最新高考数学解题方法模板50讲 专题35 立体几何中的探索性问题求解策略

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模
板
50
讲
专题35 立体几何中的探索性问题求解策略
【高考地位】
立体几何中的探索性问题是高考几何的一个难点，尤常见于新高考的多选题中，其题目特点是灵活性较强，需要相对丰富的空间想象能力及计算能力，对所研究几何体进行深入的剖析与推理，其常见类型有两种：一、空间中位置关系的探索；二、空间角的探索.
类型一 空间中位置关系的探索
方法一 几何法
例1 已知正四棱锥的所有棱长均为，，分别是，的中点，为棱上异于，的一动点，现有以下结论：
①线段的长度是；
②周长的最小值为；
③存在点使得平面；
④始终是钝角.
其中不正确的结论共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【来源】河北省沧州市2021届高三三模数学试题
【变式演练1】（多选）在直角三角形ABC中，∠B＝，AC＝2BC＝4，D为线段AC的中点，如图，将△ABD沿BD翻折，得到三棱锥P﹣BCD（点P为点A翻折到的位置），在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．△PBD的外接圆半径为2
B．存在某一位置，使得PD⊥BD
C．存在某一位置，使得PB⊥CD
D．若PD⊥DC，则此时三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为
【来源】山东省百师联盟2021届高三二轮联考数学试题（二）
方法二 向量法
例2、3．已知长方体中，，点在线段上，平面过线段的中点以及点、，现有如下说法：
（1），使得；
（2）若，则平面截长方体所得截面为平行四边形；
（3）若，，则平面截长方体所得截面的面积为
以上说法正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
【来源】全国一卷2021届高中毕业班考前热身联合考试理科数学试题
例3、（多选）在棱长固定的正方体中，点E，F分别满足，，则（ ）
A．当时，三棱锥的体积为定值
B．当时，存在使得平面
C．当时，点A，B到平面的距离相等
D．当时，总有
【来源】江苏省苏州市2021-2022学年高三上学期期初调研数学试题
【变式演练2】（多选）在棱长为1的正方体中，点E为线段上一动点（不包含端点），则下列说法正确的有（ ）
A．平面
B．的最小值为
C．存在点E使得
D．点D到平面的距离为
【来源】全国新高考2021届高三数学方向卷试题（A）
【变式演练3】如图所示，在四棱锥中，平面，，，，为的中点．
（1）求证平面；
（2）若点为的中点，线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由．
【来源】湖北省恩施州2021-2022学年高三上学期第一次教学质量监测数学试题
类型二 空间角的探索
方法一 几何法
例3．如图，矩形中，已知为的中点．将沿着向上翻折至得到四棱锥．平面与平面所成锐二面角为，直线与平面所成角为，则下列说法错误的是（ ）
A．若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面平面
B．若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面
C．
D．存在某一翻折位置，使
【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2021届高三下学期5月高考押题卷文科数学试题
【变式演练4】（多选）在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A．当时，平面
B．当时，存在唯一点使得与直线的夹角为
C．当时，长度的最小值为
D．当时，与平面所成的角不可能为
【来源】湖北省恩施州2021-2022学年高三上学期第一次教学质量监测数学试题
方法二 向量法
例4．如图1，菱形中，动点，在边，上(不含端点)，且存在实数使，沿将向上折起得到，使得平面平面，如图2所示.
（1）若，设三棱锥和四棱锥的体积分别为，，求；
（2）试讨论，当点的位置变化时，二面角是否为定值，若是，求出该二面角的余弦值，若不是，说明理由.
