数学3 平行线的性质习题

这是一份数学3 平行线的性质习题，共83页。试卷主要包含了8平行线的性质与判定大题专练，5°等内容，欢迎下载使用。

班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（湖北省宜昌市第九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．
(1)求证：AD∥NG；
(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．
2．（山西省忻州市代县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图1，AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点．
(1)若AE⊥AB，∠C=65°，求出∠E的度数．
(2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE，EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B=∠AEB，求∠BEF的度数：
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作∠BFG=∠BFE，交EC的延长线于点G，延长EF交CD于点H，过点F作FI∥BE交CD于点I．当FH平分∠IFG时，请直接写出∠CHF的度数．
3．（山东省日照市岚山区2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）（1）阅读下面材料：
已知：如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接AE，CE，得到∠AEC．求证：∠AEC+∠A+∠C=360°．
解答过程如下，并请你在括号内填写推理的依据：
过点E作EF∥AB，
则有∠AEF+∠A=180°（______）．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD（______）．
∴∠FEC+∠C=180°（______）．
∴∠AEF+∠A+∠FEC+∠C=360°,
又∵∠AEC=∠AEF+∠FEC
∴∠AEC+∠A+∠C=360°．
假若将具有图1特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：
（2）已知：直线m∥n，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
①如图2，当点D在点C的左侧时，若∠ADC=80°，∠BED=160°，请你结合（1）中“平行凸折线”的性质，求∠ABC的度数；

②如图3，当点D在点C的右侧时，设∠ABC=α，∠ADC=β，请直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．
4．（江苏省江阴市周庄中学2021-2022学年七年级下学期3月限时作业数学试题）（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角）
（3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
5．（河北省衡水市武邑县武罗学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
6．（福建省福州市鼓楼区第十八中学2021-2022学年七年级上学期期中考数学试卷）如图1，直线GH分别交AB，CD于点E，F（点F在点E的右侧），若∠1+∠2=180°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)如图2所示，点M、N在AB，CD之间，且位于E，F的异侧，连MN，若3∠M=2∠N，则∠AEM，∠NFD，∠N三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．
(3)如图3所示，点M在线段EF上，点N在直线CD的下方，点P是直线AB上一点（在E的左侧），连接MP，PN，NF，若∠MPN=3∠MPB，∠NFH=3∠HFD，则请直接写出∠PMH与∠N之间的数量．
7．（陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
8．（海南省儋州市鑫源中学2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试题）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为______度；
(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
9．（浙江省杭州市拱墅区杭州树兰中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
(1)如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE＋∠DCE成立吗？请说明理由．
(2)如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．
10．（江苏省无锡市江阴市华士实验中学2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a−3b|+(a−3)2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．
(1)求a、b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
11．（江苏省盐城市亭湖区毓龙路实验学校2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝120°，求∠EPF的度数．
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝50°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，直接写出∠G的度数．
12．（江苏省苏州市景城中学2021-2022学年七年级下学期第一次月考数学试题）已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．
(1)图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；
(2)图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．
(3)图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．
13．（广东省东莞市松山湖实验中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷）请作答：
(1)图1，图2均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB=90∘，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED=∠α，∠PAC=∠β．
①如图1，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图2，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；
(2)当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．
14．（江苏省宿迁市泗阳县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图1，AB,AC被直线BC所截，点E是线段BC上一点，过点E作DE∥AB，连接BD,∠A=∠D=60°．
(1)BD与AC平行吗？为什么？
(2)将线段BD沿着直线BC进行平移，平移后得到的对应线段记为线段FG，连接EG；
①当线段FG在E点下方时，如图2，若∠EGF=15°，求∠DEG的度数．
②在整个平移的过程中，当∠EGF=3∠DEG时，求∠EGF的度数．
15．（江苏省无锡市滨湖区2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）如图①，已知直线a∥b，点O、C分别是直线a、b上的定点，点A从点O出发，沿射线OA的方向平移，点B从点C出发，沿射线CB的方向平移，且始终满足∠BCO＝∠BAO＝100°．
(1)求证：AB∥CO；
(2)如图②，若OF平分∠BOC，点E是直线b上的一个动点．
① 当∠AOB＝30°，且△EOB中有两个内角相等时，求∠EOF的度数；
② 当∠EOB＝∠AOB，且∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO的度数．
16．（浙江省宁波市海曙区部分校2021-2022学年七年级下学期期末联考数学试题）如图①，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B=∠E=60°.
(1)请说明AE∥BC；
(2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①.如图②，当DE⊥DQ时，则∠Q的度数=_____________；
②.在整个运动中，当∠Q=2∠EDQ时，∠Q=_____________．
17．（湖南省岳阳市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知∠DCF和∠ECF互为邻补角，∠DCF=α0<α<90°，将一个三角板的直角顶点放在点C处（注：∠ACB=90°，∠ABC=60°）．
(1)如图1，使三角板的短直角边BC与射线CD重合，若α=40°，则∠ACF=_________．
(2)如图2，将图1中的三角板ABC绕点C顺时针旋转60°，试判断此时AB与DE的位置关系，并说明理由．
(3)如图3，将图1中的三角板ABC绕点C顺时针旋转β0<β<90°，使得∠ACE=12∠BCF，此时α和β满足什么关系？请说明理由．
(4)将图1中的三角板绕点C以每秒5的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，AC恰好与直线CF重合，求t的值（用含α的式子表示）．
18．（广东省广州市白云区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，点A，B，C，D四点共线，点E，F，G，H四点共线．BG，CF相交于点I，点J是直线AD与EH之间的一个动点，∠ABJ+∠J+∠EFJ=360°．
(1)求证：AD∥EH；
(2)若BJ平分∠DBG，FJ平分∠CFH，请探索并证明∠BIF和∠BJF之间的数量关系；
(3)若∠GBJ=13∠GBD，∠CFJ=13∠CFH，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明．
19．（江西省抚州市乐安县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）已知的三角形的三个内角的度数和是180°，如图是两个三角板不同位置的摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°．
(1)当AB∥DC时，如图①，求∠DCB的度数．
(2)当CD与CB重合时，如图②，判断DE与AC的位置关系，并说明理由．
(3)如图③，当∠DCB等于______度时，AB∥EC．（直接写出答案）
20．（江苏省南通市如皋市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交△ABC的边AC于点D，E为直线AC上一点，过点E向直线AC的右边作射线EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分线EG交射线BD于点G．
(1)如图1，∠ABC=40°，点E与点A重合，求∠G的度数；
(2)若∠ABC=α，
①如图2，点E在DC的延长线上，求∠G的度数（用含有α的式子表示）；
②点E在直线AC上滑动，当存在∠G时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接用含α的式子表示∠G的度数．
21．（河北省保定市高阳县2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）如图1，已知∠EFH=90°，点A，C分别在射线FE和FH上，在∠EFH内部作射线AB，CD，使AB平行于CD．
(1)如图1，若FAB=150°，求∠HCD的度数；
(2)小颖发现，在∠EFH内部，无论FAB如何变化，∠FAB−∠HCD的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；
(3)①如图3，把图1中的∠EFH=90°改为∠EFH=120°，其他条件不变，请直接写出∠FAB与∠HCD之间的数量关系；
②如图4，已知∠EFG+∠FGC=α，点A，C分别在射线FE，GH上，在∠EFG与∠FGH内部作射线AB，CD，使AB平行于CD，请直接写出∠FAB与∠HCD之间的数量关系．
22．（北京市第十九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试卷）如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的定点．
(1)当点A运动到图1所示位置时，容易发现∠ABC,∠DAB,∠BCE之间的数量关系为 ；
(2)如图2，当BA⊥BC时，作等边△BPQ，BM平分∠ABP，交直线a于点M，BN平分∠QBC，交直线b于点N，将BPQ绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；
(3)点F为直线a上一点，使得∠AFB=∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G，当点A在直线a上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出∠FBG与∠ECB之间的数量关系．（本问中的角均为小于180°的角）
23．（黑龙江省哈尔滨德强学校2022—2023学年七年级上学期11月份线上教学问题诊断数学试题）如图，直线AB、CD被EF所截，直线EF分别交AB、CD于G、H两点，∠AGE=∠FHD．
(1)如图1，求证：AB∥CD；
(2)如图2，HQ、GN分别为夹在AB、CD中的两条直线，∠AGN=∠QHD，求证：GN∥QH；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接HN，M为AB上一点，连接MN，V为AB上一点，连接VN，∠GNV=36°，NP平分∠VNM交AB于点K，∠HNK=2∠GNK，VP∥MN，∠NHD=∠VNK+6°，∠QHN=2∠KVN，求∠VPN的度数．
24．（北京市海淀区三帆中学2021-2022学年七年级下学期月考数学试卷（6月份））已知直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB,CD上，∠EFD=α．点P是直线AB上的动点（不与E重合），连接PF，∠PEF和∠PFC的平分线所在直线交于点H．
(1)如图1，若EF⊥CD，点P在射线EB上．则当∠EPF=40°时，
∠EHF= °；
(2)如图2，若α=120°，点P在射线EA上．
①补全图形；
②探究∠EPF与∠EHF的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图3，若0°<α<90°，直接写出∠EPF与∠EHF的数量关系（用含α的式子表示）．
25．（江苏省盐城初级中学中校区2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF=30°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α(0°<α<180°)，在旋转过程中：
(1)如图2，∠ABC=40°，当∠α=______时，DE∥BC，当∠α=______时，DE⊥BC；
(2)如图3，∠ABC=40°，当顶点C在△DEF内部时（不包含边界）)，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N，
①此时∠α的度数范围是______．
②∠BMD与∠AND度数的和是否变化？若不变，求出∠BMD与∠AND的度数和；若变化，请说明理由：______．
(3)如图4，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转过程中，边DE与射线BC有交点P，边DF与射线AC有交点Q，则∠BPD与∠AQD有什么关系______．
(4)如图5，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转过程中，边DE与射线BC有交点P，边DF与射线AC有交点Q、请在备用图中画出其他可能位置，并写出∠BPD与∠AQD的关系______．
26．（浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图1，直线AB∥CD，△ABE的顶点E在AB与CD之间.
(1)若∠ABE=150°，∠BAE=20°．
①当∠CDE=2∠EDM时，求∠BED的度数.
②如图2，作出∠CDE的角平分线DF，当DF平行于△ABE中的一边时，求∠BED的度数.
(2)如图3，∠CDE的角平分线DF交EB的延长线于点H，连结BF，当∠ABH=2∠HBF，12∠BED+13∠F=40°时，求∠CDE的度数.
