最新中考几何专项复习专题26 三角形的外接圆（提优）

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策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
专题26 三角形的外接圆(提优)
一．选择题
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，若∠OBC＝30°，则∠A的度数为( )
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】连接OA，OC，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接OA，OC，
∵点O是△ABC的外心，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，∠OAC＝∠OCA，
∵∠OBC＝30°，
∴∠OCB＝30°，
∴∠BAC=12(180°﹣30°﹣30°)＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．如图，△ABC为圆O的内接三角形，AB为圆O的直径，点D在圆O上，∠BAC＝35°，则∠ADC的度数为( )
A．45°B．50°C．55°D．65°
【分析】由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性质求出∠B＝50°，再由圆周角定理得出∠ADC＝∠B＝55°即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝35°，
∴∠B＝90°﹣35°＝55°，
∴∠ADC＝∠B＝55°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为2cm，若BC＝2cm，则∠A的度数为( )
A．30°B．25°C．15°D．10°
【分析】连接OB和OC，证明△OBC为等边三角形，得到∠BOC的度数，再利用圆周角定理得出∠A．
【解答】解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2，BC＝2，
∴OB＝OC＝BC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A=12∠BOC＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
4．如图，点D，E分别是⊙O的内接正三角形ABC的AB，AC边的中点，若DE＝1，则⊙O的直径为( )
A．32B．3C．233D．433
【分析】连接OB、OC，作OF⊥BC于F，根据三角形中位线定理求出BC，根据圆周角定理得到∠BOC＝120°，利用余弦的概念计算即可．
【解答】解：连接OB、OC，作OF⊥BC于F，
则BF＝CF=12BC，
∵点D，E分别AB，AC边的中点，
∴BC＝2DE＝2，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝120°，
∴∠OBF＝30°，
∴OB=BFcs∠OBF=132=233，
∴⊙O的直径为433，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形中位线定理、圆周角定理以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为( )
A．55°B．65°C．60°D．75°
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC=12∠BDC＝65°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为( )
A．4B．43C．833D．23
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，
∴CD=12AD＝4，
∴AC=AD2−CD2=82−42=43，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，已知圆心〇在AB边上，CD平分∠ACB交圆于点D，连接BD，若BD＝BC，则∠ABC的度数为( )
A．30°B．42.5°C．45°D．60°
【分析】易证AB为⊙O的直径，∠ACB＝90°，由角平分线的性质得出∠ACD＝∠BCD＝45°，由等腰三角形的性质得出∠BCD＝∠BDC＝45°，再∠DBC＝90°，由圆周角定理得出∠ABD＝∠ACD＝45°，即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC是⊙O的内接三角形，圆心〇在AB边上，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
∴∠DBC＝90°，
∵∠ABD＝∠ACD＝45°，
∴∠ABC＝90°﹣45°＝45°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心、角平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和三角形外接圆与外心性质是解题的关键．
8．如图，圆O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，∠OAC＝20°，则∠ABC的度数为( )
A．140°B．110°C．70°D．40°
【分析】在优弧AMC上任取一点P，连接AP，CP，易求∠AOC的度数，则∠P的度数可得，再根据圆的内接四边形定理即可求出∠ABC的度数．
