技巧03 数学文化与数学阅读解题技巧（4大题型）（练习）-2024年高考数学二轮复习讲练测（新教材新高考）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc159599581" 01 融合传统文化和数学史的数学阅读题 PAGEREF _Tc159599581 \h 1
\l "_Tc159599582" 02 融合其他学科知识的数学阅读题 PAGEREF _Tc159599582 \h 3
\l "_Tc159599583" 03 融合社会热点和建设成就的数学阅读题 PAGEREF _Tc159599583 \h 7
\l "_Tc159599584" 04 融合生活实际的数学阅读题 PAGEREF _Tc159599584 \h 9
01 融合传统文化和数学史的数学阅读题
1．（2024·陕西西安·统考一模）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第14项为 .
【答案】183
【解析】设该二阶等差数列为，则，
由二阶等差数列的定义可知，，
可知数列是以为首项，公差的等差数列，则，
即，
将所有上式累加可得，则，
所以，即该数列的第14项为.
故答案为：183.
2．（2024·河南·高三校联考专题练习）数列，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》之中.若数列的每项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前50项的和 .
【答案】34
【解析】斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，
将的每一项除以2所得余数构成的新数列为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，
这是一个周期数列，周期为3，
又，故数列的前50项的和为
故答案为：34
3．（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.已知，Q为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由阿波罗尼斯圆的定义，设，定点，令，则
，
平方化简得，
因为此方程与为同一方程，
所以，解得，所以点，
所以，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
即最小值为点到直线的距离：，
故答案为：.
02 融合其他学科知识的数学阅读题
4．（2024·全国·高三专题练习）北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（m/s）和燃料的质量M（kg）、火箭（除燃料外）的质量m（kg）的关系式为v＝2000，若火箭的最大速达到10km/s，则燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（ ）
（参考数据：e5≈148.4）
A．146.4B．147.4C．148.4D．149.4
【答案】B
【解析】由题意将v＝10km/s，代入v＝2000，可得10×1000＝2000，
则，即≈148.4，解得.
故选：B
5．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，如图建系，设椭圆轨道的长轴长、短轴长，焦距分别为，，，下列结论正确的是（ ）
A．卫星向径的最大值为
B．卫星向径的最小值为
C．卫星绕行一周时在第二象限内运动的时间大于在第一象限内运动的时间
D．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆
【答案】C
【解析】根据题意：向径为卫星与地球的连线，即椭圆上的点与焦点的连线的距离，
根据椭圆的几何性质可知卫星向径的最小值为，最大值为，A，B错误；
由开普勒行星运动定律，卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，
在第二象限运动时扫过的面积大于在第一象限运动时扫过的面积，
故卫星在第二象限内运动的时间大于在第一象限内运动的时间，C正确；
当卫星向径的最小值与最大值的比值越小时，由，
可得越大，椭圆越扁，所以D错误.
故选：C.
6．（2024·河南许昌·高三统考阶段练习）北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式来表示，其中，（单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，（单位：吨）表示它装载的燃料质量，（单位：吨）表示它自身（除燃料外）的质量.若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度（7.9千米/秒），则火箭的燃料质量与火箭自身质量之比约为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题设，，则.
故选：C
7．（2024·江苏连云港·高三统考期中）10世纪阿拉伯天文学家阿尔库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗小天体来测定小天体的高度．如图，有两个观察者在地球上A，B两地同时观测到一颗卫星S，仰角分别为∠SAM和∠SBM（MA，MB表示当地的水平线，即为地球表面的切线），设地球半径为R，的长度为，∠SAM＝30°，∠SBM＝45°，则卫星S到地面的高度为 ．
【答案】
【解析】
如图，圆心为O点，设，由已知的长度为，
即，
∵ ∴是等边三角形，
又，，，，
则，
在中，有，，，
，
由正弦定理可得，，即，
∴
在中，有，，，
由余弦定理可得，
则，
所以，则卫星S到地面的高度为
故答案为：.
03 融合社会热点和建设成就的数学阅读题
8．（2024·北京·高三统考期末）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中度呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．2019年在武汉发现的新型冠状病毒，于2020年1月12日被世界卫生组织正式命名为2019—nCV．现在我们已经在武汉取得了抗击新冠病毒的伟大胜利．已知在抗击新冠病毒的过程中，武汉某小区有5个志愿者，负责分配来自全国各地支援的抗疫物资．已知每天安排1个志愿者，5天一个轮回．在每个轮回中，甲志愿者只能在第一天或者第二天服务，乙不能在第一天也不能在最后一天服务，丙志愿者只能在第三天服务．则可以安排的方法种数是（ ）
A．24B．12C．8D．6
【答案】D
【解析】若甲志愿者在第一天服务，又丙志愿者只能在第三天服务，则乙甲志愿者有2种，其余两名志愿者有种，故共有种；
若甲志愿者在第二天服务，又丙志愿者只能在第三天服务，则乙甲志愿者只能在第四天服务，其余志愿者有种，故共有2种，
根据分类加法计数原理可得，共有种安排方法.
