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2024年广东省深圳市中考数学质检试卷（3月份）（含解析）
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这是一份2024年广东省深圳市中考数学质检试卷（3月份）（含解析），共25页。
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（3分）2023年“亚运+双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.3×106B．1.3×107C．0.13×108D．13×106
3．（3分）第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）“立身以立学为先，立学以读书为本．”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程（ ）
A．200（1+x）2＝728
B．200（1+x）+200（1+x）2＝728
C．200（1+x+x2）＝728
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝728
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a2•2a3＝6a6B．20＝0
C．（4x3）2＝16x6D．3﹣2＝﹣
7．（3分）对一组数据：4、6、﹣4、6、8，描述正确的是（ ）
A．中位数是﹣4B．平均数是5
C．众数是6D．方差是7
8．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，AD＝2AO，若△ABC的周长是5，则△DEF的周长是（ ）
A．10B．15C．20D．25
9．（3分）A，B两地相距60千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地所用时间比从B地逆流航行至A地所用时间少45分钟，已知船在静水中航行的速度为20千米/时．若设水流速度为x千米/时（x＜20），则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①；②∠PDE＝15°；③；④；⑤DE2＝PF•PC．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在实数范围内分解因式：3a2﹣18＝ ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：
①△（a，b）＝（﹣a，b）；
②〇（a，b）＝（﹣a，﹣b）；
③Ω（a，b）＝（a，﹣b），
按照以上变换例如：△（〇（1，2））＝（1，﹣2），则〇（Ω（3，4））等于 ．
13．（3分）如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为 ．
14．（3分）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MNB＝50°，则∠AOM＝ ．
15．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 ．
三.解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）计算：．
17．（6分）化简求值：，其中x为数据4，5，6，5，3，2的众数．
18．（8分）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
请根据图表信息解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，点F在BC的延长线上，连接DF，∠F＝∠BAC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）从以下三个选项中选一个作为条件，使DF∥AC成立，并说明理由；
①AB＝AC；
②；
③∠CAD＝∠ABD；
你选的条件是： ．
20．（8分）某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．如图，在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元/kg时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？
21．（9分）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度 DE＝2米，竖直高度EF＝0.7米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．
（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若d＝3.2米，灌溉车行驶时喷出的水 （填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
22．（11分）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．
（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．
①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．
2024年广东省深圳市中考数学质检试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）2024的倒数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【分析】根据乘积是1的两数互为倒数解答即可．
【解答】解：2024的倒数是；
故选：C．
2．（3分）2023年“亚运+双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.3×106B．1.3×107C．0.13×108D．13×106
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：13000000＝1.3×107，
故选：B．
3．（3分）第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
4．（3分）如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图如下：
．
故选：C．
