中考数学一轮复习专题2.7 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30道）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题2.7 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30道）（北师大版）（解析版），共46页。

考卷信息：
本套训练卷共30题，选择题15题，填空题15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对二次函数图象与系数的关系的理解！
一、单选题
1．（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=−2，并与x轴交于A，B两点，若OA=5OB，则下列结论：①abc>0；②(a+c)2−b2=0；③9a+4c<0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，其中正确的是（ ）

A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向，判定a＞0；对称轴的位置，判定b＞0；抛物线与y轴的交点，判定c＜0，从而判定abc＜0；根据对称轴是直线x=−2=−b2a，确定b=4a；根据OA=5OB，得OE=2OB，求出点B的坐标，从而得到a+b+c=0，确定c=−5a，可以判定②③；计算函数的最小值为：y=4ac−b24a=4a×(−5a)−(4a)24a=−9a，从而得到am2+bm+c≥−9a，代入化简，判定④．
【详解】解：因为抛物线的开口方向，
所以a>0；
因为对称轴是直线x=−2，
所以x=−2=−b2a，b=4a>0；
因为抛物线与y轴的交点位于负半轴，
所以c＜0，
所以abc＜0；
故①错误；
因为OA=5OB，

所以，OE=2OB，
所以OB=1，即B1,0，
所以a+b+c=0，
所以c=−5a，
所以(a+c)2−b2=(a−5a)2−(4a)2=16a2−16a2=0，即②正确；
所以9a+4c=9a−20a=−11a＜0，即③正确；
根据题意，得抛物线有最小值，且最小值为：y=4ac−b24a=4a×(−5a)−(4a)24a=−9a，所以am2+bm+c≥−9a，
所以am2+bm≥−9a−c=−9a+5a=−4a，
所以am2+bm+2b≥−4a+2b=−4a+8a，
所以am2+bm+2b≥4a，④正确．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的图像及其性质、对称轴、最值、抛物线与x轴的交点坐标等知识点，熟练掌握抛物线的性质，特别是对称性和最值是解题的关键．
2．（2023春·湖南长沙·九年级校考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（−1，0），其部分图象如图所示，下列结论；①4ac0时，x的取值范围是−1≤x<3；⑤当x<0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为3，0由此即可判断①②；根据−b2a=1，可得b+2a=0即可判断③；根据函数图象即可判断④⑤．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为−1，0，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为3，0，
∴b2−4ac>0，即4ac故①②正确；
∵−b2a=1，
∴b=−2a，即b+2a=0，
故③正确；
由函数图象可知当y>0时，x的取值范围是−1∴正确的一共有4个，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
3．（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A−1,0，与y轴的交点B在0,2与0,3之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：①abc>0；②9a+3b+c>0；③若点M12,y1，点52,y2是函数图象上的两点，则y1>y2；④−350．其中正确结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】结合图象，可得a<0，b>0，c>0，可得abc<0，即可判断①；根据对称轴，可得二次函数与x轴另一个交点为5,0，将x=3代入二次函数，可得9a+3b+c>0，即可判断②；根据二次函数的性质，因为12−2>52−2，故y10，即可判断⑤，由此即可解答．
【详解】解：根据图象可得，a<0，c>0，
∵对称轴为x=2，
∴−b2a=2，即b=−4a>0，
∴abc<0，故①错误，
根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A−1,0，
可得二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为5,0，
当x=3时，9a+3b+c>0，故②正确；
∵ 12−2>52−2，
∴y1根据二次函数与y轴的交点B在0,2与0,3之间，可得2当x=−1时，a−b+c=a+4a+c=5a+c=0，
即c=−5a，
∴2<−5a<3，解得−35∴c−3a=−5a−3a=−8a>0，故⑤正确，
综上所述，②④⑤正确，正确结论有3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
4．（2023春·山东日照·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(4,0)，其对称轴为直线x=1，结合图象给出下列结论：
①abc>0；
②3a+c<0；
③M−3,y1，N3,y2是抛物线上两点，则y1④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a−5没有实数根，则0⑤对于任意实数m，总有am2+bm−a−b≥0．
其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【详解】解：抛物线开口向上，则a>0，对称轴x=−b2a=1，则b=−2a<0，c<0，abc>0，
所以①正确；
抛物线对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(4,0)，则另一个交点为(−2,0)，于是有4a−2b+c=0，联立4a−2b+c=0b=−2a，解得c=−8ab=−2a，
3a+c=3a−8a=−5a<0，
所以②正确；
抛物线的解析式为y=ax2−2ax−8a，
M−3,y1，N3,y2是抛物线上两点，
∴y1=9a+6a−8a=7a,y2=9a−6a−8a=−5a，
∴y1−y2=7a−(−5a)=12a>0，即y1>y2，
所以③错误；
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a−5没有实数根，
ax2−2ax−8a=a−5，
ax2−2ax−9a+5=0，
∴Δ=4a2−4a(−9a+5)<0，
∵a>0，
∴0所以④正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，所以④正确；
对于任意实数m，总有am2+bm−a−b=am2−2am−a+2a=a(m−1)2≥0
故⑤正确．