27．（江苏省泰州中学附属初级中学、靖江外国语学校2021-2022学年七年级下学期5月月考数学试题）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A=100°，∠B=50°，∠C=30°，可知∠A=2∠B，所以△ABC为2倍角三角形．
(1)在△DEF中，∠E=40°，∠F=35°，则△DEF为 倍角三角形．
(2)已知：在图中直线AB、CD被直线EF所截交点分别为E、F，AB∥CD，∠BEF与∠DFE的平分线交于点G，若△EFG是6倍角三角形，求∠AEF．
(3)图中AE平分∠BAC，CE平分∠BCD，∠E=20°，∠ACB=80°，问△ABC是几倍角三角形，为什么？
(4)在△ABC中，∠A<∠B<∠C，若△ABC既可以是一个2倍角三角形，又可以是一个3倍角三角形，求∠A的度数．
28．（浙江省金华市义乌市稠州中学教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．
(1)若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM= ．
(2)若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．
(3)若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．（单位必须化成秒）
29．（浙江省金华市义乌市稠州中学教育集团2021-2022学年七年级下学期6月月考数学试题）如图1，已知MN∥PQ,，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN＝120°．
(1)若∠ADQ＝100°，求∠BED的度数；
(2)在图1中过点D作∠ADQ的角平分线与直线BE相交于点F，如图2，试探究∠DEB与∠DFE的关系；
(3)若改变线段AD的位置，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°，过点D作∠PDA的角平分线与直线BE相交于点G，求∠BED+∠DGE的和是多少度？（用含n的代数式表示）
30．（北京市第三十九中学2021一2022学年七年级下学期数学期中试卷）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．
(1)填空：∠BAN=______°；
(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB=120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．
若AB∥CD，E为AB，CD之间一点，则有∠AEC+∠A+∠C=360°
专题2.8平行线的性质与判定大题专练（压轴篇，重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（湖北省宜昌市第九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．
(1)求证：AD∥NG；
(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠NBG+∠1−∠ANB=180°
(3)∠A=105°
【分析】（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根据平行线的性质得到∠D=∠ACM，等量代换得到∠CMG=∠ACM，于是得到结论．
（2）过B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代换得到∠A+∠D=180°，得到AN∥DH，根据平行线的判定得到BP∥CM，由平行线的性质得到∠PBG+∠1=180°，等量代换即可得到结论；
（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根据已知条件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，
∴∠2=∠CFG，
∴CM∥DE，
∴∠D=∠ACM，
∵∠D=∠CMG，
∴∠CMG=∠ACM，
∴AD∥NG；
（2）解：∠NBG−∠ANB+∠1=180°；
理由如下：过B作BP∥AN交NG于P，
∴∠ANB=∠NBP，
∵AD∥NG，
∴∠D=∠DHG，
∵∠A+∠DHG=180°，
∴∠A+∠D=180°，
∴AN∥DH，
又∵CM∥DH，
∴BP∥CM，
∴∠PBG+∠1=180°，
∵∠PBG=∠NBG−∠NBP=∠NBG−∠ANB，
∴∠NBG−∠ANB+∠1=180°；
（3）解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，
∴∠PBG=80°，
∵∠NBG=130°，
∴∠ANB=∠NBP=50°，
∵∠ANB：∠BNG=2：1，
∴∠BNP=25°，
∴∠ANG=75°，
∴∠A=105°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．（山西省忻州市代县2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图1，AB∥CD，点E为直线AB，CD外一点．
(1)若AE⊥AB，∠C=65°，求出∠E的度数．
(2)如图2，点F在BA的延长线上，连接BE，EF，若CE⊥CD，EF平分∠AEC，∠B=∠AEB，求∠BEF的度数：
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作∠BFG=∠BFE，交EC的延长线于点G，延长EF交CD于点H，过点F作FI∥BE交CD于点I．当FH平分∠IFG时，请直接写出∠CHF的度数．
【答案】(1)25°
(2)45°
(3)67.5°
【分析】（1）首先延长BA，则易得AB∥CD，然后由两直线平行，同位角相等，即可证得：∠E+∠C=90°；
（2）过点E作EN∥AB，易证∠NEB=∠AEB， 再根据平行公理的推论可得EN∥CD，再证得∠ECD=90°，进一步证明∠BEF=∠AEF+∠AEB，即可得出∠BEF；
（3）根据平行线的性质得出∠HIF=∠BFI=∠B，根据三角形外角的性质得出∠CHF=12∠IFG+∠HIF，然后根据已知条件和三角形外角定理即可求得∠CHF=12∠BFE+12∠B=12（180°-∠BEF-∠B）+12∠B=12（180°-45°-∠B）+12∠B=67.5°．
（1）
解：延长BA交CE于点M，
∵AB∥CD，∠C=65°
∴∠AME=∠C=65°
又∵AE⊥AB，
∴∠EAM=90°
∴∠E=90°−∠AME=25°；
（2）
如图，过点E作EN∥AB，
∴∠B=∠NEB，
∵∠B=∠AEB，
∴∠NEB=∠AEB，
∵EN∥AB，AB∥CD，
∴EN∥CD，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∴∠CEN=180°−∠ECD=180°−90°=90°，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠FEC，
∴∠BEF=∠AEF+∠AEB=12∠AEC+∠AEN=12∠CEN=45°；
（3）
∵∠CHF=∠IFH+∠HIF，∠IFH=12∠IFG，
∴∠CHF=12∠IFG+∠HIF，
∵AB∥CD，FI∥BE.，
∴∠HIF=∠BFI=∠B，
∴∠IFG=∠BFG-∠B，
∴∠CHF=12∠IFG+∠HIF=12（∠BFG-∠B）+∠B=12∠BFG+12∠B
∵∠BFG=∠BFE，
∴∠CHF=12∠BFE+12∠B
=12（180°-∠BEF-∠B）+12∠B
=12（180°-45°-∠B）+12∠B
=67.5°
∴∠CHF=67.5°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形外角的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
3．（山东省日照市岚山区2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）（1）阅读下面材料：
已知：如图1，AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接AE，CE，得到∠AEC．求证：∠AEC+∠A+∠C=360°．
解答过程如下，并请你在括号内填写推理的依据：
过点E作EF∥AB，
则有∠AEF+∠A=180°（______）．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD（______）．
∴∠FEC+∠C=180°（______）．
∴∠AEF+∠A+∠FEC+∠C=360°,
又∵∠AEC=∠AEF+∠FEC
∴∠AEC+∠A+∠C=360°．
假若将具有图1特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：
（2）已知：直线m∥n，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
①如图2，当点D在点C的左侧时，若∠ADC=80°，∠BED=160°，请你结合（1）中“平行凸折线”的性质，求∠ABC的度数；

②如图3，当点D在点C的右侧时，设∠ABC=α，∠ADC=β，请直接写出∠BED的度数（用含有α，β的式子表示）．
【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；平行线公理；两直线平行，同旁内角互补；（2）①∠ABC=120°；②∠BED=12(α+β)；
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质进行证明，即可得到结论成立；
（2）由平行线的性质，角平分线的定义，结合（1）的结论，即可求出答案；
（3）由平行线的性质，角平分线的定义，结合（1）的结论，即可求出答案．
【详解】解：（1）过点E作EF∥AB，
则有∠AEF+∠A=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD（平行线公理）．
∴∠FEC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠AEF+∠A+∠FEC+∠C=360°，
又∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，
∴∠AEC+∠A+∠C=360°．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平行线公理；两直线平行，同旁内角互补；
（2）①根据题意，由（1）可知
∠EDG+∠BED+∠ABE=360°
∵∠ADC=80°，DE平分∠ADC，
∴∠ADG=180°−80°=100°，∠ADE=40°
∴∠EDG=140°
∵∠BED=160°，
∴140°+160°+∠ABE=360°，
∴∠ABE=60°,
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABE=2×60°=120°；
②根据题意，如图：
由（1）可知，∠EBG+∠BED+∠EDH=360°，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=α，∠ADC=β，
∴∠ABE=12α，∠CDE=12β
∴∠EBG=180°−12α，∠EDH=180°−12β，
∴(180°−12α)+∠BED+(180°−12β)=360°，
∴∠BED=12(α+β)；
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，几何图形中角的运算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及结合图形进行角的和差运算．
4．（江苏省江阴市周庄中学2021-2022学年七年级下学期3月限时作业数学试题）（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？（即求MN与水平线的夹角）
（3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
【答案】（1）平行；理由见解析；（2）MN与水平线的夹角为66°时，可使反射光线b正好垂直照射到井底；（3）t为5秒或95秒时，CD与AB平行
【分析】（1）根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定a∥b；
（2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得∠1＝∠2，然后根据平角等于180°求出∠1的度数，再加上42°即可得解；
（3）①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解．
【详解】解：（1）平行．理由如下：
如图，∵∠3＝∠4，
∴∠5＝∠6，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠5＝∠2＋∠6，
∴a∥b．
（2）∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
∴∠1＝∠2，
∵入射光线a与水平线OC的夹角为42°，b垂直照射到井底，
∴∠1＋∠2＝180°−42°−90°＝48°，
∴∠1＝12×48°＝24°，
∴MN与水平线的夹角为：24°＋42°＝66°．
（3）存在．
AB与CD在EF的两侧时，如图①所示：
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°−60°−3t＝120°−3t，
∠BAC＝110°−t，
要使AB∥CD，
则∠ACD＝∠BAF，
即120°−3t＝110°−t，
解得t＝5；
此时（180°−60°）÷3＝40，
∴0＜t＜40，
∴t＝5符合题意；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，如图所示：
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°−3t−60°＝300°−3t，
∠BAC＝110°−t，
要使AB∥CD，
则∠DCF＝∠BAC，
即300°−3t＝110°−t，
解得t＝95，
此时（360°−60°）÷3＝100，
∴40＜t＜100，
∴t＝95符合题意；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，如图所示：
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝3t−（180°−60°＋180°）＝3t−300°，
∠BAC＝t−110°，
