2023-2024学年河北省沧州市泊头一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省沧州市泊头一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知i是虚数单位，则的虚部为（ ）
A．2B．2iC．1D．i
2．已知向量，满足|+|＝2，•＝2，则|﹣|＝（ ）
A．8B．4C．2D．1
3．欧位在1748年给出的著名公式eiθ＝csθ+isinθ（欧拉公式）是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e＝2.71828…，根据欧拉公式eiθ＝csθ﹣isinθ．任何一个复数z＝r（csθ+isinθ）都可以表示成z＝reiz的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z1＝2ei，z2＝ei，则复数z＝在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′如图所示，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
A．ABB．ADC．BCD．AC
5．已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，bc＝6，则b+c＝（ ）
A．9B．8C．5D．4
6．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
7．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若+＝2c，则△ABC是（ ）
A．等边三角形B．锐角三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝b＝5，c＝8，I是△ABC内切圆的圆心，若＝x+y，则x+y的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．已知向量＝（﹣6，3），＝（2，t），则下列说法不正确的是（ ）
A．当＝（﹣4，4）时，t＝﹣1
B．当时，t＝4
C．与夹角为钝角时，则t的取值范围为（﹣∞，4）
D．当t＝2时，在上的投影向量为
（多选）10．若复数z满足|z﹣1﹣i|＝1，则|z+2+3i|可能为（ ）
A．2B．4C．6D．8
（多选）11．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在向量上的投影向量为
C．若，则P为ED的中点
D．若P在线段BC上，且，则x+y的取值范围为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，第13题第一空2分，第二空3分）
12．设z∈C，且，其中i为虚数单位，则的模为 ．
13．已知向量，，，＝ ；在上的投影向量的坐标为 ．
14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．如图所示，△OBC中，点A为BC中点，点D是线段OB上靠近点B的一个三等分点，CD，OA相交于点E，设＝，＝．
（1）用，表示，；
（2）若＝λ，求λ．
16．已知复数z＝1+i（i是虚数单位）是方程x2﹣px+q＝0的根，其中p，q是实数．
（1）求p和q的值；
（2）若（p+qi）•（m2+2mi）是纯虚数，求实数m的值．
17．已知，，在同一平面内，且＝（1，2）．
（1）若||＝3，且∥，求；
（2）若||＝，且（+2）⊥（﹣），求与的夹角的余弦值．
18．（17分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b＝acsC+csinA．
（1）求A的大小；
（2）若csB＝，BC＝5，＝，求CD的长．
19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs2B+cs2C﹣cs2A＝1．
（1）求A；
（2）若bc＝2，设点P为△ABC的费马点，求；
（3）设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|＝t|PA|，求实数t的最小值．
参考答案
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知i是虚数单位，则的虚部为（ ）
A．2B．2iC．1D．i
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
解：＝＝1+2i，其虚部为2．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
2．已知向量，满足|+|＝2，•＝2，则|﹣|＝（ ）
A．8B．4C．2D．1
【分析】根据数量积的运算可得到，进而求出的值，从而得出的值．
解：
＝
＝4；
∴．
故选：C．
【点评】考查数量积的运算，求而求的方法．
3．欧位在1748年给出的著名公式eiθ＝csθ+isinθ（欧拉公式）是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e＝2.71828…，根据欧拉公式eiθ＝csθ﹣isinθ．任何一个复数z＝r（csθ+isinθ）都可以表示成z＝reiz的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z1＝2ei，z2＝ei，则复数z＝在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】复数z1＝2ei＝2＝1+i，z2＝ei＝＝i，再利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
解：复数z1＝2ei＝2＝1+i，z2＝ei＝＝i，
则复数z＝＝＝＝﹣i在复平面内对应的点在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的指数与三角函数形式、复数的运算法则几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′如图所示，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）
A．ABB．ADC．BCD．AC
【分析】由斜二测画法法则知直观图△A′B′C′对应的原图形△ABC是直角三角形，由此判断出结论．
解：由斜二测画法法则知，直观图△A′B′C′对应的原图形△ABC是直角三角形，
其中AC是斜边，AD是直角边上的中线，所以最长的线段是AC．
故选：D．
【点评】本题考查了斜二测画法法则应用问题，是基础题．
5．已知锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，bc＝6，则b+c＝（ ）
A．9B．8C．5D．4