【解答】解：在优弧AMC上任取一点P，连接AP，CP，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝20°，
∴∠AOC＝180°﹣2×20°＝140°，
∴∠P＝70°，
∵∠ABC+∠P＝180°，
∴∠ABC＝110°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心的有关知识点，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键．
9．如图，△ABC，AC＝3，BC＝43，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为( )
A．3−1B．7﹣43C．3D．1
【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC＝120°，由此推出点E在以O'为圆心，O'B为半径的BC上运动，连接O'A交BC于E′，此时AE′的值最小．
【解答】解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的BC上运动，
连接O'A交BC于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．
∵∠BE'C＝120°
∴BC所对圆周角为60°，
∴∠BOC＝2×60°＝120°，
∵△BO′C是等腰三角形，BC＝43，
∴O′B＝O′C＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
∴O'A=O'C2+AC2=42+32=5，
∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．
10．如图△ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，则∠OED的大小为( )
A．15°B．18°C．20°D．22°
【分析】如图，连接OC，取OC中点F，连接EF、DF，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝80°，OE＝OF，求得∠OEF＝∠OFE=12(180°﹣80°)＝50°，连接OB，推出△OFD为等边三角形，得到OD＝OF＝OE，于是得到结论．
【解答】解：如图，连接OC，取OC中点F，连接EF、DF，
∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE=12(180°﹣80°)＝50°，
连接OB，
∵D为BC中点，
∴BD＝CD，OD⊥BC，
∴∠DOC=12∠BOC，
∵∠BAC=12∠BOC，
∴∠DOC＝∠BAC，
∴∠DOC＝∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵F为OC中点，
∴OF＝FD，
∴△OFD为等边三角形，
∴OD＝OF＝OE，
∴O、E、F、D四点共圆，
∴∠FED=12∠FOD=30°，
∴∠OED＝50°﹣30°＝20°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
11．如图，△ABC的外接圆⊙O的直径BE交AC于点D，已知弧BC等于120°，ctC=233，则关于x的一元二次方程x2−3BDx+BD⋅DE=0根的情况是( )
A．没有实数根
B．有两个相等的正实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的正实数根
【分析】BD为直径，连接CE，构成直角三角形．过O点作OF⊥BC．在Rt△CDF中，运用锐角三角函数求边长；在Rt△BCE中，因为弧BC等于120°，可求其两锐角分别为60°、30°，根据锐角三角函数可求BD、DE的长，代入判别式中，确定判别式的符号．
【解答】解：过O点作OF⊥BC，垂足为点F，连接CE．
在Rt△CDF中，ctC=233．
设CF＝2，则DF=3．
已知弧BC等于120°，BE为直径，
所以∠E＝60°，∠ECB＝90°，∠EBC＝30°．
在Rt△BDF中，BD＝2DF＝23，BF＝3．
在Rt△BCE中，BC＝BF+CF＝5，BE=5cs30°=1033，
DE＝BE﹣BD=433．
∵△＝(3BD)2﹣4•BD•DE
＝(3×23)2﹣4×23×433
＝36﹣32＝4＞0，
又x1+x2=3BD＞0，x1•x2＝BD•DE＞0，
∴方程有两个不相等的正实数根，
故选：D．
【点评】本题是圆的问题、锐角三角函数与一元二次方程根的判别式的综合运用，一般需要把问题转化到直角三角形中，利用锐角三角函数设边长，求边长，再用判别式判断方程根的情况．
二．填空题
12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为 43 ．
【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，
∴CD=12AD＝4，
∴AC=82−42=43，
故答案为：43．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
13．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝ 40 °．
【分析】根据直径所对圆周角是直角和同弧所对圆周角相等即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：如图，连接BD，
∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝50°，
∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACD＝∠ABD＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心．
14．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是 120 度．
【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120°，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．
【解答】解：连接OA，OB，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∴∠OAD＝∠OBE，
∵AD＝BE，
∴△OAD≌△OBE(SAS)，
∴∠DOA＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝120°，
故答案为：120．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．如图，已知O为坐标原点，点A的坐标为(0，8)．点B的坐标为(6，0)，⊙D过A，B，O三点，C为优弧OAB上一点(不与点O重合)，则csC的值为 45 ．
【分析】连接AB，由勾股定理可求AB的长，由圆周角定理可得∠C＝∠BAO，由锐角三角函数可求解．
【解答】解：如图，连接AB，
∵点A的坐标为(0，8)．点B的坐标为(6，0)，
∴AO＝8，BO＝6，
∴AB=AO2+BO2=64+36=10，
∵∠C＝∠BAO，
∴csC＝cs∠BAO=AOAB=810=45，
故答案为：45．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
16．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，则BD的长为 2 ．
【分析】可以连接OB，根据∠DOC＝2∠ACD＝90°．得∠ACD＝45°，进而得∠BCD＝30°，∠BOC＝150°，∠DOB＝60°，证明△BOD是等边三角形，即可求得BD的长．
【解答】解：如图，
连接OB，
∵∠DOC＝2∠ACD＝90°．
∴∠ACD＝45°，
∵∠ACB＝75°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，
∵OC＝OD，∠DOC＝90°，
∴∠DCO＝45°，
∴∠BCO＝∠DCO﹣∠BCD＝15°，
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝∠BCO＝15°，
∴∠BOC＝150°，
∴∠DOB＝∠BOC﹣∠DOC＝150°﹣90°＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴BD＝OD＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆的性质．
17．如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D，E是⊙O上两点，且∠DOE＝120°，若OD＝2，则图中阴影部分的面积为 4π3−3 ．
【分析】连接OB，OC，过O作OH⊥BC于H，根据等边三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OB，OC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BOC＝120°，
∵∠DOE＝120°，
∴S扇形DOE＝S扇形BOC，
过O作OH⊥BC于H，
∴∠OBH＝30°，∠OHB＝90°，BC＝3BH，
∴BH=32OB=3，OH=12OB＝1，
∴BC＝23，
∴图中阴影部分的面积=120⋅π×22360−12×23×1=4π3−3，
故答案为：4π3−3．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
18．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF∥AB，若AB＝6，则EF＝ 35 ．
【分析】由相交弦定理可得ED•DF＝BD•DC＝9，EG•FG＝AG•GC＝9，DG=12AB＝3，由此可得结果．
【解答】解：设AC，EF相较于G，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，AB＝6，
∴AC＝BC＝AB＝6，
∵弦EF经过BC边的中点D，且EF∥AB，
∴BD＝CD＝3，AG＝CG＝3
由相交弦定理可得ED•DF＝BD•DC＝9，EG•FG＝AG•GC＝9，
∴DE•(3+FG)＝9，FG•(3+DE)＝9，
∴DE＝FG=−3+352，
∴EF＝35，
故答案为：35．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够证得DE、GF的数量关系是解答此题的关键．
19．△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙O上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝ 103 ．