要使AB∥CD，
则∠DCF＝∠BAC，
即3t−300°＝t−110°，
解得t＝95，
此时t＞110，
∵95＜110，
∴此情况不存在．
综上所述，t为5秒或95秒时，CD与AB平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法与性质是解题的关键，（3）要注意分情况讨论．
5．（河北省衡水市武邑县武罗学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试卷）【发现】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．
(1)当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB与CD的位置关系是______；
当∠EAC+∠ACE＝90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
(2)【探究】如图2，AB∥CD，M是AE上一点，∠AEC＝90°保持不变，移动顶点E，使CE平分∠MCD，∠BAE与∠MCD存在怎样的数量关系？并说明理由，
(3)【拓展】如图3，AB∥CD，P为线段AC上一定点，Q为直线CD上一动点，且点Q不与点C重合．直接写出∠CPQ+∠CQP与∠BAC的数量关系．
【答案】(1)AB∥CD；AB∥CD；AB∥CD，理由见解析
(2)∠BAE+12∠MCD＝90°，理由见解析
(3)∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°
【分析】（1）由角平分线的定义得∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，则∠BAC+∠ACD＝180°，可得结论AB∥CD；
（2）过点E作EF∥AB，利用平行线的性质可得答案；
（3）利用平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：当∠EAC＝∠ACE＝45°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝∠ACE＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC＝50°，∠ACE＝40°时，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＝50°，∠ACE＝40°
∴∠BAC＝100°，∠ACD＝80°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD；
当∠EAC+∠ACE＝90°，AB∥CD，理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠BAE+12∠MCD＝90°，理由如下：
过点E作EF∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠AEF+∠FEC＝∠BAE+∠ECD＝90°，
∵CE平分∠MCD，
∴∠ECD＝12∠MCD，
∴∠BAE+12∠MCD＝90°；
（3）解：分两种情况分类讨论，
第一种情况如图，当点Q在射线CD上运动时，∠BAC＝∠PQC+∠QPC，
理由：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠EPC，∠PQC＝∠EPQ，
∵∠EPC＝∠EPQ+∠QPC
∴∠BAC＝∠PQC+∠QPC；
第二种情况如图，当点Q在射线CD的反向延长线上运动时（点C除外）∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PCQ，
∵∠PQC+∠QPC +∠PCQ＝180°，
∴∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°，
综上，∠BAC＝∠PQC+∠QPC或∠PQC+∠QPC+∠BAC＝180°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键需要根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系，根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法．
6．（福建省福州市鼓楼区第十八中学2021-2022学年七年级上学期期中考数学试卷）如图1，直线GH分别交AB，CD于点E，F（点F在点E的右侧），若∠1+∠2=180°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)如图2所示，点M、N在AB，CD之间，且位于E，F的异侧，连MN，若3∠M=2∠N，则∠AEM，∠NFD，∠N三个角之间存在何种数量关系，并说明理由．
(3)如图3所示，点M在线段EF上，点N在直线CD的下方，点P是直线AB上一点（在E的左侧），连接MP，PN，NF，若∠MPN=3∠MPB，∠NFH=3∠HFD，则请直接写出∠PMH与∠N之间的数量．
【答案】(1)见详解
(2)13∠FNM=∠NFD−∠AEM，理由见详解
(3)14∠N+∠PMH=180°，理由见详解
【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）过M作MP∥AB，过N作NQ∥AB，设∠FNM=3α，∠EMN=2α，∠AEM=x，∠NFD=y，可得MP∥NQ∥AB∥CD，即有∠EMP=∠AEM=x，∠FNQ=∠NFD=y，∠PMN=∠QNM，进而有∠PMN=∠EMN−∠EMP=2α−x，∠QNM=∠FNM−∠QNF=3α−y，可得2α−x=3α−y，α=y−x，问题得解；
（3）连接PF，可得∠N+∠NPM+∠PMH+∠MFN=360°，设∠MPB=α，则∠MPN=3α，∠HFD=β，∠NFH=3β，根据AB∥CD，有∠BEF=∠CFE=∠DFH=β，即有∠PME=∠BEF−∠BPM=β−α，即∠PMH=180°−∠PME=180°+α−β，根据∠N+∠NPM+∠PMH+∠MFN=360°，可得∠N=2(β−α)，即可得12∠N+∠PMH=180°．
（1）
解：∵∠1=∠BEF，∠2=∠DFE，∠1+∠2=180°，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∴AB∥CD，
得证；
（2）
解：12∠EMN=∠NFD−∠AEM，理由如下：
过M作MP∥AB，过N作NQ∥AB，
设∠FNM=3α，∠EMN=2α，∠AEM=x，∠NFD=y，
∵AB∥CD，MP∥AB，NQ∥AB，
∴MP∥NQ∥AB∥CD，
∴∠EMP=∠AEM=x，∠FNQ=∠NFD=y，∠PMN=∠QNM，
∴∠PMN=∠EMN−∠EMP=2α−x，∠QNM=∠FNM−∠QNF=3α−y，
∴2α−x=3α−y，
∴α=y−x，
∴13∠FNM=∠NFD−∠AEM；
（3）
解：12∠N+∠PMH=180°，理由如下：
连接PF，如图3，
即有：∠PMF+∠MFP+∠FPM=180°，∠PNF+∠NFP+∠FPN=180°，
∴∠N+∠NPM+∠PMH+∠MFN=360°，
∵∠MPN=3∠MPB，∠NFH=3∠HFD，
∴设∠MPB=α，则∠MPN=3α，∠HFD=β，∠NFH=3β，
∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠CFE=∠DFH=β，
∴∠PME=∠BEF−∠BPM=β−α，
∴∠PMH=180°−∠PME=180°+α−β，
∵∠N+∠NPM+∠PMH+∠MFN=360°，∠MFN=180°−∠NFH=180°−3β，
∴∠N+3α+180°+α−β+180°−3β=360°，
∴∠N=4(β−α)，
∵∠PME=β−α，∠PMH=180°−∠PME=180°−β−α，
∴180°−∠PMH=β−α，
∴14∠N+∠PMH=180°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．
7．（陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
【答案】(1)AB∥CD，见解析
(2)平行，理由见解析
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；
（2）先求得∠EPF=90°，则EG⊥PF，由GH⊥EG即可得到结论．
【详解】（1）解：AB∥CD，
理由：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD．
（2）解：由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
∵AB∥PQ,AB∥CD,
∴∠EPQ=∠BEP=12∠BEF,PQ∥CD，
∴∠FPQ=∠PFD=12∠EFD，
∴∠EPQ+∠FPQ=12(∠BEF+∠EFD),
∴∠EPF=90°，
即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的判定和性质是解题解题的关键．
8．（海南省儋州市鑫源中学2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试题）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为______度；
(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．
【答案】(1)110
(2)∠APC=α+β，理由见解析
(3)当P在BD延长线上时，∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，∠CPA=β-α
【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质求∠APC即可；
（2）过P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为：110．
（2）解：∠APC=α+β，
理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；
（3）解分两种情况：当P在BD延长线上时，过P作PE∥AB交AC于E，如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠CPA=∠APE-∠CPE=α-β，
即∠CPA=α-β；
当P在DB延长线上时，过P作PE∥AB交AC于E，如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠CPA=∠CPE-∠CPA=β-α，
即∠CPA=β-α．
综上，当P在BD延长线上时，∠CPA=α-β；当P在DB延长线上时，∠CPA=β-α．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
9．（浙江省杭州市拱墅区杭州树兰中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
(1)如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE＋∠DCE成立吗？请说明理由．
(2)如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．
【答案】(1)成立，理由见详解
(2)45°
【分析】（1）过E点作EN∥AB，根据CD∥AB，可得EN∥CD，根据平行的性质有∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，结合∠AEC=∠AEN+∠CEN，即可证明；
（2）根据CD∥AB，可得∠FAD=∠ADC，根据BE、DE分别平分∠ABC、∠ADC，即可求出∠ABE和∠CDE，再结合（1）的结论即可求解．
（1）
成立，理由如下：
过E点作EN∥AB，如图，
∵EN∥AB，CD∥AB，
∴EN∥CD，
∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，
∵∠AEC=∠AEN+∠CEN，
∴∠AEC＝∠BAE＋∠DCE，
结论得证；
（2）
∵CD∥AB，
∴∠FAD=∠ADC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=12∠ABC，∠CDE=12∠ADC=12∠FAD，
∵∠FAD＝50°，∠ABC＝40°，
∴∠ABE=12∠ABC=20∘，∠CDE=12∠ADC=12∠FAD=25∘，
根据（1）的结论可知：∠BED＝∠ABE＋∠CDE，
∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE=20°+25°=45°，
即∠BED的度数为45°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识，构筑辅助线EN是解答本题的关键．
10．（江苏省无锡市江阴市华士实验中学2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a−3b|+(a−3)2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°．
(1)求a、b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
【答案】(1)a=3，b=1
(2)t=10或t=85
(3)2∠BAC=3∠BCD
【分析】（1）根据|a−3b|+(a−3)2=0，得a−3b=0，a−3=0，即可求出a，b的值；
（2）设t秒后，两束灯光平行，①当灯A射线转到AN之前；②当灯A射线转到AN之后；根据平行线的性质，即可求出两束灯光互相平行的时间；
（3）设灯A射线转动的时间为t秒，得∠CBD=t，∠CAN=180°−3t，根据∠BAN=45°，得∠BAC=∠BAN−∠CAN=45°−(180°−3t)；过点C作HG∥QP，根据平行线的性质，得∠BCA=∠CAN+∠CBD；根据∠ACD=90°，得∠BCD=∠ACD−∠BCA，即可得到∠BAC和∠BCD的数量关系．
（1）
解：∵|a−3b|+(a−3)2=0
∴|a−3b|≥0，(a−3)2≥0
∴a−3b=0，a−3=0
∴a=3，b=1
（2）
解：设t秒后，两束灯光平行
①当灯A射线转到AN之前
∴3t=(20+t)×1
解得t=10
②当灯A射线转到AN之后
∴3t−3×60+(20+t)×1=180°
解得t=85
∴当t=10或t=85秒后，两束灯光互相平行．
（3）
解：设灯A射线转动的时间为t秒
∴∠CBD=t，∠CAN=180°−3t
∵∠BAN=45°
∴∠BAC=∠BAN−∠CAN=45°−(180°−3t)
∴∠BAC=3t−135°
过点C作HG∥QP
∴HG∥QP∥MN
