专题17 圆锥曲线常考压轴小题全归类（16大题型）（练习）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题17 圆锥曲线常考压轴小题全归类
目 录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc156908770" 01 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线 PAGEREF _Tc156908770 \h 2
\l "_Tc156908771" 02 蒙日圆 PAGEREF _Tc156908771 \h 3
\l "_Tc156908772" 03 阿基米德三角形 PAGEREF _Tc156908772 \h 3
\l "_Tc156908773" 04 仿射变换问题 PAGEREF _Tc156908773 \h 4
\l "_Tc156908774" 05 圆锥曲线第二定义 PAGEREF _Tc156908774 \h 5
\l "_Tc156908775" 06 焦半径问题 PAGEREF _Tc156908775 \h 5
\l "_Tc156908776" 07 圆锥曲线第三定义 PAGEREF _Tc156908776 \h 6
\l "_Tc156908777" 08 定比点差法与点差法 PAGEREF _Tc156908777 \h 6
\l "_Tc156908778" 09 切线问题 PAGEREF _Tc156908778 \h 7
\l "_Tc156908779" 10 焦点三角形问题 PAGEREF _Tc156908779 \h 8
\l "_Tc156908780" 11 焦点弦问题 PAGEREF _Tc156908780 \h 8
\l "_Tc156908781" 12 圆锥曲线与张角问题 PAGEREF _Tc156908781 \h 9
\l "_Tc156908782" 13 圆锥曲线与角平分线问题 PAGEREF _Tc156908782 \h 9
\l "_Tc156908783" 14 圆锥曲线与通径问题 PAGEREF _Tc156908783 \h 10
\l "_Tc156908784" 15 圆锥曲线的光学性质问题 PAGEREF _Tc156908784 \h 10
\l "_Tc156908785" 16 圆锥曲线与四心问题 PAGEREF _Tc156908785 \h 11
01 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
1．（2024·江西赣州·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·高三专题练习）已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线，若为，的交点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
3．（2024·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值，且的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法错误的是（ ）
A．的方程为
B．当三点不共线时，则
C．在C上存在点M，使得
D．若，则的最小值为
02 蒙日圆
4．（2024·青海西宁·统考）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·陕西西安·长安一中校考）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·江西·统考模拟预测）定义：圆锥曲线的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆的方程为，是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于、两点，是坐标原点，连接，当为直角时，则（ ）
A．或B．或C．或D．或
03 阿基米德三角形
7．（2024·陕西铜川·统考）古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为，，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
①椭圆的标准方程可以为 ②若，则
③存在点，使得 ④的最小值为
A．①③B．②④C．②③D．①④
8．（2024·河北·校联考）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物线，过焦点的弦的两个端点的切线相交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．点必在直线上，且以为直径的圆过点
B．点必在直线上，但以为直径的圆不过点
C．点必在直线上，但以为直径的圆不过点
D．点必在直线上，且以为直径的圆过点
9．（2024·青海西宁·统考）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的斜率之积为定值．设抛物线，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
04 仿射变换问题
10．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆，分别为椭圆左右焦点，过作两条互相平行的弦，分别与椭圆交于四点，若当两条弦垂直于轴时，点所形成的平行四边形面积最大，则椭圆离心率的取值范围为 .
11．（2024·江苏·高二专题练习）已知椭圆左顶点为，为椭圆上两动点，直线交于，直线交于，直线的斜率分别为且， （是非零实数），求 .