综上所述，正确的结论有：①②④⑤．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．
5．（2023春·广东惠州·九年级统考期中）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0图象的对称轴为直线x=−1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc>0；②b2−4ac>0；③4a+c>0；④若t为任意实数，则有a−bt≤at2+b；⑤为图象经过点12,2时，方程ax2+bx+c−2=0的两根为x1,x2x1A．①②③B．②③⑤C．②③④D．②③④
【答案】C
【分析】利用抛物线开口方向得到a>0，利用抛物线的对称轴方程得到b=2a>0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c<0，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴交点个数可对②进行判断；利用x=1时得到a+b+c>0，把b=2a代入得到3a+c>0，然后利用a>0可对③进行判断；利用二次函数当x=−1时有最小值可对④进行判断；由于二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为12,2，利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为−52,2，从而得到x1=−52，x2=12，则可对⑤进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
即−b2a=−1，
∴b=2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc<0，所以①错误；
∵抛物线与x轴交于两点，
∴b2−4ac>0
故②正确；
∵x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，
而b=2a，
∴3a+c>0，
∵a>0，
∴4a+c>0，
所以③正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1，
∴当x=−1时，y有最小值，
∴a−b+c≤at2+bt+c(t为任意实数），
即a−bt≤at2+b，
所以④正确；
∵图象经过点12,2时，方程ax2+bx+c−2=0的两根为x1,x2x1∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为12,2，
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为−52,2，
即x1=−52，x2=12，
∴x1+2x2=−52+2×12=−32，所以⑤错误．
∴正确的有②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)．利用图象法求相关不等式解集，二次函数与方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．（2023春·安徽芜湖·九年级统考期末）已知抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,−1)，(0,1)，当x=−2时，与其对应的函数值y>1，下列结论：①abc>0；②a+b+c>7；③当x≥−12时，y随x的增大而增大；④关于x的方程ax2+bx+c=0两根满足x1−x2>1．其中，正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】①抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,−1)，(0,1)，表示出c=1，a=b−2，当x=−2时，与其对应的函数值y>1，表示出b>4，从而判断abc>0；②a+b+c=b−2+b+1=2b−1，根据b>4，即可求出a+b+c>7；③表示出对称轴x=−b2b−2=−121−2b=14b−2，判断−1<14b−2<−12，即可求出当x≥−12时，y随x的增大而增大；④利用公式法表示出x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a，两者相减即可判断．
【详解】①∵抛物线y=ax2+bx+c过点(−1,−1)，(0,1)，
∴c=1，a−b+c=−1，
∴a=b−2，
∵当x=−2时，与其对应的函数值y>1，
∴4a−2b+1>1，
∴4b−2−2b+1>1，解得：b>4，
∴a=b−2>0，
∴abc>0，
故①正确；
②∵a=b−2，c=1，
∴a+b+c=b−2+b+1=2b−1，
由（1）得：b>4
∴2b−1>7，
∴a+b+c>7
故②正确；
③由（1）得：a=b−2，c=1，
∴y=ax2+bx+c=b−2x2+bx+1
∴对称轴是x=−b2b−2=−121−2b=14b−2
由（1）得：b>4，
∴0<4b<1
∴−2<4b−2<−1
∴−1<14b−2<−12
由（1）得：a=b−2>0，
∴抛物线y=ax2+bx+c的图象开口向上
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴−1<14b−2<−12
∴当x≥−12时，y随x的增大而增大；
故③正确
④∵关于x的方程ax2+bx+c=0
∴x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a
由（1）得：a=b−2，c=1，
∴x1−x2=b2−4aca=b2−4b−2×1a
=b−22+4b−2=b−22+4b−22
=1+4b−22>1
故④正确
故选：D
【点睛】本题考查二次函数系数的取值范围，对称轴，一元二次方程的解，解题的关键是表示出a，b，c之间的关系．
7．（2023春·山东德州·九年级统考期末）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，直线x=1是它的对称轴，下列结论：①abc>0；②b2−4ac>0；③3a+c>0；④2a−b=0；⑤方程ax2+bx+c−3=0有两个相等的实数根．⑥a+c2A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象与性质求出a<0，b>0，c>0进而可判断①；根据根的二次函数与坐标轴的交点可判断②；根据特殊点的函数值和二次函数的对称性可判断③；对称轴为直线x=−b2a可判断④；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断⑤；根据特殊点的函数值和平方差公式可判断⑥．
【详解】①抛物线的开口向下：a<0，对称轴为直线x=−b2a=1，∴b=−2a>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴：c>0；
∴abc<0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点：b2−4ac>0，故②正确；
③∵对称轴为直线x=1，
∴x=−1与x=3时y的值相等，
∵x=1时，y<0，
∴x=3时，9a+3b+c<0，
∵b=−2a，
∴9a−6a+c<0，
∴3a+c<0，故③错误；
④对称轴为直线x=−b2a=1，∴2a+b=0，故④错误；
⑤∵顶点坐标：1,3，
∴当且仅当x=1时，ax²+bx+c=3，
∴ax²+bx+c−3=0有两个相等的实数根．故⑤正确；
⑥由图可知：a+b+c>0,a−b+c<0，
∴a+c²−b²=a+b+ca−b+c<0，
