北师大版数学八年级下册期中精品模拟练习（含详细解析）

这是一份北师大版数学八年级下册期中精品模拟练习（含详细解析），共48页。试卷主要包含了若a＜b，则下列各式正确的是，在平面直角坐标系中，点B，下列说法中正确的是，已知a＞b等内容，欢迎下载使用。

A．线段B．等边三角形
C．长方形D．平行四边形
2．若a＜b，则下列各式正确的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2B．﹣a＜﹣bC．a+1＜b+1D．
3．在平面直角坐标系中，点B（1，0）向下平移4个单位长度，得到的点B′的坐标是（ ）
A．（1，﹣4）B．（﹣4，1）C．（﹣1，﹣4）D．（﹣4，﹣1）
4．若把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的4倍B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来的D．不变
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，那么AD的长有可能是（ ）
A．1B．2C．7D．8
6．下列说法中正确的是（ ）
A．x＝3是2x＞3的一个解B．x＝3是2x＞3的解集
C．x＝3是2x＞3的唯一解D．x＝3不是2x＞3的解
7．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．以△ABC的边AB两顶点画圆弧，使得圆弧可以相交于两点，这两点的连线交边BC于点D，再对边AC重复上述做法，连线交边BC于点E，已知AB＝5，AC＝12，BC＝15，求△ADE的周长为（ ）
A．13B．20C．15D．25
9．如图，四边形ABCD是正方形，P在正方形外且AP＝3；将△CBP逆时针旋转至△ABQ，使旋转后CB的对应边与AB重合．连接AP、PQ，已知PQ＝，AQ＝，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．已知a＞b．下列不等式变形正确的是（ ）
A．a+1＜b+1B．﹣3a＜﹣3bC．2a＜2bD．2a﹣3＜2b﹣3
11．下列从左边到边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
B．﹣12x3y＝﹣3x3•4y
C．a2﹣b2﹣1＝（a﹣b）（a+b）﹣1
D．mR+mr＝m（R+r）
12．关于x的一元一次不等式ax+b＞0的解集是，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a≤0C．a＞0D．a≥0
13．一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
14．如图，△ABC中，∠ACB＝80°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
15．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．2cm或4cm
16．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．m2﹣9＝（m﹣3）2B．m2﹣m+1＝m（m﹣1）+1
C．m2+2m＝m（m+2）D．（m+1）2＝m2+2m+1
17．下列说法错误的是（ ）
A．若a+3＞b+3，则a＞b
B．若，则a＞b
C．若a＞b，则ac＞bc
D．若a＞b，则a+3＞b+2
18．多项式2m+4与多项式m2+4m+4的公因式是（ ）
A．m+2B．m﹣2C．m+4D．m﹣4
二．填空题（共25小题）
19．分解因式：ma2﹣mb2＝ ．
20．若分式的值为0，则x＝ ．
21．一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是 边形．
22．如图，在平行四边形ABCD中，以点D为圆心，DC的长为半径画弧交对角线BD于点E，若∠CBD＝40°，∠BAD＝68°，则∠BEC＝ ．
23．如果x+y＝5，xy＝2，则x2y+xy2＝ ．
24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，若∠BCD＝50°，则∠BDH的度数为 ．
25．已知不等式2x﹣m＜1的解集为x＜1，且关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围为 ．
26．因式分解：a2b﹣b＝ ．
27．已知，则（b﹣a）2＝ ．
28．已知4﹣（3﹣m）x|m﹣2|＜0是关于x的一元一次不等式，则m＝ ．
29．如果一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式2kx+3b＞0的解集是 ．
30．多项式4x3y2+8x2y3分解因式时所提取的公因式是 ．
31．如果二次三项式x2+px﹣6可以分解为（x﹣3）（x+2），那么p的值为 ．
32．某种衬衫的进价为400元，出售时标价为550元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持利润不低于10%，那么至多打 折．
33．如图，正比例函数y1＝k1x和一次函数y2＝k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1 y2．（填“＞”或“＜”）．
34．若m+n＝3，则代数式m2+2mn+n2﹣6的值为 ．
35．已知关于x的一元一次不等式有解，则直线y＝﹣x+b不经过第 象限．
36．如图，在▱ABCO中，B（5，2）．将▱ABCO绕O点逆时针方向旋转90°到▱AB′C′O的位置，则点B′的坐标是 ．
37．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝6，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为 ．
38．若关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＞1，则a的取值范围是 ．
39．关于x的方程2x+3（m﹣1）＝x+1的解是正数，则m的取值范围是 ．
40．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12cm，则阴影部分的面积是 cm2．
41．如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴，y轴上，，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为 ．
42．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，使得DE∥AC，若此时点D，E，B恰好在同一直线上，则以下结论：
①点A在BD的垂直平分线上；②AB平分∠CBD；
③AE⊥AB；④∠AEB＝∠CBE，
其中正确的是 ．（填写序号）
43．已知4x2+mx+36是完全平方式，则m的值为 ．
三．解答题（共17小题）
44．（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
45．先化简，再求值：，然后从﹣2＜x＜2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
46．如图1，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使得BE＝AB，连接BD和CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）如图2，将△CBE沿直线BC翻拆点E刚好落在线段AD的中点F处，延长CF与BA的延长线相交于点H，并且CF和BD交于点G，试求线段CH、FG、GB之间的数量关系；
（3）如图3，将△CBE沿直线BC翻折，点E刚好落在线段AD上的点F处，若AD＝6，DC＝3，且FD＝2FA，求S△DFC的面积．
47．解不等式或者不等式组：
（1）3x﹣2≥1； （2）．
48．求a3b+2a2b2+ab3的值，其中a+b＝3，ab＝4．
49．某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去社会实践基地参加活动．两种型号的车的载客能力和租金如下表所示：
设租用A型车x辆，
（1）请用代数式表示出总租金是多少
（2）保证租车费用不超过2900元，且八年级师生共305人，请在所有满足的租车方案中，指出花费最少的方案租用了几辆A型车？
50．如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE垂直平分BC，
（1）当∠C＝32°时，求∠A的值；
（2）当∠A＝90°，AD＝2时，求BC的长度．
51．如图所示，D，E在∠BAC两边上且AD＝AE，AG是∠BAC内部的一条射线且AG⊥DE于点F，
（1）求证AG平分∠BAC；
（2）分别作∠BDE和∠CED的平分线，相交于P，求证P同时也在∠BAC的平分线AG上．
52．（1）因式分解：4x2（y﹣2）﹣9（y﹣2）； （2）解不等式组：．
53．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
