四川省凉山州2024届高三二诊理科数学试题及答案

这是一份四川省凉山州2024届高三二诊理科数学试题及答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A．B．1C．D．2
2．已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知在抛物线上，则到的焦点的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，且，则在的展开式中，的系数为（ ）
A．5B．10C．15D．20
5．已知命题“，”是假命题，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，凉山州某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共5个题目，每位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知正数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．若曲线在处的切线与圆C：交于A，B两点，则为（ ）
A．B．C．D．
9．若实数x，y满足不等式，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．已知在三棱锥中，，，底面是边长为1的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
11．若，，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
12．已知点是曲线上任意一点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．设等差数列的前n项和为，若，，则 ．
14．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则 ．
15．如图，在平行四边形中，E，F分别是AD，CD的中点，且，，，则平行四边形的面积为 ．

16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，．点A在C上，点B在y轴．，，则C的渐近线方程为 ．
三、解答题
17．设等比数列的前n项和为，，．
(1)求；
(2)设，求数列的前n项和．
18．常言道：文史不分家，其实数学与物理也不分家．“近代物理学之父”——牛顿大约在1671年，完成了《流数法和无穷级数》这部书，标志着微积分的正式创立．某学校课题小组针对“高中学生物理学习成绩与数学学习成绩的关系”进行了一系列的研究，得到了高中学生两学科的成绩具有线性相关的结论．现从该校随机抽取6名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表（单位：分）
(1)经过计算，得到学生的物理学习成绩x与数学学习成绩y满足回归方程．若某位学生的物理成绩为95分，请预测他的数学成绩；
(2)若要从抽取的这6名学生中随机选出3名学生参加一项问卷调查，记数学成绩不低于100分的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面，，是的中点，作交于．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的正切值．
20．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到：椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积．已知是椭圆C：的左焦点，且椭圆C的面积为，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点，，以为直径的圆与椭圆C在x轴上方交于M，N两点，求的值
21．已知函数．
(1)若函数在R上是增函数，求a的取值范围；
(2)设，若，证明：．
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
(1)求曲线C的普通方程与直线的直角坐标方程；
(2)若与直线垂直的直线交曲线C于A，B两点，求的最大值．
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若函数的最小值为m，且正数a，b，c满足，求的最小值．
物理成绩x
63
68
74
76
85
90
数学成绩y
90
95
110
110
125
130
参考答案：
1．B
【分析】
根据给定条件，利用共轭复数及复数除法运算，再求出复数的模.
【详解】复数，则，，
所以.
故选：B
2．B
【分析】
求出函数值域化简集合A，再利用给定的运算结果，借助包含关系求解即得.
【详解】集合，而，
由，得，则，
所以的取值范围为.
故选：B
3．D
【分析】
由抛物线上点可求得，从而得到准线方程，结合抛物线定义可得结果.
【详解】在抛物线上，，解得：，抛物线准线方程为：，
由抛物线定义知：点到的焦点的距离为.
故选：D.
4．B
【分析】
先根据正态分布的对称性求出，在利用二项式定理求的系数.
【详解】因为，且，
则，得，
则，其含的项为，
即的系数为.
故选：B.
5．B
【分析】
写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可.
【详解】命题“，”是假命题，
则“，”是真命题，
所以有解，
所以，
又，
因为，所以，
即.
故选：B.
6．D
【分析】
根据分步计算原理得到总情况数，再利用排列公式得到满足题意的情况数，最后利用古典概率的计算公式即可.
【详解】甲同学可以选择一个题目共有5种选法，同理，乙、丙也有5种选法，
由分步乘法计数原理，3人到四个社区参加志愿服务共有种选法；
若甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目，共有种选法；
则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为.
故选：D.
7．C
【分析】
先求出得到，然后代入，利用基本不等式求最值即可.
【详解】，则，
则，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C.
8．D
【分析】
根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线的方程，再利用圆的弦长公式计算即得.
【详解】由，求导得，依题意，切线的斜率为，方程为，即，
圆C：的圆心，半径，
点到直线的距离，
所以.
故选：D
9．A
【分析】
画出不等式表示的平面区域，同时画出，根据面积关系求概率.
【详解】，作出其表示的平面区域如下图阴影部分：
，
则的概率为.
故选：A.
10．B
【分析】
根据给定条件，证得平面，再确定三棱锥外接球球心，并求出球半径及表面积.
【详解】在三棱锥中，，，正的边长为1，
则，即有，同理，而平面，
于是平面，令正的外心为，三棱锥外接球球心为，
则平面，显然球心在线段的中垂面上，取的中点，则，
而，则四边形是矩形，，
所以球半径，表面积.
故选：B
11．C
【分析】
求导，研究函数单调性，极值，画图，根据图象得零点个数.
【详解】,
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，，，，
则的草图如下：
由图象可得函数的零点个数为.
故选：C.
12．D
【分析】
判断直线与曲线的位置关系，利用式子表示的几何意义，转化为点与点确定的直线同直线夹角正弦最值求解即可.
【详解】依题意，，令直线，显然过点，
由，得，显然，
即直线与曲线相离，且，则曲线上的点在直线上方，
过作于，则，而，
因此，
令过点的直线与曲线相切的切点为，由，求导得，
则此切线斜率，解得，即切点为，
而点在曲线的对称轴上，曲线在过点的两条切线所夹含原点的区域及内部，
当点的坐标为时，锐角最大，最大，最大，
此时，，
所以的最大值为.
故先：D
【点睛】
关键点点睛：涉及导数的几何意义的问题，求解时应把握导数的几何意义是函数图象在切点处的切线斜率，切点未知，设出切点是解题的关键.
13．27
【分析】
根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再求出的值.
【详解】等差数列中，由，得，解得，而，则，
于是数列的公差，，
所以.
故答案为：27
14．
【分析】
根据给定等式，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式计算即得.
【详解】在中，由及正弦定理得：，
而，
则，
整理得，即，
又，因此，而，所以.
故答案为：
15．
【分析】
延长与的延长线交于，求出的面积，并探讨与面积的关系即可求出结果.
【详解】在中，延长与的延长线交于，连接，由E，F分别是AD，CD的中点，
得，则，
由，得是的中点，且，
，
，于是，
所以的面积.
故答案为：