5．（3分）“立身以立学为先，立学以读书为本．”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程（ ）
A．200（1+x）2＝728
B．200（1+x）+200（1+x）2＝728
C．200（1+x+x2）＝728
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝728
【分析】由第一个月进馆人次及进馆人次的月增长率，可得出第二个月进馆200（1+x）人次，第三个月进馆200（1+x）2人次，结合前三个月累计进馆728人次，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵第一个月进馆200人次，且进馆人次的月增长率为x，
∴第二个月进馆200（1+x）人次，第三个月进馆200（1+x）2人次．
根据题意得：200+200（1+x）+200（1+x）2＝728．
故选：D．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a2•2a3＝6a6B．20＝0
C．（4x3）2＝16x6D．3﹣2＝﹣
【分析】A．根据单项式乘单项式和同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
B．根据零指数幂的性质进行计算，然后判断即可；
C．根据积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
D．根据负指数幂的性质进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵3a2•2a3＝6a5，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵20＝1，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵（4x3）2＝16x6，∴此选项计算正确，故此选项符合题意；
D．∵，∴此选项计算错误，故不符合题意；
故选：C．
7．（3分）对一组数据：4、6、﹣4、6、8，描述正确的是（ ）
A．中位数是﹣4B．平均数是5
C．众数是6D．方差是7
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的定义逐项分析判断即可．
【解答】解：对一组数据4、6、﹣4、6、8，
将这组数据从小到大排列为﹣4，4，6，6，8，最中间的数为6，所以中位数为6，选项A描述错误，不符合题意；
其平均数为＝4，选项B描述错误，不符合题意；
这组数据中，6出现了2次，出现的次数最多，所以众数为6，选项C描述正确，符合题意；
这组数据的方差为[（﹣4﹣4）2+（4﹣4）2+2×（6﹣4）2+（8﹣4）2]＝17.6，故选项D描述错误，不符合题意．
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，AD＝2AO，若△ABC的周长是5，则△DEF的周长是（ ）
A．10B．15C．20D．25
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△ABO∽△DEO，
∴＝＝，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，
∵△ABC的周长是5，
∴△DEF的周长是15，
故选：B．
9．（3分）A，B两地相距60千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地所用时间比从B地逆流航行至A地所用时间少45分钟，已知船在静水中航行的速度为20千米/时．若设水流速度为x千米/时（x＜20），则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接根据题意得出顺水速以及逆水速，进而表示出所用时间即可得出答案．
【解答】解：根据题意，得：﹣＝．
故选：A．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①；②∠PDE＝15°；③；④；⑤DE2＝PF•PC．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由正方形和等边三角形的性质得AD∥BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC，则∠PEF＝∠PFE＝60°，∠ABE＝∠PCD＝30°，所以PE＝PF，则EB＝FC，所以AE＝EB＝FC，可判断①正确；可求得∠PDC＝∠DPC＝75°，则∠PDE＝15°，可判断②正确；设PB＝PC＝BC＝CD＝2m，作PG⊥BC于点G，PL⊥CD于点L，则PL＝CG＝BG＝m，求得PG＝m，则＝，可判断③正确；再证明△DFH∽△BCH，则＝＝，求得＝＝≠，可判断④错误；再证明△PED∽△DEB，得＝，则DE2＝PE•BE＝PF•CF≠PF•PC，可判断⑤错误，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△BPC是等边三角形，
∴AD∥BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC，
∴∠PEF＝∠PBC＝60°，∠PFE＝∠PCB＝60°，∠ABE＝∠PCD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠PEF＝∠PFE，AE＝EB，
∴PE＝PF，
∴PB+PE＝PC+PF，
∴EB＝FC，
∴AE＝FC，
故①正确；
∵PC＝DC＝BC，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝∠DPC＝×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠PDE＝∠ADC﹣∠PDC＝90°﹣75°＝15°，
故②正确；
设PB＝PC＝BC＝CD＝2m，作PG⊥BC于点G，PL⊥CD于点L，
∵∠PGC＝∠GCL＝∠PLC＝90°，
∴四边形PGCL是矩形，
∴PL＝CG＝BG＝BC＝m，
∴PG＝＝＝m，
∴＝＝＝，
故③正确；
∵＝tan30°＝，
∴＝，
∵DF∥BC，
∴△DFH∽△BCH，
∴＝＝，
∴＝＝≠，
故④错误；
∵∠PBC＝60°，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∴∠DBE＝∠PBC﹣∠DBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠PDE＝∠DBE，
∵∠PED＝∠DEB，
∴△PED∽△DEB，
∴＝，
∴DE2＝PE•BE＝PF•CF≠PF•PC，
故⑤错误，
故选：C．