∴a+c²综上：正确的是②⑤⑥，共3个．
故选C．
【点睛】本题考查根据二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点−1,0，对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2） 9a+c>−3b；（3）7a−3b+2c>0；（4）若点A−3,y1、点B−12,y2、点C7,y3在该函数图象上，则y1A．1个B．2个C．3 个D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=3时，函数值大于0，则9a+3b+c>0，即9a+c>−3b；由图象过点−1,0，知a−b+c=0，易得c=−5a，再根据抛物线开口向下得a<0，可得7a−3b+2c=9a<0；利用抛物线的对称性得到C′−3,y3，然后利用二次函数的增减性求解即可，作出直线y=−3，然后依据函数图象进行判断即可．
【详解】解：∵x=−b2a=2，
∴4a+b=0，故①正确；
由函数图象可知，当x=3时，y>0，即：9a+3b+c>0，
∴9a+c>−3b，故②正确；
∵图象过点−1,0，
∴a−b+c=0
又∵4a+b=0
∴b=−4a，
∴a+4a+c=0，即：c=−5a
∴7a−3b+2c=7a+12a−10a=9a
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴7a−3b+2c=9a<0，故③错误，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴C7,y3在图象上的对称轴点坐标为：C′−3,y3
∵A−3,y1
∴y1=y3
而−3＜−12在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴y1=y3y=ax2+bx+c=ax2−4ax−5a=ax2−4x−5=ax+1x−5
则：方程a(x+1)(x−5)=0的两根为x=−1或x=5，交抛物线与x的两交点的横坐标，
过y=−3作x轴的平行线，直线y=−3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：x1<−1<5故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质以及数形结合是解题的关键．
9．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为x=−1，与x轴的一个交点在−3,0和−2,0之间，其部分图象如图所示，则下列结论：（1）b2−4ac>0；（2）2a=b；（3）点−72,y1、−32,y2、54,y3是该抛物线上的点，则y1b2，其中正确结论的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】由抛物线与x轴有两个不相同的交点结合根的判别式即可得出（1）正确；根据抛物线的对称轴为x=−1，即可得出b=2a，即（2）正确；根据抛物线的对称性找出点(−134,y3)在抛物线上，再结合抛物线对称轴左边的单调性，即可得出（3）错误；由x=−3时，y<0，即可得出3a+c<0，结合b=2a，即可得出（4）正确；由方程at2+bt+a=0中Δ=b2−4a⋅a=0结合a<0，即可得出抛物线y=at2+bt+a中y≤0，由此即可得出（5）正确；先根据因式分解得到a+c2−b2 =3a+cc−a，再求出a+c2−b2<0，即可得出（6）错误．综上即可得出结论．
【详解】解：由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac>0，
∴（1）正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=−1，
∴−b2a=−1，
∴2a=b，
∴（2）正确；
∵抛物线的对称轴为x=−1，点(54,y3)在抛物线上，
∴(−134,y3)．
∵−72<−134<−32，且抛物线对称轴左边图象y值随x的增大而增大，
∴y1∴（3）错误；
∵当x=−3时，y=9a−3b+c<0，且b=2a，
∴9a−3×2a+c=3a+c<0，
∴6a+2c=3b+2c<0，
∴（4）正确；
∵b=2a，
∴方程at2+bt+a=0中Δ=b2−4a⋅a=0，
∴抛物线y=at2+bt+a与x轴只有一个交点，
∵图中抛物线开口向下，
∴a<0，
∴y=at2+bt+a≤0，
即at2+bt≤−a=a−b．
∴（5）正确．
∵a+c2−b2 =a+c+ba+c−b，b=2a，
∴a+c2−b2 =3a+cc−a，
由图象可知：c>0，
∵a<0，
∴c−a>0，
∵3a+c<0，
∴3a+cc−a<0，
∴a+c2−b2<0，
即a+c2∴（6）错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是逐一分析6条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，但过程较为繁琐，解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象是关键．
10．（2023春·湖南常德·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图像如图所示，对称轴为直线x=12且经过点2,0．下列说法：①abc<0；②−2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若−12,y1，52,y2是抛物线上的两点，则y1mam+b（其中m≠12）其中正确的结论有（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先根据抛物线开口向下、与y轴的交点位于y轴正半轴a<0,c>0，再根据对称轴可得b=−a>0，由此可判断结论①；将点2,0代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点位于y轴正半轴，
∴a<0,c>0，
∵抛物线的对称轴为x=−b2a=12，
∴b=−a>0，
∴abc<0，则结论①正确；
将点2,0代入二次函数的解析式得：4a+2b+c=0，则结论③错误；
将a=−b代入4a+2b+c=0得：−2b+c=0，则结论②正确；
∵抛物线的对称轴为x=12，
∴x=32和x=−12时的函数值相等，即都为y1，
又∵当x≥12时，y随x的增大而减小，且32<52，
∴y1>y2，则结论④错误；
由函数图像可知，当x=12时，y取得最大值，最大值为14a+12b+c=−14b+12b+c=14b+c，
∵m≠12，
∴14b+c>am2+bm+c，即14b>m(am+b)，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图像判断式子的符号、二次函数的性质等知识点，从函数图像上得到相关信息是解题的关键．
11．（2023春·天津和平·九年级天津一中校考期末）二次函数y=ax2+bx+c大致图象如图所示，其中顶点为（-2，−9a）下列结论：①abc<0；②4a+2b+c>0；③5a−b+c=0；④若方程a(x+5)(x−1)=−1有两根为x1和x2，且x1A．①②③④B．①②③⑤C．②③④⑤D．①②④⑤
【答案】D
【分析】①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0，即可求解；
②x=2时，y=4a+2b+c＞0，即可求解；
③5a−b+c=5a−4a−5a≠0，即可求解；
