2024年宁夏吴忠市高考数学联考试卷（文科）（一）(含解析）

这是一份2024年宁夏吴忠市高考数学联考试卷（文科）（一）(含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−2x≤0}，B={x|2x>3}，则A∩B=( )
A. (lg23,2]B. [0,lg23)C. [0,+∞)D. ⌀
2.若复数z满足z=i(1+2i)，则z在复平面上所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知直线m⊥平面α，则“直线n/​/α”是“n⊥m”的( )
A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4.某高中2022年的高考考生人数是2021年高考考生人数的1.5倍．为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2021年和2022年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：
下列结论正确的是( )
A. 该校2022年与2021年的本科达线人数比为6：5
B. 该校2022年与2021年的专科达线人数比为6：7
C. 2022年该校本科达线人数增加了80%
D. 2022年该校不上线的人数有所减少
5.如图，一个三棱柱的容器盛有水，水的体积是三棱柱体积的12，现将其侧面AA1B1B放置于水平地面，水面恰好经过底边AC上的点D，则ADCD的值为( )
A. 12
B. 22
C. 2+12
D. 2−1
6.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为( )
A. 13B. 38C. 12D. 58
7.函数f(x)=sinx2x+2−x在区间[−π,π]上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知sin(α+π4)=45，则sin2α=( )
A. 725B. 1225C. −725D. −1225
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S9=45，an−4=31，若Sn=198，则n=( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
10.已知f(x)=2x3−6x2+a(a为常数)在[−2,2]上有最大值3，则此函数f(x)在[−2,2]上的最小值是( )
A. −37B. −29C. −5D. −8
11.已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA⋅OB=6(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A. 17 28B. 3C. 3 38D. 3 132
12.已知f′(x)是函数f(x)的导数，且f(−x)=f(x)，当x≥0时，f′(x)>3x，则不等式f(x)−f(x−1)<3x−32的解集是( )
A. (−12,0)B. (−∞,−12)C. (12,+∞)D. (−∞,12)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a，b满足a=(4,0)，b=(m,1)，|a|=a⋅b，则a与b的夹角为______，
14.已知实数x，y满足约束条件2x−y+3≥0x+3y−2≥0x≤2，则z=3x+y的最小值为______．
15.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+an+1=4×3n−1，则S2024= ______．
16.在三棱锥P−ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，PA=PB=PC，E，F分别是PA，AB的中点，且CE⊥EF，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为______．
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在△ABC中，A=π3,b= 2，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
(Ⅰ)B的大小；
(Ⅱ)△ABC的面积．
条件①：b2+ 2ac=a2+c2；条件②：acsB=bsinA．
18.(本小题12分)
配速是马拉松运动中常使用的一个概念，是速度的一种，是指每公里所需要的时间，相比配速，把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略.图1是一个马拉松跑者的心率y(单位：次/分钟)和配速x(单位：分钟/公里)的散点图，图2是一次马拉松比赛(全程约42公里)前3000名跑者成绩(单位：分钟)的频率分布直方图．

(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程；
(2)该跑者如果参加本次比赛，将心率控制在160左右跑完全程，估计他跑完全程花费的时间，并估计他能获得的名次．
参考公式：线性回归方程y​=b​x+a​中，b =i=1n(xi−x)(yi−y) n(xi−x)2,a =y−b x．
参考数据：y−=135．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=λCD，点E在棱PC上，PA//平面EBD．
(1)试确定点E的位置，并说明理由；