【分析】利用诱导公式、两角和的余弦公式化简已知条件，求得A，利用余弦定理求得b+c．
解：∵，A+B+C＝π，
∴，，
∴，
∵△ABC为锐角三角形，∴sinB≠0，
∴．而，∴，
由余弦定理可得，∴7＝b2+c2﹣6，
∴b2+c2＝13，
则．
故选：C．
【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，考查了两角和与差的三角函数公式，属于中档题．
6．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可．
解：过F作FG⊥BC于G，不妨设BE＝3，EF＝1，
则BF＝4，FC＝BE＝3，所以BC＝5，FG＝，BG＝，
所以＝，＝
所以＝+＝+＝+．
故选B．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算及平面向量的基本定理，考查运算求解能力，属于基础题．
7．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若+＝2c，则△ABC是（ ）
A．等边三角形B．锐角三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
【分析】由已知及正弦定理可得：，而+≥2＝2，当且仅当sinA＝sinB时取等号，即2sinC≥2，解得∠C＝90°，A＝B，从而得解．
解：∵+＝2c，
∴由正弦定理可得：，而+≥2＝2，当且仅当sinA＝sinB时取等号．
∴2sinC≥2，即sinC≥1，又sinC≤1，故可得：sinC＝1，
∴∠C＝90°．
又∵sinA＝sinB，可得A＝B，
故三角形为等腰直角三角形．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正弦定理，基本不等式的解法，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝b＝5，c＝8，I是△ABC内切圆的圆心，若＝x+y，则x+y的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】建系，根据坐标法，平面向量坐标运算，三角形内心性质，方程思想即可求解．
解：如图，∵a＝b＝5，c＝8，∴△ABC内切圆的圆心I在AB边高线OC上（也是AB边上的中线），
∴OA＝OB＝4，OC＝，
以AB直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
则A（﹣4，0），B（4，0），C（0，3），
设△ABC内切圆的半径为r，根据等面积算法可得：
，
∴，
解得r＝，故内心I为（0，），
∴，，，
∵＝x+y，
∴（4，）＝x（8，0）+y（4，3），
∴，∴，∴，
∴x+y＝，
故选：D．
【点评】本题考查面向量坐标运算，三角形内心性质，方程思想，坐标法，属基础题．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．已知向量＝（﹣6，3），＝（2，t），则下列说法不正确的是（ ）
A．当＝（﹣4，4）时，t＝﹣1
B．当时，t＝4
C．与夹角为钝角时，则t的取值范围为（﹣∞，4）
D．当t＝2时，在上的投影向量为
【分析】对于A，结合向量的坐标运算，即可求解；
对于B，结合向量垂直的性质，即可求解；
对于C，结合平面向量的数量积运算，以及向量共线的性质，即可求解；
对于D，结合投影向量的公式，即可求解．
解：＝（﹣6，3），＝（2，t），
则＝（﹣4，4）＝（﹣4，3+t），即3+t＝4，解得t＝1，故A错误；
当时，
则（﹣6）×2+3t＝0，解得t＝4，故B正确；
当与夹角为钝角时，
则，解得t＜4且t≠﹣1，
故t的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，4），故C错误；
t＝2，
则＝（﹣6，3），＝（2，2），
故在上的投影向量为＝，故D错误．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
（多选）10．若复数z满足|z﹣1﹣i|＝1，则|z+2+3i|可能为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】设z＝x+yi，由复数的几何意义得出复数z对应复平面的轨迹，再由距离公式结合圆的性质得|z+2+3i|的范围即可求解．
解：设z＝x+yi（x，y∈R），
∵|z﹣1﹣i|＝1，
∴，
∴（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，表示以A（1，1）为圆心，1为半径的圆，
|z+2+3i|＝|x+2+（y+3）i|＝，表示点（x，y）到点B（﹣2，﹣3）之间的距离，
连接AB交圆A于点C，延长线交圆A于点D，如图所示：
|BC|＝|AB|﹣1＝5﹣1＝4，|BD|＝|AB|+1＝6，
即|z+2+3i|∈[4，6]，
观察四个选项可知，|z+2+3i|可能为4，6．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了复数的几何意义，考查了两点间距离公式的应用，属于中档题．
（多选）11．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在向量上的投影向量为
C．若，则P为ED的中点
D．若P在线段BC上，且，则x+y的取值范围为
【分析】以AE所在直线为y轴，GC所在直线为x轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A错误，投影向量为，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，，D正确，得到答案．
解：如图所示：以AE所在直线为y轴，GC所在直线为x轴建立直角坐标系，
设OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF＝OG＝OH＝a，
则，整理得到，，G（﹣a，0），，设P（x0，y0），
对选项A：，，，错误；
对选项B：，，，即投影向量为，正确；
对选项C：，，，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；
对选项D：，，，，，
整理得到，，故，正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，第13题第一空2分，第二空3分）
12．设z∈C，且，其中i为虚数单位，则的模为 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
解：，
则z（1﹣i）＝2+2i，即z＝，
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
13．已知向量，，，＝ ；在上的投影向量的坐标为 ．
【分析】由条件结合向量的模的坐标表示求，根据向量的模与数量积的关系由条件求，再由投影向量的定义求在上的投影向量的坐标．