【分析】根据圆周角定理得到∠AEB＝∠ACB＝90°，根据旋转的性质得到AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，设CE＝3x，CD＝x，由勾股定理得到DE=10x，根据相似三角形的性质得到BD=23根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠ACB＝90°，
∵将△ABC绕点C旋转到△EDC，
∴AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，
∵tanD=CECD=3，
∴设CE＝3x，CD＝x，
∴DE=10x，
∵∠ACE＝∠BCD，∠D＝∠ABC＝∠AEC，
∴△ACE∽△BCD，
∴ACBC=CECD=AEBD=3，∠CBD＝∠CAE，
∵AE＝2，
∴BD=23
∵∠EAC+∠CBE＝180°，
∴∠CBD+∠CBE＝180°，
∴D，B，E三点共线，
∴BE＝DE﹣BD=10x−23，
∵AE2+BE2＝AB2，
∴22+(10x−23)2＝(10x)2，
∴x=103，
∴AB＝DE=103，
故答案为：103．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
20．如图，△ABC内接于⊙O，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，延长AC交DB延长线于点F，BF=152，连接AO、CO．CO与AB相交于点G，∠CGE＝3∠CAB，OC＝10，将圆心O绕着点B旋转得到点O′，若点O′恰好落△ADF某一边上时，则OO′的长度为 45或210 ．
【分析】延长AO交BD于H，连接OB，OD，根据全等三角形的性质得到AB＝AD，推出AH垂直平分BD，根据平行线分线段成比例得到OHBH=OABF=43，根据勾股定理得到OO′=O'H2+OH2=45，过O作OO′⊥AB于K交AF于O′，根据菱形的性质得到O′B＝OB＝5，再根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：延长AO交BD于H，连接OB，OD，
∵∠ADC=12∠AOC=12(180°﹣∠OAC﹣∠OCA)=12(180°﹣4∠CAB)＝90°﹣2∠CAB，
∴∠DAB＝90°﹣∠ADC＝2∠CAB＝2∠OAB，
∴∠OAD＝∠OAB，∵OA＝OB＝OD，
∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAD＝∠ODA，
∴∠AOB＝∠AOD，
在△OAB与△OAD中OA=OA∠AOB=∠AODOB=OD，
∴△OAB≌△OAD，
∴AB＝AD，
∵∠OAB＝∠OAD，
∴AH垂直平分BD，
∵∠OBA＝∠OAB＝∠BAC，
∴OB∥AF，
∴OHBH=OABF=43，
令OH＝4a，则BH＝3a，OB＝5a＝10，∴a＝2，
∴BD＝2BH＝12，
当O′在BD上时，O′H＝O′B﹣BH＝4，
∴OO′=O'H2+OH2=45，
过O作OO′⊥AB于K交AF于O′，
则四边形OAO′B是菱形，
∴O′B＝OB＝5，BK=12AB＝310，
∴OK=OB2−BK2=102，
∴OO′＝2OK＝210．
故答案为：45或210．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三．解答题
21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，AB＝8，BD平分∠ABC，交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
(1)求证：∠DBA＝∠CAD；
(2)若BC的长度为2π，求∠AEB的度数．
【分析】(1)根据角平分线的性质可得∠CBD＝∠DBA，由圆周角定理可得∠DAC＝∠CBD，继而可得出结论；
(2)连接OC，根据弧长公式得到n＝90，根据圆周角定理得到∠BAC＝45°，根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】(1)证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠CBD，
∴∠DBA＝∠CAD；
(2)解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB＝8，
∴OB＝OC＝4，
∵BC的长度为2π，
设∠BOC＝n°，
∴n⋅π×4180=2π，
∴n＝90，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=12∠ABC＝22.5°，
∴∠AEB＝∠CBD+∠ACB＝112.5°．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算公式，正确的理解题意是解题的关键．
22．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，弦CD平分∠ADB．
(1)求证：△ABC为等边三角形；
(2)若BD＝3，AD＝5，过C点作BD的平行线交DA的延长线于点E，试求△CAE面积．
【分析】(1)根据圆周角定理和等边三角形的判定即可证明；
(2)作CM⊥ED于点M，结合(1)可得△CDE是等边三角形，然后证明△BCD≌△ACE，可得BD＝AE＝3，根据等边三角形三线合一可得DM的长，根据勾股定理得CM的长进而可得△CAE面积．
【解答】解：(1)∵CD平分∠ADB，
∴∠BDC＝∠ADC，
∴BC=AC，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
(2)如图，作CM⊥ED于点M，
由(1)知：∠CDA＝∠BDC＝60°，