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在实数范围内分解因式：3a2﹣18＝ 3（a+）（a﹣） ．
【分析】首先提取公因式3，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：3a2﹣18
＝3（a2﹣6）
＝3（a+）（a﹣）．
故答案为：3（a+）（a﹣）．
12．（3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：
①△（a，b）＝（﹣a，b）；
②〇（a，b）＝（﹣a，﹣b）；
③Ω（a，b）＝（a，﹣b），
按照以上变换例如：△（〇（1，2））＝（1，﹣2），则〇（Ω（3，4））等于 （﹣3，4） ．
【分析】根据三种变换规律的特点解答即可．
【解答】解：〇（Ω（3，4））＝〇（3，﹣4）＝（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
13．（3分）如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】先设A点坐标，再根据点A在第二象限，则x＜0，y＞0，然后由三角形面积公式求出xy即可．
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），
∵点A在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴S△ABC＝AB•OB＝|x|•|y|＝﹣xy＝2，
∴xy＝﹣4，
∵A是反比例函数y＝的图象上一点，
∴k＝xy＝﹣4，
故答案为：﹣4．
14．（3分）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MNB＝50°，则∠AOM＝ 25° ．
【分析】通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可．
【解答】解：∵MN∥OA，
∴∠AOB＝∠MNB＝50°，
由题意可知：OM平分∠AOB，
∴．
故答案为：25°．
15．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 2 ．
【分析】以OA为对称轴作等边△AMN，由“SAS”可证△ANC≌△AMB，可得∠AMB＝∠ANC＝60°，由直角三角形的性质可求∠AEN＝30°，EO＝ON＝6，则点C在EN上移动，当OC'⊥EN时，OC'有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△AMN，延长CN交x轴于E，
∵△ABC是等边三角形，△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN，AB＝AC，∠MAN＝∠BAC，∠AMN＝60°＝∠ANM，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△ANC≌△AMB（SAS），
∴∠AMB＝∠ANC＝60°，
∴∠ENO＝60°，
∵AO＝4，∠AMB＝60°，AO⊥BO，
∴MO＝NO＝，
∵∠ENO＝60°，∠EON＝90°，
∴∠AEN＝30°，EO＝ON＝4，
∴点C在EN上移动，
∴当OC'⊥EN时，OC'有最小值，
此时，O'C＝EO＝2．
故答案为：2．
三.解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）计算：．
【分析】利用绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣﹣4+1﹣6×
＝2﹣﹣4+1﹣3
＝﹣1﹣4．
17．（6分）化简求值：，其中x为数据4，5，6，5，3，2的众数．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝÷
＝÷
＝•
＝
＝，
∵x为数据4，5，6，5，3，2的众数，
∴x＝5，
∴当x＝5时，原式＝＝＝．
18．（8分）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
请根据图表信息解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
【分析】（1）成绩在60≤x＜70的有10人，占调查人数的10%，由频率＝可求出调查人数，进而求出a、b、c的值；
（2）根据频数分布表中的频数补全频数分布直方图；
（3）从2男1女三人中随机选取2人，用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）调查人数为：10÷0.1＝100（人），b＝15÷100＝0.15，a＝0.35×100＝35，c＝40÷100＝0.4，
答：a＝35，b＝0.15，c＝0.4；
（2）由各组频数补全频数分布直方图如下：
（3）用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有6种等可能出现的结果，其中1男1女的有4种，
所以抽取的2名学生恰好为1男1女的概率是＝．
19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，点F在BC的延长线上，连接DF，∠F＝∠BAC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）从以下三个选项中选一个作为条件，使DF∥AC成立，并说明理由；
①AB＝AC；
②；
③∠CAD＝∠ABD；
你选的条件是： ②或③ ．
【分析】（1）根据圆周角定理以及切线的判定方法进行解答即可；
（2）根据平行线的判定和性质，垂径定理以及切线的性质进行判断即可．
【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠CAD＝90°，
∵∠BAC＝∠F，∠CAD＝∠DBF，
∴∠DBF+∠F＝90°，
∴BD⊥DF，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：选②或③，
若选②，理由：
∵＝，BD是⊙O的直径，
∴AC⊥BD，
由（1）可知DF⊥BD，
∴AC∥DF；
若选③，理由：
∵∠CAD＝∠ABD，
∴∵＝，
又∵BD是⊙O的直径，
∴AC⊥BD，
∵DF⊥BD，
∴AC∥DF．
20．（8分）某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．如图，在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元/kg时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据一次函数过（12，36），（14，32）可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式，
