中考数学一轮复习专题2.4 二次函数与一元二次方程【八大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）

这是一份中考数学一轮复习专题2.4 二次函数与一元二次方程【八大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版），共10页。


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\l "_Tc14429" 【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值（或取值范围）】 PAGEREF _Tc14429 \h 2
\l "_Tc4192" 【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】 PAGEREF _Tc4192 \h 2
\l "_Tc27831" 【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】 PAGEREF _Tc27831 \h 3
\l "_Tc10239" 【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】 PAGEREF _Tc10239 \h 3
\l "_Tc19693" 【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】 PAGEREF _Tc19693 \h 4
\l "_Tc17089" 【题型6 利用二次函数的图象解一元二次不等式】 PAGEREF _Tc17089 \h 6
\l "_Tc14488" 【题型7 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】 PAGEREF _Tc14488 \h 8
\l "_Tc400" 【题型8 由几何变换后的抛物线与一次函数的交点个数问题求字母取值范围】 PAGEREF _Tc400 \h 9
【知识点1 二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】
【题型1 根据抛物线与x轴交点个数求字母的值（或取值范围）】
【例1】（2023春·广东广州·九年级期末）已知抛物线y=kx2+2x−1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（ ）
A．k≥−1B．k>−1C．k≥−1且k≠0D．k>−1且k≠0
【变式1-1】（2018·四川资阳·九年级四川省安岳中学校考期末）若关于x的函数y=（a+2）x2﹣（2a﹣1）x+a﹣2的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为 ．
【变式1-2】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期中）已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，−12）的下方，那么m的取值范围是（ ）
A．1614D．全体实数
【变式1-3】（2023春·广东惠州·九年级校考期末）已知二次函数y=mx2−6mx+6的图象与x交于点A和点B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，△ABC是以BC为底的等腰三角形，那么m的值为 ．
【题型2 利用二次函数的图象确定一元二次方程的实数根】
【例2】（2023春·山西临汾·九年级统考期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，图象过点3,0，对称轴为直线x=1，下列结论：①abc>0；②a−b+c=0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1=0有实数根；⑤4a+c<0．其中正确的结论为 （填序号）．
【变式2-1】（2023春·辽宁大连·九年级统考期中）抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，点A的坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是 ．
【变式2-2】（2023春·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考期末）若关于x的一元二次方程ax2+k=0的一个根为2，则二次函数y=ax+12+k与x轴的交点坐标为（ ）
A．−3,0、1,0B．−2,0、2,0
C．−1,0、1,0D．−1,0、3,0
【变式2-3】（2023春·广东广州·九年级广州四十七中校考期末）关于x的一元二次方程x2+x=n有两个不相等的实数根，则抛物线y=x2+x−n的顶点在第 象限．
【题型3 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例3】（2023春·福建厦门·九年级大同中学校考期中）已知抛物线y=(x−x1)(x−x2)+1(x1A．x1C．m【变式3-1】（2023春·浙江台州·九年级统考期末）抛物线y=ax2+bx+ca>0与x轴交于x1,0，x2,0两点，将此抛物线向上平移，所得抛物线与x轴交于x3,0，x4,0两点，下列说法正确的是（ ）
A．x1+x2>x3+x4B．x1+x2C．x1+x2=x3+x4D．x1−x2=x3−x4
【变式3-2】（2023春·山东临沂·九年级统考期末）已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α、β(α<β)，而x2+bx+c−2=0的两根为M、N(MA．α<βC．α【变式3-3】（2023春·吉林长春·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2−x+n与x轴交于A、B两点，抛物线y=−12x2+x+n与x轴交于C、D两点，其中n>0．若AD=2BC，则n的值为______．
【题型4 抛物线与x轴的截线长问题】
【例4】（2023春·广西玉林·九年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2−2mx+m−3（m≠0）与x轴交于点A，B．若线段AB上有且只有7个点的横坐标为整数，则m的取值范围是（ ）
A．m>0B．316C．m>316D．316【变式4-1】（2023春·江苏淮安·九年级校考期中）小明在画一个二次函数的图像时，列出了下面几组x与y的对应值．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当y=0时，x的值为 ；
(3)该二次函数图像与直线y=n有两个交点A、B，若AB>6时，n的取值范围为 ．
【变式4-2】（2023春·福建福州·九年级统考期末）对于每个非零的自然数n，抛物线y=n(n+1)x2−(2n+1)x+1与x轴交于An、Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+⋅⋅⋅+A2018B2018的值是（ ）
A．20182017B．20172018C．20192018D．20182019
【变式4-3】（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）定义：如果抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点Ax1,0，Bx2,0，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长．
(1)求抛物线y=x2−2x−3的雅礼弦长；
(2)求抛物线y=x2+n+1x−1(1≤n<3)的雅礼弦长的取值范围；