∵CE∥BD，
∴∠DCE＝∠BDC＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE，
∵∠BCD＝60°﹣∠ACD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
BC=AC∠BCD=∠ACEDC=EC，
∴△BCD≌△ACE(SAS)，
∴BD＝AE＝3，
∴DC＝DE＝DA+AE＝8，
∵CM⊥ED，
∴DM=12DE＝4，
∴CM=DC2−DM2=43，
∴△CAE面积为：12AE•CM＝63．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，M为AB上一点，过M，C，B三点的⊙O交AC于P，过点P作PD∥AB，交⊙O于点D．
(1)若M是AB中点，连接MD，求证：四边形APDM是平行四边形；
(2)连接PM，当PM＝PC，且AC＝4，tanA=12，求线段PD的长．
【分析】(1)连接CM，PB，DM，证∠BMP＝90°，BP为⊙O的直径，证MD为⊙O的直径，由直角三角形的性质得出CM=12AB＝BM，则CM=BM，得出DM垂直平分BC，则PC∥MD，即可得出结论；
(2)连接BD、CD、BP，由圆周角定理得出∠DPM＝∠PMB＝∠PDB＝90°，则四边形PDBM为矩形，则PM＝BD，证PC＝BD，证Rt△BPD≌Rt△PBC(HL)，得出PD＝BC，在Rt△ACB中，由三角函数定义求出BC即可．
【解答】(1)证明：连接CM，PB，DM，如图1所示：
∵∠C＝90°，四边形BCPM为圆内接四边形，
∴∠C+∠BMP＝180°，
∴∠BMP＝90°，BP为⊙O的直径，
又∵PD∥AB，
∴∠DPM＝180°﹣∠BMP＝90°，
∴MD为⊙O的直径，
∵∠C＝90°，M为AB的中点，
∴CM=12AB＝BM，
∴CM=BM，
又∵MD为⊙O的直径，
∴DM垂直平分BC，
∴PC∥MD，
∴四边形APDM为平行四边形；
(2)解：连接BD、CD、BP，如图2所示：
∵MD和BP均为⊙O的直径，
∴∠DPM＝∠PMB＝∠PDB＝90°，
∴四边形PDBM为矩形，
∴PM＝BD，
∵PM＝PC，
∴PC＝BD，
在Rt△BPD和Rt△PBC中，BP=PBBD=PC，
∴Rt△BPD≌Rt△PBC(HL)，
∴PD＝BC，
在Rt△ACB中，AC＝4，tanA=BCAC=12，
∴BC＝4tanA＝2，
∴PD＝BC＝2．
【点评】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握圆周角定理和矩形的判定与性质是解题的关键．
24．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BD与AC交于E点，AD⊥BD，过D作DF⊥AB于F，交AC于G，FD与BC的延长线相交于点H．
(1)求证：点G是△ADE的外心；
(2)若FG＝2，DH＝5，求EG的长．
【分析】(1)证得∠DEG＝∠FDB，得出DG＝EG，由∠ADE＝90°可证得DG＝AG＝EG，则结论得证；
(2)过点D作DM⊥BH于点M，过点E作EN⊥AB于点N，证明△HDM∽△HGC，得出DHHG=DMGC，设EG＝x，则DG＝x，DF＝DM＝2+x，可得出CG，则CE可用x表示出来，证得EN＝2FG＝4，由角平分线的性质可得出EN＝EC＝4，则可得出方程，解方程即可得出答案．
【解答】(1)证明：∵AD⊥BD，DF⊥AB，
∴∠ADE＝90°，∠DFB＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE，
∵∠FDB+∠FBE＝90°，∠CEB+∠CBE＝90°，
∴∠FDB＝∠CEB，
又∠CEB＝∠DEG，
∴∠DEG＝∠FDB，
∴DG＝EG，
∵∠ADG+∠GDE＝∠DAG+∠DEF＝90°，
∴∠ADG＝∠DAG，
∴DG＝AG，
∴DG＝AG＝EG，
∴点G是△ADE的外心；
(2)过点D作DM⊥BH于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DM⊥AH，EN⊥AB，EC⊥BH，
∴DF＝DM，EN＝EC，
∵DM⊥BH，∠ACB＝90°，
∴DM∥GC，
∴△HDM∽△HGC，
∴DHHG=DMGC，
设EG＝x，则DG＝x，DF＝DM＝2+x，
∴55+x=2+xCG，
∴CG=x2+7x+105，
∴CE＝CG﹣EG=x2+7x+105−x=x2+2x+105，
∵GF⊥AB，EN⊥AB，
∴GF∥EN，
又∵AG＝EG，
∴AF＝FN，
∴EN＝2GF＝4，
∴x2+2x+105=4，
解得x=11−1，x=−11−1(舍去)．
∴EG=11−1．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程思想是解题的关键．
25．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的直径，过点A作AE⊥BD于点E，延长BD交AC延长线于点F．
(1)若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半径；
(2)若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．
【分析】(1)连接OA，求BE＝3，设OA＝x，则OB＝x，OE＝x﹣3，得出(x﹣3)2+42＝x2，易求出半径256；
(2)连接CD，先证OA⊥BC，再得OA∥CD，设OA与BC交于点H，OH＝a，则CD＝2a，OA＝4a，得出AH＝3a，由勾股定理得BH=15a，求出AB＝26a，则可得出sin∠ACB=64．
