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初中数学冀教版八年级下册22.3 三角形的中位线教案
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这是一份初中数学冀教版八年级下册22.3 三角形的中位线教案，共7页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
1．地位和作用：
本节教材是八年级数学下册三角形的中位线定理内容。三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，对进一步学习非常有用，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义。
2.教材处理：
课本中三角形中位线定理是单刀直入地以探索式推理这种方法提出的，定理以这种方式出现，学生接受起来会感觉突然、生硬。在实际教学中，我采取先让学生经过实验、观察、猜想、归纳、得出结论，然后经推理论证，最后总结形成定理的方式，这样提出的知识具有亲和力，更容易为学生接受和认可。在定理证明中，讲解了多种证法，强化思维过程的教学，开发学生的智力。在教学中增加了变式训练，以培养学生的发散思维。
3.重点和难点：
重点是：三角形中位线定理及其应用；
【设计意图】； 三角形中位线定理是解决有关线与线的平行及线段倍分问题的重要理论依据之一，在教材中占有重要地位，依据教学大纲的要求、教材内容以及学生的认知基础，我确定了本节课的重点
难点是：三角形中位线定理的证明及应用。
【设计意图】：从学生知识掌握的现状分析来看，如何适当添加辅助线、如何利用化归思想来解决问题，是学生学习的困难所在，因此本节教学难点.
二．教学目标的确定
数学教学的根本任务在于发展学生的数学思维，教学时，应注意知识的形成、解题思路的探索过程、解题方法和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的能力、优化个性品质。根据教学大纲要求结合教材内容和学生现状，本节课确定以下目标：
1．知识目标：①理解三角形中位线的概念②掌握三角形中位线定理③初步学会用三角形中位线定理解决一些简单问题 .
2．能力目标：①培养学生实验观察、分析探究、归纳总结、推理论证的能力②培养学生运用化归方法解决问题的能力③培养学生发散思维及创新学习能力
3．情感目标：①培养学生科学分析的态度和积极的探索精神②激发学生学习的积极性，提高学生学习数学的兴趣
三．教法和学法
教法：采用实验观察、探究归纳、理论证明、巩固深化的四段教学法，在多媒体的辅助下突破常规模式，让学生在活动、探索、和谐的教学中获取新知识，开发学生的创造性思维，达到教学目标。
学法：让学生掌握实验与观察、分析与比较、讨论与释疑、概括与归纳、巩固与提高等科学的学习方法；学会举一反三，灵活转换的学习方法，学会运用化归思想去解决问题。
【设计意图】：教学过程也是学生的认识过程，没有学生参与的教学活动几乎是无效或低效的教学活动。初中学生由于年龄，实践经验等方面的限制，思维正处在具体向抽象过渡的时期，在行为上具有好奇、好动的特点，本节课通过动手实验，《几何画板》这个工具，让学生从动态中去观察、探索、发现、归纳知识，积极的参与知识的形成和发现过程，改变原来的“听数学”为“做数学”，让学生经过自己亲身的实践活动，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知。并让学生掌握探索问题的方法，真正地学会学习，达到“受之以鱼，不如授之以渔”的教育目的。
四．教学程序设计
创设情景，兴趣导学（1分钟）
尝试探索，获取新知（20分钟）
智海扬帆（20分钟）
梳理回放（3分钟）
巩固拓展（1分钟）
【设计意图】：为了激发学生对新知识的学习兴趣和求知欲望，充分调动学生内在的学习动机，为贯彻达到本节课制定的三个教学目标，根据本节教材内容及学生可接受原则，顺应学生年龄和心理特征，整个教学过程分五个步骤完成。
五．教学过程
六．板书设计
七.教学反思
教学
环节
教 学 过 程
设 计 意 图
创 设
情境兴趣导学
如右图，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度，也就能知道AB的距离了。这是什么道理呢？今天这堂课我们就要来探究其中的学问。
创设问题情景，激发学生的兴趣。
尝
试
探
索，
获
取
新
知
尝
试
探
索，
获
取
新
知
︵
续
︶
尝
试
探
索，
获
取
新
知
︵
续
︶
提出三角形中位线的概念：连结三角