④y=ax+5x−1+1，相当于由原抛物线y=ax2+bx+c向上平移了1个单位，即可求解；
⑤若方程|ax2+bx+c|=1，即：若方程ax2+bx+c=±1，当ax2+bx+c−1=0时，由一元二次方程根与系数的关系得：其两个根的和为−4，即可求解．
【详解】解：∵顶点为（−2，−9a），设二次函数表达式为：y=ax+22−9a=ax2+4ax−5a=ax+5x−1，
①抛物线对称轴在y轴左侧，则ab同号，而c＜0，则abc＜0，故①正确；
②函数在y轴右侧与x轴的交点（1，0），当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②正确；
③5a−b+c=5a−4a−5a≠0，故③错误；
④y=ax+5x−1+1，相当于由原抛物线y=ax2+bx+c向上平移了1个单位，故有两个根x1和x2，且x1＜x2，则−5＜x1＜x2＜1，④正确；
⑤若方程|ax2+bx+c|=1，即：若方程ax2+bx+c=±1，当ax2+bx+c−1=0时，
根据一元二次方程根与系数的关系得：其两个根的和为−ba= −4，
同理当ax2+bx+c+1=0时，其两个根的和也为−ba= −4，则这四个根的和为−8，故⑤正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴交点，一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等，关键是熟练掌握二次函数图象的性质．
12．（2023春·辽宁朝阳·九年级校联考期末）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当x=−12时，其对应的函数值y>0．有下列结论：
①abc>0；②−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③对称轴为x=−12；④0A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】利用待定系数法将点(0,−2)，(1,−2)代入解析式求出a+b=0，c=−2，再结合二次函数图象与已知信息当x=−12时，y>0得出a>0，进而判断①结论；根据二次函数对称轴x=−b2a进而判断③结论；由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点(−1,m)，(2,n)代入解析式得出m+n=4(a−1)，再由a<0判断④结论．
【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），
当x=0时，y=c=−2，
当x=1时，y=a+b+c=−2，
∴a+b=0．
∵当x=−12时，其对应的函数值y>0，
∴二次函数开口向下，a<0．
∵ a<0，b>0，c<0，
∴abc>0．（①结论符合题意）
∵ x=−2时，y=t，
∴ −2是关于x的方程ax2+bx+c=t的根．
∵对称轴x=−b2a=−−a2a=12，−2+32=12，（③结论不符合题意）
∴ −2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根．（②结论符合题意）
∵x=−1时，y=a−b−2=m，
x=2时，y=4a+2b−2=n，
∴m+n=a−b−2+4a+2b−2=5a+b−4=4(a−1)．
∴m+n<−4．（④结论不符合题意）
∴正确的结论有2个．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质与图象的理解与综合运用能力．二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形．对称轴x=−b2a．二次项系数a决定抛物线的开口方向与大小．如果a>0，当x<−b2a时，y随x的增大而减小，当x>−b2a时，y随x的增大而增大．如果a<0，当x<−b2a时，y随x的增大而增大，当x>−b2a时，y随x的增大而减小．灵活运用二次函数的性质与图象对每个结论依次分析是解本题的关键．
13．（2023春·浙江金华·九年级统考期末）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c都是常数，且a≠0）开口向上且过点A−1,0，Bm,0（10；②若−1,y1和1,y2都在抛物线上，则y1>y2；③2a+c>0；④若方程ax−mx+1+4=0没有实数根，则b2−4ac<16a．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口以及对称轴即可判断①③，根据抛物线上的点离对称轴的距离越远，其函数值越大，即可判断②，将方程转化为ax2+bx+c +4=0无实根，根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c都是常数，且a≠0）开口向上且过点A−1,0，Bm,0（1∴对称轴为直线x=m−12，a>0，
又对称轴为x=−b2a，
∴ba=1−m
∵1∴1−m<0
∵a>0
∴b=1−ma<0
故①不正确，
②∵对称轴为直线x=m−12，1∵1−m−12=3−m2<1，m−12−−1=m+12>1
−1,y1和1,y2都在抛物线上，又抛物线开口向上，离抛物线越远的点的函数值越大，
∴ y1>y2
故②正确，
∵对称轴为直线x=m−12，1∴ 0∴0<−b2a<12，
∴a>−b>0，
由抛物线过点A−1,0，则a−b+c=0，
∴a−b+c∴ 2a+c>0，
故③正确，
∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c都是常数，且a≠0）开口向上且过点A−1,0，Bm,0（1设抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=ax−mx+1，
若方程ax−mx+1+4=0没有实数根，
即ax2+bx+c +4=0无实根，
∴ Δ=b2−4ac+4=b2−4ac−16a<0，
即b2−4ac<16a．故④正确，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．（2023春·黑龙江绥化·九年级校考期末）已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（ ）
A．2a+b=0B．a>−32
C．△PAB周长的最小值是5+32D．x=3是ax2+bx+3=0的一个根
【答案】C
【分析】根据对称轴方程求得a、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3，则x=3时，y=0，得到3a+3=0，即2a+3=-a>0即可判断B、D；利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值即可判断C．
【详解】A．根据图象知，对称轴是直线x=-b2a=1，则b=-2a，即2a+b=0，故A正确；
B．根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，
∴x=3时，y=9a+3b+3=0，
∴9a-6a+3=0,
∴3a+3=0，
∴2a+3=-a，
∵抛物线开口向下，则a<0，
∴2a+3=-a＞0，
∴a>-32，故B正确；
C．点A关于x=1对称的点是A´(3,0)，即抛物线与x轴的另一个交点，
连接BA´与直线x=1的交点即为点P，
则△PAB的周长的最小值是(BA´+AB)的长度，
∵A(-1,0)，B(0,3)，A´(3,0)，
∴AB=10，BA´=32，