【解答】解：(1)如图1，连接OA，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝4，AB＝5，
∴BE=AB2−AE2=52−42=3，
设OA＝x，则OB＝x，
∴OE＝x﹣3，
在Rt△OAE中，OE2+AE2＝OA2，
∴(x﹣3)2+42＝x2，
解得x=256，
∴⊙O的半径为256；
(2)如图2，连接CD，设OA与BC交于点H，
∵AB＝AC，
∴OA⊥BC，
∴∠BHO＝90°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BHO＝∠BCD，
∴OA∥CD，
设OH＝a，则CD＝2a，
∵BD＝2DF，BD＝2OD，
∴DF＝OD，
∴OA＝2CD＝4a，
∴AH＝3a，
∴BH=OB2−OH2=(4a)2−a2=15a，
∴AB=AH2+BH2=26a，
∴sin∠ACB＝sin∠ABC=AHAB=3a26a=64．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
26．如图，在Rt∠ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥BD交AB于点E，作△BDE的外接圆．
(1)判断直线AC与△BDE外接圆的位置关系，并说明理由；
(2)若tan∠ABD=22，AD＝6，求BC的长．
【分析】(1)取BE中点O，连接OD，根据已知条件证明OD⊥AC，即可得结论；
(2)结合(1)证明△ADE~△ABD，利用锐角三角函数可得AE=32，AB=62，再证明△AOD~△ABC，对应边成比例即可得结论．
【解答】解：(1)直线AC与△DBE外接圆相切．
理由：∵DE⊥BD．
∴BE为△BDE外接圆的直径，
如图，取BE中点O，连接OD，
∴OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠OBD，
∴∠ODB＝∠CBD．
∵∠C＝90°
∴∠CBD+∠BDC＝90°，
∴∠ODB+∠BDC＝90°，
即OD⊥AC，
又点D在AC上，
∴直线AC与△BDE外接圆相切；
(2)∵OD⊥AC，
∴∠ADE+∠ODE＝90°，
∵DE⊥BD，
∴∠ODB+∠ODE＝90°，
∴∠ADE＝∠ODB，
∴∠ADE＝∠ABD，
又∠A＝∠A，
∴△ADE~△ABD，
∴AEAD=ADAB=DEBD=tan∠ABD=22，
即AE6=6AB=22，
解得AE=32，AB=62，
∴OD=OE=12EB=32，
∴AO＝AE+EO＝92,
∵∠A＝∠A，∠ADO＝∠C＝90°，
∴△AOD~△ABC，
∴ODBC=AOAB，
∴BC=OD⋅ABAO=32×6292=22．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．属于中考题型．
27．如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD
(1)求证：∠DBF＝∠ACB；
(2)若AG=62GE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明．
【分析】(1)根据平行线性质及圆周角性质直接得出结论．
(2)作OM⊥DC于点M，连接OC．先证明∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，再根据AG与GE的关系推出DG＝OD，然后可得出结论．
【解答】(1)证明：∵BF∥AD，
∴∠ADB＝∠DBF，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠DBF＝∠ACB；
(2)∠GOD与∠ADC之间的数量关系为：2∠GOD+∠ADC＝240°．
理由如下：
作OM⊥DC于点M，连接OC．
∵AD∥BF，
∴AB＝DF，
∵F为CD中点，
∴CF＝DF＝AB，
∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF，
∵AC⊥BD于G，
∴∠BGC＝∠AGD＝90°，
∴∠DBF+∠CBF+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠DBC＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝30°，∠DOC＝2∠DBC＝120°，
∵OD＝OC，
∴∠ODM＝30°，
设GE＝x，则AG=62x，
∴DG=322x，BG＝√3x，GC＝3x，DC=362x，DM=364x，OD=322x，
∴DG＝OD，
∴2∠GOD+∠ODG＝180°，
∵∠ADB+∠ODC＝60°，
∴2∠GOD+∠ODG+∠ADB+∠ODC＝240°，
即2∠GOD+∠ADC＝240°．
【点评】本题主要考查了三角形的外接圆及其性质、圆中各种角度的相互转化、含30°的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，判断出∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°以及证明DG＝OD是解答的关键．
28．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC＝PB．
(1)求证：BG∥CD；
(2)设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=3DH，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小．
