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微重点08 立体几何中的动态问题（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）
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这是一份微重点08 立体几何中的动态问题（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用），文件包含微重点08立体几何中的动态问题3大考点+强化训练原卷版docx、微重点08立体几何中的动态问题3大考点+强化训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
知识导图
考点分类讲解
考点一：动点轨迹问题
规律方法 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法
(1)几何法：根据平面的性质进行判定．
(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算．
(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．
【例1】（2024·浙江温州·一模）如图，所有棱长都为1的正三棱柱，，点是侧棱上的动点，且，为线段上的动点，直线平面，则点的轨迹为（ ）
A．三角形（含内部）B．矩形（含内部）
C．圆柱面的一部分D．球面的一部分
【变式1】（多选）（23-24高三上·贵州安顺·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E、F、G、H分别为棱、、、的中点，点M为棱上动点，则（ ）
A．点E、F、G、H共面B．的最小值为
C．点B到平面的距离为D．
【变式2】（2023·贵州·一模）如图，已知正方体的棱长为2，M，N，P分别为棱的中点，Q为该正方体表面上的点，若M，N，P，Q四点共面，则点Q的轨迹围成图形的面积为 ．
【变式3】(2023·宁波联考)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P满足eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))＋μeq \(BB1,\s\up6(—→))(λ，μ∈R)，则下列说法正确的有( )
A．若λ＋μ＝1，则A1P⊥AD1
B．若λ＋μ＝1，则三棱锥A1－PDC1的体积为定值
C．若点P总满足PA⊥BD1，则动点P的轨迹是一条直线
D．若点P到点A的距离为eq \r(3)，则动点P的轨迹是一个面积为π的圆
考点二：折叠、展开问题
规律方法 画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系．
【例2】（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知和是圆的两条互相垂直的直径，将平面沿翻折至平面，使得平面平面（如图2）此时直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（22-23高三上·浙江·开学考试）如图，矩形中，，将沿直线翻折成，若为线段的点，满足，则在翻折过程中（点不在平面内），下面四个选项中正确的是（ ）
A．平面
B．点在某个圆上运动
C．存在某个位置，使
D．线段的长的取值范围是
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图1，在等边中，点分别为边上的动点且满足，记.将沿DE翻折到的位置，使得平面平面DECB，连接MB，MC，如图2，N为MC的中点．
(1)当平面MBD时，求的值．
(2)随着的值的变化，二面角的大小是否改变？若是，请说明理由；若不是，请求出二面角的正弦值．
【变式3】(2023·邵阳模拟)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(3)，AD＝1，AF⊥平面ABCD，且AF＝3，点E为线段CD(除端点外)上的动点，沿直线AE将△DAE翻折到△D′AE，则下列说法中正确的是( )
A．当点E固定在线段CD的某位置时，点D′的运动轨迹为球面
B．存在点E，使AB⊥平面D′AE
C．点A到平面BCF的距离为eq \f(\r(3),2)
D．异面直线EF与BC所成角的余弦值的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),13)，\f(\r(10),10)))
考点三：最值、范围问题
规律方法 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路是
(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值．
(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．
【例3】(多选)(2023·鞍山模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是( )
A．四面体PA1D1A的体积为定值
B．AP＋PC的最小值为2eq \r(2)
C．A1P∥平面ACD1
D．直线A1P与AC所成的角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
【变式1】(2023·青岛模拟)三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据．三面角P－ABC是由有公共端点P且不共面的三条射线PA，PB，PC以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设∠APC＝α，∠BPC＝β，∠APB＝γ，二面角A－PC－B为θ，由三面角余弦定理得cs θ＝eq \f(cs γ－cs α·cs β,sin α·sin β).在三棱锥P－ABC中，PA＝6，∠APC＝60°，∠BPC＝45°，∠APB＝90°，PB＋PC＝6，则三棱锥P－ABC体积的最大值为( )
A.eq \f(27\r(2),4) B.eq \f(27,4) C.eq \f(9,2) D.eq \f(9,4)
【变式2】（23-24高三下·北京·开学考试）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
强化训练
一、单选题
1．（2023·云南保山·二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ）
A．圆B．直线C．抛物线D．椭圆
2．（2023·全国·三模）在平面直角坐标系中，为圆上的动点，定点．现将轴左侧半圆所在坐标平面沿轴翻折，与轴右侧半圆所在平面成的二面角，使点翻折至，仍在右侧半圆和折起的左侧半圆上运动，则，两点间距离的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）如图，已知矩形ABCD中，E为线段CD上一动点（不含端点），记，现将沿直线AE翻折到的位置，记直线CP与直线AE所成的角为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·上海宝山·二模）在空间直角坐标系中,已知定点,和动点.若的面积为,以为顶点的锥体的体积为,则的最大值为( )
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高三下·山西·阶段练习）在棱长为4的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球半径的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
7．（2023·陕西咸阳·模拟预测）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下不正确的是（ ）
A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
8．（2023·吉林长春·模拟预测）四棱柱中，侧棱底面，，，，侧面为正方形，设点O为四棱锥外接球的球心，E为上的动点，则直线与所成的最小角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
1．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）在正方体中， 点为棱上的动点， 则（ ）
A．平面平面
B．平面平面
C．与所成角的取值范围为
D．与平面所成角的取值范围为
2．（2023·全国·模拟预测）如图①，四边形ABCD是两个直角三角形拼接而成，，，，.现沿着BD进行翻折，使平面平面BCD，连接AC，得到三棱锥（如图②），则下列选项中正确的是（ ）
A．平面平面ACD
B．二面角的大小为60°
C．异面直线AD与BC所成角的余弦值为
D．三棱锥外接球的表面积为
3．（2023·全国·模拟预测）如图1，矩形由正方形与拼接而成．现将图形沿对折成直二面角，如图2．点（不与重合）是线段上的一个动点，点在线段上，点在线段上，且满足，，则（ ）
图1 图2
A．B．
C．的最大值为D．多面体的体积为定值
三、填空题
1．（2023·河南·模拟预测）如图，在棱长为1 的正方体中，是棱 (不包含端点)上一动点，则三棱锥 的体积的取值范围为 .