(2)是否存在实数λ，使三棱锥E−BPD体积为43，若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−a+ax(a>0)．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处与x轴相切，求a的值；
(2)求函数f(x)在区间(1,e)上的零点个数．
21.(本小题12分)
设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=12，长轴为4，且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若OM⋅ON=−2，其中O为坐标原点，求直线l的斜率；
(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN//AB，判断|AB|2|MN|是否为定值？若是定值，请求出，若不是定值，请说明理由．
22.(本小题10分)
在直角坐标系xOy中，已知圆C1的参数方程为x=4csαy=4+4sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1的极坐标方程；
(2)若直线C2的极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)，设C2与C1的交点为O，Q，求△OC1Q的面积．
23.(本小题12分)
设函数f(x)=|2x−1|+|2x+1|．
(Ⅰ)求不等式f(x)<3的解集；
(Ⅱ)设a，b是两个正实数，若函数f(x)的最小值为m，且a+2b=m.证明： a+ 2b≤2．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={x|2x>3}={x|x>lg23}，
因为1所以A∩B=(lg23,2]．
故选：A．
先求出集合A，B中元素范围，再求交集即可．
本题主要考查集合的交集，属于中档题．
2.【答案】B
【解析】解：z=i(1+2i)=−2+i，
则z在复平面上所对应的点(−2,1)位于第二象限．
故选：B．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：当直线m⊥平面α时，
由“直线n/​/α”能推出“n⊥m”，是充分条件，
反之，“n⊥m”推不出“直线n/​/α”，比如n在α上，不是必要条件，
故直线n/​/α”是“n⊥m”的充分不必要条件．
故选：A．
根据充分必要条件的定义以及线面关系判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查线面关系，是基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
结合扇形统计图，逐一分析即可．
本题考查了对扇形统计图的理解与应用，考查灵活应用所学知识解答实际问题的能力，考查运算能力和数形结合思想，属于基础题．
【解答】
解：不妨设2021年的高考人数为100，则2022年的高考人数为150，
2021年本科达线人数为50，2022年本科达线人数为90，得2022年与2021年的本科达线人数比为9：5，本科达线人数增加了80%，故选项A不正确，选项C正确；
2021年专科达线人数为35，2022年专科达线人数为45，所以2022年与2021年的专科达线人数比为9：7，选项B错误；
2021年不上线人数为15，2022年不上线人数也是15，不上线的人数无变化，选项D错误．
故选C．
5.【答案】D
【解析】解：∵水的体积是三棱柱体积的12，∴阴影部分的体积V0=12VABC−A1B1C1，
又VABC−A1B1C1=S△ABC⋅BB1，则V0=S△CDE⋅BB1，
则S△CDE=12S△ABC，由题可知△ABC∽△DEC，
∴S△CDES△CAB=(CDAC)2=12，可得CDAC= 22，即CD= 22AC，
则AD=AC−CD=(1− 22)AC，
∴ADCD=(1− 22)AC 22AC= 2−1．
故选：D．
由已知可得S△CDE=12S△ABC，由相似三角形面积比与相似比的关系，可得CD= 22AC，得到AD=AC−CD=(1− 22)AC，作比得答案．
本题考查棱柱体积的求法，考查化归与转化、数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查古典概型，考查学生的运算能力，属于容易题．
根据题意，列出所有可能，结合古典概率，即可求解．
【解答】
解：甲、乙、丙三人投中与否所有情况为：(中、中、中)，(中、中、不中)，(不中、不中、不中)，
(中、不中、中)，(中、不中、不中)，(不中、中、中)，(不中、中、不中)，(不中、不中、中)，共8种，
其中至多有一人投中的情况有4种，
故所求概率为：48=12．
故选C．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和函数值的符号，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．
先判断函数的奇偶性和对称性，然后判断当00，利用排除法进行判断即可．
【解答】
解：f(−x)=−sinx2−x+2x=−f(x)，则f(x)是奇函数，排除C，D，
当00，则f(x)>0，排除B，
故选：A．
8.【答案】A
【解析】解：因为sin(α+π4)=45，则cs(2α+π2)=1−2sin2(α+π4)=1−2×(45)2=−725，
所以sin2α=−cs(2α+π2)=725．
故选：A．
由题意，根据sin2α=−cs(2α+π2)，结合二倍角公式和诱导公式即可求解．
本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】【分析】
