2024年江西省南昌市南昌县中考一模数学试题 （原卷版+解析版）

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2.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效.
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题意的，请将其代码填涂在答题卡相应位置.错选、多选或未选均不得分.
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查比较有理数的大小，根据负数小于0小于正数，两个负数绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴最小的数为：；
故选B．
2. 计算的结果为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简，掌握同分母分式的加减运损法则是解题关键．先分子相加，再将分子提公因式后约分，即可得到答案．
【详解】解：，
故选：D
3. 如图，这是由5个相同的小立方体组成的几何体，这个几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了几何体的三种视图仔细观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1．左视图如下：
故选：A．
4. 如图，数轴上，两点表示的实数分别为，，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查数轴的认识，根据点A、B在数轴上的位置得到，是解题的关键．根据数轴的性质可得，，再判断各选项中式子的正负即可．
【详解】解：根据数轴可知：，，
∴，故①错误；
，故②正确；
，故③正确；
，故④正确，
故选：C．
5. 如图，这是某辆火星车在测试时的速度—时间的关系图象，则下列说法错误的是（ ）
A. 测试时前10秒火星车行驶的速度越来越快
B. 测试时火星车匀速行驶的时间为30秒
C. 测试时火星车匀速行驶时，行驶的路程为60米
D. 测试时火星车第5秒行驶的速度与第50秒行驶的速度相等
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，理解题意是关键，根据关键点的坐标再逐一分析即可．
【详解】解：测试时前10秒火星车行驶的速度随时间的增加而加快，故A不符合题意；
测试时火星车匀速行驶的时间为秒，故B不符合题意；
测试时火星车匀速行驶时，行驶的路程为米，故C符合题意；
测试时火星车第5秒行驶的速度为，
第50秒行驶的速度为，故D不符合题意；
故选C
6. 如图，为线段的中点，，直线经过点，已知，在直线上取一点，使得，则满足条件的点的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，过点作，连接，根据斜边上的中线等于斜边的一半，推出，在直线上截取，连接，则为等边三角形，根据三线合一可得：．
【详解】解：过点作，连接，
∵，
∴，
∵为线段的中点，
∴，
∴；
在直线上截取，连接，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵为线段的中点，
∴；
综上：共有2个点满足题意；
故选C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
7. 计算______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键．
8. 赣江是鄱阳湖流域五河之首，由南至北纵贯江西省全境，流域面积约平方千米，占鄱阳湖流域面积的，数据用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于且小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案为：．
9. 若关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，直接利用：一元二次方程两根分别是，，再解题即可．
【详解】解：设关于x的一元二次方程的另一个根为t，
则 ，
解得，
故答案为
10. 将一个含角和一个含角的直角三角形按如图所示的方式放置，若点在线段上，，则的度数为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：一个含角和一个含角的直角三角形如图所示，
，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
11. 七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧.如图，若七巧板中标有5的小正方形的面积，则图中标有3的平行四边形的面积的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了七巧板拼接图形，根据，，结合题意，即可求解．
【详解】解：根据题意可得，又
∴，
故答案为：．
12. 如图，已知是正五边形的一条对角线，P为上的一点，当为等腰三角形时，的大小为_________ ．
【答案】或或
【解析】
【分析】分三种情况：①当时，②当时，连接，③当时，分别求解即可．
【详解】解：∵正五边形，
∴，，
∴，
∴，
分三种情况：①当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，连接，
∵，
∴，
∵∵正五边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
；
③当时，
∵
∴，
由②知
∴
∴点P与点B重合，
∴；
综上，当为等腰三角形时，大小为或或．
【点睛】本题考查正五边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形判定和性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．
三、解答题（本大题共5个小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：．
（2）如图，在中，点，分别在，上，，若，，，求的长．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角的正弦值的运算、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握各运算法则和相似三角形的性质是解题关键．
（1）先计算零指数幂、化简二次根式、特殊角的正弦值，再计算乘法与加减法即可得；
（2）先证出，再根据相似三角形的性质求解即可得．
【详解】解：（1）原式
；
（2）∵，
∴，
，
∵，，，
，
解得．
14. 以下是小贤解不等式组的解答过程．
小贤的解答过程从哪一步开始出现错误？请判断，并写出正确的解答过程．
【答案】第四步，正确解答见解析
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．
【详解】解：小贤的解答过程从第四步开始出现错误；
解：由①得，
所以，
由②得，
所以，
∴，
故原不等式组的解集是．
15. 某校九年级团委准备从甲、乙、丙3名同学中随机选取2名，作为学校国旗升旗手．
（1）“学生甲、丁都被选为学校国旗升旗手”是________事件．（填“必然”或“不可能”或“随机”）
（2）请用列表法或画树状图法，求学生甲、乙都被选为学校国旗升旗手的概率．
【答案】（1）随机 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的分类，画树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格．
（1）根据事件的分类方法进行解答即可；
（2）根据题意画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：学生甲、丁都被选为学校国旗升旗手是随机事件．
【小问2详解】
解：根据题意画出树状图，如图所示：
∵共有6种等可能的情况，其中甲、乙都被选为学校国旗升旗手的有2种情况，
∴甲、乙都被选为学校国旗升旗手的概率为．
16. 如图，这是的正方形网格，小正方形的顶点为格点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作锐角，使点在格点上，且是轴对称图形.
