初中数学一轮复习【讲通练透】专题18 解直角三角形（讲通） （全国通用）

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从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题18 解直角三角形
1.理解正弦、余弦、正切的概念，并能运用.
2.掌握特殊角三角函数值，并能运用特殊角的三角函数值进行计算和化简；
3.理解直角三角形的概念，灵活运用直角三角形中边与角的关系和勾股定理解直角三角形，提高把实际问题转化为解直角三角形问题的能力；
一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
可表示如下：
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
可表示如下：
4、勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
5、射影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：
ABCD=ACBC
二、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。
三、锐角三角函数的概念
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为csA，即
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为ctA，即
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
4、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cs(90°—A)，csA=sin(90°—A) tanA=ct(90°—A)，ctA=tan(90°—A)
（2）平方关系
（3）倒数关系
tanAtan(90°—A)=1
（4）弦切关系
tanA=
5、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
四、解直角三角形
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
1．（2021·佛山市华英学校九年级期末）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（ ）
A．放大5倍B．缩小5倍C．不变D．无法确定
【答案】C
【分析】
直接利用锐角的正弦的定义求解．
【详解】
解：∵∠C＝90°，
∴sinA＝∠A的对边与斜边的比，
∵△ABC的三边都缩小5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sinA的值不变．
故选：C．
2．（2021·重庆实验外国语学校九年级开学考试）在中，，若，则sinC=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据直角三角形的性质求出∠C，根据60°的正弦值是解答．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴，
故选：D．
3．（2021·重庆市南华中学校）西南大学附中初2020级小李同学想利用学过的知识测量一棵树的高度，假设树是竖直生长的，用图中线段AB表示，小李站在C点测得∠BCA=45°，小李从C点走4米到达了斜坡DE的底端D点，并测得∠CDE=150°，从D点上斜坡走了8米到达E点，测得∠AED=60°，B，C，D在同一水平线上，A、B、C、D、E在同一平面内，则大树AB的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：，）
A．24.3B．24.4C．20.3D．20.4
【答案】B
【分析】
过E作EG⊥AB于G，EF⊥BD于F，则BG=EF，EG=BF，求得∠EDF=30°，根据直角三角形的性质得到EF=DE=4，DF=4，得到CF=CD+DF=4+4，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【详解】
解：过E作EG⊥AB于G，EF⊥BD于F，
则BG=EF，EG=BF，
∵∠CDE=150°，
∴∠EDF=30°，
∵DE=8，
∴EF=DE=4，DF=4，
∴CF=CD+DF=4+4，
∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴AB=BC，
∴GE=BF=AB+4+4，AG=AB-4，
∵∠AED=60°，∠GED=∠EDF=30°，
∴∠AEG=30°，
∴，
解得：AB=14+6≈24.4，
故选：B．
4．（2021·如皋市实验初中九年级期末）在中，，是锐角，若，且，则面积的最大值是（ ）
A．4B．6C．D．8
【答案】B
【分析】
如图，过B作BD⊥AC于D，根据三角函数定义和已知条件确定AD=2CD，设BD=h，CD=a，则AD=2a，找到a、h的关系，最后根据三角形的面积公式可得结论．
【详解】
如图，过B作BD⊥AC于D，
∴tan∠C=，tan∠A=，
∵tan∠C=2tan∠A，
∴AD=2CD，
∵AB=4，
∴AD2+BD2=16，
设BD=h，CD=a，则AD=2a，
Rt△ABD中，h2+4a2=16，
∴h2=16-4a2，
∴
当时，a2h2取最大值为16，
∴ah最大值为4
∵
∴△ABC面积的最大值是6，
故选B．
5．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级二模）如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cs39°≈0.78，tan39°≈0.81）
A．16.8米B．28.8米C．40.8米D．64.2米
【答案】B
【分析】
延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，根据矩形的性质得到FH＝DE＝12，EF＝DH，根据坡度的概念分别求出CH、BH，根据正切的定义求出AF，结合图形计算即可．
【详解】
解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，则四边形EDHF为矩形，
∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，
∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，
∴设BH＝12x，CH＝5x，
由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，
解得，x＝4，
则BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，
则EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），
在Rt△AEF中，tan∠AEF＝，
则AF＝EF•tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），
∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），
故选：B．
6．（2021·宜兴市实验中学九年级二模）如图，四边形为矩形，点为边一点，将沿折叠，点落在矩形内的点处，连接，且，的正弦值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
过点F作FP⊥AB于点P，根据折叠的性质及BE=EF，可得∠AED=∠EBF，从而可得△ADE∽△PFB，由的正弦值为，设EF=25a，则PF=24a，由勾股定理求得PE=7a，从而可得BP，则由相似可得，再由折叠的性质可得点E是AB的中点，从而可求得结果．
【详解】
如图，过点F作FP⊥AB于点P
由折叠的性质可得：AE=EF，∠AED=∠FED
∵BE=EF
∴BE=AE=EF，∠EFB=∠EBF
∵∠BEF+2∠AED=∠BEF+2∠EBF=180゜
∴∠AED=∠EBF
∵四边形ABCD为矩形，PF⊥AB
∴∠A=∠FPB=90゜
∴△ADE∽△PFB
∴
∵在中，
∴设EF=25a，则PF=24a
由勾股定理求得
∴BP=BE－PE=18a
∴
∴
∴
故选：A．
7．（2021·河南省淮滨县第一中学九年级开学考试）如图，在中，，是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值为________．
【答案】
【分析】
先求解再证明 利用勾股定理求解 再利用余弦的含义可得答案.
【详解】
解： ，是斜边的中点，，