解：因为，所以，
由可得，
所以，即，
所以，
所以在上的投影向量为．
故在上的投影向量的坐标为．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是 ．
【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．
解：设＝λ＝（），
＝+＝+μ＝+μ（）
＝（1﹣μ）+μ＝+μ
∴，∴，
∴＝＝（），
＝＝﹣+，
6•＝6×（）•（﹣+）
＝（++）
＝++，
∵•＝++，
∴＝，∴＝3，
∴＝．
故答案为：
【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．如图所示，△OBC中，点A为BC中点，点D是线段OB上靠近点B的一个三等分点，CD，OA相交于点E，设＝，＝．
（1）用，表示，；
（2）若＝λ，求λ．
【分析】（1）直接利用向量的线性运算和加减法的应用求解；
（2）直接利用向量的线性运算和共线向量的充要条件求λ．
解：（1）∵＝，＝，
∴＝＝＝2＝；
＝＝＝；
（2）设＝μ（μ＞0），
∴＝＝＝＝（1﹣μ）+μ，
∵＝，，
∴＝，
又＝λ＝，且，不共线，
∴λ＝2μ且，
得λ＝．
【点评】本题考查向量的线性运算，平面向量基本定理，向量的加法和减法运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
16．已知复数z＝1+i（i是虚数单位）是方程x2﹣px+q＝0的根，其中p，q是实数．
（1）求p和q的值；
（2）若（p+qi）•（m2+2mi）是纯虚数，求实数m的值．
【分析】（1）根据已知条件，结合一元二次函数在复平面中的复数根互为共轭复数，即可求解．
（2）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．
解：（1）∵z＝1+i（i是虚数单位）是方程x2﹣px+q＝0的根，
∴也是方程x2﹣px+q＝0的根，
∴，解得p＝q＝2．
（2）由（1）可得，（p+qi）•（m2+2mi）＝（2+2i）•（m2+2mi）＝2m2﹣4m+（4m+2m2）i，
∵（p+qi）•（m2+2mi）是纯虚数，
∴，解得m＝2．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．
17．已知，，在同一平面内，且＝（1，2）．
（1）若||＝3，且∥，求；
（2）若||＝，且（+2）⊥（﹣），求与的夹角的余弦值．
【分析】（1）由题意利用两个向量平行的性质，用待定系数法求出求得的坐标．
（2）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，求得与的夹角的余弦值．
解：（1）设＝（x，y），∵＝（1，2），||＝3，且∥，
∴y＝2x，x2+y2＝45，
解得x＝3，y＝6；或 x＝﹣3，y＝﹣6，即 ＝（3，6），或 ＝（﹣3，﹣6）．
（2）∵||＝，且（+2）⊥（﹣），
∴（+2）•（﹣）＝﹣2+＝5﹣4+＝0，∴＝﹣1．
故与的夹角的余弦值为 ＝＝﹣．
【点评】本题主要考查两个向量平行垂直的性质，两个向量的夹角公式，属于基础题．
18．（17分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且满足b＝acsC+csinA．
（1）求A的大小；
（2）若csB＝，BC＝5，＝，求CD的长．
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式得出tanA；
（2）在△ABC中，使用正弦定理求出AB，得出DB，再在△BCD中使用余弦定理求出CD．
解：（1）在△ABC中，∵b＝acsC+csinA中，∴sinB＝sinAcsC+sinCsinA，
又∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+sinCcsA，
∴sinAcsC+csAsinC＝sinAcsC+sinCsinA，
∴csAsinC＝sinCsinA，
∵sinC≠0，∴csA＝sinA，
∴tanA＝1．
∴．
（2）∵csB＝，∴sinB＝＝，
∴sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB＝．
在△ABC中，由正弦定理得，即，
解得AB＝7．
∵＝，∴BD＝．
在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2+BC2﹣2BC•BDcsB＝1+25﹣2×＝20．
∴CD＝2．
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，余弦定理，属于中档题．
19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs2B+cs2C﹣cs2A＝1．
（1）求A；
（2）若bc＝2，设点P为△ABC的费马点，求；
（3）设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|＝t|PA|，求实数t的最小值．
【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cs2B+cs2C﹣cs2A＝1可得a2＝b2+c2，即可求得答案；
（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；
（3）由（1）结论可得，设|PB|＝m|PA|，|PC|＝n|PA|，|PA|＝x，推出m+n＝t，利用余弦定理以及勾股定理即可推出m+n+2＝mn，再结合基本不等式，即可求得答案．
解：（1）由已知△ABC中cs2B+cs2C﹣cs2A＝1，即1﹣2sin2B+1﹣2sin2C﹣1+2sin2A＝1，
故sin2A＝sin2B+sin2C，由正弦定理可得a2＝b2+c2，
故△ABC直角三角形，
即；
（2）由（1）可得，所以三角形ABC的三个角都小于120°，
则由费马点定义可知：∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°，
设，
由S△APB+S△BPC+S△APC＝S△ABC，得，
整理得，
则＝；
（3）点P为△ABC的费马点，则，
设|PB|＝m|PA|，|PC|＝n|PA|，|PA|＝x，m＞0，n＞0，x＞0，
则由|PB|+|PC|＝t|PA|，得m+n＝t；
由余弦定理得，
，
，
故由|AC|2+|AB|2＝|BC|2，得（n2+n+1）x2+（m2+m+1）x2＝（m2+n2+mn）x2，
即m+n+2＝mn，而m＞0，n＞0，故，
当且仅当m＝n，结合m+n+2＝mn，解得时，等号成立，
又m+n＝t，即有t2﹣4t﹣8≥0，解得或（舍去）．
故实数t的最小值为．
【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，利用基本不等式的应用，属于中档题．