【分析】(1)根据等边对等角得：∠PCB＝∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD＝180°，从而得：∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC＝90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC＝∠AGB＝90°，根据同位角相等可得结论；
(2)先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC＝DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB＝60°，∠BAC＝30°，所以DH=12AC，分两种情况：
①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD＝∠ABD，则∠ADM＝∠BDE，并由DH＝OD，可得结论；
②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE＝∠BDN＝20°，∠ODH＝20°，得结论．
【解答】(1)证明：如图1，∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠PCB＝180°，
∴∠BAD＝∠PCB，
∵∠BAD＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ADC＝∠AGB，
∴BG∥CD；
(2)由(1)得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC＝DH，
在Rt△ABC中，∵AB=3DH，
∴tan∠ACB=ABBC=3DHDH=3，
∴∠ACB＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝60°，BC=12AC，
∴DH=12AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM＝90°，
∴∠AMD+∠ADM＝90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴∠BDE+∠ABD＝90°，
∵∠AMD＝∠ABD，
∴∠ADM＝∠BDE，
∵DH=12AC，
∴DH＝OD，
∴∠DOH＝∠OHD＝80°，
∴∠ODH＝20°
∵∠ADB＝60°，
∴∠ADM+∠BDE＝40°，
∴∠BDE＝∠ADM＝20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE＝∠BDN＝20°，∠ODH＝20°，
∴∠BDE＝∠BDN+∠ODH＝40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
【点评】本题考查圆的有关性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形等知识，考查了运算能力、推理能力，并考查了分类思想．
29．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于F，弦AE⊥CD于点H，连接CE、OH．
(1)求∠AHO的度数；
(2)若BC＝6，AC＝8，求HE的长．
【分析】(1)连接OC，利用垂直平分线的性质解答即可；
(2)延长CB、AE交于M，利用等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：(1)连OC，
∵AB是直径，CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝45°，
∵AE⊥CD，
∴∠AHC＝90°，∠HAC＝45°＝∠ACH，
∴CH＝AH，
∵OC＝OA，
∴O，C都在AC的垂直平分线上，
∴OH垂直平分AC，
∴∠AHO＝∠CHO＝45°，
(2)延长CB、AE交于M，
∴∠M＝45°＝∠CAM＝∠HCM＝∠HCA，
∴CM＝CA＝8，BC＝6，BM＝2，
∴BE＝EM=2，
∴CH＝HM＝42，
∴HE＝32．
【点评】此题考查三角形的外接圆问题，关键是根据三角形的外接圆的有关概念和性质解答．
30．如图，在⊙O中，两条弦AC，BD垂直相交于点E，等腰△CFG内接于⊙O，FH为⊙O直径，且AB＝6，CD＝8．
(1)求⊙O的半径；
(2)若CF＝CG＝9，求图中四边形CFGH的面积．
【分析】(1)如图作DM＝AB，连接CM．则AB=DM，只要证明CM是直径即可解决问题；
(2)设直径CM交FG于N，设FN＝x，ON＝y，构建方程组求出x、y即可解决问题；
【解答】解：(1)如图作DM＝AB，连接CM．则AB=DM，
∴AD=BM，
∴∠ABD＝∠MDB，
∵∠ABD+∠BAE＝90°，∠BAE＝∠BDC，
∴∠MDB+∠BDC＝90°，
∴∠CDM＝90°，
∴CM是直径，
∴CM=CD2+DM2=82+62=10，
∴⊙O的半径为5．
(2)∵FH是直径，
∴∠FCH＝90°，
∴CH=102−92=19，
设直径CM交FG于N，设FN＝x，ON＝y，
则有x2+y2=25x2+(5+y)2=81，
解得x=91910y=3110，
可得GH＝2ON=315，FG＝2FN=9195，
∴S四边形CFGH＝S△CFH+S△FGH=2521925．
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆的有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．