∴∠HCB=∠CBD，∠HCA=∠CAN
∴∠BCA=∠CBD+∠CAN
∴∠BCA=t+(180°−3t)=180°−2t
又∵∠ACD=90°
∴∠BCD=90°−∠BCA
∴∠BCD=90°−(180°−2t)=2t−90°
∴∠BAC∶∠BCD=(3t−135°)∶2t−90°
∴∠BAC∶∠BCD=3(t−45°)∶2(t−45°)
∠BAC∶∠BCD=3∶2
∴2∠BAC=3∠BCD．
【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握：任何一个数的绝对值是非负数，a2≥0；平行线的性质．
11．（江苏省盐城市亭湖区毓龙路实验学校2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝120°，求∠EPF的度数．
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝50°，∠PFC＝120°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，直接写出∠G的度数．
【答案】（1）100°；（2）∠PFC＝∠PEA＋∠EPF；（3）25°
【分析】（1）如图，过点P作PN∥AB，根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN＝∠PEA＋∠FPE，进而可得∠PFC＝∠PEA＋∠FPE，即可求解；
（3）过点G作AB的平行线，利用平行线的性质解答即可．
【详解】解：（1）解：如图，过点P作PN∥AB，
∴∠1＝∠AEP，
∵∠AEP＝40°，
∴∠1＝40°，
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠2＋∠PFD＝180°，
∵∠PFD＝120°，
∴∠2＝180°−120°＝60°．
∴∠1＋∠2＝40°＋60°＝100°，
即∠EPF＝100°；
（2）∠PFC＝∠PEA＋∠EPF，理由如下：
如图，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE＋∠EPF，
∴∠FPN＝∠PEA＋∠EPF，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA＋∠EPF；
（3）如图，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG＝12∠AEP，∠HGF＝∠CFG＝12∠PFC，
由（2）可知，∠PFC＝∠EPF＋∠AEP，
∴∠HGF＝12（∠EPF＋∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF−∠HGE＝12（∠EPF＋∠AEP）−12∠AEP＝12∠EPF，
∵∠EPF＝50°，
∴∠EGF＝25°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．
12．（江苏省苏州市景城中学2021-2022学年七年级下学期第一次月考数学试题）已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．
(1)图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；
(2)图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．
(3)图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．
【答案】(1)∠BED=∠ABE+∠CDE
(2)∠BED=2∠BFD
(3)∠BED=360°-2∠BFD
【分析】（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG=∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，进而可得∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，结合（1）的结论即可说明：∠BED=2∠BFD；
（3）图3中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合（1）的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系．
（1）
解：如图1中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG=∠ABE，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG=∠CDE，
所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，
即∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）
解：图2中，因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2(∠ABF+∠CDF)，
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BED=∠ABE+∠CDE，
∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=2∠BFD．
（3）
解：∠BED=360°-2∠BFD．
图3中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG+∠ABE=180°，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG+∠CDE=180°，
所以∠BEG+∠DEG=360°-(∠ABE+∠CDE），
即∠BED=360°-(∠ABE+∠CDE)，
因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
∠BED=360°-2(∠ABF+∠CDF)，
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=360°-2∠BFD．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
13．（广东省东莞市松山湖实验中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷）请作答：
(1)图1，图2均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，∠ACB=90∘，DF∥CG，AB与FD相交于点E，有一动点P在边BC上运动，连接PE，PA，记∠PED=∠α，∠PAC=∠β．
①如图1，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠α，∠β之间的数量关系；
②如图2，当点P在B，D两点之间运动时，∠APE与∠α，∠β之间有何数量关系？请判断并说明理由；
(2)当点P在C，D两点之间运动时，若∠PED，∠PAC的角平分线EN，AN相交于点N，请直接写出∠ANE与∠α，∠β之间的数量关系．
【答案】(1)①∠APE=∠α+∠β；②∠APE=∠β−∠α，理由见解析
(2)∠ANE=12(∠α+∠β)
【分析】（1）①过点P作PQ∥DF，先根据平行线的性质可得∠QPE=∠α，∠QPA=∠β再根据∠APE=∠QPE+∠QPA即可得；
②过点P作PQ∥DF，先根据平行线的性质可得∠QPE=∠α，∠QPA=∠β，再根据∠APE=∠QPA−∠QPE即可得；
（2）先根据角平分线的定义可得∠NED=12∠α，∠NAC=12∠β过点N作NQ∥DF，再根据平行线的性质可得∠QNE=∠NED=12∠α，∠QNA=∠NAC=12∠β，然后根据∠ANE=∠QNE+∠QNA即可得．
（1）
解：①∠APE=∠α+∠β，理由如下：
如图，过点P作PQ∥DF，如图所示：
∴∠QPE=∠α，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠QPA=∠β，
∴∠APE=∠QPE+∠QPA=∠α+∠β；
②∠APE=∠β−∠α，理由如下：
如图，过点P作PQ∥DF，
∴∠QPE=∠α，
∵DF∥CG，
∴PQ∥CG，
∴∠QPA=∠β，
∴∠APE=∠QPA−∠QPE=∠β−∠α．
（2）
解：∠ANE=12(∠α+∠β)，理由如下：
∵EN，AN分别平分∠PED，∠PAC，
∴∠NED=12∠PED=12∠α，∠NAC=12∠PAC=12∠β，
如图，过点N作NQ∥DF，
∴∠QNE=∠NED=12∠α，
∵DF∥CG，
∴NQ∥CG，
∴∠QNA=∠NAC=12∠β，
∴∠ANE=∠QNE+∠QNA=12∠α+12∠β=12(∠α+∠β)．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，过拐点作平行线，利用平行线的判定与性质是解题关键．
14．（江苏省宿迁市泗阳县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图1，AB,AC被直线BC所截，点E是线段BC上一点，过点E作DE∥AB，连接BD,∠A=∠D=60°．
(1)BD与AC平行吗？为什么？
(2)将线段BD沿着直线BC进行平移，平移后得到的对应线段记为线段FG，连接EG；
①当线段FG在E点下方时，如图2，若∠EGF=15°，求∠DEG的度数．
②在整个平移的过程中，当∠EGF=3∠DEG时，求∠EGF的度数．
【答案】(1)BD∥AC；理由见解析
(2)①∠DEG＝75°；②∠EGF的值为45°或90°
【分析】（1）结论：BD∥AC，延长DE交AC于点T．利用平行线的性质以及判定证明即可；
（2）①过点E作EK∥BD，利用平行线的性质求解即可；
②分两种情形：当点F在线段BE上时，过点E作EK∥BD，当点F在点B的上方时，过点E作EK∥BD，分别利用平行线的性质求解即可．
（1）
解：结论：BD∥AC．理由如下：
延长DE交AC于点T，如图所示：
∵DT∥AB，
∴∠DTC＝∠A＝60°，
∵∠D＝60°，
∴∠D＝∠DTC，
∴BD∥AC．
（2）
①过点E作EK∥BD，
∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG＝15°，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠DEK＋∠KEG＝75°．
②当点F在线段BE上时，过点E作EK∥BD，如图所示：
∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝60°−∠FGE，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝15°，
∴∠EGF＝45°；
当点F在点B的上方时，过点E作EK∥BD，如图所示：
∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠FGE−60°，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝30°，
∴∠EGF＝90°．
综上所述，满足条件的∠EGF的值为45°或90°．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线的判定和性质，平移变换等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
15．（江苏省无锡市滨湖区2020-2021学年七年级下学期期中数学试题）如图①，已知直线a∥b，点O、C分别是直线a、b上的定点，点A从点O出发，沿射线OA的方向平移，点B从点C出发，沿射线CB的方向平移，且始终满足∠BCO＝∠BAO＝100°．
(1)求证：AB∥CO；
(2)如图②，若OF平分∠BOC，点E是直线b上的一个动点．
① 当∠AOB＝30°，且△EOB中有两个内角相等时，求∠EOF的度数；
② 当∠EOB＝∠AOB，且∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①95°，5°，50°或40°；②48°或60°
【分析】（1）根据a∥b，可得∠OCB+∠AOC=180°，再由∠BCO=∠BAO=100°．得出∠AOC+∠OAB=180°即可判断OC∥AB；
（2）①根据△EOB中有两个内角相等时，分别有4种可能性，分别画出相应的图形，依据角平分线，平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算即可；
②分点E在点F的右侧或左侧两种情况，设∠AOB=α，利用含有α的代数式表示∠BOC，∠EOF，列方程求解即可．
（1）
证明：∵a∥b
∴∠AOC＋∠BCO=180°
∵∠BAO=∠BCO，
∴∠AOC＋∠BAO=180°，
∴AB∥CO．
（2）
解：①∵a∥b，∠AOB=30°
∴∠FOB=∠AOB=30°
∵OC∥AB，∠BAO=100°
∴∠AOC=80°，
∴∠BOC=50°．
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF=12∠BOC=25°．
1°∠BEO=∠EBO=30°，
∴∠EOB=120°．
∴∠EOF=∠EOB−∠BOF=95°
2°∠BOE=∠EBO=30°
∴∠EOF=∠EOB−∠BOF=5°．
3°∠BOE=∠BEO=75°（点E在点B的左侧）
∴∠EOF=∠BOE−∠BOF=50°．
4°∠BOE=∠BEO（点E在点B的右侧），
∵∠CBO=∠BOE＋∠BEO=30°，
∴∠BOE=∠BEO=15°．
∴∠EOF=∠BOE＋∠BOF=40°．
综上∠EOF的度数为95°，5°，50°或40°．
②设∠EOF=x，则∠BOC=6x，
∴∠AOB=80°−6x．
∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF=∠COF=3x．
1°点F在点E右侧，
∠EOB=∠BOF＋∠BOF=4x，
∵∠AOB=∠EOB，
∴80°−6x=4x，x=8°
∴∠ABO=∠BOC=48°．
2°点F在点E左侧，
∠EOB=∠BOF−∠BOF=2x，
∵∠AOB=∠EOB，
∴80°−6x=2x，x=10°．
∴∠ABO=∠BOC=60°．
综上，∠ABO的度数为48°或60°．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质和判定，三角形内角和定理以及角角平分线的定义是正确解答的前提．
16．（浙江省宁波市海曙区部分校2021-2022学年七年级下学期期末联考数学试题）如图①，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B=∠E=60°.