（2）在图2中作四边形，使点、在格点上，且四边形既中心对称图形，又是轴对称图形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了格点作图，轴对称图形和中心对称图形的定义，根据网格的特点和特殊四边形的性质作图是解题关键．
（1）取格点，由网格的性质可知，则是等腰三角形，即为轴对称图形；
（2）取格点、，由网格的性质可知，，，，则四边形是矩形，既是中心对称图形，又是轴对称图形．
【小问1详解】
解：如图，即为所求做；
【小问2详解】
解：如图，四边形即为所求做；
17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点在轴正半轴上，反比例函数的图象经过顶点．
（1）若，，求反比例函数解析式．
（2）若菱形的面积为20，直接写出反比例函数的解析式．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，求反比例函数的解析式．
（1）根据菱形的性质求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（2）设点的坐标为，利用菱形的性质得到，据此求解即可．
【小问1详解】
解：连接交于点，
由题意得，，，
∴，
∴点的坐标为，
∵反比例函数的图象经过顶点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：连接交于点，
设点的坐标为，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵菱形的面积为20，
∴，解得，
∴反比例函数的解析式为．
四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）
18. 图1是井冈山红旗雕塑的实物图，其正面可大致简化成图2，底座，，红旗边，，，，点，，在同一条直线上．
（1）连接，求证：．
（2）求雕塑顶端到地面的距离．
（参考数据：，，）
【答案】（1）证明见解析
（2）雕塑顶端到地面的距离为．
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，证明是解本题的关键；
（1）如图，记，的交点为，证明，再利用等腰三角形的性质可得结论；
（2）利用锐角三角函数先求解，再结合全等三角形的性质可得答案．
【小问1详解】
解：如图，记，的交点为，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴雕塑顶端到地面的距离为．
19. 某学校开展数学史知识竞赛，并准备购买，两种奖品奖励获奖同学．已知购买2个种奖品和1个种奖品共需55元；购买3个种奖品和2个种奖品共需90元．
（1）求，两种奖品的单价．
（2）学校准备购买，两种奖品共10个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是多少元？
【答案】（1）种奖品的单价为元，种奖品的单价为元；
（2）在购买方案中最少费用是170元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，读懂题意找出数量关系是解题关键．
（1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据题意列二元一次方程求解即可；
（2）设购买种奖品个，则购买种奖品个，根据题意列不等式，得到的取值范围，令购买费用为，得到关于的一次函数，再利用一次函数的增减性求解即可．
【小问1详解】
解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，
由题意得：，解得：，
答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元；
【小问2详解】
解：设购买种奖品个，则购买种奖品个，
由题意得：，
解得：，
令购买费用为，
则，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，最小值为，
即在购买方案中最少费用是170元．
20. 如图，平行四边形的顶点、、在上，连接，．
（1）若，，求的长．
（2）若，，求证：直线是的切线．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，圆的切线的证明，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
（1）如图，过作于，证明，求解，再利用弧长公式计算即可；
（2）如图，连接， 利用等腰三角形的性质与平行线的性质证明，可得，从而可得结论．
【小问1详解】
解：如图，过作于，
∵，，，
∴，，
∴，
∴=；
【小问2详解】
如图，连接，
∵，，
∴，
∵平行四边形，
∴，，而，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴直线是的切线．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分）
21. 宋代是江西古典文学发展的黄金时代，在诗、词、文等方面，都涌现出一大批出类拔萃的文人学者.唐宋八大家中的欧阳修、王安石、曾巩都是江西人.我省某市图书馆工作人员为全市中小学生上了一堂线上公开课，带领同学们走近唐宋八大家的文学世界，特别是介绍了欧阳修、王安石和曾巩的文学成就及传奇故事.受此启发，某校为了解学生对唐宋文化的知晓情况，进行了唐宋文化主题知识竞赛．