54．每年的4月23日是联合国教私文组织确定的“世界读书日”．又称“世界图书和版权日”．某校在“世界读书日”开展“弘扬传统文化，阅读经典名善”主题活动，计划购置一批书籍．已知每本《诗经》25元，每本《论语》18元，该校决定购买《诗经》和《论语》共100本，总费用不超过2000元．
（1）求该校在此次购书活动中总费用y（元）与所购买的《诗经》本数x（本）之间的关系式；
（2）求该校最多可以购买《诗经》多少本？
55．我校组织八年级全体学生前往红色研学基地开展以“红色路•三农情•中国梦”为主题的研学活动，在某条研学战路中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带：若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：该条研学线路计似共阻8辆下，租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）学校共有几种租车方案？最少丑车费用是多少？
56．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点．
（1）如图1，当点B′恰好落在AD边上时，求证：四边形ABEB′是平行四边形；
（2）如图2，若∠B＝60°，AB＝6，BC＝9，点B′落在DE上时，求B′D的长；
（3）如图3．若∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝6，连接B′D，取B′D的中点F，连接CF，求CF的取值范围．
57．计算：解不等式或不等式组：
①解不等式：并把它的解集在如图的数轴上表示出来．
②解不等式组，并写出满足条件的所有整数x的值．
58．4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．
以x（x＞100单位：元）表示标价总额，y甲（单位：元）表示在甲书店应支付金额，y乙（单位：元）表示在乙书店应支付金额．
①就两家书店的优惠方式，分别求y甲，y乙关于x的函数表达式；
②“少年正是读书时”，“世界读书日”这一天，八年级学生奇思计划去甲、乙两个书店购书，如何选择这两家书店购书更省钱？
59．将下列各式因式分解：
①﹣3a2b+6ab﹣3b； ②x2（m﹣n）+y2（n﹣m）．
60．如图，在△ABD中，点C在BD的垂直平分线上，连接BC，作CE⊥AB于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，且CE＝DF．
（1）求证：AB＝AC；
（2）如果∠ABD＝102°，求∠A的度数．
北师大版数学八年级下册期中精品模拟练习（含详细解析）
参考答案与试题解析
一．选择题（共18小题）
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．线段B．等边三角形
C．长方形D．平行四边形
【考点】中心对称图形．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，进而判断得出答案．
【解答】解：A．线段是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．等边三角形不是中心对称图形，故本选项合题意；
C．长方形是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．平行四边形是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．若a＜b，则下列各式正确的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2B．﹣a＜﹣bC．a+1＜b+1D．
【考点】不等式的性质．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质对原式变形处理判断．
【解答】解：由a＜b得
a﹣2＜b﹣2，﹣a＞﹣b，a+1＜b+1，．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的基本性质，注意不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
3．在平面直角坐标系中，点B（1，0）向下平移4个单位长度，得到的点B′的坐标是（ ）
A．（1，﹣4）B．（﹣4，1）C．（﹣1，﹣4）D．（﹣4，﹣1）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【答案】A
【分析】根据平移后坐标变化规律解答即可．
【解答】解：点B（1，0）向下平移4个单位长度，
所得到的点B′的坐标为（1，﹣4）．
故选：A．
【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质：纵坐标“上加下减”是解题的关键．
4．若把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的4倍B．扩大为原来的2倍
C．缩小为原来的D．不变
【考点】分式的基本性质．
【答案】D
【分析】把x和y都扩大为原来的2倍后代入化简即可．
【解答】解：由题意得：
，
则分式的值不变，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，那么AD的长有可能是（ ）
A．1B．2C．7D．8
【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．
【答案】B
【分析】先根据平行四边形的性质求得OA＝3，OD＝4，再利用三角形的三边关系确定AD的取值范围即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝8，
∴，，
∵OD﹣OA＜AD＜OD+OA，则1＜AD＜7，
故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的三边关系，求得AD的取值范围是解答的关键．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．x＝3是2x＞3的一个解B．x＝3是2x＞3的解集
C．x＝3是2x＞3的唯一解D．x＝3不是2x＞3的解
【考点】不等式的解集．
【答案】A
【分析】求出不等式2x＞3的解集，进行判断．
【解答】解：2x＞3，x＞1.5，
即x＞1.5是2x＞3的解集，
A、x＝3是2x＞3的一个解，所以选项A正确；
B、x＝3不是2x＞3的解集，所以选项B不正确；
C、因为x＞1.5是2x＞3的解集，即满足x＞1.5的所有实数都是2x＞3的解，所以x＝3不是2x＞3的唯一解，不等式2x＞3有无数个解，所以选项C不正确；
D、x＝3是2x＞3的一个解，所以选项D不正确；
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解集，做好本题要明确不等式的解和解集的区别和联系：不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
7．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【答案】A
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+5＞2，得：x＞﹣3，
解不等式3﹣x≥1，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8．以△ABC的边AB两顶点画圆弧，使得圆弧可以相交于两点，这两点的连线交边BC于点D，再对边AC重复上述做法，连线交边BC于点E，已知AB＝5，AC＝12，BC＝15，求△ADE的周长为（ ）
A．13B．20C．15D．25
【考点】作图—复杂作图；垂线．
【答案】C
【分析】根据题意，得到DF是线段AB的中垂线；EG是线段AC的中垂线，利用中垂线性质即可得到答案．
【解答】解：如图所示：
由题意可知，DF是线段AB的中垂线；EG是线段AC的中垂线；
∴DB＝DA，EA＝EC，
∴△ADE的周长为AD+DE+EA＝DB+DE+EC＝BC＝15，
故选：C．
【点评】本题考查尺规作图﹣中垂线，涉及中垂线的性质等，熟练掌握尺规作图﹣中垂线及中垂线的性质是解决问题的关键．
9．如图，四边形ABCD是正方形，P在正方形外且AP＝3；将△CBP逆时针旋转至△ABQ，使旋转后CB的对应边与AB重合．连接AP、PQ，已知PQ＝，AQ＝，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．B．C．D．
【考点】旋转的性质；正方形的性质．
【答案】B
【分析】过B作BE⊥AP于E，如图所示，由旋转性质及勾股定理和勾股定理的逆定理求出相关线段及角度，在Rt△AEB中，利用勾股定理求出即可得到答案，
【解答】解：过B作BE⊥AP于E，如图所示：
∵将△CBP逆时针旋转至△ABQ，使旋转后CB的对应边与AB重合，
∴PB＝BQ，∠PBQ＝90°，
在Rt△PBQ中，∠BPQ＝45°，，则PB＝BQ＝1，
在△APQ中，AP＝3，，，则AP2+PQ2＝AQ2，由勾股定理的逆定理可知△APQ为直角三角形，
∴∠APQ＝90°，则∠BPE＝45°，
在等腰Rt△PBE中，PB＝1，则，
∴，
在Rt△AEB中，，，则由勾股定理可得，
∴正方形ABCD的面积为，
故选：B．