，




故答案为：
8．（2021·沈阳实验中学九年级二模）如图，新疆部A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，且距离教学楼60米，某同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B处，此时这位同学一共走的距离为______米．
【答案】．
【分析】
过P作PC⊥AB于C，由新疆部A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，可得∠A=45°可证PC=AC，由PA=60米，由三角函数可得AC=PC=，由综合楼B处在教学楼北偏东30°方向，可得∠B=30°，可求PB=2PC=，在Rt△BCP中，BC=PBcs30°=，可求AB=BC+AC米即可．
【详解】
解：过P作PC⊥AB于C，
∵新疆部A位于学校主教学楼P南偏东45°方向，
∴∠A=45°
∴∠CPA=90°-∠A=45°，
∴PC=AC，
设AC=PC=x，
∵PA=60米
∴AC=PC=PAcs45°=60，
∵综合楼B处在教学楼北偏东30°方向，
∴∠B=30°，
∴PB=2PC=，
在Rt△BCP中，BC=PBcs30°，
∴AB=BC+AC米．
故答案为：．
9．（2021·南山实验教育集团南海中学九年级三模）如图，有甲、乙两建筑物，甲建筑物的高度为，，，某数学学习小组开展测量乙建筑物高度的实践活动，从点测得点的仰角为，从点测得点的仰角为．求乙建筑物的高．
【答案】
【分析】
过点A作AE⊥CD于点E，可得四边形ABCE为矩形，根据∠DAE＝45°，可得AE＝ED，设AE＝DE＝xm，则BC＝xm，在Rt△BCD中，利用仰角为60°，可得CD＝BC•tan60°，列方程求出x的值，继而可求得CD的高度．
【详解】
解：过点作于．
，，
．
四边形为矩形．
，．
，
，
．
设，则，．
在中，，即，解得．
．
答：乙建筑物的高为．
10．（2021·北京市第十三中学九年级期中）已知：如图，在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝30°，AC＝2．求BC的长．
【答案】BC＝．
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论．
【详解】
∵∠A＝105°，∠B＝30°．
∴∠C＝45°．
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
在Rt△ADC中，
∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AC＝2．
∴∠DAC═∠C＝45°．
∵sinC，
∴AD．
∴AD＝CD．
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°．
∵AD，
∴AB＝2．
∴由勾股定理得：BD．
∴BC＝BD+CD．
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0
1
csα
1
0
tanα
0
1
不存在
ctα
不存在
1
0