考前回顾06概率与统计（知识清单+易错分析+23年高考真题+24年最新模拟）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
3．排列
(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq \\al(m,n)表示．
(3)排列数公式：Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…·(n－m＋1)．
(4)全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，Aeq \\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)×…×3×2×1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！)，这里规定0！＝1.
4．组合
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示．
(3)组合数的计算公式：Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(n！,m！n－m！)＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，由于0！＝1，所以Ceq \\al(0,n)＝1.
(4)组合数的性质：①Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；②Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
5．二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数Ceq \\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的Ceq \\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk.
6．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
(2)增减性与最大值：二项式系数先增后减，中间一项或两项的二项式系数最大．二项式系数为Ceq \\al(k,n)，当k当n是偶数时，中间的一项取得最大值；
当n是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(k,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝2n－1.
7．概率的计算公式
(1)古典概型的概率计算公式
P(A)＝eq \f(事件A包含的样本点个数,样本空间包含的样本点个数).
(2)互斥事件的概率计算公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(3)对立事件的概率计算公式
P(eq \x\t(A))＝1－P(A)．
(4)条件概率公式
P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).
(5)概率的乘法公式
P(AB)＝P(A)P(B|A)．
(6)全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq \(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))P(Ai)P(Beq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ai）)).
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．
*(7)贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0，
有P(Aieq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(B）))＝eq \f(P（Ai）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ai）)),P（B）)
i＝1，2，…，n.
在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率．
8．统计中四个数据特征
(1)众数：
①在样本数据中，出现次数最多的那个数据．
②频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：在样本数据中，将数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于中间的那个数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．
(3)平均数：样本数据的算术平均数，
即eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．
(4)方差与标准差：反应样本数据的分散程度．
方差：s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]．
标准差：
s＝eq \r(\f(1,n)[x1－\x\t(x)2＋x2－\x\t(x)2＋…＋xn－\x\t(x)2]).
9．离散型随机变量
(1)离散型随机变量的分布列的两个性质
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(2)均值公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq \i\su(i＝1,n,x)ipi.
(3)均值的性质
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np；
③若X服从两点分布，则E(X)＝p.
(4)方差公式
D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2·pn，标准差为eq \r(DX).
(5)方差的性质
①D(aX＋b)＝a2D(X)；
②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)；
③若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(6)独立事件同时发生的概率计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)．
(7)n重伯努利试验的概率计算公式
P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
10．一元线性回归模型
称eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋a＋e，,Ee＝0，De＝σ2))为Y关于x的一元线性回归模型．其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差，如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述．
11．独立性检验
利用随机变量χ2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(n＝a＋b＋c＋d)的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验．
12．正态分布
如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
满足正态分布的三个基本概率的值是
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
易错提醒
1．关于两个计数原理应用的注意事项
分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
2．排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素或特殊位置优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)正难则反，等价条件．
3．二项式定理应用时的注意事项
(1)注意区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．
项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
(2)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
4．应用互斥事件的概率加法公式时，一定要先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．
5．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
6．易混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．
7．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别
(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．
(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．
8．(1)易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误．
(2)涉及求分布列时，要注意区分是二项分布还是超几何分布．
易错分析
易错点1 忽略部分均分问题造成重复致误
1. [湖北高中名校2023第二次联合测评]为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式种数为（ ）

2.[广东汕头一中2022月考]某校有5名大学生打算前往观看冰球、速滑、花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往观看，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数为（ ）

易错点2 综合问题中情况考虑不全致误
3.[江西八校2022第一次联考]校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当没有汽车相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有 种.（用数字作答）
易错点3 不能正确理解二项式系数的最值而致误
4.（多选）[重庆名校2022第一次联考]若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）