【点评】本题考查求线段长，谁旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解决问题的关键．
10．已知a＞b．下列不等式变形正确的是（ ）
A．a+1＜b+1B．﹣3a＜﹣3bC．2a＜2bD．2a﹣3＜2b﹣3
【考点】不等式的性质．
【答案】B
【分析】根据a＞b，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴a+1＞b+1，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴﹣3a＜﹣3b，
∴选项B符合题意；
∵a＞b，
∴2a＞2b，
∴选项C不符合题意；
∵a＞b，
∴2a＞2b，
∴2a﹣3＞2b﹣3，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
11．下列从左边到边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
B．﹣12x3y＝﹣3x3•4y
C．a2﹣b2﹣1＝（a﹣b）（a+b）﹣1
D．mR+mr＝m（R+r）
【考点】因式分解的意义；合并同类项．
【答案】D
【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
【解答】解：（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9是乘法运算，则A不符合题意；
﹣12x3y＝﹣3x3•4y是单项式变形，则B不符合题意；
a2﹣b2﹣1＝（a﹣b）（a+b）﹣1中等号右边不是积的形式，则C不符合题意；
mR+mr＝m（R+r）符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
12．关于x的一元一次不等式ax+b＞0的解集是，则a的取值范围是（ ）
A．a＜0B．a≤0C．a＞0D．a≥0
【考点】解一元一次不等式．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质1，可得答案．
【解答】解：x的一元一次不等式ax+b＞0的解集是x＜﹣，
a＜0，
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解集，不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．
13．一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【考点】多边形内角与外角．
【答案】D
【分析】根据正多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
【解答】解：360°÷30°＝12．
故这个多边形的边数为12．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．
14．如图，△ABC中，∠ACB＝80°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【考点】旋转的性质．
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得∠ACB＝∠DCE＝80°，AC＝CE，由等腰三角形的性质可求∠CAE的度数．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．
∴∠ACB＝∠DCE＝80°，AC＝CE，
∴∠CAE＝50°
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
15．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（ ）
A．2cmB．4cmC．6cmD．2cm或4cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质，可以分为2cm是腰或底边两种情况；结合三角形的三边关系可以确定三角形的三边的长度，由此确定选项．
【解答】解：当2cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（10﹣2）÷2＝4（cm），能够组成三角形；
当2cm是等腰三角形的腰时，则其底边是10﹣2×2＝6（cm），不能够组成三角形；
故该等腰三角形的底边长为2cm．
故选：A．
【点评】本题主要考查等腰三角形，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
16．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．m2﹣9＝（m﹣3）2B．m2﹣m+1＝m（m﹣1）+1
C．m2+2m＝m（m+2）D．（m+1）2＝m2+2m+1
【考点】因式分解的意义．
【答案】C
【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式，根据以上内容逐个判断即可．
【解答】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解，也叫分解因式，
A、平方差公式计算错误，故本选项错误；
B、不是因式分解，故本选项错误；
C、左右相等，且是因式分解，故本选项正确；
D、不是因式分解，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义的应用，能理解因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式．
17．下列说法错误的是（ ）
A．若a+3＞b+3，则a＞b
B．若，则a＞b
C．若a＞b，则ac＞bc
D．若a＞b，则a+3＞b+2
【考点】不等式的性质．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质进行判断．
【解答】解：A、若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、若＞，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、若a＞b，则ac＞bc，这里必须满足c≠0，原变形错误，故此选项符合题意；
D、若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
18．多项式2m+4与多项式m2+4m+4的公因式是（ ）
A．m+2B．m﹣2C．m+4D．m﹣4
【考点】公因式．
【答案】A
【分析】根据公因式定义，对每个多项式整理然后即可选出有公因式的项．
【解答】解：2m+4＝2（m+2），m2+4m+4＝（m+2）2，
∴多项式2m+4与多项式m2+4m+4的公因式是（m+2），
故选：A．
【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
二．填空题（共25小题）
19．分解因式：ma2﹣mb2＝ m（a+b）（a﹣b） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】应先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ma2﹣mb2，
＝m（a2﹣b2），
＝m（a+b）（a﹣b）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行因式分解．
20．若分式的值为0，则x＝ 2 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0．
【解答】解：∵x2﹣4＝0，
∴x＝±2，
当x＝2时，x+2≠0，
当x＝﹣2时，x+2＝0．
∴当x＝2时，分式的值是0．
故答案为：2．
【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．
21．一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是 四 边形．
【考点】多边形内角与外角．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求得外角的度数，根据正多边形外角和＝360°，利用360°除以外角的度数即可解决问题．
【解答】解：∵每个外角都等于与它相邻的内角，
∴每个外角的度数是：90°，
则边数是：＝4．
故答案为：四．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和等于360度，难度适中．
22．如图，在平行四边形ABCD中，以点D为圆心，DC的长为半径画弧交对角线BD于点E，若∠CBD＝40°，∠BAD＝68°，则∠BEC＝ 126° ．
【考点】平行四边形的性质．
【答案】126°．
【分析】根据题意得∠DCE＝∠DEC，平行四边形的性质得到∠CBD＝∠ADB，再根据三角形内角和定理得到∠BDC＝72°，即可解答．
【解答】解：∵以点D为圆心，DC的长为半径画弧交对角线BD于点E，
∴DC＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠CBD＝∠ADB＝40°，
∵∠BAD+∠ADB+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣68°﹣40°＝72°．