(1)请说明AE∥BC；
(2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①.如图②，当DE⊥DQ时，则∠Q的度数=_____________；
②.在整个运动中，当∠Q=2∠EDQ时，∠Q=_____________．
【答案】(1)见解析
(2)①30°；②40°或120°
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E=180°，利用等量代换得到∠BAE+∠B=180°，即可证出AE∥BC；
（2）①过点D作DM∥PQ，则DM∥AE，根据平行线的性质即可得到答案；
②两种情况，运用类比的方法，当点P在线段AD上时，过点D作DF∥AE交AB于点F，根据平行线的性质即可得到答案；当点P在线段DA的延长线上时，过点D作DF′∥AE交AB于点F′，根据平行线的性质即可得到答案．
（1）证明：∵DE∥AB，∴∠BAE+∠E=180°，又∵∠B=∠E，∴∠BAE+∠B=180°，∴AE∥BC．
（2）解：①解：过点D作DM∥PQ，如图所示：∵AE∥PQ，∴DM∥AE，∴∠E=∠EDM，∠Q=∠MDQ，∵DE⊥DQ，∴∠EDQ=90°，∴∠E+∠Q=∠EDM+∠MDQ=90°，而∠E=60°，∴∠Q=90°−60°=30°．故答案为：30°．②当点P在线段AD上时，过点D作DF∥AE交AB于点F，如图所示：∵PQ∥AE，∴DF∥PQ，∴∠QDF=180°−∠Q，∵∠Q=2∠EDQ，∴∠EDQ=12∠Q，∵∠E=60°，∴∠EDF=180°−60°=120°，∴∠QDF=120°+12∠Q=180°−∠Q，∴∠Q=40°；当点P在线段DA的延长线上时，过点D作DF′∥AE交AB于点F′，如图所示：∵PQ∥AE，∴DF′∥PQ，∴∠QDF′=180°−∠Q，∵∠Q=2∠EDQ，∴∠EDQ=12∠Q，∵∠E=60°，∴∠EDF′=180°−60°=120°，∴180°−∠Q+12∠Q=120°，∴∠Q=120°；综上所述：∠Q的度数为40°或120°．故答案为：40°或120°
【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握相关知识并正确作出辅助线．
17．（湖南省岳阳市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，已知∠DCF和∠ECF互为邻补角，∠DCF=α0<α<90°，将一个三角板的直角顶点放在点C处（注：∠ACB=90°，∠ABC=60°）．
(1)如图1，使三角板的短直角边BC与射线CD重合，若α=40°，则∠ACF=_________．
(2)如图2，将图1中的三角板ABC绕点C顺时针旋转60°，试判断此时AB与DE的位置关系，并说明理由．
(3)如图3，将图1中的三角板ABC绕点C顺时针旋转β0<β<90°，使得∠ACE=12∠BCF，此时α和β满足什么关系？请说明理由．
(4)将图1中的三角板绕点C以每秒5的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，AC恰好与直线CF重合，求t的值（用含α的式子表示）．
【答案】(1)50°
(2)AB//DE，理由见详解
(3)3β−α=180°
(4)18+α5或54+α5
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由旋转的性质可得∠BCD=60°=∠ABC，然后问题可求解；
（3）由选项的性质可得∠BCD=β，然后可得∠ACE=12β−α，则有β+12β−α=90°，进而分类讨论求解即可；
（4）由题意可分当射线CA与射线CF互为反向延长线和当射线CA与射线CF重合时，然后进行分类讨论求解即可．
(1)
解：由三角板的短直角边BC与射线CD重合，且α=40°，可得：
∠ACF=∠ACB−α=50°；
故答案为50°；
(2)
解：AB//DE，理由如下：
由旋转的性质可得：∠BCD=60°=∠ABC，
∴AB//DE；
(3)
解：3β−α=180°，理由如下：
由旋转可知：∠BCD=β，
∵∠DCF=α，
∴∠BCF=∠BCD−∠DCF=β−α，
∵∠ACE=12∠BCF，
∴∠ACE=12β−α，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACE=90°，即β+12β−α=90°，
若β>α，则β+12β−α=90°，即3β−α=180°；
若β≤α，则β+12α−β=90°，即α+β=180°；
∵0<β<90°,0<α<90°，
∴α+β=180°不符合题意；
∴α和β满足的关系是3β−α=180°；
(4)
解：将图1中的三角板绕点C以每秒5的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，AC恰好与直线CF重合，
∴当射线CA与射线CF互为反向延长线，如图，
则∠CEA=∠DCF=α，
∴此时AC旋转了90°+α，
∴t=90°+α5°=18+α5；
当射线CA与射线CF重合时，如图所示：
则AC旋转了270°+α，
∴t=270°+α5°=54+α5；
综上所述：AC恰好与直线CF重合时，t的值为18+α5或54+α5．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、角的和差关系、平行线的判定及一元一次方程的应用，熟练掌握旋转的性质、角的和差关系、平行线的判定及一元一次方程的应用是解题的关键．
18．（广东省广州市白云区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，点A，B，C，D四点共线，点E，F，G，H四点共线．BG，CF相交于点I，点J是直线AD与EH之间的一个动点，∠ABJ+∠J+∠EFJ=360°．
(1)求证：AD∥EH；
(2)若BJ平分∠DBG，FJ平分∠CFH，请探索并证明∠BIF和∠BJF之间的数量关系；
(3)若∠GBJ=13∠GBD，∠CFJ=13∠CFH，（2）中的结论还成立吗？若成立请证明；若不成立，请写出你认为正确的结论，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠BIF=2∠BJF，证明见解析
(3)不成立；∠BJF=23∠BIF，证明见解析
【分析】（1）过点J作JP∥AD，根据平行线的性质即可得结论；
（2）过点J作JP∥AD，过点I作IQ∥AD，根据平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得∠BIF=∠DBG+∠CFH，∠BJF=∠DBJ+∠HFJ，∠DBG=2∠DBJ，∠CFH=2∠HFJ，则∠DBG+∠CFH=2∠DBJ+∠HFJ，即可得到∠BIF和∠BJF之间的数量关系；
（3）过点J作JP∥AD，过点I作IQ∥AD，根据平行线的判定和性质和已知条件∠GBJ=13∠GBD，∠CFJ=13∠CFH得出∠BIF=∠DBG+∠CFH，∠BJF=∠DBJ+∠HFJ，∠DBJ=23∠GBD，∠HFJ=23∠CFH，则∠DBJ+∠HFJ=23∠GBD+∠CFH，从而得到∠BIF和∠BJF之间的数量关系．
（1）证明：如图，过点J作JP∥AD，∴∠ABJ+∠BJP=180°，∵∠ABJ+∠J+∠EFJ=360°，∴∠EFJ+∠FJP=360°−180°=180°，∴JP∥EH，∴AD∥EH．
（2）解：∠BIF=2∠BJF，证明如下：过点J作JP∥AD，过点I作IQ∥AD，由（1）知：AD∥EH，∴IQ∥EH，∴∠BIQ=∠DBG，∠FIQ=∠CFH，∴∠BIQ+∠FIQ=∠DBG+∠CFH，即∠BIF=∠DBG+∠CFH，∵JP∥AD，∴∠BJP=∠DBJ，又∵AD∥EH，∴JP∥EH，∴∠FJP=∠HFJ，∴∠BJP+∠FJP=∠DBJ+∠HFJ，即∠BJF=∠DBJ+∠HFJ，∵BJ平分∠DBG，FJ平分∠CFH，∴∠DBG=2∠DBJ，∠CFH=2∠HFJ，∴∠DBG+∠CFH=2∠DBJ+∠HFJ，∴∠BIF=2∠BJF．
（3）如图，（2）中的结论不成立，正确的结论是∠BJF=23∠BIF，证明如下：过点J作JP∥AD，过点I作IQ∥AD，由（2）得：∠BIF=∠DBG+∠CFH，∠BJF=∠DBJ+∠HFJ，∵∠GBJ=13∠GBD，∠CFJ=13∠CFH，∴∠DBJ=23∠GBD，∠HFJ=23∠CFH，∴∠DBJ+∠HFJ=23∠GBD+∠CFH，∴∠BJF=23∠BIF
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，角平分线的定义等知识．正确添加辅助线、熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
19．（江西省抚州市乐安县2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）已知的三角形的三个内角的度数和是180°，如图是两个三角板不同位置的摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°．
(1)当AB∥DC时，如图①，求∠DCB的度数．
(2)当CD与CB重合时，如图②，判断DE与AC的位置关系，并说明理由．
(3)如图③，当∠DCB等于______度时，AB∥EC．（直接写出答案）
【答案】(1)30°
(2)DE∥AC
(3)15
【分析】（1）根据AB∥DC，运用平行线的性质，求得∠DCB的度数；
（2）根据∠ABE+∠BAC=180°，运用平行线的判定，得出DE∥AC；
（3）根据AB∥CE，求得∠ECB=30°，再根据∠DCE=45°，求得∠DCB的度数．
【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=180°-90°-60°=30°，
∵AB∥DC，
∴∠DCB=∠B=30°；
（2）解：DE∥AC．
当CD与CB重合时，∠CDA=∠CBA=30°，
∴∠ADE=∠CDE+∠CDA=90°+30°=120°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABE+∠BAC=180°，
∴DE∥AC；
（3）解：当AB∥CE时，∠B=∠ECB=30°，
又∵∠DCE=45°，
∴∠DCB=45°-30°=15°．
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来得出角的数量关系．
20．（江苏省南通市如皋市2021-2022学年七年级下学期期末数学试题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交△ABC的边AC于点D，E为直线AC上一点，过点E向直线AC的右边作射线EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分线EG交射线BD于点G．
(1)如图1，∠ABC=40°，点E与点A重合，求∠G的度数；
(2)若∠ABC=α，
①如图2，点E在DC的延长线上，求∠G的度数（用含有α的式子表示）；
②点E在直线AC上滑动，当存在∠G时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接用含α的式子表示∠G的度数．
【答案】(1)65°
(2)①45°−12α；②变化，45°−12α或45°+12α
【分析】(1)过G作GM∥BC交AB于点M，根据平行线的性质及角平分线的定义，可得∠MGB=∠GBC=12∠ABC=20°，∠EGM=∠FEG=12∠CEF=45°，据此即可求得；
(2)①过G作GM∥BC交AB于点M，根据平行线的性质及角平分线的定义，可得∠MGB=∠GBC=12∠ABC=12α，∠EGM=∠FEG=12∠CEF=45°，据此即可求得；②根据(1)和①即可解答．
(1)
解：如图1，过G作GM∥BC交AB于点M．
∵EF∥BC，
∴EF∥BC∥GM，
∴∠EGM=∠FEG，∠MGB=∠GBC．
∵BD平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴∠GBC=12∠ABC=12×40°=20°．
∵EF∥BC，