5.[河南平顶山、许昌、济源2022第二次质检]在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，且所有项的系数之和为0，则含的项的系数为 （用数字作答）.
易错点4 混淆互斥事件与对立事件致误
6. （多选）[湖北八市2023联考]连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为奇数”，D=“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ）
A. A 与 B 不互斥且相互独立
B. A 与 D 互斥且不相互独立
C. B 与 D 互斥且不相互独立
D. A 与 C 不互斥且相互独立
7.[湖北八市2022联考]从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A. “至少有1个红球” 与 “都是黑球”
B. “恰好有1个红球” 与 “恰好有1个黑球”
C. “至少有1个黑球” 与 “至少有1个红球”
D. “都是红球” 与 “都是黑球”
8.[湖北武汉武昌区2023质量检测]已知随机事件满足，则下列说法错误的是（ ）


易错点5 混淆正态分布中的方差与标准差致错
9.（多选）[江苏常州2023 调研]已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有（ ）（附：若随机变量服从正态分布，则）
A.该校学生成绩的期望为110 B.该校学生成绩的标准差为9
C.该校学生成绩的标准差为81 D.该校学生成绩及格率超过95%
易错点6 对期望和方差的应用认识不到位致误
10. [北京丰台区2022一模]为研究某地区2022届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2022届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
假设该地区2022届大学毕业生选择的毕业去向相互独立.
（1）若该地区一所高校2022届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2022届大学毕业生选择“单位就业”的人数.
（2）从该地区2022届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数.以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望.
（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的 人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为.当为何值时，最小？（结论不要求证明）
易错点7 混淆条件概率与积事件的概率致错
11. [北京石景山区2022一模]长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）