12．（2024·全国·高三专题练习）如图，作斜率为的直线与椭圆交于 两点，且在直线的上方，则△内切圆的圆心所在的定直线方程为 ．
05 圆锥曲线第二定义
13．（2024·四川眉山·校考模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（ ）
A．2B．C．D．4
15．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆=1内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|取得最小值，则点M坐标为（ ）
A．B．，
C．D．，
16．（2024·山东济宁·统考）过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C.若，则线段BC的中点到准线的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
06 焦半径问题
17．（2024·安徽·高二统考期末）过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于（ ）
A．2B．C．D．
18．（2024·全国·高三专题练习）长为11的线段AB的两端点都在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（ ）
A．B．C．D．
19．（2024·全国·高三专题练习）抛物线的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（ ）
A．m＋n＝mnB．m＋n＝4C．mn＝4D．无法确定
20．已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
07 圆锥曲线第三定义
21．（2024·贵州贵阳·高三统考期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若的中点的纵坐标为2，则等于（ ）
A．4B．6C．8D．10
22．（2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考开学考试）过椭圆上一点作圆的切线，且切线的斜率小于，切点为，交椭圆另一点，若是线段的中点，则直线的斜率（ ）
A．为定值B．为定值C．为定值D．随变化而变化
23．（2024·陕西咸阳·统考）已知双曲线上存在两点，关于直线对称，且线段的中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）．
A．B．C．2D．
08 定比点差法与点差法
24．（2024·浙江温州·高三温州中学校考阶段练习）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线PA，PB，斜率分别为，.若为定值，则（ ）
A．B．C．D．
25．（2024·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考期末）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．，或
26．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
27．（2024·全国·高三专题练习）设、分别为椭圆的左、右焦点，点A、在椭圆上，若，则点A的坐标是 ．
09 切线问题
28．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知O为坐标原点，点P在标准单位圆上，过点P作圆C：的切线，切点为Q，则的最小值为 ．
29．（2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线为：，设点为上的一个动点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点，则的最小值为 ．
30．（2024·山东潍坊·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过上一点（异于原点）作的切线，与轴交于点．若，，则 ．
31．（2024·全国·高三专题练习）过椭圆上一动点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的取值范围为 .
10 焦点三角形问题
32．（2024·河北张家口·高二张家口市第四中学校考阶段练习）已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
33．（2024·全国·高三专题练习）已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切x轴于点M，则的值为（ ）
A．B．C．D．
34．（2024·江西宜春·上高二中校考模拟预测）已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11 焦点弦问题
35．（2024·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，若，是线段的三等分点，的周长为，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
36．（2024·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考期末）设双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，下列说法正确的是（ ）
A．若为直角三角形，则的周长是
B．若为直角三角形，则的面积是6
C．若为锐角三角形，则的取值范围是
D．若为钝角三角形，则的取值范围是
12 圆锥曲线与张角问题
37．（2024·山东枣庄·统考）设、是椭圆：的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是
A．B．
C．D．
38．（2024·辽宁朝阳·高二统考期末）设分别为椭圆的左､右焦点，点是椭圆上异于顶点的两点，，则 ，若点还满足，则的面积为 .
39．（2024·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考阶段练习）已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，过点且斜率为k的直线与圆交于A，B两点（点B在x轴上方），线段与椭圆交于点M，延长线与椭圆交于点N，且，则椭圆的离心率为 ，直线的斜率为 ．
13 圆锥曲线与角平分线问题
40．（2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知抛物线上横坐标为4的点到抛物线焦点的距离为，点是抛物线上的点，为坐标原点，的平分线交抛物线于点，且，都在轴的上方，则直线的斜率为 .
41．（2024·重庆万州·统考模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是C在第一象限上的一点，且直线的斜率为，的平分线交x轴于点A，点B满足，，则双曲线C的渐近线方程为 ．
42．（2024·黑龙江·黑龙江实验中学校考）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点是双曲线上的任意一点，满足，的平分线与相交于点，则分所得的两个三角形的面积之比 .
43．（2024·湖南·高三长郡中学校联考阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点是椭圆上的任意一点，满足的平分线与相交于点，则分所得的两个三角形的面积之比 .
44．（2024·全国·高三专题练习）已知点是椭圆：上异于顶点的动点，，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为的中点，的平分线与直线交于点，则四边形的面积的最大值为 .
14 圆锥曲线与通径问题
45．已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于两点，为的准线上一点，则的面积为（ ）
A．18B．24C．36D．48
46．以轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
47．（2024·贵州黔东南·统考）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于(、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为3，则双曲线的通径为 .
15 圆锥曲线的光学性质问题
48．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则 ．
49．（2024·山东青岛·统考）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于点、，直线为在点处的切线，点关于的对称点为.由椭圆的光学性质知，、、三点共线.若，，则 .
50．（2024·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆的左、右焦点为,，P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为，，若，则椭圆的离心率为 ．
16 圆锥曲线与四心问题
51．（2024·海南海口·校考模拟预测）已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且 ，若为的内心，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
52．（2024·江西·校联考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，，分别为的重心和内心，则（ ）
A．B．C．2D．
53．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知的三个顶点均在抛物线上，则下列命题正确的有（ ）
A．若直线BC过点，则存在点A使为直角三角形；
B．若直线BC过点，则存在使抛物线的焦点恰为的重心；
C．存在，使抛物线的焦点恰为的外心；
D．若边AC的中线轴，，则的面积为
54．（多选题）（2024·福建三明·统考）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