2．（2023·江苏淮安·模拟预测）某同学参加课外航模兴趣小组活动，学习模型制作.将一张菱形铁片进行翻折，菱形的边长为1，，E是边上一点，将沿着DE翻折到位置，使平面面，则点A与之间距离最小值是 .
3．（23-24高三上·河北保定·期末）如图，在棱长为8的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列三个结论：①若为上的动点，则的最小值为；②到平面的距离的最大值为；③为的中点，为空间中一点，且与平面所成的角为，与平面所成的角为，则在平面上射影的轨迹长度为，其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
1．（2023·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，为线段上的动点.
(1)求证：平面；
(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围.
2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别是、的中点．
(1)求与所成的角；
(2)设，在正方形内（或上），是否存在点使得三棱锥的体积为1？若存在，求出动点的轨迹；若不存在，说明理由．
3．（2023·广西南宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，沿将翻折至，使二面角为直二面角.
(1)当时，求证：；
(2)当时，求二面角的正弦值.
4．（22-23高三下·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，所有棱长都相等，，分别是棱，的中点，是棱上的动点，且.
(1)若，证明：平面.
(2)求平面与平面夹角余弦值的最大值.
5．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，垂直于平面．点，，分别为边，，上的动点（不包括顶点），且满足．
(1)求三棱锥的体积的最大值；
(2)记平面与平面所成的锐二面角为，当最小时，求的值，并说明点所处的位置．
知识导图
考点分类讲解
考点一：动点轨迹问题
规律方法 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法
(1)几何法：根据平面的性质进行判定．
(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算．
(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．
【例1】（2024·浙江温州·一模）如图，所有棱长都为1的正三棱柱，，点是侧棱上的动点，且，为线段上的动点，直线平面，则点的轨迹为（ ）
A．三角形（含内部）B．矩形（含内部）
C．圆柱面的一部分D．球面的一部分
【变式1】（多选）（23-24高三上·贵州安顺·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点E、F、G、H分别为棱、、、的中点，点M为棱上动点，则（ ）
A．点E、F、G、H共面B．的最小值为
C．点B到平面的距离为D．
【变式2】（2023·贵州·一模）如图，已知正方体的棱长为2，M，N，P分别为棱的中点，Q为该正方体表面上的点，若M，N，P，Q四点共面，则点Q的轨迹围成图形的面积为 ．
【变式3】(2023·宁波联考)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P满足eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))＋μeq \(BB1,\s\up6(—→))(λ，μ∈R)，则下列说法正确的有( )
A．若λ＋μ＝1，则A1P⊥AD1
B．若λ＋μ＝1，则三棱锥A1－PDC1的体积为定值
C．若点P总满足PA⊥BD1，则动点P的轨迹是一条直线
D．若点P到点A的距离为eq \r(3)，则动点P的轨迹是一个面积为π的圆
考点二：折叠、展开问题
规律方法 画好折叠、展开前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系．
【例2】（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知和是圆的两条互相垂直的直径，将平面沿翻折至平面，使得平面平面（如图2）此时直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（22-23高三上·浙江·开学考试）如图，矩形中，，将沿直线翻折成，若为线段的点，满足，则在翻折过程中（点不在平面内），下面四个选项中正确的是（ ）
A．平面
B．点在某个圆上运动
C．存在某个位置，使
D．线段的长的取值范围是
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）如图1，在等边中，点分别为边上的动点且满足，记.将沿DE翻折到的位置，使得平面平面DECB，连接MB，MC，如图2，N为MC的中点．
(1)当平面MBD时，求的值．
(2)随着的值的变化，二面角的大小是否改变？若是，请说明理由；若不是，请求出二面角的正弦值．
【变式3】(2023·邵阳模拟)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(3)，AD＝1，AF⊥平面ABCD，且AF＝3，点E为线段CD(除端点外)上的动点，沿直线AE将△DAE翻折到△D′AE，则下列说法中正确的是( )
A．当点E固定在线段CD的某位置时，点D′的运动轨迹为球面
B．存在点E，使AB⊥平面D′AE
C．点A到平面BCF的距离为eq \f(\r(3),2)
D．异面直线EF与BC所成角的余弦值的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),13)，\f(\r(10),10)))
考点三：最值、范围问题
规律方法 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路是
(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值．
(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．
【例3】(多选)(2023·鞍山模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是( )
A．四面体PA1D1A的体积为定值
B．AP＋PC的最小值为2eq \r(2)
C．A1P∥平面ACD1
D．直线A1P与AC所成的角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