高考真题
一．选择题（共12小题）
1．（2023•乙卷）设为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为，则直线的倾斜角不大于的概率为
A．B．C．D．
2．（2023•上海）根据所示的散点图，下列说法正确的是
A．身高越大，体重越大B．身高越大，体重越小
C．身高和体重成正相关D．身高和体重成负相关
3．（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有
A．种B．种
C．种D．种
4．（2023•乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有
A．30种B．60种C．120种D．240种
5．（2023•甲卷）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为
A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1
6．（2023•北京）的展开式中，的系数是
A．B．40C．D．80
7．（2023•甲卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为
A．B．C．D．
8．（2023•乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为
A．B．C．D．
9．（2023•全国）在2、3、5、6中任选2个不同数字，其乘积能被3整除的概率为
A．B．C．D．
10．（2023•天津）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经大雅旱麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”．鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名（图，寓意鹏程万里、前途无量．通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：，绘制对应散点图（图如下：
计算得样本相关系数为0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为．根据以上信息，如下判断正确的为
A．花萼长度和花瓣长度不存在相关关系
B．花萼长度和花瓣长度负相关
C．花萼长度为的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为
D．若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642
11．（2023•甲卷）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为
A．120B．60C．40D．30
12．（2023•上海）如图为年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是
A．从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大
B．从2018年开始，进出口总额逐年增大
C．从2018年开始，进口总额逐年增大
D．从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小
二．多选题（共2小题）
13．（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据，，，，其中是最小值，是最大值，则
A．，，，的平均数等于，，，的平均数
B．，，，的中位数等于，，，的中位数
C．，，，的标准差不小于，，，的标准差
D．，，，的极差不大于，，，的极差
14．（2023•新高考Ⅱ）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
三．填空题（共9小题）
15．（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
16．（2023•上海）已知事件的对立事件为，若（A），则 ．
17．（2023•天津）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为，，．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
18．（2023•上海）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 ．
19．（2023•上海）现有某地一年四个季度的（亿元），第一季度为232（亿元），第四季度为241（亿元），四个季度的逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的为 ．
20．（2023•上海）设，则 ．
21．（2023•天津）在的展开式中，项的系数为 ．
22．（2023•上海）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 ．
23．（2023•上海）已知，若存在，1，2，，使得，则的最大值为 ．
四．解答题（共8小题）
24．（2023•新高考Ⅱ）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率（c）时，求临界值和误诊率（c）；
（2）设函数（c）（c）（c）．当，，求（c）的解析式，并求（c）在区间，的最小值．
25．（2023•乙卷）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，，2，．试验结果如下：
记，2，，，记，，，的样本平均数为，样本方差为．
（1）求，；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
26．（2023•甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：．试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
（1）计算试验组的样本平均数；
（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表；
（ⅱ）根据中的列联表，能否有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：，
27．（2023•北京）为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续40天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用“”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
用频率估计概率．
（Ⅰ）试估计该农产品“上涨”的概率；
（Ⅱ）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（Ⅲ）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”、“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
28．（2023•新高考Ⅰ）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，2，，，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
29．（2023•全国）盒中有4个球，分别标有数字1、1、2、3，从中随机取2个球．
（1）求取到2个标有数字1的球的概率；
（2）设为取出的2个球上的数字之和，求随机变量的分布列及数学期望．
30．（2023•甲卷）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：．
（1）设表示指定的两只小鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
（2）试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
求40只小白鼠体重的增加量的中位数，再分别统计两样本中小于与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
根据中的列联表，能否有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：，
31．（2023•上海）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求（B）和，并判断事件和事件是否独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；
请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望．
最新模拟
一．选择题（共3小题）
1．（2024•江西模拟）的展开式的常数项为
A．160B．C．80D．
2．（2024•浦东新区校级模拟）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有
①：“所取3件中至多2件次品”， ：“所取3件中至少2件为次品”；
②：“所取3件中有一件为次品”， ：“所取3件中有二件为次品”；
③：“所取3件中全是正品”， ：“所取3件中至少有一件为次品”；
④：“所取3件中至多有2件次品”， ：“所取3件中至少有一件是正品”；
A．①③B．②③C．②④D．③④