【来源】重庆市南开中学2021届高三下学期第六次质量检测数学试题
【变式演练5】如图，在半径为的半球O中，平行四边形是圆O的内接四边形，，点P是半球面上的动点，且四棱锥的体积为．
（1）求动点P的轨迹T围成的面积；
（2）是否存在点P使得二面角的大小为？请说明理由．
【来源】山西省临汾市2021届高三下学期二模数学（理）试题
【高考再现】
1．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
【反馈练习】
1．（多选）已知梯形，，，，是线段上的动点；将沿着所在的直线翻折成四面体，翻折的过程中下列选项中正确的是（ ）
A．不论何时，与都不可能垂直
B．存在某个位置，使得平面
C．直线与平面所成角存在最大值
D．四面体的外接球的表面积的最小值为
【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题
2．（多选）已知某正方体的平面展开图如图所示，点，分别是棱，的中点，是棱（不包含端点）上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．四面体的体积为定值
B．存在点使得平面
C．存在点使得平面
D．当为棱的中点时，平面截正方体所得上、下两个几何体的体积之比为
【来源】2021新高考高考最后一卷数学第三模拟
3．（多选）在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A．当λ=时，三棱锥P-EFD的体积为定值
B．当µ=时，四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是
C．的最小值为
D．存在唯一的实数对，使得EP⊥平面PDF
【来源】广东省2022届高三上学期新高考普通高中联合质量测评摸底数学试题
4．如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，点在线段上.给出下列命题：
①直线直线；
②直线与平面所成角的正弦值的取值范围是；
③存在点，使得直线平面；
④存在点，使得直线平面.
其中所有真命题的序号是______.
【来源】四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测文科数学试题
5．七面体玩具是一种常见的儿童玩具．在几何学中，七面体是指由七个面组成的多面体，常见的七面体有六角锥､五角柱､正三角锥柱､Szilassi多面体等．在拓扑学中，共有34种拓扑结构明显差异的凸七面体，它们可以看作是由一个长方体经过简单切割而得到的．在如图所示的七面体中，平面
（1）在该七面体中，探究以下两个结论是否正确．若正确，给出证明；若不正确，请说明理由：
①平面；
②平面；
（2）求该七面体的体积．
【来源】广东省珠海市第二中学2021届考前模拟数学试题
6．如图，为正三角形，半圆以线段为直径，是圆弧上的动点（不包括，点）平面平面．
（1）是否存在点，使得？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由；
（2），求直线与平面所成角的正弦值．
【来源】百强名校2021届高三5月模拟联考（A卷）理科数学试题
7．在滨海文化中心有天津滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体中，，圆台下底圆心为的中点，直径为2，圆与直线交于，圆台上底的圆心在上，直径为1.
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）求二面角的余弦值；
（3）圆台上底圆周上是否存在一点使得，若存在，求点到直线的距离，若不存在则说明理由.
【来源】天津市河东区2021届高三下学期一模数学试题
8．如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，且，，，且
（1）设点M为棱中点，求证平面；
（2）线段上是否存在一点N，使得直线与平面所成角的正弦值等？若存在，试求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
【来源】湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高三上学期新起点考试数学试题
9．如图，在三棱柱中，平面，，E，F分别为，的中点．
（Ⅰ）在四边形内是否存在点G，使平面平面？若存在，求出该点的位置；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）设D是的中点，求与平面所成角的正弦值．
【来源】“超级全能生”2021届高三3月份高考数学（理）联考试题（丙卷）
10．在四棱锥中，底面为菱形，，平面平面，是边长为2的正三角形，，分别为，的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得锐二面角的余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【来源】2021届高三数学临考冲刺原创卷（三）
万能模板
内 容
使用场景
不规则几何体或不好建立坐标系的几何体
解题模板
第一步 确认几何体类型；
第二步 通过补形、延展、分割等将所求问题平面化；
第三步 利用所探索的点线面相关的条件，结合判定定理及性质定理进行推理与计算.
万能模板
内 容
使用场景
求参数（或范围）方便或可以建立坐标系
解题模板
第一步 观察几何体特征，确定坐标系；
第二步 分别求出组成的几何体的体积；
第三步 根据公式求解结果.
万能模板
内 容
使用场景
不规则几何体或不好建立坐标系的几何体
解题模板
第一步 确认几何体类型；
第二步 通过垂线法、垂面法等作出角；
第三步 利用所探索的点线面相关的条件，结合判定定理及性质定理进行推理与计算.
万能模板
内 容
使用场景
求不确定点或面的问题
解题模板
第一步 确定空间直角坐标系；
第二步 通过条件进行推理，引入变量表示所需点的坐标；
第三步 利用所探索的点线面相关的条件，结合向量计算确认参数的值或范围.