∵∠DCE＝∠DEC，
∴，
∴∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣54°＝126°．
故答案为：126°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握其性质是解题的关键．
23．如果x+y＝5，xy＝2，则x2y+xy2＝ 10 ．
【考点】因式分解的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接提取公因式xy，进而求出即可．
【解答】解：∵x+y＝5，xy＝2，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝2×5＝10．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．
24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，若∠BCD＝50°，则∠BDH的度数为 25° ．
【考点】菱形的性质．
【答案】25°．
【分析】根据菱形的性质求出∠BAD＝∠BCD＝50°，∠BDA＝∠BDC＝65°，根据互余性质得到∠ADH＝40°，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，BC∥AD，∠BAD＝∠BCD＝50°，∠BDA＝∠BDC
∵∠BCD＝50°，
∴∠ADC＝130°
∴∠BDA＝∠BDC＝65°
∵DH⊥AB，
∴∠ADH＝40°，
∴∠BDH＝∠BDA﹣∠ADH＝25°，
故答案为：25°．
【点评】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质，解题关键是根据菱形和直角三角形的性质得出角之间的关系．
25．已知不等式2x﹣m＜1的解集为x＜1，且关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围为 a≤4且a≠3 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【答案】本题考查了根据不等式的解集情况求参数，分式方程的解的情况求参数，正确的求出不等式的解集，分式方程的解，是解题的关键．
【分析】先根据不等式的解集确定m，再求得方程的解，根据非负性转化为不等式，求解集，注意增根的陷阱．
【解答】解：∵不等式2x﹣m＜1的解集为，又不等式2x﹣m＜1的解集为x＜1，
∴，
解得m＝1，
∴分式方程变形为，
解方程，得x＝4﹣a，
∵分式方程的解为非负数，
∴4﹣a≥0，
解得a≤4，
∵x﹣1＝0时，分式无意义，
∴x≠1
∴1≠4﹣a，
∴a≠3，
故a的取值范围是a≤4且a≠3，
故答案为：a≤4且a≠3．
【点评】本题考查了根据不等式的解集情况求参数，分式方程的解的情况求参数，正确的求出不等式的解集，分式方程的解，是解题的关键．
26．因式分解：a2b﹣b＝ b（a+1）（a﹣1） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因式b，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a2b﹣b＝b（a2﹣1）＝b（a+1）（a﹣1）．
故答案为：b（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．
27．已知，则（b﹣a）2＝ 25 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
【答案】25．
【分析】根据得到|a+2|+|b﹣3|＝0求出a、b的值，代入代数式求解即可得到答案
【解答】解：∵，
∴由可知|a+2|+|b﹣3|＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，解得a＝﹣2、b＝3，
∴（b﹣a）2＝[3﹣（﹣2）]2＝25，
故答案为：25．
【点评】本题考查非负式和为零的条件，涉及绝对值非负性、二次根式性质等知识及代数式求值，熟记非负式和为零的条件是解决问题的关键．
28．已知4﹣（3﹣m）x|m﹣2|＜0是关于x的一元一次不等式，则m＝ 1 ．
【考点】一元一次不等式的定义；绝对值．
【答案】1．
【分析】根据定义得到3﹣m≠0，|m﹣2|＝1，解不等式即可得到答案
【解答】解：∵4﹣（3﹣m）x|m﹣2|＜0是关于x的一元一次不等式，
∴3﹣m≠0，|m﹣2|＝1，则m﹣2＝1或m﹣2＝﹣1，且m≠3，
解得m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查一元一次不等式的定义，熟记一元一次不等式的定义是解决问题的关键．
29．如果一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式2kx+3b＞0的解集是 x＞3 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象．
【答案】x＞3．
【分析】先把（2，0）代入y＝kx+b，得0＝2k+b，结合图象，得k＞0，则b＝﹣2k，那么2kx+3b＞0，即为2kx＞6k，系数化1，即可作答．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b与x轴的交点坐标为（2，0），
∴把（2，0）代入y＝kx+b，得0＝2k+b，
∴b＝﹣2k，
结合图象，得k＞0，
∵2kx+3b＞0，
∴2kx+3×（﹣2k）＞0，
则2kx＞6k，
∵k＞0，
∴x＞3，
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查了一次函数与x轴的交点以及解不等式，正确利用数形结合是解答本题的关键．
30．多项式4x3y2+8x2y3分解因式时所提取的公因式是 4x2y2 ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【答案】4x2y2.．
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
【解答】解：原式＝4x2y2（x+2y），
则多项式4x3y2+8x2y3分解因式时所提取的公因式是4x2y2，
故答案为：4x2y2．
【点评】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
31．如果二次三项式x2+px﹣6可以分解为（x﹣3）（x+2），那么p的值为 ﹣1 ．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【答案】﹣1．
【分析】根据二次三项式x2+px﹣6可以分解为（x﹣3）（x+2），得x2+px﹣6＝（x﹣3）（x+2），进而得x2+px﹣6＝x2﹣x﹣6，由此可得出p的值．
【解答】解：∵二次三项式x2+px﹣6可以分解为（x﹣3）（x+2），
∴x2+px﹣6＝（x﹣3）（x+2），
即：x2+px﹣6＝x2﹣x﹣6，
∴p＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的意义是解决问题的关键．
32．某种衬衫的进价为400元，出售时标价为550元，由于换季，商店准备打折销售，但要保持利润不低于10%，那么至多打 8 折．
【考点】一元一次不等式的应用．
【答案】8．
【分析】设该衬衫可打x折，则该衬衫的实际售价为550×0.1x元，根据“利润不低于10%”列出不等式，求解可得．
【解答】解：设该衬衫可打x折，
根据题意，得：550×0.1x﹣400≥400×10%，
解得：x≥8，
即该衬衫至多打8折，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查一元一次不等式的应用，根据利润率公式列出一元一次不等式是解题的关键．
33．如图，正比例函数y1＝k1x和一次函数y2＝k2x+b的图象相交于点A（2，1），当x＜2时，y1 ＜ y2．（填“＞”或“＜”）．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由图象可以知道，当x＝2时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论．
【解答】解：由图象知，当x＜2时，y2的图象在y1上方，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了两条直线相交与平行，正确的识别图象是解题的关键．
34．若m+n＝3，则代数式m2+2mn+n2﹣6的值为 3 ．
【考点】完全平方公式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据完全平方公式，将m2+2mn+n2改写成（m+n）2，然后把已知条件代入即可．
【解答】解：∵m+n＝3，
∴m2+2mn+n2﹣6，
＝（m+n）2﹣6，
＝9﹣6＝3．
【点评】本题考查了完全平方公式，能够将m2+2mn+n2改写成（m+n）2，并熟练掌握公式是解决本题的关键．
35．已知关于x的一元一次不等式有解，则直线y＝﹣x+b不经过第 三 象限．
【考点】一次函数的性质；不等式的解集．
【答案】三．