3．（2024•泉州模拟）某学校举办运动会，径赛类共设100米、200米、400米、800米、1500米5个项目，田赛类共设铅球、跳高、跳远、三级跳远4个项目．现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于
A．70B．140C．252D．504
二．多选题（共4小题）
4．（2024•湛江一模）某养老院有110名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示：
下列说法正确的有
参考公式：，其中．
附表：
A．
B．
C．根据小概率值的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联
D．根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联
5．（2024•昌乐县校级模拟）甲、乙两类水果的质量（单位：分别服从正态分布，，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是
A．甲类水果的平均质量
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小
D．乙类水果的质量服从正态分布的参数
6．（2024•南通模拟）已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不小于的概率，即，则
A．B．C．为减函数D．为偶函数
7．（2024•重庆模拟）已知一组样本数据，，，，其中，若由，2，，生成一组新的数据，，，，则这组新数据与原数据可能相等的量有
A．极差B．平均数C．中位数D．标准差
三．填空题（共3小题）
8．（2024•昌乐县校级模拟）从分别标有数字1，2，，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上数字的奇偶性不同的概率是 ．
9．（2024•越秀区模拟）二项式的展开式中，只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为 ．
10．（2024•天津模拟）学习于才干信仰，犹如运动于健康体魄，持之已久、行之愈远愈受益．为实现中华民族伟大复兴，全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表：
参考数据：，，，，，，
相关系数
由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数与天数之间是 相关（填“正”或“负” ，其相关系数 （结果保留两位小数）
四．解答题（共9小题）
11．（2024•咸阳模拟）陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目，要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：
附：，其中．
（1）根据表中的数据，判断是否有的把握认为学生选择历史与性别有关；
（2）从选择历史的10名学生中任意抽取3名同学参加学校“铭记历史，强国有我”演讲比赛，设为抽取的三名学生中女生的人数，求的分布列，并求数学期望和方差．
12．（2024•周口模拟）荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”．有甲，乙，丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场．第1局由甲，乙对赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立．
（Ⅰ）求前3局比赛甲都取胜的概率；
（Ⅱ）用表示前3局比赛中乙获胜的次数，求的分布列和数学期望．
13．（2024•徐州模拟）某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类．设事件：学习兴趣高，事件：主动预习．据统计显示，，．
（1）计算（A）和的值，并判断与是否为独立事件；
（2）为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定的最小值．
附：，其中．
14．（2024•晋中一模）为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛．决赛采用五局三胜制的比赛规则（先赢得3局的队伍获胜并结束比赛）．已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．
（Ⅰ）若，比赛结束时甲队获胜的局数记为，求的分布列及均值；
（Ⅱ）若比赛打满5局的概率记为，求的最大值及此时的值，并解释此时的实际意义．
15．（2024•沙依巴克区校级模拟）高一年级某个班分成8个小组，利用假期参加社会公益服务活动（每个小组必须全，员参加），参加活动的次数记录如下：
（Ⅰ）从这8个小组中随机选出2个小组在全校进行活动汇报．求“选出的2个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率；
（Ⅱ）记每个小组参加社会公益服务活动的次数为．
①求的分布列和数学期望；
②至几小组每组有4名同学，小组有5名同学记“该班学生参加社会公益服务活动的平均次数”为，写出与的大小关系（结论不要求证明）．
16．（2024•1月份模拟）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
（2）记取出的3个小球上的最小数字为，求的分布列及数学期望．
17．（2024•二模拟）恰逢盛世，风调雨顺．某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米．通过在某时段100名顾客在观看直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买大米），得到以下数据：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关；
（2）用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有100000名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为，求使事件“”的概率取最大值时的值．
附：，其中．
18．（2024•广州模拟）某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷．规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会．现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表：
假设每次考试是否通过相互独立．
（Ⅰ）从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；
（Ⅱ）小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；
（Ⅲ）若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则的最小值为下列数值中的哪一个？（直接写出结果）
19．（2024•龙岗区校级模拟）某人从地到地有路程接近的2条路线可以选择，其中第一条路线上有个路口，第二条路线上有个路口．
（1）若，，第一条路线的每个路口遇到红灯的概率均为；第二条路线的第一个路口遇到红灯的概率为，第二个路口遇到红灯的概率为，从“遇到红灯次数的期望”考虑，哪条路线更好？请说明理由．
（2）已知：随机变量服从两点分布，且，则，且，，2，，．若第一条路线的第个路口遇到红灯的概率为，当选择第一条路线时，求遇到红灯次数的方差．
毕业去向
继续学习
深造
单位就业
自主创业
自由职业
慢就业
人数
200
560
14
128
98
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536
15.2
18.8
20.2
21.3
22.5
23.2
25.8
26.5
27.5
30.1
32.6
34.3
34.8
35.6
35.6
35.8
36.2
37.3
40.5
43.2
7.8
9.2
11.4
12.4
13.2
15.5
16.5
18.0
18.8
19.2
19.8
20.2
21.6
22.8
23.6
23.9
25.1
28.2
32.3
36.5
对照组
试验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
时段
价格变化
第1天到
第20天
0
0
0
0
0
第21天
到第40天
0
0
0
0
0
对照组
实验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
12
8
米色内饰
2
3
性别
是否患过某流行疾病
合计
患过该疾病
未患过该疾病
男

女

合计
80
110
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
天数
1
2
3
4
5
6
7
一次最多答对题数
12
15
16
18
21
24
27
历史

物理
合计
男生
2
23
25
女生
8
17
25
合计
10
40
50
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
组别
参加活动次数
3
2
4
3
2
4
1
3
网民类型
在直播间购买大米的情况
合计
在甲直播间购买
在乙直播间购买
本地区网民
50
5
55
外地区网民
30
15
45
合计
80
20
100
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
2022年
2023年
通过
未通过
通过
未通过
第一次
60人
40人
50人
50人
第二次
70人
30人
60人
40人
第三次
80人
20人
人
人
的值
83
88
93