新高考数学二轮复习 专题3 第3讲　立体几何中的向量方法（讲·教师版） 【新教材·新高考】

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高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力；高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲)，研究水平(选题、集体备课)，辅导水平(课堂辅导，课后个辅)。
二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法：抓审题，抓个辅
抓审题：让学生说出来，让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
抓个辅：教师要有个辅学生问题清单，让辅导有针对性;个辅全程性，个辅不只在课后，课堂个辅也是关键。
三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关：必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
2、学生训练最大的状态就是能限时过关，应试能力也是数学解题能力，极大限度地减少题海战术。
3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复：
重复一轮复习老路；重复成套试题训练；重复迷信名校资料；重复个人喜好方向。

第3讲 立体几何中的向量方法（讲·学生版）
高考定位
空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，是常考的重点，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个空间几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建系求点、坐标运算、几何结论．作为求解空间角的有力工具，通常在解答题中进行考查，属于中等难度．
核心整合
1.用向量证明平行的方法
(1)线线平行：证明两直线的————向量共线．
(2)线面平行：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量————；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量————；直线的方向向量与平面内两不共线向量————．
(3)面面平行：证明两平面的法向量为————向量；转化为线面平行、线线平行问题．
2.用向量证明垂直的方法
(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为————．
(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量————，或将线面垂直的判定定理用向量表示．
(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．
3.利用空间向量求空间角
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)，则
(1)异面直线所成的角
设l，m的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)＝eq \f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(a\\al(2,1)＋b\\al(2,1)＋c\\al(2,1)) \r(a\\al(2,2)＋b\\al(2,2)＋c\\al(2,2))).
(2)斜线与平面所成的角
设直线l与平面α的夹角为θ，则sin θ＝|cs〈a，u〉＝|eq \f(|a·u|,|a||u|)＝————.
(3)平面与平面的夹角
设α－a－β的平面角为θ，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \f(|u·v|,|u||v|)＝————.
4.解决立体几何中探索性问题的3个步骤及1个注意点
(1)3个步骤
①通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理；
②若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；
③若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在．
(2)1个注意点
探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用．
真题体验
1．（2021•天津高考）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
2.（2021•高考全国甲卷理科）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
能力突破
考点一 利用空间向量证明空间位置关系
【例1】 如图，在直三棱柱ADE­BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点．运用向量方法证明：
(1)OM∥平面BCF；
(2)平面MDF⊥平面EFCD.
【规律方法】 利用空间向量证明空间垂直、平行的步骤
(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系；
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系；
(4)根据运算结果解释相关问题．
【对点训练1】
如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝2，AD＝CD＝1，M是PB的中点．
求证：(1)AM∥平面PCD；
(2)平面ACM⊥平面PAB.
考点二 利用空间向量求空间角
命题角度1 求直线与直线所成的角
【例2—1】(1)已知△ABC与△BCD均为正三角形，且AB＝4.若平面ABC⊥平面BCD，且异面直线AB和CD所成的角为θ，则cs θ＝( )
A．－eq \f(\r(15),4) B.eq \f(\r(15),4)
C．－eq \f(1,4) D.eq \f(1,4)
(2)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________(填写所有正确结论的编号)．
【规律方法】向量法求异面直线所成角
设异面直线a，b所成的角为θ，则cs θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)，其中，a，b分别是直线a，b的方向向量．
此方法解题的关键在于找出两异面直线的方向向量，求两个向量的数量积，而要求两向量的数量积，可以求两向量的坐标，也可以把所求向量用一组基向量表示．两个向量的夹角范围是[0，π]，而两异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，应注意加以区分．
[提醒] 两条异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).当所作或所求的角为钝角时，应取其补角作为两条异面直线所成的角．
命题角度2直线与平面所成的角
【例2—2】 （2021•浙江高考）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【规律方法】 利用空间向量求线面角的解题模型
eq \x(建坐标系)——eq \x(根据图形与已知条件，建立适当的空间直角坐标系)

eq \x(求向量)——eq \x(设直线AB与平面α所成的角为θ，需求出平面α的法向量n和直线AB的方向向量\(AB,\s\up6(→)))

eq \x(用公式)—————————————— eq \x(cs〈\(AB,\s\up6(→))，n〉＝\f(\(AB,\s\up6(→))·n,|\(AB,\s\up6(→))|·|n|))

eq \x(得结论)
——eq \x(利用sin θ＝|cs〈\(AB,\s\up6(→))，n〉|，直线和平面所成角的范围是[0°，90°]，即可得出直线和平面所成的角)
命题角度3 平面与平面所成的夹角
【例2—3】（2021•全国高考乙卷理科）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
【规律方法】利用空间向量求二面角的解题模型
eq \x(建坐标系)——eq \x(根据图形与已知条件，构建适当的空间直角坐标系)
eq \x(求法向量)——eq \x(准确求解相关点的坐标，并分别求出两平面的法向量m，n)
eq \x(用公式)——eq \x(利用两向量夹角的余弦公式cs〈m，n〉＝\f(m·n,|m|·|n|)求夹角的余弦值)
eq \x(得结论)——eq \x(观察图形中二面角是锐角还是钝角，得出结论)
【对点训练2】
1.（2021·浙江嘉兴市高三二模）如图，四棱柱中，底面是矩形，，，，且二面角的平面角的大小为60°，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．
2.(2020·高考全国Ⅰ卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝eq \f(\r(6),6)DO.
(1)证明：PA⊥平面PBC；
(2)求二面角B－PC－E的余弦值．
考点三 利用空间向量解决探究性问题
【例3】（2021·重庆一中高三模拟）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.
（1）求证：直线l⊥平面PAC；
（2）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF､直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由.
【规律方法】
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．
【对点训练3】
(2021·潍坊市模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．
(1)求证：PO⊥平面ABCD；
(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；
(3)在线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为eq \f(π,6)，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．