等差数列{an}的前n项和为Sn，S9=45，an−4=31，Sn=198，利用通项公式与求和公式即可得出9a1+9×82d=45，a1+(n−5)d=31，198=na1+n(n−1)2d，联立解出即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】
解：等差数列{an}的前n项和为Sn，S9=45，an−4=31，Sn=198，
∴9a1+9×82d=45，a1+(n−5)d=31，198=na1+n(n−1)2d，
联立解得n=11，d=13，a1=−47．
故选：B．
10.【答案】A
【解析】解：函数的导数为f′(x)=6x2−12x=6x(x−2)，
由f′(x)>0得x>2或x<0，此时函数递增，
由f′(x)<0得0∵x∈[−2,2]，
∴函数在[−2,0]上递增，则[0,2]上递减，
则函数的最大值为f(0)=a=3，
则f(x)=2x3−6x2+3，
∵f(2)=2×23−6×22+3=−5，
f(−2)=2×(−2)3−6×(−2)2+3=−37，
∴当x=−2时，函数取得最小值为−37，
故选：A．
求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出a，即可求出函数的最小值．
本题主要考查函数最值的求解，求函数的导数，利用导数研究函数在闭区间上的最值是解决本题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，
点A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB与x轴的交点为M(m,0)，
x=ty+m代入y2=x，
可得y2−ty−m=0，
根据韦达定理有y1⋅y2=−m，
∵OA⋅OB=6，
∴x1⋅x2+y1⋅y2=6，从而(y1⋅y2)2+y1⋅y2−6=0，
∵点A，B位于x轴的两侧，
∴y1⋅y2=−3，故m=3．
不妨令点A在x轴上方，则y1>0，
又F(14,0)，
∴S△ABO+S△AFO=12×3×(y1−y2)+12×14y1=138y1+92y1
≥2 9×1316=3 132，
当且仅当138y1=92y1，即y1=6 1313时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3 132，
故选：D．
先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及OA⋅OB=6消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．
求解本题时，应考虑以下几个要点：
1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．
2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．
3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．
12.【答案】D
【解析】解：设g(x)=f(x)−32x2，则g′(x)=f′(x)−3x，
因为当x≥0时，f′(x)>3x，所以当x≥0时，g′(x)>0，
即g(x)在[0,+∞)上单调递增，
因为f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，
则g(x)也是偶函数，
因为f(x)−f(x−1)<3x−32，
所以f(x)−32x2即g(x)则|x|<|x−1|，解得x<12，
故选：D．
设g(x)=f(x)−32x2，根据函数的单调性和奇偶性得到g(x)本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查转化思想，是中档题．
13.【答案】π4
【解析】解：∵a=(4,0),b=(m,1)，
∴|a|=a⋅b⇒4=4m⇒m=1，
∴b=(1,1)，
∴cs=a⋅b|a|⋅|b|=44× 12+12= 22，
又因为0<<π，
∴a,b的夹角为π4，
故答案为：π4．
根据条件可得m的值，从而求得b的坐标，由夹角公式计算可得结果．
本题考查了平面向量数量积的性质以及运算，属于基础题．
14.【答案】−2
【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示，
将z=3x+y化为y=−3x+z，
则由图可得当直线y=−3x+z经过点A时，z取得最小值，
所以联立2x−y+3=0x+3y−2=0，得A(−1,1)，
所以zmin=−3+1=−2．
故答案为：−2．
画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出．
本题考查简单线性规划知识，属于基础题．
15.【答案】32024−12
【解析】解：由a1=1，an+an+1=4×3n−1，
可得a1+a2=4×30=4，a3+a4=4×32，…，a2023+a2024=4×32022，
所以S2024=4×30+4×32+…4×32022=4×(30+32+…32022)=4×1−(32)10121−32=32024−12．
故答案为：32024−12．
由题意可令n=1，3，5，…，2023，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查数列的递推式和等比数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】6π
【解析】解：取AC的中点N，连接PN，BN，
因为△ABC是边长为2的正三角形，PA=PC，
所以PN⊥AC，BN⊥AC，
因为PN∩BN=N，PN，BN⊂平面BPN，
所以AC⊥平面BPN，
因为BP⊂平面BPN，
