2023-2024学年福建省南平市建瓯市芝华中学高一（下）第一次段考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省南平市建瓯市芝华中学高一（下）第一次段考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在△ABC中，若BA=a，BC=b，则CA=( )
A. aB. a+bC. b−aD. a−b
2.已知向量a=(1,2)，b/​/a，那么向量b可以是( )
A. (2,1)B. (−1,2)C. (−1,−2)D. (−2,1)
3.已知a=(1,−1)，b=(−1,3)，则a⋅(2a+b)=( )
A. 0B. 1C. −1D. 2
4.已知点A(−4,−2 3)，B(−2,0)，C( 3,m)，O为坐标原点，若OA+OB与OC共线，则m=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
5.在△ABC中，若a= 2，∠A=π6，csC=−13，则c=( )
A. 33B. 23C. 8 39D. 83
6.已知a,b均为单位向量.若|a−b|=1，则a在b上的投影向量为( )
A. 32aB. 12aC. 32bD. 12b
7.在△ABC中，若|AB+AC|=1，|CA+CB|=2，则△ABC的面积的最大值为( )
A. 16B. 15C. 14D. 13
8.如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC⋅PD的取值范围为( )
A. (0,16)
B. [0,16]
C. (0,4)
D. [0,4]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量OA=(3,−4),OB=(6,−3),OC=(5−m,−3−m)，若∠ABC为锐角，则实数m可能的取值是( )
A. −1B. 0C. 12D. 1
10.在△ABC中，若acsA=bcsB，则△ABC的形状可能为( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 不存在
11.下列说法正确的是( )
A. |a⋅b|≤|a||b|
B. 若a与b平行，b与c平行，则a与c平行
C. 若a⋅b=c⋅b且b≠0，则a=c
D. a和b的数量积就是a在b上的投影向量与b的数量积
12.在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是( )
A. AB+AC−AD=0
B. DA+EB+FC=0
C. 若AB|AB|+AC|AC|= 3AD|AD|，则BD是AB在BC的投影向量
D. 若点P是线段AD上的动点(不与A、D重合)，且BP=λBA+μBC，则λμ的最大值为18
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在△ABC中，AB=2，D为AB的中点，若BC=DC= 2，则AC的长为______．
14.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2b⋅csC=2a+c.若b=4，则△ABC的外接圆半径为______．
15.若两个非零向量a，b满足|a+b|=|a−b|=|2a|，则a−b与a的夹角为______．
16.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，则OP=xOA+yOB，若AP=3PB，|OA|=4，|OB|=2，且OA与OB的夹角为60°，则OP⋅AB的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知|a|=4，|b|=8，a与b的夹角为2π3．
(1)求|a+b|；
(2)当k为何值时，(a+2b)⊥(ka−b)？
18.(本小题10分)
已知向量m=(sinx,1),n=( 3csx,12cs2x)，函数f(x)=m⋅n．
(1)求函数f(x)的最大值及相应自变量的取值；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=12,a=2，求b+c的取值范围．
19.(本小题10分)
△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AC=4，BC=2，AD=λAB(0<λ<1)．
(1)∠ACB=120°，λ=13时，求CD的长度；
(2)若CD为角C的平分线，且CD=2，求△ABC的面积．
20.(本小题10分)
如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，CB=2CA=2.点D，E分别是线段AB，BC上的点，满足AD=λAB,BE=λBC,λ∈(0,1)．
(1)求AE⋅BC的取值范围；
(2)是否存在实数λ，使得AE⊥CD？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
21.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(csB+csC)+(b+c)cs(B+C)=0．
(1)求A；
(2)若D为线段BC延长线上的一点，且BA⊥AD，BD=3CD，求sin∠ACD．
22.(本小题15分)
已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,c=a(csB+12sinB)．
(1)求sinA；
(2)若△ABC的面积为1，且_____(在下面两个条件中任选一个)，求△ABC的周长．
①a=2；②a=2c．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：CA=CB+BA=−b+a=a−b；
故选：D．