从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（满分100分，60分及以上为合格，90分及以上为优秀，分数都为10的倍数）进行整理、描述和分析，部分信息如下：
七、八年级学生测试成绩频数分布表
分析数据，得到以下统计量
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中________，________，________．
（2）若该校七、八年级各有600名学生参加此次测试，请估计这两个年级一共有多少名学生测试成绩达到优秀．
（3）结合上表中的统计量，判断哪个年级学生的成绩较好，并说明理由．（至少从两个角度说明推断的合理性）
【答案】（1），，．
（2）这两个年级一共有名学生测试成绩达到优秀
（3）八年级学生的成绩较好，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查频数分布表，中位数，由样本估计总体，利用中位数和众数做决策．
（1）根据所给数据，即可得出、、c的值；
（2）求出所调查的七、八年级学生中成绩达到分以上的学生所占百分比，再乘七、八年级学生总人数即可；
（3）根据表格结合中位数和平均数的意义即可选择．
小问1详解】
解：；
，
故答案为：，，．
【小问2详解】
根据表格可知所调查的七、八年级学生中成绩达到分以上的分别有、人，
∴该校七、八年级学生的成绩达到达到优秀的有（人）；
答：这两个年级一共有名学生测试成绩达到优秀
【小问3详解】
八年级，
理由：八年级学生中位数和众数都高于七年级学生，且合格率也高于七年级学生，所以八年级学生的成绩较好．
22. 课本再现
（1）如图1，是的外角，平分，，则________．（填“>”“=”或“<”）
类比迁移
（2）如图2，在中，是的一条角平分线，过点作交于点，求证：．
拓展运用
（3）如图3，在中，，是角平分线上一点，延长至点，使，过点作交于点，猜想与的数量关系，并进行证明．
【答案】（1）=；（2）见解析；（3），见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，，等量代换得，进而可证；
（2）由角平分线的定义得，由平行线的性质得，等量代换得，进而可证；
（3）由角平分线的定义得，根据证明得，，然后证明即可得出．
【详解】（1）∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：=；
（2）∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）连接．
∵平分，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
六、解答题（本大题12分）
23. 综合与实践
特例感知
（1）如图1，对于抛物线，，，，下列结论正确的序号是________．
①抛物线，，，的对称轴是直线；
②抛物线，，，由抛物线依次向上平移2个单位长度得到；
③抛物线，，，与直线的交点中，对称轴两侧相邻两点之间的距离相等．
概念形成
把满足的抛物线称为“族抛物线”．
知识应用
如图2，“族抛物线”的顶点依次为，，，，…，．
（2）试求线段的长．（用含的代数式表示）
（3）“族抛物线”，，，…，上分别有点，，，…，，它们的横坐标分别是2，3，4，…，.试判断点，，，…，是否在同一条直线上，如果在，求出此直线的解析式；如果不在，请说明理由．
【答案】（1）①③；（2）；（3）点，，，…，在同一条直线上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求出每个抛物线的顶点坐标和对称轴，及其与直线的交点坐标，即可得出答案；
（2）先将变形为，得出的顶点坐标为，并得出，求出结果即可；
（3）先求出点，，，…，，然后求出直线的解析式，再说明，…，在直线上．
【详解】解：（1）
，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
①抛物线，，，的对称轴是直线，故①正确；
②抛物线，，，由抛物线向上平移得到，但不是2个单位，故②错误；
③抛物线与直线的交点坐标为，；
抛物线与直线的交点坐标为，；
抛物线与直线的交点坐标为，；
抛物线与直线的交点坐标为，；
∴抛物线，，，与直线的交点中，对称轴两侧相邻两点之间的距离相等，故③正确．
综上分析可知，正确的是①③；
（2）∵
，
∴“族抛物线”的顶点坐标为，
则，
∴；
（3）把代入得：，则；
把代入得：，则；
把代入得：，则；
把代入得：，则；
把代入得：，则；
设直线的解析式为，把，代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得，
把代入得，
把代入得，
∴点、、在直线上，
∴点，，，…，在同一条直线上．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的性质，求一次函数解析，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．解：由①得，…………………………………………第一步
所以，……………………………………………………第二步
由②得，……………………………………………第三步
所以，……………………………………………………第四步
故原不等式组的解集是．……………………………第五步
分数
人数
年级
七年级
八年级
统计量
年级
平均数
中位数
众数
不合格率
七年级
八年级