16．
【分析】
先通过向量的运算得到，设，然后利用勾股定理得到，然后在直角三角形和三角形中同时表示，然后列方程求即可.
【详解】由得，即，
所以，设，
则由得共线，且，
又，所以，
在直角三角形中，，
所以，解得，
所以，，，
所以，
又，
整理得，
所以，即，所以，
即C的渐近线方程为.
故答案为：.
17．(1)；
(2).
【分析】
（1）根据给定条件，求出数列的公比即可求出通项公式.
（2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得.
【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得，
则，即，
而，因此，解得，
所以.
（2）
由（1）知，，则，
则，
于是，
两式相减得，
即.
18．(1)；
(2)分布列见解析，2.
【分析】
（1）根据给定条件，求出样本点中心，再求出并作出预测.
（2）求出X的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望.
【详解】（1）
依题意，，，
于是，解得，因此，当时，，
所以物理成绩为95分，预测他的数学成绩为.
（2）
依题意，数学学习成绩低于100分的有2人，数学学习成绩不低于100分的有4人，
因此X的可能值为1，2，3，
，，
所以X的分布列为
数学期望.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）连接交于点，由中位线性质可得，根据线面平行的判定可得结论；
（2）由面面垂直性质可得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令，结合可构造方程求得，进而得到点坐标，利用二面角的向量求法可求得余弦值，进而得到正切值.
【详解】（1）连接交于点，连接，

四边形为正方形，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面.
（2），平面平面，平面平面，平面，
平面，又，
以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，
，，，
设，则，，
，，解得：，
，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
轴平面，平面的一个法向量，
由图形可知：二面角为锐二面角，设其为，
则，，
即二面角的正切值为.
20．(1)
(2)
【分析】
（1）由题意可得出：，解方程求出，即可得出答案.
（2）求出以为直径的圆的方程，联立椭圆的方程得到，表示出，将韦达定理代入即可得出答案.
【详解】（1）由题意可得出：，解得：，
所以椭圆C的标准方程为：.
（2）因为，，
所以以为直径的圆的方程为，
即，
设，则由，
得：，
所以，
又
，
同理，，
所以
.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
21．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】
（1）根据给定条件，利用导数结合单调性，列出不等式求解即得.
（2）由（1）的信息可得，利用分析法推理变形，构造函数并利用导数证明即得.
【详解】（1）
函数，求导得，
依题意，对任意实数，恒成立，而，
因此，解得：，
所以的取值范围为.
（2）函数的定义域为，
由，得，
由（1）知，函数在上是增函数，
不妨令，则，即，
亦即，则，
于是，则，
下面证明：，即证：，即证：，
令，即证：，设，
求导得，则函数在上单调递减，
于是，即，所以.
【点睛】
思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.
22．(1)；
(2)
【分析】
（1）将曲线C的参数方程中的参数消去即可得普通方程，利用可将极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）设直线方程为，然后与椭圆方程联立，利用弦长公式及韦达定理求 最值.
【详解】（1）对于曲线C的参数方程，则，
又，
所以，
即曲线C的普通方程为；
又根据，
可得，
即直线的直角坐标方程为；
（2）设与直线垂直的直线方程为，，
联立，消去得，
则，解得，
则，
当时，取最大值.
23．(1)；
(2).
【分析】
（1）结合对数函数单调性，利用公式法解含绝对值符号的不等式即得.
（2）由绝对值的三角不等式求出，再利用柯西不等式求出最小值即可.
【详解】（1）
依题意，，解得，
所以不等式的解集为.
（2）依题意，函数，而，当且仅当时取等号，
因此当时，函数取得最小值，即，
所以
，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
1
2
3