根据平面向量的加减法运算，利用三角形法则得到所求．
本题考查了平面向量的加减法运算；属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：设向量b=(x,y)，
由b/​/a，得2x−y=0，
∴y=2x，
∴向量b可以是(−1,−2)．
故选：C．
利用平面向量的共线定理，列方程求得向量b满足的条件．
本题考查了平面向量的共线定理与应用问题，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由已知条件可得a2=1+1=2，a⋅b=1×(−1)−1×3=−4，
因此，a⋅(2a+b)=2a2+a⋅b=2×2−4=0．
故选：A．
利用向量的数量积的运算法则，求解即可．
本题考查向量的数量积的求法，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：A(−4,−2 3)，B(−2,0)，C( 3,m)，
则OA+OB=(−6,−2 3)，OC=( 3,m)，
OA+OB与OC共线，
则−6m=(−2 3)× 3，解得m=1．
故选：B．
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：csC=−13，C∈(0,π)，
则sinC= 1−cs2C=2 23，
a= 2，∠A=π6，
由正弦定理可知，c=asinCsinA= 2×2 2312=83．
故选：D．
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为|a−b|=1，所以a2−2a⋅b+b2=1，
又因为a，b均为单位向量，
所以1−2a⋅b+1=1，解得a⋅b=12，
所以a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=12b．
故选：D．
由已知，求得a⋅b=12，再根据投影向量的概念直接求解即可．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查投影向量的概念，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：在直线AC上取如图所示的D、E两点，使得DA=AC=CE，
因为|AB+AC|=1，|CA+CB|=2，
所以|AB−AD|=|BD|=1，|CB−CE|=|BE|=2，
则S△ABC=13S△BDE=13×12×|BD||BE|sin∠DBE≤13×12×1×2×1=13，当且仅当∠DBE=π2时取等号，
即△ABC的面积的最大值为13．
故选：D．
由平面向量的线性运算，结合三角形的面积公式求解．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了三角形的面积公式，属中档题．
8.【答案】B
【解析】解：建立直角坐标系，如图所示：正方形ABCD的边长为4，
设：A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(4,4)，
取CD的中点E，连接PE，所以PE的取值范围为[AD2,AE]，
即[2,2 5]，
由于PC⋅PD=(PE+ED)⋅(PE+EC)=PE2−CD24，
故PC⋅PD∈[0,16]．
故选：B．
直接利用向量的数量积运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的数量积运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：因为OA=(3,−4),OB=(6,−3),OC=(5−m,−3−m)，
所以BA=OA−OB=(−3,−1),BC=OC−OB=(−1−m,−m)．
因为∠ABC为锐角，
所以BA⋅BC=(−3,−1)⋅(−1−m,−m)=3+3m+m>0，解得m>−34．
当BA//BC时，(−3)×(−m)−(−1−m)×(−1)=0，解得m=12．
当∠ABC为锐角时，实数m的取值范围是(−34,12)∪(12,+∞)．
所以实数m可能的取值是0，1．
故选：BD．
利用向量的减法法则及向量减法的坐标表示，根据已知条件及向量的数量积的坐标表示，结合向量共线的条件即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
10.【答案】ABC
【解析】解：因为acsA=bcsB，
所以a×b2+c2−a22bc=b×a2+c2−b22ac，整理得(a2−b2)(a2+b2−c2)=0，解得a=b或a2+b2=c2，
当a=b时，△ABC是等腰三角形，
当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形，
当a=b且a2+b2=c2时，△ABC是等腰直角三角形．
故选：ABC．
利用余弦定理进行角化边，再整理式子求解即可．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：|a⋅b|=||a||b|cs〈a,b〉|=|a||b||cs〈a,b〉|≤|a||b|，故A正确；
当b为零向量时，满足a与b平行，b与c平行，但a与c不一定平行，故B错误；
a⋅b=c⋅b即(a−c)⋅b=0，
则|a−c||b|cs=0，
当a−c与b垂直时成立，不一定a−c=0，即推不出a=c，故C错误；
由投影向量的定义可知，
a在b上的投影向量为(a⋅b|b|)b|b|=(a⋅b)|b|2b，
(a⋅b|b|2)b⋅b=(a⋅b|b|2)b2=(a⋅b|b|2)|b|2=a⋅b，故D正确．
故选：AD．
根据向量的数量积的定义，结合三角函数的值域可以判定A；
当b为零向量时，利用零向量和任意向量都平行的规定可以判定B；
由a⋅b=c⋅b移项变形，利用数量积的性质，进而判定C；
利用投影向量的定义和数量积的定义运算可以判定D．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：如图所示：
