【导数大题】题型刷题突破 第37讲 指对函数问题之指数找基友

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1、多加总结。这是非常重要的一点，当三年所有的数学知识点加在一起，可能会使有些基础不牢固的学生犯迷糊。
2、做题经验。更简单的来说：“一个知识点对应的题目有无数个”，哪怕同一题只改变数字，也能成为一道新的题目。
3、多刷错题。对于备考当中的学生来说“多刷错题能够进一步地扫清知识盲区，多加巩固之后自然也就掌握了知识点。”
对于学生来说，三轮复习就相当于是最后的“救命稻草”，家长们同样是这样，不要老是去责怪孩子考试成绩不佳，相反，更多的来说，如果能够陪同孩子去反思成绩不佳的原因，找到问题的症结所在，更加重要。
第37讲 指对函数问题之指数找基友
1．若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围
【解答】解：当时，为的增函数，无最小值，不符合题意；
当时，即为显然成立；
当时，的导数为，
由于在递增，设的根为，即有，
当时，，递减；当时，，递增，
可得处取得极小值，且为最小值，
由题意可得，即，
化为，设，，
当时，（1），时，，递增，
可得的解为，
则，，
综上可得，，
故选：．
2．已知函数，其中为自然对数的底数，为常数．
（1）若对函数存在极小值，且极小值为0，求的值；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1），，
当时，，函数在上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；
当时，由，可得，由，可得，为函数的极小值点，
由已知，，即，；
（2）不等式，即，
设，则，，时，，则在时为增函数，．
①，即时，，在时为增函数，，此时恒成立；
②，即时，存在，使得，从而时，，在，上是减函数，
时，，不符合题意．
综上，的取值范围是，．
3．已知为自然对数的底数）．
（1）若在处的切线过点，求实数的值；
（2）当，时，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），．，
在处的切线方程为，
切线过点，，．
（2）由，可得，
令，，
，且，，
存在，使得，
当时，；当时，．
①当时，，，
此时，对于任意式恒成立；
②当时，，
由，得，
令，下面研究的最小值．
与同号，且对成立，
函数在上为增函数，而，
时，，，
函数在上为减函数，，．
③当，时，，
由，得，
由②可知函数在，上为减函数，
当，时，，，
综上，．
4．已知，．
（1）求在处的切线方程；
（2）若，证明：在上单调递增；
（3）设对任意，成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），，，
所以在处的切线方程为，即．
（2），
则，
由于，故，
又，，故，
故，即在上恒成立，
故在递增．
（3），
由对任意，恒成立，设，
则，
再设，
则，
，
因此在上递增，
故，
①当时，即，在递增，故，
即适合题意，
②当时，，，
若，则取，时，，
若，则在上存在唯一零点，记为，
当时，，
总之，存在使时，
即，故递减，，
故时，存在使，不合题意，
综上，．
所以的取值范围为，．
5．已知函数．
（1）当时，证明：在上为减函数．
（2）当时，，求实数的取值范围．
【解答】（1）证明：当时，，则，
令，则，
当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
则（1），，故在上为减函数．
（2）解：等价于对于恒成立，
设，则，易知在上为增函数，
所以，所以在上为增函数，
因为，，所以存在唯一的，使得，
当，时，，由得，
令，则，
所以在，上为减函数，则，所以，
当时，，对于任意实数，恒成立，
当时，，由得，
由上可知，令，
则，易知在上为增函数，
又，因为，，
所以，
又，所以存在唯一，使得，
当，时，；当时，，
所以在，上递减，在上递增，
因为，，
所以，即，所以在为减函数，
，所以，综上可知，实数的取值范围为．
6．已知函数．
（1）证明：函数有三个零点；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）证明：因为为奇函数，且，
只需证在上有且只有一个零点即可．
当，，记，，
，在上递增，
又，在上递增，
又，，
所以存在唯一实数，使得，
当时，，当，时，，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增．
，，又，
所以函数在，上有且只有一个零点，
所以函数有三个零点．
（2）法一：由，可得，
由（1）知：①当时，，，
此时，对于任意，恒成立．
②当时，，
由，得，
令，下面研究的最小值，
，
令，，对成立，
函数在上为增函数，
而，
又，存在唯一实数，使得，
当，时，；当时，．
函数在，上递减，在递增，
，，
函数在上递减，，．
③当，时，，
由，得，
由②可知，
所以函数在，上为减函数，
当，时，，
，综上，．
法二：原命题等价于在，上恒成立，
令，则，
当，时，，，，
①当时，原命题成立，
②当时，在，上单调递增，，由，可得，
③当时，在，上单调递减，，由，可得，综上，的取值范围是，．
7．已知函数，为的导函数．
（1）讨论在区间内极值点的个数；