【分析】根据关于x的一元一次不等式有解，可以得到3b﹣2＞2，然后即可得到b的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到直线y＝﹣x+b不经过哪个象限．
【解答】解：∵关于x的一元一次不等式有解，
∴3b﹣2＞2，
解得b＞，
∴直线y＝﹣x+b经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故答案为：三．
【点评】本题考查一次函数的性质、不等式的解集，熟练掌握运算法则和一次函数的性质是解答本题的关键．
36．如图，在▱ABCO中，B（5，2）．将▱ABCO绕O点逆时针方向旋转90°到▱AB′C′O的位置，则点B′的坐标是 （﹣2，5） ．
【考点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣旋转．
【答案】（﹣2，5）．
【分析】直接利用旋转的性质B点对应点到原点距离相同，进而得出坐标．
【解答】解：∵将▱ABCO绕O点逆时针方向旋转90°到▱A′B′C′O的位置，B（5，2），
∴点B′的坐标是：（﹣2，5）．
故答案为：（﹣2，5）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及旋转的性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．
37．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝6，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为 9或 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；勾股定理．
【答案】9或．
【分析】利用三角函数的定义得到∠B＝30°，AB＝4，再利用折叠的性质得DB＝DC＝，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°，设AE＝x，则BE＝4﹣x，EB′＝4﹣x，讨论：当∠AFB′＝90°时，则∴BF＝cs30°＝，则EF＝﹣（4﹣x）＝x﹣，于是在Rt△B′EF中利用EB′＝2EF得到4﹣x＝2（x﹣），解方程求出x得到此时AE的长；当∠AB′F＝90°时，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图，证明Rt△ADB′≌Rt△ADC得到AB′＝AC＝2，再计算出∠EB′H＝60°，则B′H＝（4﹣x），EH＝（4﹣x），接着利用勾股定理得到（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2＝x2，方程求出x得到此时AE的长．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝6，
∴tanB＝＝，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝12，
∵点D是BC的中点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，
∴DB＝DC＝3，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°，
设AE＝x，则BE＝12﹣x，EB′＝12﹣x，
∵∠B′AF＝∠DAF，
∴∠B′AF不可能为直角，
当∠AFB′＝90°时，
在Rt△BDF中，csB＝，
∴BF＝3cs30°＝，
∴EF＝﹣（12﹣x）＝x﹣，
在Rt△B′EF中，∵∠EB′F＝30°，
∴EB′＝2EF，
即12﹣x＝6（x﹣），解得x＝3，此时AE为9；
当∠AB′F＝90°时，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图，
∵DC＝DB′，AD＝AD，
∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，
∴AB′＝AC＝2，
∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，
∴∠EB′H＝60°，
在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（12﹣x），EH＝3B′H＝3×（4﹣x），
在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，
∴（12﹣x）2+[（12﹣x）+6]2＝x2，解得x＝，此时AE为．
综上所述，AE的长为9或．
故答案为：9或．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理．
38．若关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＞1，则a的取值范围是 a＞﹣1 ．
【考点】不等式的解集．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＞1，可知a+1＞0，从而求得a的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＞1，
∴a+1＞0，
解得a＞﹣1，
故答案为：a＞﹣1．
【点评】本题考查不等式的解集，解题的关键是明确不等式的性质．
39．关于x的方程2x+3（m﹣1）＝x+1的解是正数，则m的取值范围是 m＜ ．
【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先解方程，利用m表示出x的值，然后根据x是正数即可得到一个关于m的不等式，即可求得m的范围．
【解答】解：移项，得：2x﹣x＝1﹣3（m﹣1），
即x＝4﹣3m，
根据题意得：4﹣3m＞0，
解得：m＜．
故答案为：m＜．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
40．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12cm，则阴影部分的面积是 18 cm2．
【考点】勾股定理；等腰直角三角形；含30度角的直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝12cm，
∴AC＝6cm．
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝6cm．
故S△ACF＝×6×6＝18（cm2）．
故答案为：18．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．
41．如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴，y轴上，，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为 （﹣6，﹣4） ．
【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．
【答案】（﹣6，﹣4）．
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2023次旋转结束时，点C的坐标．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，
∵OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝45°，
∵BC＝AD＝4，
∴CE＝BE＝4，
∴OE＝OB+BE＝6，
∴C（﹣4，6），
∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
则第1次旋转结束时，点C的坐标为（6，4）；
则第2次旋转结束时，点C的坐标为（4，﹣6）；
则第3次旋转结束时，点C的坐标为（﹣6，﹣4）；
则第4次旋转结束时，点C的坐标为（﹣4，6）；
……，
发现规律：旋转4次一个循环，
∴2023÷4＝505……3，
则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（﹣6，﹣4）．
故答案为：（﹣6，﹣4）．
【点评】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2023次旋转后矩形的位置是解题的关键．
42．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，使得DE∥AC，若此时点D，E，B恰好在同一直线上，则以下结论：
①点A在BD的垂直平分线上；
②AB平分∠CBD；
③AE⊥AB；
④∠AEB＝∠CBE，
其中正确的是 ①②④ ．（填写序号）
【考点】旋转的性质；平行线的性质；线段垂直平分线的性质．
【答案】①②④．
【分析】将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，可得AB＝AD，可判断①正确；∠ABC＝∠ADE，∠ADE＝∠ABD，可得∠ABC＝∠ABD，判断②正确；根据DE∥AC，得∠CBE+∠C＝180°，而∠C＝∠AED，有∠CBE+∠AED＝180°，即得∠CBE＝∠AEB，判断④正确；不能证明∠EAB＝90°，可判断③错误．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，