对于A，∵D是BC的中点，∴AB+AC=2AD，
∴AB+AC−AD=2AD−AD=AD≠0，故A选项错误；
对于B，∵E，F分别是边BC，AC，AB中点，
∴BE=12(BA+BC)，CF=12(CA+CB)，
∴DA+EB+FC=−12(AB+AC)−12(BA+BC)−12(CA+CB)
=−12AB−12AC+12AB−12BC+12AC+12BC=0，故B选项正确；
对于C，AB|AB|，AC|AC|，AD|AD|分别表示平行于AB，AC，AD的单位向量，
∴AB|AB|+AC|AC|表示∠BAC的平分线的向量．
∵AB|AB|+AC|AC|= 3AD|AD|，∴AD为∠BAC的平分线，
又∵AD为BC的中线，∴AD⊥BC，如图所示：
BA在BC的投影为|BA|csB=|BA|×|BD||BA|=|BD|，
∴BD是BA在BC的投影向量，故C选项正确；
对于D，如图所示：
∵P在AD上，设BP=tBA+(1−t)BD，0又∵BD=12BC，∴BP=tBA+(1−t)2BC，
∵BP=λBA+μBC，则λ=t，μ=1−t2，
令y=λμ=t×1−t2=−12(t−12)2+18，0≤t≤1，
当t=12时，λμ取得最大值为18，故D选项正确．
故选：BCD．
对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确．对选项C，首先根据已知得到AD为∠BAC的平分线，即AD⊥BC，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确．对选项D，首先根据A，P，D三点共线，设BP=tBA+(1−t)BD，0本题主要考查投影向量，向量的线性运算，平面向量的基本定理，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：∵D为AB的中点，AB=2，∴BD=12AB=1，
在△BCD中，BC=DC= 2，BD=1，由余弦定理得csB=BD2+BC2−CD22BD⋅BC=2+1−22× 2×1= 24，
在△ABC中，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcsB=4+2−2×2× 2× 24=4，则AC=2，
故答案为：2．
在△BCD中，利用余弦定理求出csB，在△ABC中，利用余弦定理，即可得出答案．
本题考查余弦定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
14.【答案】4 33
【解析】解：根据余弦定理由2b⋅csC=2a+c⇒2b⋅a2+b2−c22ab=2a+c⇒b2=a2+c2+ac，
而b2=a2+c2−2accsB，因此有csB=−12，
因为B∈(0,π)，所以B=2π3，
由正弦定理可知△ABC的外接圆半径为12×bsinB=12×4 32=4 33．
故答案为：4 33．
运用余弦定理和正弦定理进行求解即可．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．
15.【答案】π3
【解析】解：设向量a−b与a的夹角为θ，
因为|a+b|=|a−b|=2|a|，
则(a+b)2=(a−b)2=4a2，变形得a2+b2+2a⋅b=a2+b2−2a⋅b=4a2，
所以a⋅b=0且b2=3a2，则(a−b)⋅a=a2=|a|2，
故csθ=(a−b)⋅a|a−b||a|=|a|22|a|×|a|=12，又0≤θ≤π，则θ=π3．
故答案为：π3．
由向量和与差的模相等可确定向量a、b相互垂直，且得到b2=3a2，最后运用向量夹角公式求解即可．
本题主要考查向量夹角公式，属于基础题．
16.【答案】−3
【解析】解：因为AP=3PB，所以AP=34AB=34(OB−OA)，
所以OP⋅AB=(OA+AP)⋅(OB−OA)=(14OA+34OB)⋅(OB−OA)
=−14OA2+34OB2−12OA⋅OB=−14×16+34×4−12×4×2×cs60°=−3，
即OP⋅AB=−3，
故答案为：−3．
利用向量线性运算及平面向量基本定理，用OB,OA表示OP与AB，然后利用数量积的运算律求解即可．
本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵a⋅b=|a|⋅|b|cs=32cs2π3=−16，
∴|a+b|2=|a|2+2a⋅b+|b|2=16−32+64=48，
∴|a+b|=4 3．
(2)(a+2b)⊥(ka−b)，
则(a+2b)⋅(ka−b)=k|a|2+(2k−1)a⋅b−2|b|2=16k−16(2k−1)−128=0，解得k=−7．
【解析】(1)根据向量数量积定义和运算律可求得|a+b|2，进而得到|a+b|；
(2)由向量垂直可得(a+2b)⋅(ka−b)=0，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果．
本题主要考查平面向量垂直的性质，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题知，f(x)=m⋅n= 3sinxcsx+12cs2x= 32sin2x+12cs2x=sin(2x+π6)，
所以当2x+π6=π2+2kπ,k∈Z，
即x=π6+kπ,k∈Z时，f(x)最大，且f(x)最大值为1；
(2)由(1)知，f(x)=sin(2x+π6)，
则f(A)=sin(2A+π6)=12，
解得A=kπ，k∈Z或π3+kπ,k∈Z，
所以△ABC中，A=π3，又a=2，
则csA=b2+c2−a22bc=12，
整理得bc=(b+c)2−43，
则bc=(b+c)2−43≤(b+c2)2，
当且仅当b=c时，等号成立，
整理可得(b+c)2≤16，
又在△ABC中，所以2即b+c的取值范围为(2,4]．