（2）先求出总利润W与x的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润，但应注意抛物线的对称轴，不能使用顶点式直接求．
【解答】解：（1）设关系式为y＝kx+b，把（12，36），（17，26）代入得：
，
解得：k＝﹣2，b＝60，
∴y与x的之间的函数关系式为y＝﹣2x+60，自变量的取值范围为：10≤x≤18．
（2）W＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200，
∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x＝20，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∵10≤x≤18，
∴当x＝18时，（元），
答：W与x之间的函数关系式为W＝﹣2（x﹣20）2+200，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元．
21．（9分）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度 DE＝2米，竖直高度EF＝0.7米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．
（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若d＝3.2米，灌溉车行驶时喷出的水 不能 （填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
【分析】（1）由顶点A（2，1.6）得，设y＝a（x﹣2）2+1.6，再根据抛物线过点（0，1.2），可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
（3）根据OD＝d＝3.2米，DE＝2米，EF＝0.7米，可求得点F的坐标为（5.2，0.7），当x＝5.2时，y＝﹣（5.2﹣2）2+1.6＝＝0.576＜0.7，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图2，由题意得A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+1.6，
又∵抛物线过点（0，1.2），
∴1.2＝4a+1.6，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1.6，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+1.6，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
（3）∵OD＝d＝3.2米，DE＝2米，EF＝0.7米，
∴点F的坐标为（5.2，0.7），
当x＝5.2时，y＝﹣（5.2﹣2）2+1.6＝＝0.576＜0.7，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
22．（11分）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．
（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．
①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是 相等 ，位置关系是 垂直 ；
②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．
【分析】（1）①证明△ABE≌△BCF，得到BE＝CF，AE＝BF，再证明四边形BEHF为平行四边形，从而可得结果；
②根据（1）中同样的证明方法求证即可；
（2）先判断出EF最小时，GM最小，设BE＝x，证明△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF＝，求出最值即可得到GM的最小值．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，即∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE，又AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵△FCH为等腰直角三角形，
∴FC＝FH＝BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，
∴FH∥BC，
∴四边形BEHF为平行四边形，
∴BF∥EH且BF＝EH，
∴AE＝EH，AE⊥EH，
故答案为：相等；垂直；
②成立，理由是：
当点E在线段BC的延长线上时，
同理可得：△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵△FCH为等腰直角三角形，
∴FC＝FH＝BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，
∴FH∥BC，
∴四边形BEHF为平行四边形，
∴BF∥EH且BF＝EH，
∴AE＝EH，AE⊥EH；
（2）连接EF，
∵四边形BEHF是平行四边形，
∴EM＝FM，
∵∠EGF＝90°，
∴GM＝EF，
∴要GM最小，即EF最小，
∵AB＝3，BC＝2，
设BE＝x，则CE＝2﹣x，
同（1）可得：∠CBF＝∠BAE，
又∵∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴，即，
∴CF＝，
∴EF＝＝，
设y＝，
当x＝时，y取最小值，
∴EF的最小值为，
故GM的最小值为．
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频数/人
频率
60≤x＜70
10
0.1
70≤x＜80
15
b
80≤x＜90
a
0.35
90≤x≤100
40
c
成绩/分
频数/人
频率
60≤x＜70
10
0.1
70≤x＜80
15
b
80≤x＜90
a
0.35
90≤x≤100
40
c
A．2024B．﹣2024C．D．
2．（3分）2023年“亚运+双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.3×106B．1.3×107C．0.13×108D．13×106