∴AB＝AD，
∴点A在BD的垂直平分线上，故①正确；
∵将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB＝AD，
∴∠ADE＝∠ABD，
∴∠ABC＝∠ABD，
∴AB平分∠CBD，故②正确；
∵DE∥AC，
∴∠CBE+∠C＝180°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，
∴∠C＝∠AED，
∴∠CBE+∠AED＝180°，
∵∠AEB+∠AED＝180°，
∴∠CBE＝∠AEB，故④正确；
不能证明∠EAB＝90°，故③错误，
∴正确的有：①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查三角形的旋转及平行线的性质，涉及等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握旋转的性质．
43．已知4x2+mx+36是完全平方式，则m的值为 ±24 ．
【考点】完全平方式．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵4x2+mx+36＝（2x）2﹣mx+62，
∴mx＝±2×2x×6，
解得m＝±24．
故答案为：±24．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
三．解答题（共17小题）
44．（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．
【答案】（1）1≤x＜10；
（2）x＝2．
【分析】（1）先求出两个不等式的解，再求出不等式组的解集；
（2）方程两边同乘（x﹣3），将分式方程化为一般方程求解，最后检验方程的解即可．
【解答】解：（1），
解不等式①得，6+2（x+2）＞3x，
解得x＜10，
解不等式②得，5x﹣4x≥1，
解得x≥1，
∴不等式组的解集为1≤x＜10；
（2），
方程两边同乘（x﹣3），得2﹣x﹣1＝x﹣3，
移项，得﹣x﹣x＝1﹣3﹣2，
合并同类项，系数化为1，得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解．
【点评】本题主要考查解一元一次方程组和解分式方程，按照解方程的步骤求解是解题的关键．
45．先化简，再求值：，然后从﹣2＜x＜2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．
【答案】，0．
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：
＝
＝，
∵﹣2＜x＜2，且x≠±1，
∴当x＝0时，原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则，本题属于基础题型．
46．如图1，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使得BE＝AB，连接BD和CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）如图2，将△CBE沿直线BC翻拆点E刚好落在线段AD的中点F处，延长CF与BA的延长线相交于点H，并且CF和BD交于点G，试求线段CH、FG、GB之间的数量关系；
（3）如图3，将△CBE沿直线BC翻折，点E刚好落在线段AD上的点F处，若AD＝6，DC＝3，且FD＝2FA，求S△DFC的面积．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）FG+GB＝CH；
（3）S△DFC＝．
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据平行四边形性质可得△DFC≌△AFH（AAS），进而得到CH＝2CF，再根据四边形BECD是平行四边形，和翻折性质可得GB＝CG，即可求解
（3）根据平行四边形的性质证明△ABD≌△BEC（SSS），可得AD＝BD，过点D作DM⊥AB，可求DM，根据FD＝2FA，可得2S△ABF＝S△BDF，根据条件证明△CND≌△FNB（AAS），可得S△CND＝S△FNB，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵延长AB至点E，BE＝AB，
∴BE∥CD，BE＝CD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CDF＝∠HAF，
∵F是线段AD的中点，
∴AF＝DF，
∵∠DFC＝∠AFH，
∴△DFC≌△AFH（AAS），
∴CH＝2CF，
由翻折性质可得：∠ECB＝∠FCB，
由（1）得：四边形BECD是平行四边形，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠FCB，
∴GB＝CG，
∴FG+CG＝CH，即FG+GB＝CH；
（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是平行四边形，
∴AD＝BC，BD＝CE，
∵BE＝AB，
∴△ABD≌△BEC（SSS），
∴∠A＝∠CEB，
∵BD∥CE，
∴∠CEB＝∠DBA，
∴∠DBA＝∠A，
∴AD＝BD，
过点D作DM⊥AB，BD与CF相交于点N，如图，
∴AM＝AB＝DC＝1.5，
∴DM＝＝＝，
∴S△ABD＝AB•DM＝×3×═，
∵FD＝2FA，
∴2S△ABF＝S△BDF，
∴S△BDF＝S△ABD，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴∠CEB＝∠CDB，
由翻折性质可得：∠CEB＝∠CFB，
∴∠CEB＝∠CFB，
由（2）可得：GB＝CG，
∵∠CNB＝∠FNB，
∴△CND≌△FNB（AAS），
∴S△CND＝S△FNB，
∴S△DFC＝S△DFB＝．
【点评】本题考查了几何问题，涉及到平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识是解答本题的关键．
47．解不等式或者不等式组：
（1）3x﹣2≥1；
（2）．
【考点】解一元一次不等式组；解一元一次不等式．
【答案】（1）x≥1；
（2）6＜x≤9．
【分析】（1）先移项，再合并同类项，系数化1，即可作答．
（2）分别算出每个不等式，再取它们的公共解集，即可作答．
【解答】解：（1）3x﹣2≥1，
3x≥1+2，
3x≥3，
x≥1；
（2），
去括号，去分母，得，
解得，
即6＜x≤9．
【点评】本题考查了解不等式或者不等式组，掌握解不等式是关键．
48．求a3b+2a2b2+ab3的值，其中a+b＝3，ab＝4．
【考点】代数式求值．
【答案】36．
【分析】利用因式分解将a3b+2a2b2+ab3化为ab（a+b）2，再将a+b＝3，ab＝4代入ab（a+b）2求解，即可解题．
【解答】解：a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2，
将a+b＝3，ab＝4代入上式，
有ab（a+b）2＝4×32＝4×9＝36．
【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是正确运算．
49．某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去社会实践基地参加活动．两种型号的车的载客能力和租金如下表所示：
设租用A型车x辆，
（1）请用代数式表示出总租金是多少
（2）保证租车费用不超过2900元，且八年级师生共305人，请在所有满足的租车方案中，指出花费最少的方案租用了几辆A型车？
【考点】一元一次不等式的应用；列代数式．
【答案】（1）（150x+2400）元；
（2）花费最少的方案一租用了2辆A型车．
【分析】（1）设租用A型车x辆，则租用B种车辆（8﹣x）辆，由表中信息列代数式即可得到答案；
（2）设租用A型车x辆，则租用B种车辆（8﹣x）辆，由题意列不等式组求解即可得到答案．
【解答】解：（1）设租用A型车x辆，则租用B种车辆（8﹣x）辆，
∴总租金是450x+300（8﹣x）＝（150x+2400）元；
（2）设租用A型车x辆，则租用B种车辆（8﹣x）辆，
，
解得，
∵x为正整数，
∴x可取2或3，
即有两种方案：
方案一：租用A型车2辆，租用B种车辆6辆；花费450×2+300×6＝2700元；
方案二：租用A型车3辆，租用B种车辆5辆；花费450×3+300×5＝2850元；
∴花费最少的方案一租用了2辆A型车．
【点评】本题考查不等式组解应用题，涉及列代数式、解一元一次方程组等，读懂题意，按要求列式是解决问题的关键．
50．如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE垂直平分BC，
（1）当∠C＝32°时，求∠A的值；
（2）当∠A＝90°，AD＝2时，求BC的长度．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【答案】（1）∠A＝84°；
（2）．
【分析】（1）先由DE垂直平分BC，得∠C＝∠DBE＝32°，再结合角平分线的定义，得∠ABD＝∠CBD＝32°，根据三角形的内角和180°列式计算，即可作答．