即△PAB周长的最小值为10+32，故C错误；
D．根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3,0)，所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故D正确．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质及两点之间线段最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．
15．（2023春·陕西渭南·九年级校联考期末）二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图像如图所示，图像过点−1,0，对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c>3b；（3）8a+7b+2c>0；（4）若点A−3,y1，点B−12,y2、点C72,y3在该函数图像上，则y1A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】①正确，根据对称轴公式计算即可．②错误，利用x=-3时，y<0，即可判断，③正确．由图像可知抛物线经过(-1， 0)和(5， 0)列出方程组求出a、b即可判断．④错误，利用函数图像即可判断．⑤正确，利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．
【详解】①正确：∵-b2a=2 ，
所以4a+b=0．故①正确．
②错误：∵x=-3时， y<0，
∴9a- 3b+c<0，
∴9a+c<3b，故②错误．
③正确，由图像可知抛物线经过(- 1，0)和(5，0) ，
∴ a-b+c= 0
25a + 5b+c= 0
解得b= -4a，c= -5a，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵a<0，
∴8a+ 7b+2c>0 ，故③正确．
④错误，∵点A(-3，y1)、点B(-12，y2)、点C(72，y3)
∵3.5-2= 1.5，2-(-0.5)=2.5 ，
∴1.5< 2.5
点C离对称轴的距离近，
∴y3>y2，
∵a<0 ， -3< -0.5<2，
∴y1∴y1⑤正确．
∵a<0 ，
∴(x+1)(x-5)=-3a >0 ，
即(x+1)(x-5)>0 ，
故x<-1或x>5 ，故⑤正确．
∴正确的有三个，
故选B．
【点睛】本题考查抛物线和x轴交点的问题以及二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图像信息解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
16．（2023春·广西贵港·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中：① abc>0；② 4a+b>0；③ Mx1，y1与Nx2，y2是抛物线上两点，若0y2；④若抛物线的对称轴是直线x=3，m为任意实数，则a(m−3)(m+3)≤b(3−m)；⑤若AB≥3则4b+3c>0其中正确结论的个数共有 个．
【答案】4
【分析】根据图象得出a<0，c<0，b>0，可判断①；再由图象可得对称轴在直线x=2右侧，可得−b2a>2，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出b=−6a，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出当x=1时，a+b+c≥0，当x=4时，16a+4b+c=0，变形为a=4b+c−16，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤．
【详解】解：由抛物线图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，c<0，−b2a>0，
∴b>0，
∴abc>0，故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，点B（4，0），
∴对称轴在直线x=2右侧，
即−b2a>2，
∴2+b2a=4a+b2a<0，
∵a<0，
∴4a+b>0，故②正确；
∵ Mx1，y1与Nx2，y2是抛物线上两点，由图象可得抛物线y=ax2+bx+c在0−b2a上， y随x的增大而减小，
∴ y1>y2不一定成立，故③错误；
若抛物线的对称轴是直线x=3，
∴−b2a=3，即b=−6a，
∴am−3m+3−b3−m=am−32≤0，
∴ a(m−3)(m+3)≤b(3−m)，故④正确；
由AB≥3得，0当x=1时，a+b+c≥0，
当x=4时，16a+4b+c=0，
∴a=4b+c−16，
∴4b+c−16+b+c≥0，
整理得4b+5c≥0，
∴4b+3c≥−2c，
∵c<0，−2c>0，
∴4b+3c>0，故⑤正确；
综上所述，正确的有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是能根据图象得出二次函数表达式各项系数的符号．
17．（2023春·福建泉州·九年级泉州五中校考期中）抛物线y=ax2+bx+c的最低点为13,m，其中−1①abc>0；②(a+c)2【答案】①②③
【分析】画出大致图形，再结合二次函数的性质分析即可．
【详解】∵y=ax2+bx+c的最低点为13,m，其中−1∴函数图像大致如图所示：
∵抛物线y=ax2+bx+c的最低点为13,m，
∴a>0，y=ax2+bx+c=a(x−13)2+m，
∴b=−23a<0，c=19a+m<0，
∴abc>0，
故①正确；
∵抛物线与x轴交于点x1,0,x2,0,−1∴当x=1时，y=a+b+c<0；
当x=−1时，y=a−b+c>0；
∴(a+c)2−b2=(a+b+c)(a−b+c)<0，
∴(a+c)2故②正确；
∵m=19a+13b+c，−1∴−1<19a+13b+c<0
∵a+b+c<0
∴0<−a−b−c
∴−1<19a+13b+c+(−a−b−c)
整理得：8a+6b<9
∵b=−23a<0
∴a=−32b
∴8×(−32b)+6b<9，解得b>−32
∴−32故③正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c的最低点为13,m，−1∴直线y=−1与y=ax2+bx+c没有交点
∴关于x的方程ax2+bx+c+1=0没有实数根
故④错误．
综上所述，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
18．（2023春·福建莆田·九年级校考期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），与y轴的交点为C，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①4ac−b2abc>0；②若点P（﹣2﹣t2，y1）和Q（t2+3，y2）是该抛物线上的两点，则y1＞y2；③不等式cx2+bx+a＜0的解集为−13【答案】②③/③②
【分析】本题只需逐个判断；
①需要先判断Δ，a，b，c的符号，然后确定4ac−b2abc是否大于0；
②可以先找到点P关于抛物线的对称轴对称的点，再利用二次函数增减性比较函数值；
③可以利用对称轴和点A坐标找到a，b，c之间的关系，从而简化不等式cx2+bx+a＜0，再利用函数图像求出它的解集；