【变式1】(2023·青岛模拟)三面角是立体几何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解决三面角问题的重要依据．三面角P－ABC是由有公共端点P且不共面的三条射线PA，PB，PC以及相邻两射线间的平面部分所组成的图形，设∠APC＝α，∠BPC＝β，∠APB＝γ，二面角A－PC－B为θ，由三面角余弦定理得cs θ＝eq \f(cs γ－cs α·cs β,sin α·sin β).在三棱锥P－ABC中，PA＝6，∠APC＝60°，∠BPC＝45°，∠APB＝90°，PB＋PC＝6，则三棱锥P－ABC体积的最大值为( )
A.eq \f(27\r(2),4) B.eq \f(27,4) C.eq \f(9,2) D.eq \f(9,4)
【变式2】（23-24高三下·北京·开学考试）正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知四棱锥的底面为正方形，底面，点是线段上的动点，则直线与平面所成角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
强化训练
一、单选题
1．（2023·云南保山·二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ）
A．圆B．直线C．抛物线D．椭圆
2．（2023·全国·三模）在平面直角坐标系中，为圆上的动点，定点．现将轴左侧半圆所在坐标平面沿轴翻折，与轴右侧半圆所在平面成的二面角，使点翻折至，仍在右侧半圆和折起的左侧半圆上运动，则，两点间距离的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）如图，已知矩形ABCD中，E为线段CD上一动点（不含端点），记，现将沿直线AE翻折到的位置，记直线CP与直线AE所成的角为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·上海宝山·二模）在空间直角坐标系中,已知定点,和动点.若的面积为,以为顶点的锥体的体积为,则的最大值为( )
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）正三棱柱中，为的中点，为棱上的动点，为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（23-24高三下·山西·阶段练习）在棱长为4的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球半径的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
7．（2023·陕西咸阳·模拟预测）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下不正确的是（ ）
A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
D．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
8．（2023·吉林长春·模拟预测）四棱柱中，侧棱底面，，，，侧面为正方形，设点O为四棱锥外接球的球心，E为上的动点，则直线与所成的最小角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
1．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）在正方体中， 点为棱上的动点， 则（ ）
A．平面平面
B．平面平面
C．与所成角的取值范围为
D．与平面所成角的取值范围为
2．（2023·全国·模拟预测）如图①，四边形ABCD是两个直角三角形拼接而成，，，，.现沿着BD进行翻折，使平面平面BCD，连接AC，得到三棱锥（如图②），则下列选项中正确的是（ ）
A．平面平面ACD
B．二面角的大小为60°
C．异面直线AD与BC所成角的余弦值为
D．三棱锥外接球的表面积为
3．（2023·全国·模拟预测）如图1，矩形由正方形与拼接而成．现将图形沿对折成直二面角，如图2．点（不与重合）是线段上的一个动点，点在线段上，点在线段上，且满足，，则（ ）
图1 图2
A．B．
C．的最大值为D．多面体的体积为定值
三、填空题
1．（2023·河南·模拟预测）如图，在棱长为1 的正方体中，是棱 (不包含端点)上一动点，则三棱锥 的体积的取值范围为 .
2．（2023·江苏淮安·模拟预测）某同学参加课外航模兴趣小组活动，学习模型制作.将一张菱形铁片进行翻折，菱形的边长为1，，E是边上一点，将沿着DE翻折到位置，使平面面，则点A与之间距离最小值是 .
3．（23-24高三上·河北保定·期末）如图，在棱长为8的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列三个结论：①若为上的动点，则的最小值为；②到平面的距离的最大值为；③为的中点，为空间中一点，且与平面所成的角为，与平面所成的角为，则在平面上射影的轨迹长度为，其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
1．（2023·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，为线段上的动点.
(1)求证：平面；
(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围.
2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正方体中，分别是、的中点．
(1)求与所成的角；
(2)设，在正方形内（或上），是否存在点使得三棱锥的体积为1？若存在，求出动点的轨迹；若不存在，说明理由．
3．（2023·广西南宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，沿将翻折至，使二面角为直二面角.
(1)当时，求证：；
(2)当时，求二面角的正弦值.
4．（22-23高三下·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，所有棱长都相等，，分别是棱，的中点，是棱上的动点，且.
(1)若，证明：平面.
(2)求平面与平面夹角余弦值的最大值.
5．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，垂直于平面．点，，分别为边，，上的动点（不包括顶点），且满足．
(1)求三棱锥的体积的最大值；
(2)记平面与平面所成的锐二面角为，当最小时，求的值，并说明点所处的位置．
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