∴∠CEF=∠ACB=90°．
∵EG平分∠CEF，
∴∠FEG=12∠CEF=12×90°=45°．
∴∠AGB=∠EGM+∠MGB=∠FEG+∠GBC=65°．
(2)
解：①如图2，过G作GM∥BC交AB于点M．
∵EF∥BC，
∴EF∥BC∥GM．
∵BD平∠ABC，EG平分∠CEF，
∴∠GBC=12∠ABC=12a ，∠FEG=12∠CEF=12×90°=45°．
∴∠BGE=∠MGE−∠MGB=∠FEG−∠GBC=45°−12α．
②变化；
当点E在点D的上方时，方法同(1)可得，∠G=45°+12α，
当点E在点D的下方时，方法同①可得，∠G=45°−12α，
故当存在∠G时，其度数发生变化，度数为45°−12α或45°+12α．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
21．（河北省保定市高阳县2021-2022学年七年级下学期期末考试数学试题）如图1，已知∠EFH=90°，点A，C分别在射线FE和FH上，在∠EFH内部作射线AB，CD，使AB平行于CD．
(1)如图1，若FAB=150°，求∠HCD的度数；
(2)小颖发现，在∠EFH内部，无论FAB如何变化，∠FAB−∠HCD的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；
(3)①如图3，把图1中的∠EFH=90°改为∠EFH=120°，其他条件不变，请直接写出∠FAB与∠HCD之间的数量关系；
②如图4，已知∠EFG+∠FGC=α，点A，C分别在射线FE，GH上，在∠EFG与∠FGH内部作射线AB，CD，使AB平行于CD，请直接写出∠FAB与∠HCD之间的数量关系．
【答案】(1)60°
(2)90°
(3)①∠FAB−∠HCD=60°，②∠FAB−∠HCD=360°−α
【分析】（1）过点F作FM∥AB，可以求出∠1=30°，结合AB∥CD，可以得到AB∥CD，即可求出∠HCD的度数；
（2）过点F作FN∥AB，结合已知AB∥CD可以得出FN∥CD，进而得到∠HCD=∠2，即可求出，∠FAB−∠HCD的值；
（3）①根据题意画出对应的图形，结合平行线的性质和判定即可得到∠FAB与∠HCD之间的数量关系；
②根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线，结合平行线的性质与判定即可正确解答．
【详解】（1）过点F作FM∥AB
∴∠FAB+∠1=180°
∵∠FAB=150°
∴∠1=30°
∵AB∥CD
∴MN∥CD
∴∠HCD=∠2
∵∠1+∠2=90°
∴∠HCD=∠2=90°−∠1=60°
（2）过点F作FN∥AB
∴∠FAB+∠1=180°
∴∠1=180°−∠FAB
∵AB∥CD
∴FN∥CD
∴∠HCD=∠2
∵∠1+∠2=90°
∴180°−∠FAB+∠HCD=90°
∴∠FAB−∠HCD=90°
（3）①∠FAB−∠HCD=60°
②∠FAB−∠HCD=360°−α
【点睛】本题主要考查的是平行线模型，根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（北京市第十九中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试卷）如图，直线a∥b，点A为直线a上的动点，点B为直线a、b之间的定点，点C为直线上的定点．
(1)当点A运动到图1所示位置时，容易发现∠ABC,∠DAB,∠BCE之间的数量关系为 ；
(2)如图2，当BA⊥BC时，作等边△BPQ，BM平分∠ABP，交直线a于点M，BN平分∠QBC，交直线b于点N，将BPQ绕点B转动，且BC始终在∠PBQ的内部时，∠DMB+∠ENB的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，说明理由；
(3)点F为直线a上一点，使得∠AFB=∠ABF，∠ABC的平分线交直线a于点G，当点A在直线a上运动时（A，B，C三点不共线），探究并直接写出∠FBG与∠ECB之间的数量关系．（本问中的角均为小于180°的角）
【答案】(1)∠ABC＝∠DAB+∠BCE；
(2)不变化，75°；
(3)∠ECB＝2∠FBG或2∠FBG−∠ECB=180°，理由见解析．
【分析】（1）过点B作BH∥a，根据两直线平行、内错角相等解答；
（2）根据角平分线的定义得到∠MBP=12∠ABP,∠NBC=12∠QBC，结合图形计算，得到答案；
（3）分点F在点A的右侧时和点F在点A的左侧时两种情况求解．
【详解】（1）解：作BH∥a，如图1：
则∠ABH=∠DAB，
∵BH∥a,a∥b，
∴BH∥b,，
∴∠HBC=∠BCE，
∴∠ABC=∠ABH+∠HBC=∠DAB+∠BCE，
故答案为：∠ABC=∠DAB+∠BCE；
（2）∠DMB+∠ENB的值不变化，理由如下：
如图2：
∵∠ABQ=∠ABC+∠QBP−∠PBC=90°+60°−∠PBC，
∴∠ABQ+∠PBC=150°，
∵∠ABQ=∠PBC+∠ABP+∠QBC，
∴2∠PBC+∠ABP+∠QBC=150°，
∵∠MBP=12∠ABP,∠NBC=12∠QBC，
∴2∠PBC+2∠MBP+2∠NBC=150°，即∠PBC+∠MBP+∠NBC=75°，
由（1）得∠DMB+∠ENB=∠MBN=∠PBC+∠MBP+∠NBC，
∴∠DMB+∠ENB=75°；
（3）当点F在点A的右侧时，如图3：
∠ECB=2∠FBG，理由如下：
∵∠AFB=∠1+∠2，
由（1）知∠3=∠2+∠4，
∵∠ABC的平分线交直线a于点G，
∴∠3=∠ABG，
∵∠ABG=∠1+∠ABF，
∴∠2+∠4=∠1+∠ABF，
∵∠AFB=∠ABF，
∴∠2+∠4=∠1+∠1+∠2，
∴∠4=2∠1，
即∠ECB=2∠FBG．
当点F在点A的左侧时，如图4，
2∠FBG−∠ECB=180°，理由如下：
∵∠ABC的平分线交直线a于点G，
∴∠ABC=2∠ABG．
∵∠FAB=180°−∠AFB−∠ABF，∠AFB=∠ABF，
∴∠FAB=180°−2∠ABF．
由（1）知∠ABC=∠FAB+∠ECB，
∴2∠ABG=∠FAB+∠ECB，
∴2∠ABG=180°−2∠ABF+∠ECB，
∴2∠ABG+2∠ABF−∠ECB=180°，
∴2∠FBG−∠ECB=180°．
综上可知，∠FBG与∠ECB之间的数量关系为：∠DMB+∠ENB=75°或2∠FBG−∠ECB=180°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，掌握平行线的性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
23．（黑龙江省哈尔滨德强学校2022—2023学年七年级上学期11月份线上教学问题诊断数学试题）如图，直线AB、CD被EF所截，直线EF分别交AB、CD于G、H两点，∠AGE=∠FHD．
(1)如图1，求证：AB∥CD；
(2)如图2，HQ、GN分别为夹在AB、CD中的两条直线，∠AGN=∠QHD，求证：GN∥QH；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接HN，M为AB上一点，连接MN，V为AB上一点，连接VN，∠GNV=36°，NP平分∠VNM交AB于点K，∠HNK=2∠GNK，VP∥MN，∠NHD=∠VNK+6°，∠QHN=2∠KVN，求∠VPN的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)12°
【分析】（1）只需要证明∠AGE=∠CHE即可证明AB∥CD；
（2）先由平行线的性质得到∠AGH=∠DHG，进而证明∠QHG=∠NGH，即可证明GN∥QH；
（3）如图所示，过点N作直线LI∥AB，则AB∥IL∥CD，设∠VNP=x，先证明∠HNG=x+36°，再由平行线的性质得到，∠VGN+∠DHN=x+36°，由∠NHD=∠VNK+6°，得到∠VGN+x+6°=x+36°，则∠VGN=30°，∠GNI=30°，进而求出∠KVN=66°，则∠QHN=132°，根据平行线的性质求出∠GNH=48°，从而求出∠VNP=12°，再由NP平分∠VNM，得到∠PNM=∠VNP=12°，最后根据VP∥MN，即可得到∠VPN=∠PNM=12° ．
【详解】（1）证明：∵∠AGE=∠FHD，∠CHE=∠FHD，
∴∠AGE=∠CHE，
∴AB∥CD；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠AGH=∠DHG，
∵∠AGN=∠QHD，
∴∠AGN−∠AGH=∠QHD−∠DHG，
∴∠QHG=∠NGH，
∴GN∥QH；
（3）解：如图所示，过点N作直线LI∥AB，则AB∥IL∥CD，设∠VNP=x，
∵∠HNK=2∠GNK，
∴∠HNG=∠GNK=∠VNP+∠GNV=x+36°，
∵AB∥CD∥IL，
∴∠VGN=∠GNI，∠DHN=∠INH，
∴∠VGN+∠DHN=∠GNI+∠INH=∠GNH=x+36°，
∵∠NHD=∠VNK+6°，
∴∠VGN+x+6°=x+36°，
∴∠VGN=30°，
∴∠GNI=30°，
∴∠KVN=∠VNI=∠GNI+∠GNV=66°，
∴∠QHN=2∠KVN=132°，
∵GN∥QH，
∴∠GNH=180°−∠QHN=48°，
∴x+36°=48°，
∴x=12°，
∴∠VNP=12°，
∵NP平分∠VNM，
∴∠PNM=∠VNP=12°，
∵VP∥MN，
∴∠VPN=∠PNM=12°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
24．（北京市海淀区三帆中学2021-2022学年七年级下学期月考数学试卷（6月份））已知直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB,CD上，∠EFD=α．点P是直线AB上的动点（不与E重合），连接PF，∠PEF和∠PFC的平分线所在直线交于点H．
(1)如图1，若EF⊥CD，点P在射线EB上．则当∠EPF=40°时，
∠EHF= °；
(2)如图2，若α=120°，点P在射线EA上．
①补全图形；
②探究∠EPF与∠EHF的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图3，若0°<α<90°，直接写出∠EPF与∠EHF的数量关系（用含α的式子表示）．
【答案】(1)25
(2)①见解析；②∠EHF=12∠EPF+60°，见解析
(3)∠EPF+2∠EHF=α或2∠EHF−∠EPF=α
【分析】（1）根据图形1，由平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理计算即可；
（2）①先根据（1）中作法补全图形；②根据平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理得出∠EPF与∠EHF的数量关系；
（3）分点P在射线EB上和点P在射线EA上两种情况，平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理计算即可．
【详解】（1）解：∵EF⊥CD，点P在射线EB上，∠EPF=40°,AB∥CD，
∴∠PEF=∠CFE=90°,∠PFD=∠EPF=40°，
∴∠PFC=180°−∠PFD=140°，
∵EM、FH分别平分∠PEF,∠PFC，
∴∠FEM=12∠PEF=45°,∠CFH=∠PFC=70°，
∴∠EFH=∠CFE−∠CFH=20°，
∵∠FEM=∠EFH+∠EHF，
∴∠LEHF=∠FEM−∠EFH=45°−20°=25°．
故答案为：25；
（2）①若α=120°，点P在射线EA上，
补全图形，如图所示：
②∠EPF与∠EHF的数量关系是∠EHF=12∠EPF+60°，证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠PEF=∠EFD=α=120°,∠EPF=∠PFC，
∵EM,FH分别平分∠PEF,∠PFC，
∴∠FEM=12∠PEF=60°，∠CFH=12∠PFC，
∴∠CFH=12∠EPF，
∵∠EFM=180°−α=60°，
∴∠FMH=180°−∠FEM−∠EFM=60°，