3．（3分）第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）“立身以立学为先，立学以读书为本．”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程（ ）
A．200（1+x）2＝728
B．200（1+x）+200（1+x）2＝728
C．200（1+x+x2）＝728
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝728
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a2•2a3＝6a6B．20＝0
C．（4x3）2＝16x6D．3﹣2＝﹣
7．（3分）对一组数据：4、6、﹣4、6、8，描述正确的是（ ）
A．中位数是﹣4B．平均数是5
C．众数是6D．方差是7
8．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，AD＝2AO，若△ABC的周长是5，则△DEF的周长是（ ）
A．10B．15C．20D．25
9．（3分）A，B两地相距60千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地所用时间比从B地逆流航行至A地所用时间少45分钟，已知船在静水中航行的速度为20千米/时．若设水流速度为x千米/时（x＜20），则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①；②∠PDE＝15°；③；④；⑤DE2＝PF•PC．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在实数范围内分解因式：3a2﹣18＝ ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：
①△（a，b）＝（﹣a，b）；
②〇（a，b）＝（﹣a，﹣b）；
③Ω（a，b）＝（a，﹣b），
按照以上变换例如：△（〇（1，2））＝（1，﹣2），则〇（Ω（3，4））等于 ．
13．（3分）如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为 ．
14．（3分）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MNB＝50°，则∠AOM＝ ．
15．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 ．
三.解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）计算：．
17．（6分）化简求值：，其中x为数据4，5，6，5，3，2的众数．
18．（8分）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
请根据图表信息解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，点F在BC的延长线上，连接DF，∠F＝∠BAC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）从以下三个选项中选一个作为条件，使DF∥AC成立，并说明理由；
①AB＝AC；
②；
③∠CAD＝∠ABD；
你选的条件是： ．
20．（8分）某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．如图，在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元/kg时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？
21．（9分）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度 DE＝2米，竖直高度EF＝0.7米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．
（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若d＝3.2米，灌溉车行驶时喷出的水 （填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
22．（11分）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．
（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．
①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．
2024年广东省深圳市中考数学质检试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）2024的倒数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【分析】根据乘积是1的两数互为倒数解答即可．
【解答】解：2024的倒数是；
故选：C．
2．（3分）2023年“亚运+双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为（ ）
A．1.3×106B．1.3×107C．0.13×108D．13×106
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：13000000＝1.3×107，
故选：B．
3．（3分）第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
4．（3分）如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图如下：
．
故选：C．
5．（3分）“立身以立学为先，立学以读书为本．”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程（ ）
A．200（1+x）2＝728
B．200（1+x）+200（1+x）2＝728
C．200（1+x+x2）＝728
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝728
【分析】由第一个月进馆人次及进馆人次的月增长率，可得出第二个月进馆200（1+x）人次，第三个月进馆200（1+x）2人次，结合前三个月累计进馆728人次，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵第一个月进馆200人次，且进馆人次的月增长率为x，
∴第二个月进馆200（1+x）人次，第三个月进馆200（1+x）2人次．
根据题意得：200+200（1+x）+200（1+x）2＝728．