【解析】(1)利用向量坐标运算，二倍角公式和辅助角公式表示出f(x)，即可求出其最大值以及相应自变量的取值；
(2)结合(1)中的f(x)，求出A=π3，再利用余弦定理和基本不等式变形即可求出结果．
本题主要考查了向量的数量积运算，考查了余弦定理的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当λ=13时，AD=13AB，
则CD=CA+AD=CA+13(CB−CA)=13CB+23CA，
∴CD2=19CB2+49CA2+49CA⋅CB=19×4+49×16+49×4×2×(−12)=529，
∴|CD|=2 133；
(2)∴S△ABC=S△ACD+S△BCD，即12×4×2×sinC=12×4×2×sinC2+12×2×2×sinC2，
∴csC2=34，
又∵0∴sinC2= 74，则sinC=3 78，
∴S△ABC=3 72．
【解析】(1)根据题意，可得CD=13CB+23CA，然后根据向量的模长计算公式，即可得到结果；
(2)根据题意，可得S△ABC=S△ACD+S△BCD，然后结合三角形的面积公式即可得到csC2，从而得到△ABC的面积．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)在直角三角形ABC中，∠A=90°，CB=2CA=2，
∴∠B=30°,BA= 3，BA⋅BC= 3×2×cs30°=3，AE⋅BC=(AB+BE)⋅BC=(AB+λBC)⋅BC=AB⋅BC+λBC2=−BA⋅BC+λBC2=−3+4λ，
∵λ∈(0,1)，
∴AE⋅BC∈(−3,1)；
(2)AE⋅CD=(AB+BE)⋅(AD−AC)=(AB+λBC)⋅(λAB−AC)=λAB2−AB⋅AC+λ2BC⋅AB−λBC⋅AC=3λ−0+λ2×2× 3×cs150°−λ×2×1×cs60°=3λ−0−3λ2−λ=2λ−3λ2，
令2λ−3λ2=0，得λ=23或λ=0(舍)，
∴存在实数λ=23，使得AE⊥CD．
【解析】(1)由题意得AE⋅BC=(AB+BE)⋅BC=(AB+λBC)⋅BC=−3+4λ，结合λ∈(0,1)即可得解；
(2)由AE⋅CD=(AB+BE)⋅(AD−AC)=(AB+λBC)⋅(λAB−AC)=2λ−3λ2=0，求解即可．
本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由已知得a(csB+csC)=(b+c)csA，
由正弦定理，得sinA(csB+csC)=(sinB+sinC)csA，
则sinAcsB−csAsinB=sinCcsA−csCsinA，
即sin(A−B)=sin(C−A)，
所以C−B=π(舍去)或B+C=2A，
故π−A=2A，
所以A=π3．
(2)设∠ACB=θ，
在△ACD中，
由正弦定理，得CDsinπ6=ACsin(θ−π6)①，
在△ABC中，
由正弦定理，得BCsinπ3=ACsin(θ+π3)②，
所以sin(θ+π3)sin(θ−π6)= 32，
所以12sinθ+ 32csθ 32sinθ−12csθ=12tanθ+ 32 32tanθ−12= 32，解得tanθ=sinθcsθ=3 3，
又sin2θ+cs2θ=1，
所以sinθ=3 2114，即sin∠ACD=3 2114．
【解析】(1)由已知利用三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，两角差的正弦公式可得sin(A−B)=sin(C−A)，可得B+C=2A，利用三角形内角和定理即可求解A的值．
(2)设∠ACB=θ，在△ACD，△ABC中，由正弦定理，得sin(θ+π3)sin(θ−π6)= 32，利用三角函数恒等变换的应用可求sinθ的值，进而可求sin∠ACD的值．
本题考查了三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由c=a(csB+12sinB)及正弦定理得sinC=sin(A+B)=sinA(csB+12sinB)，
整理得csAsinB=12sinAsinB，
因为0所以csA=12sinA，
∴1−sin2A=14sin2A,sin2A=45，
因为在锐角△ABC中，00，
所以sinA=2 55；
(2)若选①：由△ABC的面积为1，得12bcsinA=12bc⋅2 55=1，所以bc= 5，
在锐角△ABC中，由sinA=2 55，得csA= 1−sin2A= 55，
由余弦定理得a2=4=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−2bc−2bccsA=(b+c)2−2 5−2 5× 55=(b+c)2−2 5−2，
所以(b+c)2=6+2 5,b+c=1+ 5，
所以a+b+c=3+ 5，即△ABC的周长为3+ 5．
若选②：由△ABC的面积为1，得12bcsinA=12bc⋅2 55=1，所以bc= 5，
在锐角△ABC中，由sinA=2 55，得csA= 1−sin2A= 55，
由余弦定理得a2=4c2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−2，即b2=3c2+2，
由bc= 5b2=2+3c2，解得b= 5,c=1，
所以a=2c=2,a+b+c=3+ 5，
所以△ABC的周长为3+ 5．
【解析】(1)利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简c=a(csB+12sinB)，可得csA=12sinA，结合同角的三角函数关系，即可求得答案．
(2)若选①，根据三角形面积求得bc= 5，求出csA，由余弦定理结合完全平方公式求得b+c，即得答案；
选②，根据三角形面积求得bc= 5，求出csA，由余弦定理求得b2=3c2+2，解方程组求出b，c，即得答案．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档题．