形两边中点的线段叫三角形的中位线。
2． 学生作图：请学生画出三角形的中线和中位线，并说出它们的不同（三角形中位线的两个端点是三角形两边的中点，而三角形中线一端点是三角形的顶点、另一端点是三角形这个顶点所对的边的中点）
教师：三角形的中位线定义的两层含义：①∵D、E分别为AB、AC的中点∴DE为△ABC的中位线②∵ DE为△ABC的中位线 ∴ D、E分别为AB、AC的中点
3． 问题：①学生观测前面画出的三角形的中位线，并回答问题：一个三角形共有几条中位线？三角形中位线与三角形各边的关系怎么样？启发学生得出猜想
②如右图,已知，在△ABC中，点D为线段AB的中点，自D作DE ∥ BC，交AC于E，那么点E在AC的什么位置上？ 为什么？这时DE是△ABC的中位线
4．利用橡皮筋定在木板上，验证学生的观测和猜想。教师：①拖动点A，三角形状变化了，其中什么不变？
②三角形中位线DE与第三边BC的位置关系怎么样？它们有什么样的数量关系？拖动点B，C呢？——学生讨论会发现：拖动点A，BC不变，中位线DE的位置变化了，但DE的长度不变。教师进一步启发学生思考：中位线的位置如何变了？相对于BC的位置有变化吗？（提示学生，二条直线存在平行、相交的位置关系）
5通过几何画板动态的去演试和观察验证学生的结论
6．经过以上的探究和讨论学生得出三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半的结论。
教师：这个结论是否具有普遍性，还得从理论上加以证明。
①如图，已知：DE是△ABC的中位线
求证：DE 1/2BC
证明：如图1，延长DE到F，使EF=DE，连结CF，去证△ADE≌△CFE，得出ADCF，即DBFC。从而，四边形BCFD是平行四边形 ，得出DE1/2BC
多种思路的探索
思路1：如图1，过点C作AB的平行线交DE的延长线于F，去证△ADE≌△CFE，
思路2：如图2，过点C作AB的平行线交DE的延长线于F，连结AF、DC，去证，四边形ADCF是平行四边形，从而得出ADFC
思路3：如图2，，延长DE到F，使EF=DE，连结CF、CD、FA，去证，四边形ADCF是平行四边形
以上三种思路，关键是证明四边形BCFD是平行四边形。
小结：以上各种证明方法，都是将问题转化到平行四边形中去解决。不同的转化方法引出了不同的证明方法，这体现了数学中的转化归纳的重要思想。
6．提出定理：以上的猜想属于三角形中位线的性质，因其地位重要、应用广泛，把它总结成定理：三角形中位线定理。（板书定理）
教师：定理的条件是什么？结论是什么，有几个？（定理的结论有二条：一是表明位置关系平行，另一个是表明数量关系。）
教师总结：①定理的用途：i）证明平行问题ii）证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2
②定理的数学语言表达：如果DE是△ABC的中位线那么i）DE∥BC，ii）DE=1/2BC
③把它改成如果。。。。。那么。。。。的形式试说一说。
1．由情景教学，自然顺畅地引出三角形中位线的概念。
2．通过画图，让学生熟悉图形特征，加强对三角形中位线的感知，并通过与已学的三角形中线概念作比较，以及对定义的两层含义的分析加强对三角形中位线概念的理解。
3.鼓励学生，积极思考、大胆猜想
4．运用动态直观，探究中位线性质，新课引入之后，让实验登堂入室，在学生动手实验的基础上，通过橡皮筋的变化，直观，生动地展示出三角形中位线的性质，在几何画板中动态培养学生观察，分析，归纳的能力。在观察讨论中，教师启发和点拨，在实验分析讨论中寻求探索出三角形中位线的质。
图1
图2
6．实验先行，证明完善后提出三角形中位线定理，这符合定理产生的过程，让学生学会科学地研究问题和解决问题，培养学生严谨的学习作风。
对学生进行数学语言训练
智
海
扬
帆
智
海
扬
帆
︵
续
︶
基本训练（课本练习）
教师：出示课件。
学生：回答。
教师：强化定理。
①如图：在△ABC中，DE是中位线（1）∠ADE=60°，则∠B= 60度（2）若BC=8cm则DE=4 cm
②已知三角形三边分别为6、8、10，连结各边中点所成三角形的周长为12。
教师强调：两个三角形周长的关系。
③回答课堂开始的问题情景：如果DE=20m，那么A、B两点的距离是多少？为什么？
④如图2，梯形ABCD中AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，A’、B’、C’、D’分别是AO、BO、CO、DO中点，则四边形A’B’C’D’是梯形；若梯形ABCD周长为10，则四边形A’B’C’D’的周长为5。
