高考数学导数专题-14.利用非线性不等式放缩估计双变量

这是一份高考数学导数专题-14.利用非线性不等式放缩估计双变量，共4页。试卷主要包含了已知函数等内容，欢迎下载使用。

上一讲我们在讲对数均值不等式时都已了解其实质是下面的不等式链在二元情形下的体
现：
.
另一方面：
，.
上面反向不等式链在什么时候估计的最好呢？当然是越接近1时，逼近效果最好.下面我们通过一个常见的极值点偏移例子来予以说明.（公众号：凌晨讲数学）
二．典例分析
例1.已知函数，若，不妨设，求的取值范围.
解析：显然，若利用，且.
若利用，且.
令，可得：.
在前面两节，我用了构造偏差函数与比值代换证明了下面结论：
（1）
（2）
（3）若，则
例1.本讲我将继续用不等式方法来证明下面的结论：（公众号：凌晨讲数学）
.
证明：利用不等式：来放缩对数项.
为什么利用上述反向同构不等式可以加紧偏移呢？下面这个例子引自知乎[2]，我觉得非常精辟！（公众号：凌晨讲数学）
回到刚刚这道例题中，起初的偏移是利用或者
得到的，而后面加紧的偏移则是，显然，或者比更接近于1，当然放缩效果更好！那么上面的极值点偏移问题就属于利用不等式放缩所得！
例2.已知函数.若有两个零点且，求证：
.
解析：显然，，故为函数的极值点，且满足
，于是左端不等式易证，此处略去，等会再来加强.
就看右端的不等式是个何方神圣？其实质是的极值点.由于.当时，有两个零点.
显然，，故为的极大值点.所以所证不等式是与有关的偏移.显然.注意到这个偏移并不是传统意义上的偏移（），显然，，当时.所以，我们预计这个偏移是传统的偏移加紧，于是，类似于前面两个例题，我们来构造反向同构不等式：
，证毕.（公众号：凌晨讲数学）
如何在考试的时候辨识这一类极值点偏移呢，我个人总结一下这类题型的基本做法：
第1步：判断极值点偏移的题眼：证明：或，其中为函数的极值点；
第2步：若证明的是或者型，为函数中的参数，且，那么就要判断或者是否是偏移或
的加紧，若是，进行第三步，构造反向同构不等式.
第3步： 结合不等式或者不等式 ，去构造反向同构不等式，整理可得结果.
参考文献:
[1].周赛龙，储炳南.对数均值不等式在一类极值点偏移问题中的应用.中学数学研究.[J]
[2].知乎.对于估值的一点小心得.