④假设存在这样的点B，取AC的中点D，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知BD=12AC，设出点B利用这个关系式建立方程看是否有解，有解则存在这样的点B，无解则不存在．
【详解】解：①由图可知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，
∴4ac−b2<0．
又∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴左边，
∴a<0,b<0．
又∵抛物线与y轴交点在原点上方，
∴c>0，
∴4ac−b2abc<0，
∴①错误，不符合题意；
②因为对称轴是直线x＝﹣1，
∴P(−2−t2，y1)关于直线x＝﹣1对称的对称点是P′t2，y1．
又∵a<0,b<0，
∴当x>﹣1时，y随着x的增大而减小．
又∵−1∴y1>y2，
∴②正确，符合题意；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴a+b+c=0，−b2a=−1，
∴b=2a,c=−3a，
又∵cx2+bx+a＜0，
∴−3ax2+2ax+a＜0．
又∵a<0，
∴−3x2+2x+1>0，
∴(3x+1)(x−1)<0，
∴3x+1>0x−1<0，解得−13或3x+1<0x−1>0，无解，
∴cx2+bx+a＜0的解集为−13∴③正确，符合题意；
④取AC的中点D，
由③可知b=2a,c=−3a，
∴二次函数解析式可化为y=ax2+2ax−3a，
∴点C坐标为(0,−3a)．
又∵A（1，0），点是AC的中点，
∴D(12,−3a2)，AC=9a2+1．
假设在对称轴上存在一点B(−1,m)，使得△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
则有BD=(−1−12)2+(m−−3a2)2，且BD=12AC，
∴(−1−12)2+(m−−3a2)2=129a2+1
整理得：m2+3am+2=0，其中a<0，
∴当Δ=9a2−8≥0，即a≤−223或a≥223时,方程m2+3am+2=0有解，
∴当−223当a≤−223时，存在这样的点B．
∴④不一定存在这样的点B，不符合题意．
综上所述：一定正确的是：②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了二次函数a，b，c，Δ的符号判定，二次函数的图像与性质，一元二次不等式的解集，直角三角形存在性问题，掌握转化思想是本题解题的关键．
19．（2023春·九年级课时练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其中点B坐标为（3，0），顶点D的横坐标为1，DE⊥x轴，垂足为E，下列结论：①当x<1时，y随x增大而减小；②a+b<0；③3a+b+c>0；④OCDE=34；⑤当a<−23时，OC>2．其中结论正确的有 ．（填序号）（多填错填倒扣一分）
【答案】③④⑤
【分析】①根据抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，判定当x<1时，y随x增大而增大；②根据a<0，−b2a=1， 得到b=-2a，代入a+b=a-2a=-a>0；③x=3时，y=9a+3b+c=0，b=-2a，得到9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0,根据−b2a>0，a<0，得到b>0，推出3a+b+c>0；④根据3a+c=0，得到c=-3a，推出OCDE=c4ac−b24a =cc−a =−3a−3a−a =34；⑤根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中点B坐标为（3，0），对称轴为直线x=1，得到A(-1,0)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)=ax2−2ax−3a，推出当a<−23时，-3a>2．
【详解】①当x<1时，y随x增大而减小，
∵抛物线顶点D的横坐标为1，
∴对称轴为直线x=1，
∵抛物线开口向下，
∴当x<1时，y随x增大而增大，
∴不正确；
②a+b<0，
∵−b2a=1，a<0，
∴b=-2a>0，
∴a+b=a-2a=-a>0，
∴不正确；
③3a+b+c>0，
∵x=3时，y=9a+3b+c=0，b=-2a，
∴9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0,
∵b>0，
∴3a+b+c>0，
∴正确；
④OCDE=34，
∵b=-2a，3a+c=0，
∴c=-3a，
OCDE=c4ac−b24a
=4ac4ac−b2
=4ac4ac−(−2a)2
=cc−a
=−3a−3a−a
=34，
∴正确；
⑤当a<−23时，OC>2，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中点B坐标为（3，0），对称轴为直线x=1，
∴A(-1,0)
∴设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)=ax2−2ax−3a，
当a<−23时，-3a>2，
∴正确．
故答案为，③④⑤．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决此类问题的关键是熟练掌握图象开口与a的关系，图象与y轴交点与c的关系，对称轴与a、b的关系，图象与x轴的交点特征．
20．（2023春·九年级课时练习）如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线 y2=mx+n （m≠0）上．①2a+b=0；②abc>0；③抛物线与x轴的另一个交点是（-4，0）；④方程 ax2+bx+c=−3 有两个不相等的实数根、②a-b+c<4m+n；⑥不等式 mx+n>ax2+bx+c 的解集为1【答案】①④/④①
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系，利用数形结合，一一判断即可．
【详解】解：①由抛物线对称轴为直线x=-b2a=1，从而b=-2a，则2a+b=0，故①正确；
②抛物线开口向下，与y轴相交与正半轴，则a<0，c>0，而b=-2a>0，因而abc<0，故②错误；
③由抛物线对称性，与x轴的一个交点B（4，0），则另一个交点坐标为（-2，0），故③错误；
④方程ax2+bx+c=-3从函数角度可以看作是y=ax2+bx+c与直线y=-3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有两个交点，故方程ax2+bx+c=-3有两个相等的实数根，故④正确；
⑤由图象可知，当x=-1时，y1=a-b+c>0；当x=4时，y2=4m+n=0，所以y1>y2，即a-b+c>4m+n，故⑤错误；
⑥由图象可知，当x<1或x>4时，一次函数图象在二次函数图象上方，所以y2>y1，即mx+n>ax2+bx+c，所以mx+n>ax2+bx+c的解集为x<1或x>4，故⑥错误．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是利用数形结合方法解答．
21．（2023春·九年级课时练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像过点A(3，0)，对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②a+b+c≥ax2+bx+c；③若M(n2+1,y1),N(n2+2,y2)为函数图像上的两点，则y1＜y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则p的值有2个．其中正确的有 ．