教师点明：这两个梯形周长之间的倍、半关系。
学生观察几何画板，并思考，顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是什么样的图形？为什么？（在学生积极思考后，让学生小结，叙述成文字命题，教师完善。）
例1：求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。（要求学生注意文字命题的证明格式）
已知：在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形
分析：思路一：连结AC，证：EFGH
思路二：连结BD，证：EH FG
思路三::连结AC、BD证:EF∥HG， EH∥FG
思路四：连结AC、BD证：EF=HG， EH=FG
小结：以上各种证法，关键在于添加适当的辅助线，构造出三角形中位线定理的条件，结合平行四边形的各种判定方法，形成不同的证明方法。这里把四边形问题转化为三角形的问题来解决，运用了化归思想。
变式训练：若上例中的四边形换成等腰
梯形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊的四边形，那么所得到的四边形也会特殊吗？ 从中可以总结出什么结论吗？思考的关键是什么？（关键是抓住原四边形对角线的关系）
针对本课重点，设置一组有层次的习题，强化学生对重点知识的熟练掌握。也让学生明白数学来源于实际，并反过来作用于实际，解决实际问题。题目2、3、4改造于书本练习，设置抢答题，可以调动学习气氛，巩固所学知识。
图1
图2
第④题在书上是一道有两个结论的证明题，为了突出本节课的重点，为后继课程中对学生能力的培养留下充足的时间，在这儿把它改为填空题。课后再作为作业由学生写出证明。
教师启发引导学生证明。
设置开放性习题，利用它训练学生发散思维能力及创新精神，巩固所学知识。用运动变化的观点研究问题，对相近概念的区别与联系，以及这些知识的产生、掌握、运用都会有深刻的认识。再一次利用画板加深印象。
梳
理
回
放
三角形中位线是三角形中一种重要的
线段，它与三角形中线不同。
三角形的中位线定理
在这节课中我们一起经过实验、探索，发现了三角形中位线定理，其中学会了一种很重要的探究问题的方法。
提高学生归纳总结能力，让学生在归纳中获取新知，巩固强化本节课所学内容，培养科学的学习习惯。
图1
巩
固
拓
展
︵
续
︶
选作题：①如图1(见右上),AF=FD=DB,FG∥DE∥BC,PE=1.5,则BC=______
②已知：如图2，E、F分别是AC、BD的中点，CD≧AB，E、F不都是对角线的交点 求证： EF＞1/2（CD－AB）
作业分层次，让不同层度的学生都能在原有认知水平的基础上得到提高。
图2
课题：三角形的中位线
例1
1．定义
2．定理 （ 图示 ）
1．地位和作用：
本节教材是八年级数学下册三角形的中位线定理内容。三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，对进一步学习非常有用，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义。
2.教材处理：
课本中三角形中位线定理是单刀直入地以探索式推理这种方法提出的，定理以这种方式出现，学生接受起来会感觉突然、生硬。在实际教学中，我采取先让学生经过实验、观察、猜想、归纳、得出结论，然后经推理论证，最后总结形成定理的方式，这样提出的知识具有亲和力，更容易为学生接受和认可。在定理证明中，讲解了多种证法，强化思维过程的教学，开发学生的智力。在教学中增加了变式训练，以培养学生的发散思维。
3.重点和难点：
重点是：三角形中位线定理及其应用；
【设计意图】； 三角形中位线定理是解决有关线与线的平行及线段倍分问题的重要理论依据之一，在教材中占有重要地位，依据教学大纲的要求、教材内容以及学生的认知基础，我确定了本节课的重点
难点是：三角形中位线定理的证明及应用。
【设计意图】：从学生知识掌握的现状分析来看，如何适当添加辅助线、如何利用化归思想来解决问题，是学生学习的困难所在，因此本节教学难点.
二．教学目标的确定
数学教学的根本任务在于发展学生的数学思维，教学时，应注意知识的形成、解题思路的探索过程、解题方法和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的能力、优化个性品质。根据教学大纲要求结合教材内容和学生现状，本节课确定以下目标：
1．知识目标：①理解三角形中位线的概念②掌握三角形中位线定理③初步学会用三角形中位线定理解决一些简单问题 .
