资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩7页未读，
继续阅读
所属成套资源：【讲通练透】最新高考数学一轮复习（全国通用）
成套系列资料，整套一键下载
第04讲 指数与指数函数（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲义（新教材新高考）
展开
这是一份第04讲 指数与指数函数（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲义（新教材新高考），文件包含第04讲指数与指数函数讲义原卷版docx、第04讲指数与指数函数讲义解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共29页， 欢迎下载使用。
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第04讲 指数与指数函数
目录
1、指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
(2)根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2、指数函数
【解题方法总结】
1、指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(3)指数函数与的图象关于轴对称．
【典例例题】
题型一：指数运算及指数方程、指数不等式
【例1】（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.
故选：B.
【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．设则B．若，则
C．若，则D．
【答案】B
【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误；
对于B，，故，选项B正确；
对于 C，， ，因为，所以，选项C错误；
对于D，，选项D错误.
故选：B．
【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.
故选：B
【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【解析】令，则方程可化为，甲写错了常数b，
所以和是方程的两根，所以，
乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，
则可得方程，解得，
所以原方程的根是或
故选：D
【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】方程有解，
有解，
令，
则可化为有正根，
则在有解，又当时，
所以，
故选：．
【对点训练5】（2023·上海青浦·统考一模）不等式的解集为______．
【答案】
【解析】函数在R上单调递增，则，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】由，可得.
令，
因为均为上单调递减函数
则在上单调逆减，且，
，
故不等式的解集为.
故答案为：.
【解题总结】
利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.
题型二：指数函数的图像及性质
【例2】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.当时，，图象A满足；
当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；
当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；
图象C过点，此时，故C不成立.
故选：ABD
【对点训练7】（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为R，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵的定义域为R，
∴0对任意x∈R恒成立，
即恒成立，
即对任意恒成立，
，则．
故答案为．
【对点训练8】（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______．
【答案】
【解析】令，∵，∴，
∴，
又关于对称，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，
时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，
.
故答案为：.
【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则______
【答案】或
【解析】当时，函数在内单调递增，
此时函数的最大值为，最小值为，
由题意得，解得，则，
此时；
当时，函数在内单调递减，
此时函数的最大值为，最小值为，
由题意得，解得，则，
此时．
故答案为：或.
【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）函数是指数函数，则（ ）
A．或B．C．D．且
【答案】C
【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.
故选：C
【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】若，为增函数，
且，与图象不符，
若，为减函数，
且，与图象相符，所以，
当时，，
结合图象可知，此时，所，则，所以，
故选:C.
【对点训练12】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（ ）
A．8B．24C．4D．6
【答案】C
【解析】因为函数图象恒过定点
又点A的坐标满足关于，的方程，
所以，
即
所以，
当且仅当即时取等号；
所以的最小值为4．
故选：C．
【对点训练13】（多选题）（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（ ）
A．当，则这期间人口数呈下降趋势
B．当，则这期间人口数呈摆动变化
C．当时，的最小值为3
D．当时，的最小值为3
【答案】AC
【解析】，由指数函数的性质可知：是关于n的单调递减函数，
即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；
，所以，所以，
，所以的最小值为3，故C正确；
，所以，所以，
，所以的最小值为2，故D不正确；
故选：AC.
【对点训练14】（多选题）（2023·山东聊城·统考二模）已知函数，则（ ）
A．函数是增函数
B．曲线关于对称
C．函数的值域为
D．曲线有且仅有两条斜率为的切线
【答案】AB
【解析】根据题意可得，易知是减函数，
所以是增函数，即A正确；
由题意可得，所以，
即对于任意，满足，所以关于对称，即B正确；
由指数函数值域可得，所以，即，
所以函数的值域为，所以C错误；
易知，令，整理可得，
令，即，
易知，又因为，即，
所以，即，因此；
即关于的一元二次方程无实数根；
所以无解，即曲线不存在斜率为的切线，即D错误；
故选：AB
【解题总结】
解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
题型三：指数函数中的恒成立问题
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.
【答案】．
【解析】令
因为在区间上是增函数，
所以
因此要使在区间上恒成立，应有，即所求实数m的取值范围为．
故答案为：.
【对点训练15】（2023·全国·高三专题练习）设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由函数，
均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数，
且满足，所以函数为奇函数，
因为，即，
可得恒成立，即在上恒成立，
则满足，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【对点训练16】（2023·全国·高三专题练习）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是_________．
【答案】，，
【解析】设，，
则，对于，恒成立，
即，对于，恒成立，
∴，
即，
解得或，
即或，
解得或，
综上，的取值范围为，，．
故答案为：，，﹒
【对点训练17】（2023·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】令，∵，∴，
∵恒成立，∴恒成立，
∵，当且仅当时，即时，表达式取得最小值，
∴，
故答案为．
【对点训练18】（2023·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试）已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求实数的值，并证明在上单调递增；
(2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为函数是定义域为的奇函数，
则，解得，此时，
对任意的，，即函数的定义域为，
，即函数为奇函数，合乎题意，
任取、且，则，
所以，，则，
所以，函数在上单调递增.