故选：D．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a2•2a3＝6a6B．20＝0
C．（4x3）2＝16x6D．3﹣2＝﹣
【分析】A．根据单项式乘单项式和同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
B．根据零指数幂的性质进行计算，然后判断即可；
C．根据积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
D．根据负指数幂的性质进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵3a2•2a3＝6a5，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵20＝1，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵（4x3）2＝16x6，∴此选项计算正确，故此选项符合题意；
D．∵，∴此选项计算错误，故不符合题意；
故选：C．
7．（3分）对一组数据：4、6、﹣4、6、8，描述正确的是（ ）
A．中位数是﹣4B．平均数是5
C．众数是6D．方差是7
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的定义逐项分析判断即可．
【解答】解：对一组数据4、6、﹣4、6、8，
将这组数据从小到大排列为﹣4，4，6，6，8，最中间的数为6，所以中位数为6，选项A描述错误，不符合题意；
其平均数为＝4，选项B描述错误，不符合题意；
这组数据中，6出现了2次，出现的次数最多，所以众数为6，选项C描述正确，符合题意；
这组数据的方差为[（﹣4﹣4）2+（4﹣4）2+2×（6﹣4）2+（8﹣4）2]＝17.6，故选项D描述错误，不符合题意．
故选：C．
8．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，AD＝2AO，若△ABC的周长是5，则△DEF的周长是（ ）
A．10B．15C．20D．25
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△ABO∽△DEO，
∴＝＝，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，
∵△ABC的周长是5，
∴△DEF的周长是15，
故选：B．
9．（3分）A，B两地相距60千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地所用时间比从B地逆流航行至A地所用时间少45分钟，已知船在静水中航行的速度为20千米/时．若设水流速度为x千米/时（x＜20），则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接根据题意得出顺水速以及逆水速，进而表示出所用时间即可得出答案．
【解答】解：根据题意，得：﹣＝．
故选：A．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①；②∠PDE＝15°；③；④；⑤DE2＝PF•PC．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由正方形和等边三角形的性质得AD∥BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC，则∠PEF＝∠PFE＝60°，∠ABE＝∠PCD＝30°，所以PE＝PF，则EB＝FC，所以AE＝EB＝FC，可判断①正确；可求得∠PDC＝∠DPC＝75°，则∠PDE＝15°，可判断②正确；设PB＝PC＝BC＝CD＝2m，作PG⊥BC于点G，PL⊥CD于点L，则PL＝CG＝BG＝m，求得PG＝m，则＝，可判断③正确；再证明△DFH∽△BCH，则＝＝，求得＝＝≠，可判断④错误；再证明△PED∽△DEB，得＝，则DE2＝PE•BE＝PF•CF≠PF•PC，可判断⑤错误，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△BPC是等边三角形，
∴AD∥BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC，
∴∠PEF＝∠PBC＝60°，∠PFE＝∠PCB＝60°，∠ABE＝∠PCD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠PEF＝∠PFE，AE＝EB，
∴PE＝PF，
∴PB+PE＝PC+PF，
∴EB＝FC，
∴AE＝FC，
故①正确；
∵PC＝DC＝BC，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝∠DPC＝×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠PDE＝∠ADC﹣∠PDC＝90°﹣75°＝15°，
故②正确；
设PB＝PC＝BC＝CD＝2m，作PG⊥BC于点G，PL⊥CD于点L，
∵∠PGC＝∠GCL＝∠PLC＝90°，
∴四边形PGCL是矩形，
∴PL＝CG＝BG＝BC＝m，
∴PG＝＝＝m，
∴＝＝＝，
故③正确；
∵＝tan30°＝，
∴＝，
∵DF∥BC，
∴△DFH∽△BCH，
∴＝＝，
∴＝＝≠，
故④错误；
∵∠PBC＝60°，∠DBC＝∠BDC＝45°，
∴∠DBE＝∠PBC﹣∠DBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠PDE＝∠DBE，
∵∠PED＝∠DEB，
∴△PED∽△DEB，
∴＝，
∴DE2＝PE•BE＝PF•CF≠PF•PC，
故⑤错误，
故选：C．
二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）在实数范围内分解因式：3a2﹣18＝ 3（a+）（a﹣） ．
【分析】首先提取公因式3，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：3a2﹣18
＝3（a2﹣6）
＝3（a+）（a﹣）．
故答案为：3（a+）（a﹣）．
12．（3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：
①△（a，b）＝（﹣a，b）；
②〇（a，b）＝（﹣a，﹣b）；
③Ω（a，b）＝（a，﹣b），
按照以上变换例如：△（〇（1，2））＝（1，﹣2），则〇（Ω（3，4））等于 （﹣3，4） ．
【分析】根据三种变换规律的特点解答即可．
【解答】解：〇（Ω（3，4））＝〇（3，﹣4）＝（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
