时，如有必要，可先用高等代数的方法来快速地获得问题的答案，为用初等方法研究问题指明方向.
典型例题
【例1】已知函数在处取得极小值，求实数a的值.
【解析】（1）由题意，，因为在处取得极小值，所以，解得：，此时，所以或，，
从而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，满足题意，所以实数a的值为.
【例2】已知是函数的极小值点，求实数k的取值范围.
【解析】由题意，，
①当时，，所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，满足题意；
②当时，，所以或，，
从而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，满足题意；
③当时，恒成立，所以在R上单调递增，故不是的极值点，不合题意；
④当时，，所以或，，
从而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故是的极大值点，不合题意；
综上所述，实数k的取值范围是.
【例3】已知函数，其中.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若是的极大值，求a的取值范围.
【解析】（1）若，则，所以，故，又，所以在处的切线方程.
（2）解法1：由题意，，，，所以，
若，则，，所以不是的极值，不合题意；
若，则，，所以是的极大值，满足题意；
若，则，，所以是的极小值，不合题意；
综上所述，a的取值范围是.
解法2：由题意，，
①当时，，所以在上单调递增，
又，所以，，
从而在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值，不合题意；
②当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
若，则，如图1，由图可知当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值，不合题意；
若，则，如图2，恒成立，从而在上单调递减，故无极值，不合题意；
若，则，如图3，由图3可知当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，故是的极大值，满足题意；
综上所述，a的取值范围是.
【反思】本题的解法1不能作为正式作答的解法，但我们可以先用此法找到问题的答案，做到心中有数，再按解法2来讨论.
【例4】（2018·新课标Ⅲ卷）已知函数.
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求a的值.
【解析】（1）若，则，
当时，要证，只需证，即证，也即证，
当时，要证，只需证，即证，也即证，
令，则只需证当时，；当时，，
因为，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，，故当时，；当时，.
（2）解法1：由题意，，
，所以，，，
若，则，此时不是的极值点，不合题意；
若，则，，所以是的极大值点，满足题意，
所以实数a的值为.
解法2：由题意，，
，
设，则，
①若，则，所以，，从而，，故在上单调递增，在上单调递减，又，所以，从而在上单调递减，因为，所以当时，；当时，；
从而在上单调递增，在上单调递减，故是的极大值点，满足题意；
②若，则，所以在上单调递减，，
当时，，所以在上恒成立，
当时，，所以存在，使得，且当时，，所以对任意的，都存在，使得当时，，所以，
从而在上单调递减，又，所以当时，，
故在上单调递增，因为，所以当时，，故在上单调递减，所以不是的极大值点，不合题意；
③若，则，所以二次函数在上有唯一的零点，
当时，，故，所以在上单调递增，
因为，所以当时，，故在上单调递增，
又，所以当时，，故在上单调递增，
从而不是的极大值点，不合题意；
④若，则当时，，
由（1）知当时，，所以,
结合可得不是的极大值点，不合题意；
综上所述，实数a的值为.
解法3：若，则当时，，
由（1）知当时，，所以，
结合可得不是的极大值点；
若，则当时，，
所以，
设，其中，则，
注意到，且，所以当时，与同号，
从而在处取得极大值等价于在处取得极大值，
可求得，
设，则，
①当时，，所以，
，从而在上单调递减，在上单调递增，故是的极大值点，满足题意；
②当时，，所以在上有一个零点，记作，
设，则当时，，所以，从而在上单调递减，又，所以当时，，故不是的极大值点，不合题意；
③当时，设，则对任意的，，所以，从而在上单调递增，又，所以当时，，
又，所以不是的极大值点，不合题意；
综上所述，实数a的值为.
强化训练
1．设函数，其中，若是的极大值点，求a的取值范围.
【解析】由题意，，因为是的极大值点，所以，故，
从而
①当时，，所以，
从而在上单调递增，在上单调递减，故是的极大值点，满足题意；
②当时，，所以或，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
从而是的极大值点，满足题意；
③当时，，所以在上单调递增，不合题意；
④当时，，所以或，，
从而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意；
综上所述，实数a的取值范围是.
2．已知函数，其中，e为自然对数的底数.
（1）讨论的导函数的单调性；
（2）设，若是的极小值点，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由题意，，，
当时，，所以在R上单调递增；
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）解法1：由题意，，
所以，，，
从而，，，
若，则，，所以不是的极值点，不合题意；
若，则，所以是的极小值点，满足题意；
若，则，所以是的极大值点，不合题意；
综上所述，实数a的取值范围是.
解法2：由题意，，所以，，考虑当时的情形，易得，所以在上单调递减，且，
①当时，，如图1，由图1可知，当时，，当时，，从而在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上恒成立，故在上单调递减，所以不是的极小值点，不合题意；
②当时，，如图2，由图2可知，当时，，
所以在上单调递减，又，所以当时，，
从而在上单调递减，故不是的极小值点，不合题意；
③当时，，
又，
所以在上有1个零点，如图3，当时，，
从而在上单调递增，
又，所以当时，，当时，
从而在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，满足题意；
综上所述，实数a的取值范围是.
3．已知函数，其中
（1）若，证明：当时，；
（2）若是的极小值点，求a的取值范围.
【解析】若，则，设，则，所以，，故在上单调递减，在上单调递增，从而，又当时，，所以.
（2）当时，，由（1）可得对任意的，都有，
而，所以必为)的极大值点，不合题意；
当时，方程的判别式，所以该方程有两根，设为，，由韦达定理，，所以，
考虑当时的情形，此时，，
设，则，
因为，所以或，，
从而在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，
因为在上，，所以与同号，
结合可得也是的极大值点，不合题意；
当时，考虑当时的情形，此时，
且，所以在上，与同号，结合可得是的极小值点等价于是的极小值点，
①若，则，所以或，，
故在上单调递增，在上单调递减，从而是的极大值点，不合题意；
②若，则，所以在R上单调递增，故不是的极值点，不合题意；
③若，则，所以或，，
故在上单调递减，在上单调递增，从而是的极小值点，满足题意；
综上所述，实数a的取值范围是.