所以AC⊥BP，
因为E，F分别是PA，AB的中点，所以EF是△ABP的中位线，
故EF//PB，
因为CE⊥EF，所以CE⊥PB，
因为CE，AC⊂平面PAC，CE⋂AC=C，
所以PB⊥平面PAC，
因为PA，PC⊂平面PAC，
所以PB⊥PA，PB⊥PC，
因为AB=BC=2，PA=PB=PC，
由勾股定理得PA=PB=PC= 2，
因为AC=2，所以PA2+PC2=AC2，
由勾股定理逆定理可得PA⊥PC，
所以PA，PB，PC两两垂直，
故棱锥P−ABC外接球即为以PA，PB，PC为长，宽，高的长方体的外接球，
设外接球半径为R，
则2R= PA2+PB2+PC2= 6，解得R= 62，
则三棱锥P−ABC外接球的表面积为4πR2=6π．
故答案为：6π．
作出辅助线，证明出PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥外接球转化为以PA，PB，PC为长，宽，高的长方体的外接球，进而求出外接球半径和表面积．
本题考查三棱锥的外接球问题，线面垂直的判定定理，化归转化思想，属中档题．
17.【答案】解：选择条件①：b2+ 2ac=a2+c2，
(Ⅰ)由b2+ 2ac=a2+c2，得a2+c2−b2= 2ac，
所以csB=a2+c2−b22ac= 2ac2ac= 22；
又B∈(0,π)，
所以B=π4；
(Ⅱ)由正弦定理知asinA=bsinB，
所以a=bsinAsinB= 3；
所以sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB= 32× 22+12× 22= 6+ 24，
所以△ABC的面积为S△ABC=12absinC=12× 3× 2× 6+ 24=3+ 34．
选择条件②：acsB=bsinA．
(Ⅰ)由正弦定理得asinA=bsinB，
所以asinB=bsinA；
又acsB=bsinA，
所以sinB=csB，
所以tanB=1；
又B∈(0,π)，
所以B=π4；
(Ⅱ)由正弦定理知asinA=bsinB，
所以a=bsinAsinB= 3；
所以sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB= 32× 22+12× 22= 6+ 24，
所以△ABC的面积为S△ABC=12absinC=12× 3× 2× 6+ 24=3+ 34．
【解析】选择条件①时：(Ⅰ)利用余弦定理求出csB和B的值；
(Ⅱ)由正弦定理求出a的值，再利用三角形内角和定理求出sinC，计算△ABC的面积．
选择条件②时：(Ⅰ)由正弦定理求出tanB和B的值；
(Ⅱ)由正弦定理求出a的值，再利用三角形内角和定理求出sinC，计算△ABC的面积．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)由散点图中数据和参考数据得，x−=4.5+5+6+7+7.55=6，y−=135，
b =i=15(xi−x−)(yi−y−)i=15(xi−x−)2=−1.5×36+(−1)×30+0×(−5)+1×(−26)+1.5×(−35)(−1.5)2+(−1)2+02+12+1.52=−25，
a =y−−b x−=135−(−25)×6=285．
∴y关于x的线性回归方程为y =−25x+285；
(2)将y=160代入y =−25x+285，得x=5．
∴该跑者跑完马拉松全程所花时间为42×5=210分钟．
从马拉松比赛的频率分布直方图可知成绩好于210分钟的累计频率为：
0.0008×50+0.0024×(210−200)=0.064，有6.4%的跑者成绩超过该跑者．
则该跑者在本次比赛获得名次大约是0.064×3000=192名．
【解析】(1)由已知求得b​与a​的值，可得y关于x的线性回归方程；
(2)将y=160代入y =−25x+285求得x值，乘以42可得该跑者跑完马拉松全程所花时间；从马拉松比赛的频率分布直方图可知成绩好于210分钟的累计频率，乘以3000得结论．
本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：(1)点E是PC的中点，理由如下：

连接AC，交BD于点O，连结OE，
∵底面ABCD是正方形，AC、BD相交于点O，
∴O是AC的中点，
∵PA/​/平面EBD，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BDE=OE，∴PA/​/OE，
∵△APC中，O是AC的中点，∴E是PC的中点．
(2)∵E为PC中点，∴VE−BPD=12VC−BPD=12VP−DBC．
∴若VE−BPD=43，则VP−DBC=83，
∵PD⊥底面ABCD，PD=λCD=2λ，S△BCD=12×2×2=2，
∴VP−DBC=13⋅S△BCD⋅2λ=13×2×2λ=83，解得λ=2．
∴存在λ=2，使三棱锥E−BPD体积为43．
【解析】(1)连接AC，交BD于点O，连结OE，推导出O是AC的中点，PA/​/OE，由此能证明E是PC的中点．
(2)由E为PC中点，得VE−BPD=12VC−BPD=12VP−DBC.若VE−BPD=43，则VP−DBC=83，由此能求出存在λ=2，使三棱锥E−BPD体积为43．
本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、三棱锥体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)由题意得f(x)=lnx−a+ax(a>0)定义域为(0,+∞)，
f′(x)=1x−ax2=x−ax2，
因为y=f(x)在点(1,f(1))处与x轴相切，且f(1)=0，
所以f′(1)=1−a=0，解得a=1.经检验a=1符合题意．