13．（3分）如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C在x轴上，且S△ABC＝2，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】先设A点坐标，再根据点A在第二象限，则x＜0，y＞0，然后由三角形面积公式求出xy即可．
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），
∵点A在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴S△ABC＝AB•OB＝|x|•|y|＝﹣xy＝2，
∴xy＝﹣4，
∵A是反比例函数y＝的图象上一点，
∴k＝xy＝﹣4，
故答案为：﹣4．
14．（3分）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MNB＝50°，则∠AOM＝ 25° ．
【分析】通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可．
【解答】解：∵MN∥OA，
∴∠AOB＝∠MNB＝50°，
由题意可知：OM平分∠AOB，
∴．
故答案为：25°．
15．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为 2 ．
【分析】以OA为对称轴作等边△AMN，由“SAS”可证△ANC≌△AMB，可得∠AMB＝∠ANC＝60°，由直角三角形的性质可求∠AEN＝30°，EO＝ON＝6，则点C在EN上移动，当OC'⊥EN时，OC'有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，以OA为对称轴作等边△AMN，延长CN交x轴于E，
∵△ABC是等边三角形，△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN，AB＝AC，∠MAN＝∠BAC，∠AMN＝60°＝∠ANM，
∴∠BAM＝∠CAN，
∴△ANC≌△AMB（SAS），
∴∠AMB＝∠ANC＝60°，
∴∠ENO＝60°，
∵AO＝4，∠AMB＝60°，AO⊥BO，
∴MO＝NO＝，
∵∠ENO＝60°，∠EON＝90°，
∴∠AEN＝30°，EO＝ON＝4，
∴点C在EN上移动，
∴当OC'⊥EN时，OC'有最小值，
此时，O'C＝EO＝2．
故答案为：2．
三.解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）计算：．
【分析】利用绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝2﹣﹣4+1﹣6×
＝2﹣﹣4+1﹣3
＝﹣1﹣4．
17．（6分）化简求值：，其中x为数据4，5，6，5，3，2的众数．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝÷
＝÷
＝•
＝
＝，
∵x为数据4，5，6，5，3，2的众数，
∴x＝5，
∴当x＝5时，原式＝＝＝．
18．（8分）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
请根据图表信息解答下列问题：
（1）求a，b，c的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
【分析】（1）成绩在60≤x＜70的有10人，占调查人数的10%，由频率＝可求出调查人数，进而求出a、b、c的值；
（2）根据频数分布表中的频数补全频数分布直方图；
（3）从2男1女三人中随机选取2人，用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）调查人数为：10÷0.1＝100（人），b＝15÷100＝0.15，a＝0.35×100＝35，c＝40÷100＝0.4，
答：a＝35，b＝0.15，c＝0.4；
（2）由各组频数补全频数分布直方图如下：
（3）用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有6种等可能出现的结果，其中1男1女的有4种，
所以抽取的2名学生恰好为1男1女的概率是＝．
19．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径BD与AC交于点E，点F在BC的延长线上，连接DF，∠F＝∠BAC．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）从以下三个选项中选一个作为条件，使DF∥AC成立，并说明理由；
①AB＝AC；
②；
③∠CAD＝∠ABD；
你选的条件是： ②或③ ．
【分析】（1）根据圆周角定理以及切线的判定方法进行解答即可；
（2）根据平行线的判定和性质，垂径定理以及切线的性质进行判断即可．
【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠CAD＝90°，
∵∠BAC＝∠F，∠CAD＝∠DBF，
∴∠DBF+∠F＝90°，
∴BD⊥DF，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：选②或③，
若选②，理由：
∵＝，BD是⊙O的直径，
∴AC⊥BD，
由（1）可知DF⊥BD，
∴AC∥DF；
若选③，理由：
∵∠CAD＝∠ABD，
∴∵＝，
又∵BD是⊙O的直径，
∴AC⊥BD，
∵DF⊥BD，
∴AC∥DF．
20．（8分）某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．如图，在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元/kg时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据一次函数过（12，36），（14，32）可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式，
（2）先求出总利润W与x的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润，但应注意抛物线的对称轴，不能使用顶点式直接求．
【解答】解：（1）设关系式为y＝kx+b，把（12，36），（17，26）代入得：
，
解得：k＝﹣2，b＝60，
∴y与x的之间的函数关系式为y＝﹣2x+60，自变量的取值范围为：10≤x≤18．
（2）W＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200，
∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x＝20，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∵10≤x≤18，
∴当x＝18时，（元），
答：W与x之间的函数关系式为W＝﹣2（x﹣20）2+200，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元．
21．（9分）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度为h＝1.2米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度 DE＝2米，竖直高度EF＝0.7米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离OD为d米．
（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC；
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若d＝3.2米，灌溉车行驶时喷出的水 不能 （填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
【分析】（1）由顶点A（2，1.6）得，设y＝a（x﹣2）2+1.6，再根据抛物线过点（0，1.2），可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；
（3）根据OD＝d＝3.2米，DE＝2米，EF＝0.7米，可求得点F的坐标为（5.2，0.7），当x＝5.2时，y＝﹣（5.2﹣2）2+1.6＝＝0.576＜0.7，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图2，由题意得A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点，
设y＝a（x﹣2）2+1.6，
又∵抛物线过点（0，1.2），
∴1.2＝4a+1.6，
∴a＝﹣，
∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1.6，
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+1.6，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）∵对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.2）的对称点为（4，1.2），
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为（2，0）；
（3）∵OD＝d＝3.2米，DE＝2米，EF＝0.7米，
∴点F的坐标为（5.2，0.7），
当x＝5.2时，y＝﹣（5.2﹣2）2+1.6＝＝0.576＜0.7，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
22．（11分）在矩形ABCD中，点E是射线BC上一动点，连接AE，过点B作BF⊥AE于点G，交直线CD于点F．
（1）当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．
①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是 相等 ，位置关系是 垂直 ；
②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作平行四边形BEHF，M是BH中点，连接GM，AB＝3，BC＝2，求GM的最小值．
【分析】（1）①证明△ABE≌△BCF，得到BE＝CF，AE＝BF，再证明四边形BEHF为平行四边形，从而可得结果；
②根据（1）中同样的证明方法求证即可；
（2）先判断出EF最小时，GM最小，设BE＝x，证明△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF＝，求出最值即可得到GM的最小值．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，即∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE，又AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵△FCH为等腰直角三角形，
∴FC＝FH＝BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，
∴FH∥BC，
∴四边形BEHF为平行四边形，
∴BF∥EH且BF＝EH，
∴AE＝EH，AE⊥EH，
故答案为：相等；垂直；
②成立，理由是：
当点E在线段BC的延长线上时，
同理可得：△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF，AE＝BF，
∵△FCH为等腰直角三角形，
∴FC＝FH＝BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，
∴FH∥BC，
∴四边形BEHF为平行四边形，
∴BF∥EH且BF＝EH，
∴AE＝EH，AE⊥EH；
（2）连接EF，
∵四边形BEHF是平行四边形，
∴EM＝FM，
∵∠EGF＝90°，
∴GM＝EF，
∴要GM最小，即EF最小，
∵AB＝3，BC＝2，
设BE＝x，则CE＝2﹣x，
同（1）可得：∠CBF＝∠BAE，
又∵∠ABE＝∠BCF＝90°，
∴△ABE∽△BCF，
∴，即，
∴CF＝，
∴EF＝＝，
设y＝，
当x＝时，y取最小值，
∴EF的最小值为，
故GM的最小值为．
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频数/人
频率
60≤x＜70
10
0.1
70≤x＜80
15
b
80≤x＜90
a
0.35
90≤x≤100
40
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成绩/分
频数/人
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10
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70≤x＜80
15
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a
0.35
90≤x≤100
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