（2）先由DE垂直平分BC，角平分线的定义，∠A＝90°，得∠C＝∠DBE＝∠ABD＝30°，AD＝DE＝2，运用30°所对的直角边是斜边的一半，再结合勾股定理列式，即可作答．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分BC，∠C＝32°，
∴DB＝DC，
∴∠C＝∠DBE＝32°，
∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD＝32°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABD﹣∠CBD＝84°；
（2）∵DE垂直平分BC，∠A＝90°，
∴∠C＝∠DBE，BE＝CE，
∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠A＝90°，
∴AD＝DE＝2，，
在Rt△BDE，∠DBE＝30°，BD＝2DE＝4，
则，
则．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的定义、勾股定理：
51．如图所示，D，E在∠BAC两边上且AD＝AE，AG是∠BAC内部的一条射线且AG⊥DE于点F，
（1）求证AG平分∠BAC；
（2）分别作∠BDE和∠CED的平分线，相交于P，求证P同时也在∠BAC的平分线AG上．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）证明见解析过程．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质及AG⊥DE，证△ADF≌△AEF得∠DAF＝∠EAF，即可得出结论
（2）过P作PG⊥DE，PH⊥AB，PM⊥AC，利用角平分线的点到角两边的距离相等得PH＝PM，再利用角平分线的逆定理即可得结论．
【解答】证明：（1）∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵AG⊥DE，
∴∠AFD＝∠AFE＝90°，
在△ADF和△AEF中，
，
∴△ADF≌△AEF（AAS），
∴∠DAF＝∠EAF，
∴AG平分∠BAC；
（2）过P作PG⊥DE，PH⊥AB，PM⊥AC，如图，
，
∵DP平分∠BDE，EP平分∠CED，
∴PQ＝PH，PQ＝PM，
∴PH＝PM，
∴点P在∠HAM的平分线上．
∵AG平分∠BAC，
∴点P在∠BAC的平分线AG上．
【点评】本题考查了角平分线的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键．
52．（1）因式分解：4x2（y﹣2）﹣9（y﹣2）；
（2）解不等式组：．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用；解一元一次不等式组．
【答案】（1）＝（y﹣2）（2x+3）（2x﹣3）；
（2）﹣≤x＜1．
【分析】（1）首先提取公因式（y﹣2），进而利用平方差公式分解因式即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：（1）4x2（y﹣2）﹣9（y﹣2）
＝（y﹣2）（4x2﹣9）
＝（y﹣2）（2x+3）（2x﹣3）；
（2），
解①得：x＜1，
解②得：x≥﹣2，
故不等式的解集为：﹣2≤x＜1．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式以及不等式组的解法，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
53．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；
（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．
【解答】（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：连接CD．
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
54．每年的4月23日是联合国教私文组织确定的“世界读书日”．又称“世界图书和版权日”．某校在“世界读书日”开展“弘扬传统文化，阅读经典名善”主题活动，计划购置一批书籍．已知每本《诗经》25元，每本《论语》18元，该校决定购买《诗经》和《论语》共100本，总费用不超过2000元．
（1）求该校在此次购书活动中总费用y（元）与所购买的《诗经》本数x（本）之间的关系式；
（2）求该校最多可以购买《诗经》多少本？
【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用．
【答案】（1）y＝7x+1800；
（2）该校最多可以购买《诗经》28本．
【分析】（1）利用该校在此次购书活动中总费用＝《诗经》的单价×购买《诗经》的数量+《论语》的单价×购买《论语》的数量，可找出y关于x的函数关系式；
（2）由总费用不超过2000元，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝25x+18（100﹣x），
即y＝7x+1800；
（2）∵y≤2000，
∴7x+1800≤2000，
解得：x≤，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为28．
答：该校最多可以购买《诗经》28本．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
55．我校组织八年级全体学生前往红色研学基地开展以“红色路•三农情•中国梦”为主题的研学活动，在某条研学战路中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带：若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：该条研学线路计似共阻8辆下，租金总费用不超过3000元．
（1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
（2）学校共有几种租车方案？最少丑车费用是多少？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
【答案】（1）参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人；
（2）学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．
【分析】（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设设租甲型客车m辆，则乙型客车（8﹣m）辆，根据8辆车的座位数不少于师生人数及租车总费用不超过3000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出租车方案数，设租车总费用为w元，根据租车总费用＝400×租用甲型客车的数量+320×租用乙型客车的数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，
依题意得，
解得，
答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人；
（2）设租甲型客车m辆，则乙型客车（8﹣m）辆，
依题意得：，
解得：2≤m≤5.5，
∵m为正整数，
∴m＝2，3，4，5，
∴共有4种租车方案．
设租车总费用为w元，则w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w的值随m值的增大而增大，
∴当m＝2时，w取得最小值，最小值为2720．
∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2720元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据题意得到研学活动的老师和学生的人数．
56．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点．
（1）如图1，当点B′恰好落在AD边上时，求证：四边形ABEB′是平行四边形；
（2）如图2，若∠B＝60°，AB＝6，BC＝9，点B′落在DE上时，求B′D的长；
（3）如图3．若∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝6，连接B′D，取B′D的中点F，连接CF，求CF的取值范围．
【考点】四边形综合题．
【答案】（1）证明见解答；
（2）B′D的长是3﹣3；
（3）CF的取值范围是3≤CF≤3．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥DC，∠B＝∠ADC，由折叠得∠B＝∠AB′E，则∠AB′E＝∠ADC，所以B′E∥DC，则AB∥B′E，即可证明四边形ABEB′是平行四边形；
（2）作DH⊥BC交BC的延长线于点H，由AD∥BC，得∠DAE＝∠BEA，而∠DEA＝∠BEA，所以∠DAE＝∠DEA，因为∠DCH＝∠B＝60°，ED＝AD＝BC＝9，DC＝AB＝6，所以∠CDH＝30°，则CH＝DC＝3，求得DH2＝DC2﹣CH2＝27，则EH＝＝3，所以B′D＝CE＝3﹣3；