【答案】①②④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，再根据对称轴方程可判断b与0的关系，从而可判断①，由对称轴方程可得：当x=1时，函数取最大值，可判断②，由n2+2＞n2+1≥1，可得M(n2+1,y1),N(n2+2,y2)的位置，结合二次函数的性质可判断③，先求解b=−2a,c=−3a，再由函数图像得当0＜y≤−4a时，−1＜x＜3，其中x为整数时，x=0，1，2，从而可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下， a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1＞0，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∴当x=1时，y最大，即a+b+c≥ax2+bx+c，故②正确；
∵n2+2＞n2+1≥1
∴ M(n2+1,y1),N(n2+2,y2)在对称轴上或右侧，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，故③错误；
∵抛物线的对称轴是x=1，与x轴的一个交点是（3，0），
∴抛物线与x轴的另个交点是（-1，0），
把（3，0）代入y=ax2+bx+c得，0=9a+3b+c，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a，
∴9a−6a+c=0， 解得，c=−3a．
∴y=ax2−2ax−3a=a(x−1)2−4a（a＜0），
∴顶点坐标为(1,−4a)，
由图像得当0＜y≤−4a时，-1＜x＜3，其中x为整数时，x=0，1，2，
又∵x=0与x=2时，关于直线x=1轴对称 当x=1时，直线y=p恰好过抛物线顶点．
所以p值可以有2个．故④正确；
故答案为①②④．
【点睛】本题考查的是抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图像与一元二次方程的整数根的情况判断，掌握以上知识是解题的关键．
22．（2023春·湖北武汉·九年级武汉市武珞路中学校考期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的图象开口向下，对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点在点（-1，0），（0，0）之间，下列结论正确的是 （填写序号）．
①abc>0；②a−b+c<0；③a+b≥m(am+b)（m是一个常数）；④若方程ax2+bx+c=mx−2m（m是一个常数)的根为x1,x2，则(x1−2)(x2−2)<0．
【答案】②③④
【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴的交点来判断a、b、c的正负情况即可；
②由图像可知，当x=−1时，y<0，即可求出a−b+c<0；
③比较x=1和x=m时y的大小，即可得出结论；
④将方程的解转化为抛物线y=ax2+bx+cy与直线y=mx−2m的交点的横坐标，再根据图像来分析即可．
【详解】
①因为抛物线开口向下，所以a<0；因为抛物线对称轴为1，所以−b2a>0，所以b>0；因为抛物线对称轴为1，且抛物线与x轴的一个交点在点（-1，0）和（0，0）之间，所以抛物线与y轴的交点在y的正半轴，所以c>0；所以abc<0，故①错误；
②由图像可知，当x=−1时，y<0，所以a−b+c<0，故②正确；
③当x=1时，y=a+b+c；当x=m时，y=am2+bm+c；
∵x=1为抛物线的对称轴，且抛物线开口向下
∴当x=1，y取最大值
即a+b+c≥am2+bm+c
∴a+b≥m(am+b)，故③正确；
④设直线y=mx−2m，其过固定点（2，0），
方程ax2+bx+c=mx−2m的根即为抛物线y=ax2+bx+cy与直线y=mx−2m的交点的横坐标；
由图像可知，抛物线y=ax2+bx+cy与直线y=mx−2m的交点的横坐标在点（2，0）的两边，所以(x1−2)(x2−2)<0，故④正确；
故答案为：②③④
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像性质，二次函数与方程之间的转换，利用特殊值代入法求特殊的式子等知识点．
23．（2023春·九年级校考期末）抛物线y＝ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：①c＞0；②a+b+c＞0；③a﹣b+c＞0 ④b2﹣4ac＜0；⑤abc＜0；⑥4a＞c；其中正确的为 （填序号）．
【答案】①②⑥．
【分析】由抛物线的开口向上可知a>0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上可得c>0，由此判定①正确；由4a-b和对称轴为x=-−b2a =-2，则a、b同号，即b>0，然后即可判定⑤错误；由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0，由此判定④错误；当x=1时，y=a+b+c>0，由此判定②正确；当x=-1时，y=a-b+c<0，由此判定③错误；由a-b+c<0，而2a=b，可以推出cc，由此判定⑥正确
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴①正确；
∵对称轴为x＝−b2a＝﹣1，得2a＝b，
∴a、b同号，即b＞0，
∴abc＞0，
∴⑤错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴④错误；
当x＝1时，y＝a+b+C＞0，
∴②正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴③错误；
∵a﹣b+c＜0，4a＝b，
∴c＜3a，
∴4a＞c，
∴⑥正确．
故填空答案：①②⑥．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定以及灵活运用数形结合思想是解答本题的关键.
24．（2023春·九年级课时练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，则下列结论：①abc<0；②b2−4ac4a>0；③ac−b+1=0；④OA⋅OB=−ca.其中正确结论的序号是 ．

【答案】①③④
【详解】（1）∵抛物线开口向下，
∴a<0，
又∵对称轴在y轴的右侧，
∴ b>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0 ，
∴abc<0，即①正确；
（2）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
又∵a<0，
∴b2−4ac4a<0，即②错误；
（3）∵点C的坐标为(0，c)，且OA=OC，
∴点A的坐标为(−c，0)，
把点A的坐标代入解析式得：ac2−bc+c=0，
∵c>0，
∴ac−b+1=0，即③正确；
（4）设点A、B的坐标分别为(x1，0)、(x2，0)，则OA=−x1，OB=x2，
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，
∴x1⋅x2=ca，
∴OA·OB=−x1⋅x2=−ca.即④正确；
综上所述，正确的结论是：①③④.
