思想01 运用分类讨论的思想方法解题（5大核心考点）（讲义）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc157378762" PAGEREF _Tc157378762 \h 1
\l "_Tc157378763" PAGEREF _Tc157378763 \h 2
\l "_Tc157378764" PAGEREF _Tc157378764 \h 2
\l "_Tc157378765" PAGEREF _Tc157378765 \h 3
\l "_Tc157378766" 考点一：由情境的规则引起的分类讨论 PAGEREF _Tc157378766 \h 3
\l "_Tc157378767" 考点二：由定义引起的分类讨论 PAGEREF _Tc157378767 \h 4
\l "_Tc157378768" 考点三：由平面图形的可变性引起的分类讨论 PAGEREF _Tc157378768 \h 5
\l "_Tc157378769" 考点四：由变量的范围引起的分类讨论 PAGEREF _Tc157378769 \h 6
\l "_Tc157378770" 考点五：由空间图形的可变性引起的分类讨论 PAGEREF _Tc157378770 \h 7
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．
当被研究的问题出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们通常将可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这就是分类讨论的思想，包含分类与整合两部分，既化整为零，各个击破，又集零为整．
基本步骤是：（1）研究讨论的必要性，确定讨论对象；（2）确定分类依据，并按标准分类；（3）逐类解决，获得各类的结果；（4）归纳整合，得到结果．
分类的基本原则是：（1）标准统一，不重不漏；（2）层次明晰，不混不乱．
分类讨论应用的热点：（1）由概念、定义、公式、定理、性质等引起的分类讨论，如直线的斜率是否存在，幂、指数、对数函数的单调性，等比数列的公比是否为等．（2）由数学运算规则引起的分类讨论，如除法运算中分母不为零，偶次方根为非负数，不等式两边同乘（除）以一个数（式）的符号等．（3）由变量的范围引起的分类讨论，如对数的真数与底数的范围，指数运算中底数的范围，函数在不同区间上单调性受参变量的影响等．（4）由图形的可变性引起的分类讨论，如图形类型、位置，点所在的象限，角大小的可能性等．（5）由情境的规则引起的分类讨论，情境问题的规则在解决数学问题时常需要分类讨论思想，如体育比赛的规则等．
1．（2023•天津）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
2．（2023•新高考Ⅰ）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
3．（2023•甲卷）已知，．
（1）若，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围．
考点一：由情境的规则引起的分类讨论
【例1】三人各抛掷骰子一次，落地时向上的点数能组成等差数列的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表：
规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名．总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线．假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为，，每场比赛结果相互独立．
求丁的总分为7分的概率；判断此时丁能否出线，并说明理由；
若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，0，3，0，求丁以6分的成绩出线的概率．
【变式1-3】2021年4月23日是第26个“世界读书日”，某校组织“阅百年历程，传精神力量”主题知识竞赛，有基础题、挑战题两类问题．每位参赛同学回答n次，每次回答一个问题，若回答正确，则下一个问题从挑战题库中随机抽取；若回答错误，则下一个问题从基础题库中随机抽取．规定每位参赛同学回答的第一个问题从基础题库中抽取，基础题答对一个得10分，否则得0分；挑战题答对一个得30分，否则得0分．已知小明能正确回答基础类问题的概率为，能正确回答挑战类问题的概率为，且每次回答问题是相互独立的．
记小明前2题累计得分为X，求X的概率分布列和数学期望；
记第k题小明回答正确的概率为，，证明：当时，，并求的通项公式．
考点二：由定义引起的分类讨论
【例2】若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数．已知，且，数列的前m项和为，若，则m的值为__________．
【变式2-1】记，若是等差数列，则称m为数列的“等差均值”；若是等比数列，则称m为数列的“等比均值”．已知数列的“等差均值”为2，数列的“等比均值”为记，数列的前n项和为若对任意的正整数n都有，则实数k的取值范围是__________．
【变式2-2】已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差为的等差数列，若表示不超过x的最大整数，如，
求数列的通项公式；
若，求数列的前2020项的和．
【变式2-3】将连续正整数1，2，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．
求
当时，求的表达式．
令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值．
考点三：由平面图形的可变性引起的分类讨论
【例3】过点的直线与圆相切，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【变式3-1】（多选题）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的右支于P、Q两点，若为等腰直角三角形，则C的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】已知圆，过点的直线l交圆O于两点，且，请写出一条满足上述条件的直线l的方程__________．
【变式3-3】已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当时，的面积为
求椭圆C的方程：
设过点的直线l和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线l，使得与是坐标原点的面积比值为5：若存在，求出直线l的方程：若不存在，说明理由．
考点四：由变量的范围引起的分类讨论
【例4】已知函数，设s为正数，则在中（ ）
A．不可能同时大于其它两个B．可能同时小于其它两个
C．三者不可能同时相等D．至少有一个小于
【变式4-1】已知，关于 x 的方程有且仅有一个解，则 t 的取值范围是__________．
【变式4-2】已知函数，为常数，
若函数在原点的切线与函数的图象也相切，求b；
当时，，使成立，求M的最大值；
若函数的图象与x轴有两个不同的交点，且，证明：
【变式4-3】已知函数
讨论函数的单调性；
若，证明：曲线与直线恰有两个公共点，且这两个公共点关于点对称．
考点五：由空间图形的可变性引起的分类讨论
【例5】如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点Q，使得
B．存在点Q，使得平面
C．三棱锥的体积是定值
D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为
【变式5-1】已知点P为平面直角坐标系xOy内的圆上的动点，点，现将坐标平面沿y轴折成的二面角，则A，P两点间距离的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为正方形，平面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，且，则此刍甍的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】如图，长方体中，，，M为的中点，过作长方体的截面交棱于N，下列正确的是（ ）
①截面可能为六边形
②存在点N，使得截面
③若截面为平行四边形，则④当N与C重合时，截面面积为
A．①②B．③④C．①③D．②④
第一轮
甲VS乙
丙VS丁
第二轮
甲VS丙
乙VS丁
第三轮
甲VS丁
乙VS丙