(3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+4−mtx−4mt的雅礼弦长为l1，抛物线y=−x2+t−nx+nt的雅礼弦长为l2，s=l12−l22，试求出s与t之间的函数关系式，若不论t为何值，s≥0恒成立，求m，n的值．
【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】
【例5】（2023春·广东潮州·九年级统考期末）在估算一元二次方程x2+12x−15=0的根时，小彬列表如右：由此可估算方程x2+12x−15=0的一个根x的范围是（ ）．
A．11.3
【变式5-1】（2023春·黑龙江绥化·八年级绥化市第八中学校校考期中）二次函数y=2x2+4x−1的图象如图所示，若方程2x2+4x−1=0的一个近似根是x=−2.2，则方程的另一个近似根为 ．（结果精确到0.1）
【变式5-2】（2023春·全国·九年级期中）小朋在学习过程中遇到一个函数y=12xx−32．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
(1)观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有______值（填“最大”或“最小”），这个值是______；
(2)进一步研究，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
结合上表，画出当x≥0时，函数y=12xx−32的图像；
(3)结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程12xx−32=kx−1有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为______（结果保留小数点后一位）．
【变式5-3】（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个 （填序号）
①−12③−12【题型6 利用二次函数的图象解一元二次不等式】
【例6】（2023春·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+ℎ交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．ax2+(b−k)x+c>ℎ的解集是2B．ax2+(b−k)x+c>ℎ的解集是x>4
C．ax2+(b−k)x+c>ℎ的解集是x<2
D．ax2+(b−k)x+c=ℎ的解是x=2或x=4
【变式6-1】（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）已知：二次函数y=−x2+2x+3．
(1)将函数关系式化为y=ax−ℎ2+k的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标；
(2)利用描点法画出所给函数的图像．
(3)当−1【变式6-2】（2023春·山西运城·九年级校考期末）定义mina,b,c为a，b，c中的最小值，例如：min5,3,1=1，min8,5,5=5．如果min4,−x2+4x,3=3，那么x的取值范围是（ ）
A．1≤x≤3B．x≤1或x≥3C．13
【变式6-3】（2023春·浙江嘉兴·九年级统考期末）我们规定：形如y=ax2+bx+ca<0的函数叫作“M型”函数．如图是“M型”函数y=−x2+4x−3的图象，根据图象，以下结论：
①图象关于y轴对称；
②不等式x2−4x+3<0的解集是−3③方程−x2+4x−3=k有两个实数解时k<−3．正确的是（ ）
A．①②．B．②③．C．①③．D．①②③．
【题型7 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】
【例7】（2023春·福建福州·九年级福建省福州杨桥中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知点P，Q的坐标分别为−2,0，2,2，抛物线y=ax2−x+2a>0也在该平面直角坐标系中．若抛物线与线段PQ有两个不同的交点，则a的取值范围是 ．
【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知二次函数y=x2−2mx+2m−1（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点．
(2)求证：不论m为何值，该二次函数的图象的顶点都在函数y=−x−12的图象上．
(3)已知点Aa,−1,Ba+2,−1，线段AB与函数y=−x−12的图象有公共点，则a的取值范围是 ．
【变式7-2】（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，﹣2），将点A向右平移6个单位长度，得到点B．
（1）直接写出点B的坐标；
（2）若抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，求抛物线的表达式；
（3）若抛物线y=−x2+bx+c的顶点在直线y＝x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t取值范围．
【变式7-3】（2023春·福建泉州·九年级校考期末）已知：在平面直角坐标系中，A−1,0，B4,0，抛物线y=x2−2x+n与线段AB有唯一公共点，则n可以取 （写出所有正确结论的序号）．①n=1；②n=2；③n≤−8；④−8≤n<−3；⑤−8≤n≤−3，
【题型8 由几何变换后的抛物线与一次函数的交点个数问题求字母取值范围】
【例8】（2023春·广东广州·九年级统考期中）抛物线y=x2−2x−3的图象为G1，G1关于x轴对称的图象为G2，G1和G2组成的图象与直线y=x+m有3个公共点时，m的范围（或值）是 ．
【变式8-1】（2023春·浙江·九年级期末）如图，将二次函数y=x2−m（其中m>0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y1，另有一次函数y=x+2的图象记为y2，若y1与y2恰有两个交点时，则m的范围是 ．
【变式8-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期末）如图，抛物线y=−2x2+8x−6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y=x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是 ．
【变式8-3】（2023春·浙江·九年级期末）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m，当自变量x≥m时，函数y关于x的函数图象为G1，将G1沿直线x=m翻折后得到的函数图象为G2，函数G的图象由G1和G2两部分共同组成，则函数G为原函数的“对折函数”，如函数y=x(x≥2)的对折函数为y=x(x≥2)−x+4(x<2).
(1)求函数y=(x−1)2−4(x≥−1)的对折函数；
(2)若点P(m,5)在函数y=(x−1)2−4(x≥−1)的对折函数的图象上，求m的值；
(3)当函数y=(x−1)2−4(x≥n)的对折函数与x轴有不同的交点个数时，直接写出n的取值范围.
根的判别式
二次函数的图象
二次函数与x轴的交点坐标
一元二次方程根的情况
△＞0
抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）
x
……
−2
−1
0
1
2
……
y
……
3
4
3
0
−5
……
x
1
1.1
1.2
1.3
x2+12x−15
−2
−0.59
0.84
2.29
x
0
12
1
32
2
52
3
72
4
…
y
0
2516
2
2716
1
516
0
716
2
…
x
-1
-12
0
12
1
32
2
52
3
y
-2
−14
1
74
2
74
1
−14
-2
x
···
−1
0
1
2
3
···
y
···
···