∵∠EHF=∠CFH+∠FMH，
∴∠EHF=12∠EPF+60°；
（3）若0°<α<90°，则∠EPF与∠EHF的数值关系是：
∠EPF+2∠EHF=α或2∠EHF−∠EPF=α．
点P在射线EB上时，
∵AB∥CD，
∴∠PEF+∠EFD=180°,∠EPF=∠PFD，
∴∠PEF=180°−∠EFD=180°−α,∠PFC=180°−∠PFD=180°−∠EPF，
∵EM,FH分别平分∠PEF,∠PFC，
∴∠FEM=12∠PEF=90°−12α,∠PFH=12∠PFC=90°−12∠EPF，
∴∠EFH=∠PFD+∠PFH−∠EFD=∠EPF+90°−12∠EPP−α=90°+12∠EPF−α，
∵∠FEM=∠EFH+∠EHF，
∴90°−12α=90°+12∠EPF−α+∠EHF，
∴∠EPF+2∠EHF=α；
点P在射线EA上时，
∵AB∥CD，
∴∠PEF=∠EFD=α,∠EPF=∠PFC，
∵EM,FH分别平分∠PEF,∠PFC，
∴∠FEM=12∠PEF=12α,∠CFH=12∠PFC，
∴∠CFH=12∠EPF，
∵∠EFM=180°−α，
∴∠FMH=180°−∠FEM−∠EFM=12α，
∵∠EHF=∠CFH+∠FMH，
∴∠EHF=12∠EPF+12α，
∴2∠EHF−∠EPF=α，
综上所述，∠EPF与∠EHF的数值关系是∠EPF+2∠EHF=α或2∠EHF−∠EPF=α．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．
25．（江苏省盐城初级中学中校区2021-2022学年七年级下学期3月月考数学试题）如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF=30°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α(0°<α<180°)，在旋转过程中：
(1)如图2，∠ABC=40°，当∠α=______时，DE∥BC，当∠α=______时，DE⊥BC；
(2)如图3，∠ABC=40°，当顶点C在△DEF内部时（不包含边界）)，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N，
①此时∠α的度数范围是______．
②∠BMD与∠AND度数的和是否变化？若不变，求出∠BMD与∠AND的度数和；若变化，请说明理由：______．
(3)如图4，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转过程中，边DE与射线BC有交点P，边DF与射线AC有交点Q，则∠BPD与∠AQD有什么关系______．
(4)如图5，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转过程中，边DE与射线BC有交点P，边DF与射线AC有交点Q、请在备用图中画出其他可能位置，并写出∠BPD与∠AQD的关系______．
【答案】(1)10°，100°
(2)①55°<α<85°；②不变，∠BMD+∠AND=60°
(3)∠AQD+∠BPD=120°
(4)图见解析，∠AQD+∠BPD=120°
【分析】（1）当∠EDA=∠B=40°时， DE∥BC，得出30°+α=40°，即可得出结果；当DE∥AC时，DE⊥BC，得出50°+α+30°=180°，即可得出结果；
（2）①由已知得出∠ACD=45°，∠A=50°，推出∠CDA=85°，当点C在DE边上时，α+30°=85°，解得α=55°，当点C在DF边上时，α=85°，即可得出结果；
②连接MN，由三角形内角和定理得出∠CNM+∠CMN+∠MCN=180°，则∠CNM+∠CMN=90°，由三角形内角和定理得出∠DNM+∠DMN+∠MDN=180°，即∠AND+∠CNM+∠CMN+∠BMD+∠MDN=180°，即可得出结论；
（3）根据三角形的内角和与外角定理用∠A与α表示∠AQD和∠BPD便可得出结论；
（4）根据题意作图，并仿照（3）的方法便可得出结论．
【详解】（1）解：∵∠B=40°，
∴当∠EDA=∠B=40°时，DE∥BC，
∵∠EDF=30°，
∴α=40°−30°=10°；
当DE∥AC时，DE⊥BC，
∴∠A+∠EDA=180°，∠A=90°−∠B=50°，
∴∠EDA=180°−∠A=180°−50°=130°，
∴α=130°−30°=100°，
故答案为：10°，100°；
（2）解：①∵∠ABC=40°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD=45°，∠A=50°，
∴∠CDA=85°，
当点C在DE边上时，α+30°=85°，
解得：α=55°，
当点C在DF边上时，α=85°，
∴当顶点C在△DEF内部时，55°<α<85°；
故答案为：55°<α<85°；
②∠BMD与∠AND度数的和不变，∠BMD+∠AND=60°.
理由如下：
连接MN，如图3所示：

在△CMN中，
∵∠CNM+∠CMN+∠MCN=180°，
∴∠CNM+∠CMN=90°，
在△MND中，
∵∠DNM+∠DMN+∠MDN=180°，
即∠AND+∠CNM+∠CMN+∠BMD+∠MDN=180°，
∴∠BMD+∠AND=180°−90°−30°=60°；
（3）∵∠AQD=180°−∠A−∠ADQ=180−∠A−α，
∠BPD=∠ADP−∠B=α+30°−90°−∠A=α+∠A−60°，
∴∠AQD+∠BPD=120°，
故答案为：∠AQD+∠BPD=120°；
（4）如图，同（3）可得∠AQD+∠BPD=120°．

故答案为：∠AQD+∠BPD=120°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、旋转的性质，合理选择三角形旋转后利用三角形内角和定理列等量关系是解决问题的关键．
26．（浙江省温州市永嘉县崇德实验学校2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图1，直线AB∥CD，△ABE的顶点E在AB与CD之间.
(1)若∠ABE=150°，∠BAE=20°．
①当∠CDE=2∠EDM时，求∠BED的度数.
②如图2，作出∠CDE的角平分线DF，当DF平行于△ABE中的一边时，求∠BED的度数.
(2)如图3，∠CDE的角平分线DF交EB的延长线于点H，连结BF，当∠ABH=2∠HBF，12∠BED+13∠F=40°时，求∠CDE的度数.
【答案】(1)①90°；②150°；170°
(2)150°
【分析】（1）①过点E在作EG∥CD，分别利用邻角互补求得∠NBE和∠EDM，再利用平行线的性质即可求解；
②分两种情况：（i）当DF∥BE时，设DF与AB交于点P，利用先邻角互补求得∠NBE=180°−∠ABE=30°，再利用平行线的性质和角平分线的定义求得∠CDE的度数，进而求得∠EDM，最后利用①的结论即可求解；（ii）当DF∥AE时，设DF与AB交于点P，如图所示，类似（i）的求解方法可求得∠BED=∠NBE+∠EDM=170°；
（2）设DF与AB交于点P，如图所示，且设∠ABH=2∠HBF=2x，∠CDF=∠EDF=y，则∠CDE=2∠CDF=2y，在△BPF中，∠BPD=∠F+∠ABF，即y=3x+∠F，
由（1）小题可得∠BED=∠NBE+∠EDM =2x+180°−2y，再利用已知12∠BED+13∠F=40°，即可得到90°+x−y+13y−x=40°，求得y=75°，进而得到∠CDE的度数．
（1）
①如图，过点E在作EG∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠NBE=∠BEG，∠GED=∠EDM，
∵∠NBE+∠ABE=180°，∠ABE=150°，
∴∠NBE=∠BEG=180°−∠ABE=30°；
∵∠CDE+∠EDM=180°，∠CDE=2∠EDM，
∴∠EDM=∠GED=60°，
∴∠BED=∠NBE+∠EDM=∠GED+∠BEG=90°；
②分两种情况：（i）当DF∥BE时，设DF与AB交于点P，如图所示，

∵∠NBE+∠ABE=180°，∠ABE=150°，
∴∠NBE=180°−∠ABE=30°；
∵DF∥BE，
∴∠NBE=∠BPD=30°，
∵AB∥CD，
∴∠CDP=∠BPD=30°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠CDP=60°，
∴∠EDM=180°−∠CDE=120°，
∴由①得∠BED=∠NBE+∠EDM=30°+120°=150°；
（ii）当DF∥AE时，设DF与AB交于点P，如图所示，∠BAE=20°，
∴∠BAE=∠BPD=20°，
∵AB∥CD，
∴∠CDP=∠BPD=20°，
∵DF平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠CDP=40°，
∴∠EDM=180°−∠CDE=140°，
∵∠NBE+∠ABE=180°，∠ABE=150°，
∴∠NBE=180°−∠ABE=30°；
∴由①得∠BED=∠NBE+∠EDM=30°+140°=170°；
（2）
解：设DF与AB交于点P，如图所示，设∠ABH=2∠HBF=2x，∠CDF=∠EDF=y，则∠CDE=2∠CDF=2y，
∵AB∥CD，
∴∠BPD=∠CDF=y，
∴在△BPF中，
∠BPD=∠F+∠ABF=∠F+∠ABH+∠HBF=∠F+3x，
即y=3x+∠F，
由（1）小题可得∠BED=∠NBE+∠EDM =∠ABH+180°−∠CDE =2x+180°−2y，
∵12∠BED+13∠F=40°，
∴90°+x−y+13y−x=40°．
∴y=75°，
∴∠CDE=2∠CDF=2y=150°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及角平分线的有关计算，熟练掌握已经学过的性质和定理，作出适当的辅助线是解题的关键．
27．（江苏省泰州中学附属初级中学、靖江外国语学校2021-2022学年七年级下学期5月月考数学试题）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A=100°，∠B=50°，∠C=30°，可知∠A=2∠B，所以△ABC为2倍角三角形．
(1)在△DEF中，∠E=40°，∠F=35°，则△DEF为 倍角三角形．
(2)已知：在图中直线AB、CD被直线EF所截交点分别为E、F，AB∥CD，∠BEF与∠DFE的平分线交于点G，若△EFG是6倍角三角形，求∠AEF．
(3)图中AE平分∠BAC，CE平分∠BCD，∠E=20°，∠ACB=80°，问△ABC是几倍角三角形，为什么？
(4)在△ABC中，∠A<∠B<∠C，若△ABC既可以是一个2倍角三角形，又可以是一个3倍角三角形，求∠A的度数．
【答案】(1)3
(2)30°或150°或10807°或1807°
(3)△ABC是2倍角三角形，理由见解析
(4)18°或20°或30°
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠D的度数即可得到答案；
（2）先根据平行线的性质和角平分线的定义求出∠EFG+∠FEG=90°，则∠G=90°，然后分四种情况讨论求解即可；
（3）根据平角的定义求出∠BCD=100°，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质求出∠BAC=60°，则∠B=40°，由此即可得到结论；
（4）分当∠B=2∠A，∠C=3∠A时， 当∠B=2∠A，∠C=3∠B时，当∠B=3∠A，∠C=2∠B时，三种情况利用三角形内角和定理讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵在△DEF中，∠E=40°，∠F=35°，
∴∠D=180°−∠E−∠F=105°，
∴∠D=3∠F，
∴△DEF为3倍角三角形，
故答案为：3；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠DFE，∠BEF+∠DFE=180°，
∵EG，FG分别是∠BEF、∠DFE的角平分线，