（2）由（1）可知，函数在上为增函数，
对于任意的、，都有，则，
，
因为，则.
当时，则有，解得；
当时，则有，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
【解题总结】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
题型四：指数函数的综合问题
【例4】（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意，，，
故，
故函数的图象关于中心对称，
当时，，，单调递减，
故在上单调递减，且，
函数的图象关于中心对称，在上单调递减，，
而，故或或，
解得或，故所求不等式的解集为，
故选：B.
【对点训练19】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意，
所以，，由可得，
因为函数的定义域为，所以，，解得，
所以，，则，
由可得，解得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
【对点训练20】（2023·河南安阳·统考三模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则__________.
【答案】/1.5
【解析】依题意函数是一个奇函数，
又，所以，
所以定义域为，
因为的图象关于坐标原点对称，所以，解得.
又，所以，
所以，即，
所以，所以.
故答案为：.
【对点训练21】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是______________．
【答案】
【解析】由函数性质知，
，
∴，
即，解得，∴，
故答案为：.
【对点训练22】（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知实数，满足，，则__________．
【答案】1
【解析】因为，化简得．
所以，又，
构造函数，
因为函数，在上都为增函数，
所以函数在上为单调递增函数，
由，∴，
解得，，
∴．
故答案为：.
【对点训练23】（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1B．C．D．0
【答案】BC
【解析】由表示与点所成直线的斜率，
又是在部分图象上的动点，图象如下：
如上图，，则，只有B、C满足.
故选：BC
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
3．（2020·山东·统考高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
考点要求
考题统计
考情分析
（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
2022年甲卷第12题，5分
2020年新高考II卷第11题，5分
从近五年的高考情况来看, 指数运算与指数函数 是高考的一个重点也是一个基本点, 常与二次函数、 幂函数、对数函数、三角函数综合, 考查数值大小的 比较和函数方程问题.
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第04讲 指数与指数函数
目录
1、指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．
(2)根式的性质：
当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.
当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂；②零指数幂；
③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
①，，；②，，；
③，，；④，，．
2、指数函数
【解题方法总结】
1、指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
(3)指数函数与的图象关于轴对称．
【典例例题】
题型一：指数运算及指数方程、指数不等式
【例1】（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.
故选：B.
【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．设则B．若，则
C．若，则D．
【答案】B
【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误；
对于B，，故，选项B正确；
对于 C，， ，因为，所以，选项C错误；
对于D，，选项D错误.
故选：B．
【对点训练2】（2023·全国·高三专题练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.
故选：B
【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【解析】令，则方程可化为，甲写错了常数b，
所以和是方程的两根，所以，
乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，
则可得方程，解得，
所以原方程的根是或
故选：D
【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】方程有解，
有解，
令，
则可化为有正根，
则在有解，又当时，
所以，
故选：．
【对点训练5】（2023·上海青浦·统考一模）不等式的解集为______．
【答案】
【解析】函数在R上单调递增，则，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】由，可得.
令，
因为均为上单调递减函数
则在上单调逆减，且，
，
故不等式的解集为.
故答案为：.
【解题总结】
利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.
题型二：指数函数的图像及性质
【例2】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.当时，，图象A满足；
当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；
当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；
图象C过点，此时，故C不成立.
故选：ABD
【对点训练7】（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为R，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵的定义域为R，
∴0对任意x∈R恒成立，
即恒成立，
即对任意恒成立，
，则．
故答案为．
【对点训练8】（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，，则其值域为_______．
【答案】
【解析】令，∵，∴，
∴，
又关于对称，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，
时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，
.
故答案为：.
【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则______
【答案】或
【解析】当时，函数在内单调递增，
此时函数的最大值为，最小值为，
由题意得，解得，则，
此时；
当时，函数在内单调递减，
此时函数的最大值为，最小值为，
由题意得，解得，则，
此时．
故答案为：或.
【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）函数是指数函数，则（ ）
A．或B．C．D．且
【答案】C
【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.
故选：C
【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】若，为增函数，
且，与图象不符，
若，为减函数，
且，与图象相符，所以，
当时，，
结合图象可知，此时，所，则，所以，
故选:C.
【对点训练12】（2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（ ）
A．8B．24C．4D．6
【答案】C
【解析】因为函数图象恒过定点
又点A的坐标满足关于，的方程，
所以，
即
所以，
当且仅当即时取等号；
所以的最小值为4．
故选：C．
【对点训练13】（多选题）（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（ ）
A．当，则这期间人口数呈下降趋势
B．当，则这期间人口数呈摆动变化
C．当时，的最小值为3
D．当时，的最小值为3
【答案】AC
【解析】，由指数函数的性质可知：是关于n的单调递减函数，
即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；
，所以，所以，
，所以的最小值为3，故C正确；
，所以，所以，
，所以的最小值为2，故D不正确；
故选：AC.