2．能力目标：①培养学生实验观察、分析探究、归纳总结、推理论证的能力②培养学生运用化归方法解决问题的能力③培养学生发散思维及创新学习能力
3．情感目标：①培养学生科学分析的态度和积极的探索精神②激发学生学习的积极性，提高学生学习数学的兴趣
三．教法和学法
教法：采用实验观察、探究归纳、理论证明、巩固深化的四段教学法，在多媒体的辅助下突破常规模式，让学生在活动、探索、和谐的教学中获取新知识，开发学生的创造性思维，达到教学目标。
学法：让学生掌握实验与观察、分析与比较、讨论与释疑、概括与归纳、巩固与提高等科学的学习方法；学会举一反三，灵活转换的学习方法，学会运用化归思想去解决问题。
【设计意图】：教学过程也是学生的认识过程，没有学生参与的教学活动几乎是无效或低效的教学活动。初中学生由于年龄，实践经验等方面的限制，思维正处在具体向抽象过渡的时期，在行为上具有好奇、好动的特点，本节课通过动手实验，《几何画板》这个工具，让学生从动态中去观察、探索、发现、归纳知识，积极的参与知识的形成和发现过程，改变原来的“听数学”为“做数学”，让学生经过自己亲身的实践活动，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知。并让学生掌握探索问题的方法，真正地学会学习，达到“受之以鱼，不如授之以渔”的教育目的。
四．教学程序设计
创设情景，兴趣导学（1分钟）
尝试探索，获取新知（20分钟）
智海扬帆（20分钟）
梳理回放（3分钟）
巩固拓展（1分钟）
【设计意图】：为了激发学生对新知识的学习兴趣和求知欲望，充分调动学生内在的学习动机，为贯彻达到本节课制定的三个教学目标，根据本节教材内容及学生可接受原则，顺应学生年龄和心理特征，整个教学过程分五个步骤完成。
五．教学过程
六．板书设计
七.教学反思
教学
环节
教 学 过 程
设 计 意 图
创 设
情境兴趣导学
如右图，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A、B外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度，也就能知道AB的距离了。这是什么道理呢？今天这堂课我们就要来探究其中的学问。
创设问题情景，激发学生的兴趣。
尝
试
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知
尝
试
探
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续
︶
尝
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索，
获
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续
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提出三角形中位线的概念：连结三角
形两边中点的线段叫三角形的中位线。
2． 学生作图：请学生画出三角形的中线和中位线，并说出它们的不同（三角形中位线的两个端点是三角形两边的中点，而三角形中线一端点是三角形的顶点、另一端点是三角形这个顶点所对的边的中点）
教师：三角形的中位线定义的两层含义：①∵D、E分别为AB、AC的中点∴DE为△ABC的中位线②∵ DE为△ABC的中位线 ∴ D、E分别为AB、AC的中点
3． 问题：①学生观测前面画出的三角形的中位线，并回答问题：一个三角形共有几条中位线？三角形中位线与三角形各边的关系怎么样？启发学生得出猜想
②如右图,已知，在△ABC中，点D为线段AB的中点，自D作DE ∥ BC，交AC于E，那么点E在AC的什么位置上？ 为什么？这时DE是△ABC的中位线
4．利用橡皮筋定在木板上，验证学生的观测和猜想。教师：①拖动点A，三角形状变化了，其中什么不变？
②三角形中位线DE与第三边BC的位置关系怎么样？它们有什么样的数量关系？拖动点B，C呢？——学生讨论会发现：拖动点A，BC不变，中位线DE的位置变化了，但DE的长度不变。教师进一步启发学生思考：中位线的位置如何变了？相对于BC的位置有变化吗？（提示学生，二条直线存在平行、相交的位置关系）
5通过几何画板动态的去演试和观察验证学生的结论
6．经过以上的探究和讨论学生得出三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半的结论。
教师：这个结论是否具有普遍性，还得从理论上加以证明。
①如图，已知：DE是△ABC的中位线
求证：DE 1/2BC
证明：如图1，延长DE到F，使EF=DE，连结CF，去证△ADE≌△CFE，得出ADCF，即DBFC。从而，四边形BCFD是平行四边形 ，得出DE1/2BC
多种思路的探索
思路1：如图1，过点C作AB的平行线交DE的延长线于F，去证△ADE≌△CFE，
思路2：如图2，过点C作AB的平行线交DE的延长线于F，连结AF、DC，去证，四边形ADCF是平行四边形，从而得出ADFC
思路3：如图2，，延长DE到F，使EF=DE，连结CF、CD、FA，去证，四边形ADCF是平行四边形
以上三种思路，关键是证明四边形BCFD是平行四边形。
小结：以上各种证明方法，都是将问题转化到平行四边形中去解决。不同的转化方法引出了不同的证明方法，这体现了数学中的转化归纳的重要思想。