（2）若，时，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由，得，
令，则，
，，，
当时，，单调递增，即在区间内无极值点，
当时，，，故，
故在单调递增，又，，
故存在，使得，且时，，递减，
，时，，单调递增，故为的极小值点，
此时在区间内存在1个极小值点，无极大值点；
综上：当时，在区间内无极值点，
当时，在区间内存在1个极小值点，无极大值点．
（2）若，时，恒成立，则，故，
下面证明时，在，恒成立，
，时，，故时，，
令，，，故，
令，则，在区间，单调递增，
又，故在，上单调递减，又，，
故存在，，使得，且，时，，递增，
，时，，单调递减，故时，取得最大值，且，
，，，
故单调递减，故，时，即成立，
综上，若，时，恒成立，则的取值范围是，．
8．设函数，．
（1）当时，求的值域；
（2）当，时，不等式恒成立是的导函数），求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题可得．
令，得．
当时，，当时，，
所以，．
因为，所以，
所以的值域为．
（2）由得，
即．
设，则．设，则．
当，时，，，所以．
所以即在，上单调递增，则．
若，则，所以在，上单调递增．
所以恒成立，符合题意．
若，则，必存在正实数，满足：当时，，单调递减，此时，不符合题意
综上所述，的取值范围是，．
9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，曲线在点，（1）的切线与轴平行，是的导函数．
（Ⅰ）求的值及当时，函数的单调区间；
（Ⅱ）设对于任意，证明．
【解答】（Ⅰ）解：由，得，
，即．
，
为减函数，且（1），
当时，，．
当时，，．
的增区间为，减区间为；
（Ⅱ）证明：．记，
，令，得，
当时，，单调递增；
当，时，，单调递减．
，
．
令，，
在上单调递减，
．
．
10．已知函数，．
当时，求过点且和曲线相切的直线方程；
（2）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围．
【解答】解（1）当时，，，
当点为切点时，所求直线的斜率为，则过点且和曲线相切的直线方程为，
当点不是切点时，设切点坐标为，
则所求直线的斜率为，所以，①易知，②
由①②可得
即，
设，则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，又，
所以有唯一的零点，
因为，所以方程的根为，即切点坐标为，
故所求切线的斜率为（1），则过点且和曲线相切的直线方程为，
综上，所求直线的方程为或，
（2）解法一、，
因为，所以函数的零点就是函数的零点，
当时，，没有零点，所以没有零点．
当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故是函数在上的最小值，
当上没有零点，即在上没有零点；
当上只有一个零点，即在上只有一个零点；
易知对任意的，都有，即，所以，即，令，则，所以，
故在上有一个零点，
因此在上有两个不同的零点，即在上有两个不同的零点；
综上，若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是．
解法二、由，
令，
则函数在上有两个不同的零点，即直线与函数的图象在上有两个不同的交点），
，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为，
因为，并且当时，，
所以当时，在上的图象与直线有两个不同的交点，
即当时，函数在上有两个不同的零点．
所以，若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是．
11．已知函数，．
（Ⅰ）求曲线在，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），（1），
（1），
所求切线方程为（4分）
（Ⅱ）令
①当时，，时，；时，
在上是减函数，在上是增函数，
，即（7分）
②当时，在上是增函数，在上是减函数，
在上是增函数，
要使，
则，解得（9分）
③当时，，在上是增函数，
，成立 （10分）④当时，在上是增函数，
在上是减函数，在上是增函数，
要使，
则，解得
综上，实数的取值范围为（12分）
12．已知函数（其中，为实数）的图象在点，处的切线方程为．
（1）求实数，的值；
（2）求函数的最小值；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数，
则，
因为的图象在点，处的切线方程为，
则，解得，；
（2）由（1）可知，，
则函数，
所以，
令，
则，
①当时，由，，则，
所以在上单调递减，
则，故无最小值；
②当时，由，，则，
所以在，上单调递增，故，
则在，上单调递增，
所以．
综上所述，的最小值为1；
（3）对分情况讨论如下：
①当时，对任意的，不等式恒成立；
②当时，不等式等价于，
即，
令，
则，
当时，由（2）可知，，
所以单调递增，
则，满足题意；
当时，由（2）可知，在上单调递增，
因为，
故，
从而，
又，
所以存在唯一的实数，使得，
当时，，则单调递减，
所以当时，，不符合题意；
③当时，不等式等价于，
同上，令，则，
当时，由（2）可知，，
所以单调递增，故，满足题意．
综上所述，的取值范围为．