故选：D
9．（2024·重庆万州·高三万州外国语学校天子湖校区校考阶段练习）2020年初，新冠病毒肺炎（COVID﹣19）疫情在武汉爆发，并以极快的速度在全国传播开来．因该病毒暂无临床特效药可用，因此防控难度极大．湖北某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为，且相互独立，该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，此时（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得，该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”，则前3人检测为阴性，第4人为阳性，或前4人检测为阴性，第5人为阳性.求出，求，利用导数求当最大时，的值.由题意可得，该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”，则前3人检测为阴性，第4人为阳性，或前4人检测为阴性，第5人为阳性.
，
.
，
令，得；，得.
在上单调递增，在单调递减，
时，最大，即.
故选：．
10．（2024·江西九江·统考二模）气势磅礴的中国馆——“东方之冠”令人印象深刻，该馆以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为设计理念，代表中国文化的精神与气质.其形如冠盖，层叠出挑，制似斗拱.它有四根高米的方柱，托起斗状的主体建筑，总高度为米，上方的“斗冠”类似一个倒置的正四棱台，上底面边长是米，下底面边长是米，则“斗冠”的侧面与上底面的夹角约为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意得“斗冠”的高为（米），
在如下图所示的正四棱台中，由正棱台的几何性质可知四边形为等腰梯形，
分别过点、在平面内作、，垂足分别为、，
在平面中，，，，
所以，四边形为矩形，所以，，，
因为，，所以，，
则，
由题意可得，易知为“斗冠”的侧面与上底面的夹角，
，
而，，且在上单调递增，
因为，所以，
故选：C.
11．（2024·全国·高三专题练习）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量（mg/L）与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前2个小时消除了20%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（ ）
A．51.2%B．48.8%C．52%D．48%
【答案】B
【解析】依题意有， 可得，
当时，
因此，前6个小时消除了污染物的48.8%.
故选∶B．
04 融合生活实际的数学阅读题
12．（2024·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早是外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点，满足平面，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在三棱锥中，因为平面ABC，平面，
则，
而，平面，因此平面，
又平面，于是，
取中点，连接，从而，
则点是三棱锥的外接球球心，如图，
设该外接球半径为，
则，
当且仅当时取等号，因此三棱锥的外接球表面积，
所以制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为.
故选：C.
13．（2024·湖南长沙·长郡中学校考二模）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点，平面，则该鞠（球）的表面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
取的中点为，连接，
因为平面，而平面，故，
故.
同理，而，平面，
故平面，而平面，故，
故，
综上，为三棱锥外接球的球心，
而，故外接球的半径为3，
故球的表面积为，
故选：C
14．（多选题）（2024·全国·模拟预测）第31届世界大学生夏季运动会在四川成都举行，大运会吉祥物“蓉宝”备受人们欢迎．某大型超市举行抽奖活动，推出“单次消费满1000元可参加抽奖”的活动，奖品为若干个大运会吉祥物“蓉宝”．抽奖结果分为五个等级，等级与获得“蓉宝”的个数的关系式为，已知三等奖比四等奖获得的“蓉宝”多2个，比五等奖获得的“蓉宝”多3个，且三等奖获得的“蓉宝”数是五等奖的2倍，则（ ）
A．B．
C．D．二等奖获得的“蓉宝”数为10
【答案】ABD
【解析】依题意，得，解得即：
对于选项A，由可得： ，（依题意知，，故）
得，所以，故A项正确；
对于选项B，因可得：，由选项A结论可知，
所以，所以，解得，故B项正确；
对于选项C，因可得：，由选项B结论，有，
解得，故C项错误；
对于选项D，由选项A，B，C可得，即，所以，
即二等奖获得的“蓉宝”数为10，故D项正确．
故选：ABD.
15．（2024·全国·高三专题练习）风雨桥（如图①所示）是侗族最具特色的民间建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形.图②是某风雨桥亭的大致俯视图，其中正六边形的边长的计算方法如下：，，…，，其中.已知该风雨桥亭共层，若，，则图②中的五个正六边形的周长总和为 .

【答案】
【解析】由已知可得（且），，
则，
所以，图②中五个六边形的边长（单位：）构成以为首项，以为公差的等差数列，
所以，这五个正六边形的周长之和为.
故答案为：.