∴∠EFG=12∠DFE，∠FEG=12∠BEF，
∴∠EFG+∠FEG=12∠BEF+12∠DFE=90°，
∴∠G=180°−∠FEG−∠EFG=90°，
当∠G=6∠EFG时，则∠EFG=15°，
∴∠AEF=∠DFE=2∠EFG=30°；
当∠G=6∠FEG时，则∠FEG=15°，
∴∠AEF=∠DFE=180°−∠BEF=180°−2∠FEG=150°；
当∠EFG=6∠FEG，则∠EFG=5407°，
∴∠AEF=∠DFE=2∠EFG=10807°；
当∠FEG=6∠EFG，则∠EFG=907°，
∴∠AEF=∠DFE=2∠EFG=1807°；
综上所述，∠AEF的度数为30°或150°或10807°或1807°；
（3）解：△ABC是2倍角三角形，理由如下：
∵∠ACB=80°，
∴∠BCD=100°，
∵AE，CE分别是∠BAC，∠BCD的角平分线，
∴∠BAC=2∠EAC，∠DCE=12∠BCD=50°，
∴∠EAC=∠DCE−∠E=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠B=180°−∠BAC−∠BCA=40°，
∴∠BCA=2∠B，
∴△ABC是2倍角三角形；
（4）解：∵在△ABC中，∠A<∠B<∠C，若△ABC既可以是一个2倍角三角形，又可以是一个3倍角三角形，
∴当∠B=2∠A，∠C=3∠A时，∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+3∠A=180°，
∴∠A=30°；
当∠B=2∠A，∠C=3∠B时，同理可求得∠A=20°；
当∠B=3∠A，∠C=2∠B时，同理可求得∠A=18°；
综上所述，∠A的度数为18°或20°或30°；
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键．
28．（浙江省金华市义乌市稠州中学教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．
(1)若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM= ．
(2)若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．
(3)若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．（单位必须化成秒）
【答案】(1)30°
(2)67.5°
(3)△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与△DEF的一条边平行．
【分析】（1）利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）分别过点F，H作FL∥MN，HR∥PQ，利用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（3）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．
（1）
解：∵ED平分∠PEF，∠DEF=60°，
∴∠PEF=2∠DEF=2×60°=120°，
∵PQ∥MN，，
∴∠MFE=180°−∠PEF=60°，
∵∠DFE=30°，
∴∠DFM=∠MFE−∠DFE=30°．
故答案为：30°
（2）
解：如图3，分别过点F，H作FL∥MN，HR∥PQ，
∴∠LFA=∠BAC=45°，∠RHG=∠QGH，
∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，
∴FL∥PQ∥HR，，
∴∠QGF+∠GFL=180°，∠RHF=∠HFL=∠HFA−∠LFA，
∵∠DFE=30°，
∴∠GFA=180°−∠DFE=150°，
∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，
∴∠QGH=12∠FGQ,∠HFA=12∠GFA=75°，
∴∠RHF=∠HFL=∠HFA−∠LFA=75°−45°=30°，
∴∠GFL=∠GFA−∠LFA=150°−45°=105°，
∴∠QGF＝180°－∠GFL＝75°，
∴∠RHG=∠QGH=12∠FGQ=37.5°，
∴∠GHF=∠RHG+∠RHF=37.5°+30°=67.5°；
（3）
解：设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，
分三种情况：
当BC∥DE时，如图5，
此时AC∥DF，
∴∠CAE=∠DFE=30°，
3t=30，
解得：t=10；
②当BC∥EF时，如图6，
∵BC∥EF，
∴∠BAE=∠B=45°，
∴∠BAM=∠BAE+∠EAM=45°+45°=90°，
3t=90，
解得：t=30；
③当BC∥DF时，如图7，
延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，
∵∠DRM=∠EAM+∠DFE=45°+30°=75°，
∴∠BKA=∠DRM=75°，
∵∠ACK=180°−∠ACB=90°，
∴∠CAK=90°−∠BKA=15°，
∴∠CAE=180−∠EAM−∠CAK=180°−45°−15°=120°，
∴3t=120，
解得：t=40，
综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与△DEF的一条边平行．
【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．
29．（浙江省金华市义乌市稠州中学教育集团2021-2022学年七年级下学期6月月考数学试题）如图1，已知MN∥PQ,，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE，BE交于点E，∠CBN＝120°．
(1)若∠ADQ＝100°，求∠BED的度数；
(2)在图1中过点D作∠ADQ的角平分线与直线BE相交于点F，如图2，试探究∠DEB与∠DFE的关系；
(3)若改变线段AD的位置，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ＝n°，过点D作∠PDA的角平分线与直线BE相交于点G，求∠BED+∠DGE的和是多少度？（用含n的代数式表示）
【答案】(1)70°
(2)∠DEB+∠DFE＝90°
(3)∠BED+∠DGE＝330°﹣n°或∠BED+∠DGE＝90°
【分析】（1）如图1中，延长DE交MN于H．利用∠BED＝∠EHB+∠EBH，即可解决问题；
（2）根据角平分线以及邻补角的定义得∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝12（∠ADC+∠ADQ）＝90°，根据直角三角形的两锐角互余即可得出结论；
（3）分3种情形讨论即可解决问题．
（1）
解：如图1中，延长DE交MN于H．
∵∠ADQ＝100°，DE平分∠ADC，
∴∠PDH＝12∠PDA＝12（180°﹣100°）＝40°，
∵MN∥PQ,，
∴∠EHB＝∠PDH＝40°，
∵∠CBN＝120°，EB平分∠ABC，
∴∠EBH＝12∠ABC＝12（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝70°.
（2）
解：如图，
∵DE平分∠ADC，DF平分∠ADQ，
∴∠ADE＝12∠ADC，∠ADF＝12∠ADQ，
∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝12（∠ADC+∠ADQ）＝90°，
∴∠DEB+∠DFE＝90°.
（3）
解：分3种情形
如图，当点E在直线MN与直线PQ之间时．延长DE交MN于H．
∵PQ∥MN，
∴∠QDH＝∠DHA＝12∠ADQ＝12n°，
∴∠BED＝∠EHB+∠EBH＝180°﹣12n°+30°＝210°﹣12n°，
∵∠ADQ＝n°，DG平分∠PDA，
∴∠ADG＝12∠ADP，
∴∠GDH＝12∠ADP+12∠ADQ＝90°，
∴∠BED＝90°+∠DGE，
∴∠DGE＝210°﹣12n°﹣90°＝120°﹣12n°，
∴∠BED+∠DGE＝210°﹣12n°+120°﹣12n°＝330°﹣n°；
当点E在直线MN的下方时，如图，设DE交MN于H．
∵∠HBE＝∠ABG＝30°，∠ADH＝∠CDH＝12n°，
又∵∠DHB＝∠HBE+∠HEB，
∴∠BED＝12n°﹣30°，
∵∠GDH＝12∠ADP+12∠ADQ＝90°，
∴∠DGE＝90°﹣∠BED＝90°﹣（12n°﹣30°）＝120°﹣12n°，
∴∠BED+∠DGE＝12n°﹣30°+120°﹣12n°＝90°；
当点E在PQ上方时，
∵∠GDF＝12∠ADP+12∠ADQ＝90°，
∴∠DGE+∠BED＝90°，
综上所述，∠BED+∠DGE＝330°﹣n°或∠BED+∠DGE＝90°．
【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
30．（北京市第三十九中学2021一2022学年七年级下学期数学期中试卷）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．
(1)填空：∠BAN=______°；
(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB=120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．
【答案】(1)60
(2)30秒或110秒
(3)100或140
【分析】（1）设∠BAN=x°，则∠BAM=2x°，根据∠BAN+∠BAM=180°，可列出关于x的等式，解出x即可求解；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0（3）分类讨论①当0（1）
设∠BAN=x°，则∠BAM=2x°，
∵∠BAN+∠BAM=180°，即x°+2x°=180°，
∴x=60，
∴∠BAN=60°．
故答案为：60；
（2）
设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
由题意可知∠CAM=(2t)°，∠CAM=(t+30)°．
①当0∵PQ∥MN，
∴∠PBD=∠BDA．
∵AC∥BD，
∴∠CAM=∠BDA，
∴∠CAM=∠PBD．
∴2t=30+t，
解得 t=30；
②当90∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA=180°．
∵AC∥BD，
∴∠CAN=∠BDA，
∴∠PBD+∠CAN=180°．
∵∠CAM=(2t)°，
∴∠CAN=(2t−180)°，
∴30+t+2t−180=180，
解得 t=110．
综上所述，当30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）
设灯A射线转动时间为t秒，
①当0过点C作CK∥PQ，

∵PQ∥MN，
∴PQ∥MN∥CK，
∴∠CBP=∠BCK，∠CAN=∠ACK，
∴∠ACB=∠BCK+∠ACK=∠CBP+∠CAN，
∵∠CAN=(180−2t)°，∠CBP=t°，
又∵∠ACB=120°，
∴t+(180−2t)=120，
解得：t=60，
∴∠CAN=60°，此时AC与AB共线，不符合题意；
②当90则(2t−180)+t=120，
解得：t=100；
如图4中，当∠ACB=120°时，

同①可知∠ACB=∠MAC+∠QBC．
因为此时∠MAC=(360−2t)°，∠QBC=(180−t)°，
∴120=(360−2t)+(180−t)，
解得：t=140．
综上可知，t的值为100或140．
故答案为：100或140．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行公理及推论，一元一次方程的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．若AB∥CD，E为AB，CD之间一点，则有∠AEC+∠A+∠C=360°