6．提出定理：以上的猜想属于三角形中位线的性质，因其地位重要、应用广泛，把它总结成定理：三角形中位线定理。（板书定理）
教师：定理的条件是什么？结论是什么，有几个？（定理的结论有二条：一是表明位置关系平行，另一个是表明数量关系。）
教师总结：①定理的用途：i）证明平行问题ii）证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2
②定理的数学语言表达：如果DE是△ABC的中位线那么i）DE∥BC，ii）DE=1/2BC
③把它改成如果。。。。。那么。。。。的形式试说一说。
1．由情景教学，自然顺畅地引出三角形中位线的概念。
2．通过画图，让学生熟悉图形特征，加强对三角形中位线的感知，并通过与已学的三角形中线概念作比较，以及对定义的两层含义的分析加强对三角形中位线概念的理解。
3.鼓励学生，积极思考、大胆猜想
4．运用动态直观，探究中位线性质，新课引入之后，让实验登堂入室，在学生动手实验的基础上，通过橡皮筋的变化，直观，生动地展示出三角形中位线的性质，在几何画板中动态培养学生观察，分析，归纳的能力。在观察讨论中，教师启发和点拨，在实验分析讨论中寻求探索出三角形中位线的质。
图1
图2
6．实验先行，证明完善后提出三角形中位线定理，这符合定理产生的过程，让学生学会科学地研究问题和解决问题，培养学生严谨的学习作风。
对学生进行数学语言训练
智
海
扬
帆
智
海
扬
帆
︵
续
︶
基本训练（课本练习）
教师：出示课件。
学生：回答。
教师：强化定理。
①如图：在△ABC中，DE是中位线（1）∠ADE=60°，则∠B= 60度（2）若BC=8cm则DE=4 cm
②已知三角形三边分别为6、8、10，连结各边中点所成三角形的周长为12。
教师强调：两个三角形周长的关系。
③回答课堂开始的问题情景：如果DE=20m，那么A、B两点的距离是多少？为什么？
④如图2，梯形ABCD中AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，A’、B’、C’、D’分别是AO、BO、CO、DO中点，则四边形A’B’C’D’是梯形；若梯形ABCD周长为10，则四边形A’B’C’D’的周长为5。
教师点明：这两个梯形周长之间的倍、半关系。
学生观察几何画板，并思考，顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是什么样的图形？为什么？（在学生积极思考后，让学生小结，叙述成文字命题，教师完善。）
例1：求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。（要求学生注意文字命题的证明格式）
已知：在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形
分析：思路一：连结AC，证：EFGH
思路二：连结BD，证：EH FG
思路三::连结AC、BD证:EF∥HG， EH∥FG
思路四：连结AC、BD证：EF=HG， EH=FG
小结：以上各种证法，关键在于添加适当的辅助线，构造出三角形中位线定理的条件，结合平行四边形的各种判定方法，形成不同的证明方法。这里把四边形问题转化为三角形的问题来解决，运用了化归思想。
变式训练：若上例中的四边形换成等腰
梯形、平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊的四边形，那么所得到的四边形也会特殊吗？ 从中可以总结出什么结论吗？思考的关键是什么？（关键是抓住原四边形对角线的关系）
针对本课重点，设置一组有层次的习题，强化学生对重点知识的熟练掌握。也让学生明白数学来源于实际，并反过来作用于实际，解决实际问题。题目2、3、4改造于书本练习，设置抢答题，可以调动学习气氛，巩固所学知识。
图1
图2
第④题在书上是一道有两个结论的证明题，为了突出本节课的重点，为后继课程中对学生能力的培养留下充足的时间，在这儿把它改为填空题。课后再作为作业由学生写出证明。
教师启发引导学生证明。
设置开放性习题，利用它训练学生发散思维能力及创新精神，巩固所学知识。用运动变化的观点研究问题，对相近概念的区别与联系，以及这些知识的产生、掌握、运用都会有深刻的认识。再一次利用画板加深印象。
梳
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放
三角形中位线是三角形中一种重要的
线段，它与三角形中线不同。
三角形的中位线定理
在这节课中我们一起经过实验、探索，发现了三角形中位线定理，其中学会了一种很重要的探究问题的方法。
提高学生归纳总结能力，让学生在归纳中获取新知，巩固强化本节课所学内容，培养科学的学习习惯。
图1
巩
固
拓
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续
︶
选作题：①如图1(见右上),AF=FD=DB,FG∥DE∥BC,PE=1.5,则BC=______
②已知：如图2，E、F分别是AC、BD的中点，CD≧AB，E、F不都是对角线的交点 求证： EF＞1/2（CD－AB）
作业分层次，让不同层度的学生都能在原有认知水平的基础上得到提高。
图2
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例1
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