25．（2023春·九年级课时练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中结论正确的有 ．
【答案】①②③④
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，
对称轴为x=−b2a＜1，
∵a＜0，
∴2a+b＜0，
而抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，
当x=2时，y=4a+2b+c＜0，
当x=1时，a+b+c=2．
∵4ac−b24a＞2，
∴4ac-b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，
∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，
②4a+2b+c＜0，
③a-b+c＜0．
由①，③得到2a+2c＜2，
由①，②得到2a-c＜-4，4a-2c＜-8，
上面两个相加得到6a＜-6，
∴a＜-1．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等．
26．（2023春·安徽马鞍山·九年级马鞍山八中校考期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+2c＞0．其中正确的结论是 ．
【答案】①④⑤．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
【详解】解：抛物线过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
∴x＝−b2a ＝2，与x轴的另一个交点为（5，0），
即，4a+b＝0，故①正确；
当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即，9a+c＜3b，因此②不正确；
当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，因此③不正确；
抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，0），（5，0），又a＜0，因此当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故④正确；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，
当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0，
∴25a+7b+2c＞0，
又∵a＜0，
∴8a+7b+c＞0，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①④⑤，
故答案为：①④⑤．
【点睛】本题主要考查二次函数图像性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图像性质.
27．（2023春·九年级课时练习）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为 个．
【答案】3
【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2−4ac>0；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=−1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D(−1,2)得a−b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1得b=2a，所以c−a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，所以①错误；
∵顶点为D(−1,2)，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，
∴当x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D(−1,2)，
∴a−b+c=2，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a，
∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；
∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=−1时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确．
综上所述，共有3个正确结论，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b2a；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)；当b2−4ac>0，抛物线与x轴有两个交点；当b2−4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2−4ac<0，抛物线与x轴没有交点．
28．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x=1，给出下列结论：①abc<0；②若点C的坐标为(1,2)，则△ABC的面积可以等于2；③M(x1,y1), N(x2,y2)是抛物线上两点(x12，则y1【答案】①④
【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断a,b,c的正负情况，即可．
②根据图形可知AB的值大于4，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于2．
③利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大．
④把点代入抛物线，可求得x=3是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解．
【详解】解：①∵ 开口向下，∴ a<0，∵ 对称轴x=1,a<0,∴ b>0，∵抛物线与y轴的交点在y的正半轴上，∴ c>0， abc<0，正确．
②从图像可知，AB>4,SΔABC=12×AB×Cy>12×4×2，∴SΔABC>2 ，故错误．
③∵ x1+x2>2，∴从图像可知 x1 到1的距离小于x2 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大；∴y1>y2 ，故错误．
④把点（3，-1）代入抛物线得9a+3b+c=−1 ，即ax2+bx+c=−1 ，∴ax2+bx+c+1=0，即x=3，是方程ax2+bx+c+1=0的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解．
29．（2023春·九年级课时练习）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．以下五个结论：①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a＝12时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有两个．那么，其中正确的结论是 ．
【答案】①④⑤
【分析】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴AB＝4，
∴对称轴x＝−b2a＝−1+32=1，
即2a+b＝0；
故①正确；
②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而−b2a＞0
∴b＜0，
∵对称轴x＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故②错误；
③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴10a+2b+2c＝0，
∴5a+b+c＝0，
∴a+4a+b+c＝0，
∵a＞0，
∴4a+b+c＜0，
故③错误；
④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
D到x轴的距离就是当x＝1时y的值的绝对值．
当x＝1时，y＝a+b+c，
即|a+b+c|＝2，
∵当x＝1时y＜0，
∴a+b+c＝﹣2，
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x＝﹣1时y＝0即a﹣b+c＝0；
x＝3时y＝0．
∴9a+3b+c＝0，
解这三个方程可得：b＝﹣1，a＝12，c＝﹣32；
⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝BC＝4时，
∵AO＝1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣7，
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝73；
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣15
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝153；
同理当AC＝BC时
在△AOC中，AC2＝1+c2，
在△BOC中BC2＝c2+9，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．
故⑤正确．
故答案为：①④⑤．
【点睛】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=−b2a判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：
①2个交点，b2-4ac＞0；
②1个交点，b2-4ac=0；
③没有交点，b2-4ac＜0．
30．（2023春·九年级课时练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A−1,0，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在0,2和0,3之间（不包括这两个点），下列结论：①当−10；②−1mam+b；④b2−4ac=15a2．其中正确的结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），利用函数图象得到在x轴上方所对应的自变量的范围，从而可对①进行判断；利用x=-1，y=0，−b2a=1得到b=-2a，c=-3a，而2＜c＜3，所以2＜-3a＜3，则可利用不等式的性质可对②进行判断；根据二次函数的性质得到二次函数的最大值为a+b+c，则a+b+c＞mx2+bm+c（m≠1），于是可对③进行判断；利用b=-2a，c=-3a可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于A（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当-1＜x＜3，y＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴交于A（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴a-b+c=0，−b2a=1，
∴b=-2a，c=-3a，
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
而抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），
∴2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
∴-1＜a＜−23，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴二次函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c＞mx2+bm+c（m≠1）
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），所以③正确；
∵b=-2a，c=-3a，
∴b2-4ac=9a2-4a•（-3a）=21a2，所以④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y=ax2+bx+c
…
t
m
−2
−2
n
…