(2)由(1)知f′(x)=x−ax2，令f′(x)=0，得x=a，
当xa时，f′(x)>0，
(i)当00，函数f(x)在区间(1,e)上单调递增，
所以f(x)>f(1)=0，所以函数f(x)在区间(1,e)上无零点；
(ii)当10．
函数f(x)在区间(1,a)上单调递减，在区间(a,e)上单调递增，
且f(1)=0，则f(a)当f(e)=1−a+ae>0，即1当f(e)=1−a+ae≤0时，即当ee−1≤a(iii)当a≥e时，x∈(1,e)，f′(x)<0，函数f(x)在区间(1,e)上单调递减．
所以f(x)综上：当0当1【解析】(1)求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；
(2)由f′(x)=0，求得x=a，分类讨论x=a与(1,e)的位置关系，结合函数的单调性，以及零点存在定理，即可判断出函数的零点个数．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得2a=4e=ca=12b2=a2−c2，解得a2=4，b2=3，
所以椭圆C的标准方程为：x24+y23=1；
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得右焦点F2(1,0)，
(i)当直线l的斜率为0时，则直线l的方程为y=0，代入椭圆的方程可得x2=4，即x=±2，
设M(−2,0)，N(2,0)，则OM⋅ON=−4≠−2，所以可得直线l的斜率不为0，
(ii)斜率不为0时，设直线l的方程为：x=my+1，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立x=my+13x2+4y2=12，整理可得：(4+3m2)y2+6my−9=0，
因为F2在椭圆内部，显然Δ>0，y1+y2=−6m4+3m2，y1y2=−94+3m2，x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=−9m24+3m2+−6m24+3m2+1=4−12m24+3m2，
所以OM⋅ON=x1x2+y1y2=−94+3m2+4−12m24+3m2=−2，
整理可得：m2=12，解得m=±1 2，
即直线l的斜率k=1m=± 2；
(Ⅲ)(i)当直线AB的斜率为0时，则|AB|=|MN|=2a=4，
可知|AB|2|MN|=424=4；
(ii)当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x=my，代入椭圆的方程，可得(4+3m2)y2=12，
所以y2=124+3m2，x2=m2y2=12m23+4m2，
所以|AB|2=4|OA|2=4(xA2+yA2)=48(1+m2)4+3m2，
因为MN//AB，所以直线MN的方程为x=my+!，
由(Ⅱ)可得|MN|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2= 1+m2⋅ 36m2(4+3m2)2−4⋅−94+3m2=12(1+m2)4+3m2，
所以|AB|2|MN|=48(1+m2)4+3m212(1+m2)4+3m2=4，
综上所述：|AB|2|MN|为定值4．
【解析】(Ⅰ)由离心率的中及长轴的大小，再由a，b，c之间的关系，求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；
(Ⅱ)分类讨论直线l的斜率为0和不为0两种情况，设直线l的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，进而求出数量积OM⋅ON的表达式，由题意可得参数的值，即求出直线l的斜率；
(Ⅲ)分直线AB的斜率为0和不为0两种情况讨论，设直线AB的方程，与椭圆的方程联立，可得|AB|的表达式，由题意设直线MN的方程，由(Ⅱ)可得|MN|的表达式，进而求出|AB|2|MN|为定值．
本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为圆C1的参数方程为x=4csαy=4+4sinα(α为参数)，
则其直角坐标方程为C1：x2+(y−4)2=16，
即x2+y2−8y=0．
因为x=ρcsθ，y=ρsinθ，
故C ​1的极坐标方程为ρ2−8ρsinθ=0，整理得ρ=8sinθ．
(2)因为C2的极坐标方程为θ=π3，代入C1的极坐标方程中，得ρ=8sinπ3=4 3，则△OC1Q的高为2．
则△OC1Q的面积为12|PQ|⋅h=12×4 3×2=4 3．
【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；
(2)利用三角形的面积公式求出结果．
本题考查的知识点：参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
23.【答案】解：(I)当x≥12时，f(x)=2x−1+2x+1=4x<3，解得x<34，
所以12≤x<34，
当−12所以−12当x≤−12时，f(x)=1−2x−1−2x=−4x<3，解得x>−34，
所以−34综上所述，不等式f(x)<3的解集为[−34,34]．
(II)证明：f(x)=|2x−1|+|2x+1|≥|2x−1−2x−1|=2，当且仅当(2x−1)(2x+1)≤0等号成立，
所以m=2，即a+b=2，
由柯西不等式可得，(a+2b)(1+1)≥( a+ 2b)2，当且仅当a=2b，即a=43，b=23时，等号成立，
即 a+ 2b≤2．
【解析】(I)根据已知条件，分x≥12，−12(II)根据条件，结合绝对值三角不等式，以及柯西不等式，即可求证．
本题主要考查不等式的证明，掌握柯西不等式是解本题的关键，属于中档题．