（3）取AD的中点T，连接CT、FT，由∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝6，得∠ACB＝30°，∠ADC＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，则AD＝BC＝2AB＝12，DT＝AT＝AD＝6＝CD，所以△DCT是等边三角形，则CT＝DT＝6，TF＝AB′＝3，求得CF的最小值是3；而当点F在直线CT的上方，且点E与点C重合时CF的值最大，此时四边形ACDB′是矩形，求得B′D＝AC＝＝6，则DF＝B′D＝3，所以CF＝＝3，于是求得CF的取值范围是3≤CF≤3．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，∠B＝∠ADC，
∴AB′∥BE，
由折叠得∠B＝∠AB′E，
∴∠AB′E＝∠ADC，
∴B′E∥DC，
∴AB∥B′E，
∴四边形ABEB′是平行四边形．
（2）解：如图2，作DH⊥BC交BC的延长线于点H，则∠H＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵点B′落在DE上，
∴∠DEA＝∠BEA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵DC∥AB，∠B＝60°，AB＝6，BC＝9，
∴∠DCH＝∠B＝60°，ED＝AD＝BC＝9，DC＝AB＝6，
∴∠CDH＝90°﹣∠DCH＝30°，
∴CH＝DC＝3，
∴DH2＝DC2﹣CH2＝62﹣32＝27，
∴EH＝＝＝3，
∵ED＝BC，B′E＝BE，
∴B′D＝ED﹣B′E＝BC﹣BE＝CE＝EH﹣CH＝3﹣3，
∴B′D的长是3﹣3．
（3）解：如图3，取AD的中点T，连接CT、FT，
∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝6，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝30°，∠ADC＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，
∴AD＝BC＝2AB＝12，
∴DT＝AT＝AD＝6＝CD，
∴△DCT是等边三角形，
∴CT＝DT＝6，
∵AB′＝AB＝6，点F是B′D的中点，点T是AD的中点，
∴TF＝AB′＝3，
∵CF≥CT﹣TF，且CT﹣TF＝6﹣3＝3，
∴CF≥3，
∴CF的最小值是3；
∵点E是BC边上的动点，
∴当点F在直线CT的上方，且点E与点C重合时CF的值最大，
如图4，点E与点C重合，则∠B′AC＝∠BAC＝90°，
∴∠B′AC+∠BAC＝180°，
∴B、A、B′三点在同一条直线上，
∴AB′∥CD，且AB′＝CD，
∴四边形ACDB′是平行四边形，
∵∠B′AC＝90°，
∴四边形ACDB′是矩形，
∴∠CDF＝90′，B′D＝AC＝＝＝6，
∴DF＝B′D＝3，
∴CF＝＝＝3，
∴CF的最大值为3，
∴CF的取值范围是3≤CF≤3．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
57．计算：解不等式或不等式组：
①解不等式：并把它的解集在如图的数轴上表示出来．
②解不等式组，并写出满足条件的所有整数x的值．
【考点】一元一次不等式组的整数解；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．
【答案】①x＜3，解集在数轴上的表示见解答；
②2≤x＜4，该不等式组的整数解为2、3．
【分析】①依次去分母、移项、合并同类项、系数化为1即可得出答案；
②分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：①∵，
∴x+9＞4x，
x﹣4x＞﹣9，
﹣3x＞﹣9，
则x＜3，
将解集表示在数轴上如下：
②由3x﹣（x+3）≥1得：x≥2，
由＞x﹣1得：x＜4，
则不等式组的解集为2≤x＜4，
所以该不等式组的整数解为2、3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键
58．4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．
以x（x＞100单位：元）表示标价总额，y甲（单位：元）表示在甲书店应支付金额，y乙（单位：元）表示在乙书店应支付金额．
①就两家书店的优惠方式，分别求y甲，y乙关于x的函数表达式；
②“少年正是读书时”，“世界读书日”这一天，八年级学生奇思计划去甲、乙两个书店购书，如何选择这两家书店购书更省钱？
【考点】一次函数的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】①根据题意给出的数量关系即可求出答案；
②根据关系式分情况讨论即可．
【解答】解：①甲书店应支付金额为：y甲＝0.8x；
乙书店应支付金额：y乙＝100+0.6（x﹣100）＝0.6x+40，
∴y甲＝0.8x，y乙＝0.6x+40；
②令0.8x＝0.6x+40，解得x＝200，
令0.8x＜0.6x+40，解得x＜200，
令0.8x＞0.6x+40，解得x＞200，
∴当x＜200时，去甲书店省钱，
当x＝200时，去甲乙两家书店购书支付金额相同，
当x＞200时，去乙书店省钱．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的数量关系，本题属于基础题型．
59．将下列各式因式分解：
①﹣3a2b+6ab﹣3b；
②x2（m﹣n）+y2（n﹣m）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【答案】①﹣3b（a﹣1）2；
②（m﹣n）（x﹣y）（x+y）．
【分析】①直接提取公因式﹣3b，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；
②应该先处理符号，再提公因式（m﹣n），再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：①﹣3a2b+6ab﹣3b
＝﹣3b（a2﹣2a+1）
＝﹣3b（a﹣1）2；
②x2（m﹣n）+y2（n﹣m）
＝x2（m﹣n）﹣y2（m﹣n）
＝（m﹣n）（x2﹣y2）
＝（m﹣n）（x﹣y）（x+y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
60．如图，在△ABD中，点C在BD的垂直平分线上，连接BC，作CE⊥AB于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，且CE＝DF．
（1）求证：AB＝AC；
（2）如果∠ABD＝102°，求∠A的度数．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【答案】（1）见解析；
（2）44°．
【分析】（1）先由HL判定Rt△BCE≌Rt△CDF，得到∠ABC＝∠DCF，然后由对顶角相等可得：∠DCF＝∠ACB，进而可得∠ABC＝∠ACB，然后由等角对等边，可得AB＝AC；
（2）由CD＝BC，可得∠CBD＝∠CDB，然后由三角形的外角的性质可得：∠ACB＝∠CBD+∠CDB＝2∠CBD，由∠ABC＝∠ACB，进而可得：∠ABC＝2∠CBD，然后由∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝3∠CBD＝102°，进而可求∠CBD的度数及∠ABC的度数，然后由三角形的内角和定理即可求∠A的度数．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，DF⊥BC，
∴△BCE和△DCF均是直角三角形，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），
∴∠ABC＝∠DCF，
∵∠DCF＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：∵CD＝BC，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵∠ACB＝∠CBD+∠CDB，
∴∠ACB＝2∠CBD，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝2∠CBD，
∵∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝3∠CBD＝102°，
∴∠CBD＝34°，
∴∠ABC＝2∠CBD＝68°，
∴∠A＝180°﹣2∠ABC＝44．
【点评】此题考查了直角三角形全等的判定与性质，及等腰三角形判定与性质，解题的关键是：熟记三角形全等的判定与性质．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/3/29 16:22:59；用户：实事求是；邮箱：18347280726；学号：37790395

A
B
载客量（人/辆）
50
35
租金（元/辆）
450
300
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
A
B
载客量（人/辆）
50
35
租金（元/辆）
450
300
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320