【对点训练14】（多选题）（2023·山东聊城·统考二模）已知函数，则（ ）
A．函数是增函数
B．曲线关于对称
C．函数的值域为
D．曲线有且仅有两条斜率为的切线
【答案】AB
【解析】根据题意可得，易知是减函数，
所以是增函数，即A正确；
由题意可得，所以，
即对于任意，满足，所以关于对称，即B正确；
由指数函数值域可得，所以，即，
所以函数的值域为，所以C错误；
易知，令，整理可得，
令，即，
易知，又因为，即，
所以，即，因此；
即关于的一元二次方程无实数根；
所以无解，即曲线不存在斜率为的切线，即D错误；
故选：AB
【解题总结】
解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
题型三：指数函数中的恒成立问题
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.
【答案】．
【解析】令
因为在区间上是增函数，
所以
因此要使在区间上恒成立，应有，即所求实数m的取值范围为．
故答案为：.
【对点训练15】（2023·全国·高三专题练习）设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由函数，
均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数，
且满足，所以函数为奇函数，
因为，即，
可得恒成立，即在上恒成立，
则满足，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【对点训练16】（2023·全国·高三专题练习）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是_________．
【答案】，，
【解析】设，，
则，对于，恒成立，
即，对于，恒成立，
∴，
即，
解得或，
即或，
解得或，
综上，的取值范围为，，．
故答案为：，，﹒
【对点训练17】（2023·全国·高三专题练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】令，∵，∴，
∵恒成立，∴恒成立，
∵，当且仅当时，即时，表达式取得最小值，
∴，
故答案为．
【对点训练18】（2023·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试）已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求实数的值，并证明在上单调递增；
(2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为函数是定义域为的奇函数，
则，解得，此时，
对任意的，，即函数的定义域为，
，即函数为奇函数，合乎题意，
任取、且，则，
所以，，则，
所以，函数在上单调递增.
（2）由（1）可知，函数在上为增函数，
对于任意的、，都有，则，
，
因为，则.
当时，则有，解得；
当时，则有，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
【解题总结】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
题型四：指数函数的综合问题
【例4】（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意，，，
故，
故函数的图象关于中心对称，
当时，，，单调递减，
故在上单调递减，且，
函数的图象关于中心对称，在上单调递减，，
而，故或或，
解得或，故所求不等式的解集为，
故选：B.
【对点训练19】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意，
所以，，由可得，
因为函数的定义域为，所以，，解得，
所以，，则，
由可得，解得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
【对点训练20】（2023·河南安阳·统考三模）已知函数的图象关于坐标原点对称，则__________.
【答案】/1.5
【解析】依题意函数是一个奇函数，
又，所以，
所以定义域为，
因为的图象关于坐标原点对称，所以，解得.
又，所以，
所以，即，
所以，所以.
故答案为：.
【对点训练21】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是______________．
【答案】
【解析】由函数性质知，
，
∴，
即，解得，∴，
故答案为：.
【对点训练22】（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知实数，满足，，则__________．
【答案】1
【解析】因为，化简得．
所以，又，
构造函数，
因为函数，在上都为增函数，
所以函数在上为单调递增函数，
由，∴，
解得，，
∴．
故答案为：.
【对点训练23】（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（ ）
A．-1B．C．D．0
【答案】BC
【解析】由表示与点所成直线的斜率，
又是在部分图象上的动点，图象如下：
如上图，，则，只有B、C满足.
故选：BC
1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
3．（2020·山东·统考高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
考点要求
考题统计
考情分析
（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
2022年甲卷第12题，5分
2020年新高考II卷第11题，5分
从近五年的高考情况来看, 指数运算与指数函数 是高考的一个重点也是一个基本点, 常与二次函数、 幂函数、对数函数、三角函数综合, 考查数值大小的 比较和函数方程问题.
图象
性质
①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤时，；时，
时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
相关学案
第03讲 幂函数与二次函数（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲义（新教材新高考）： 这是一份第03讲 幂函数与二次函数（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲义（新教材新高考），文件包含第03讲幂函数与二次函数讲义原卷版docx、第03讲幂函数与二次函数讲义解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共38页， 欢迎下载使用。
第01讲 函数的概念（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲义（新教材新高考）： 这是一份第01讲 函数的概念（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲义（新教材新高考），文件包含第01讲函数的概念讲义原卷版docx、第01讲函数的概念讲义解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共36页， 欢迎下载使用。
第04讲 基本不等式及其应用（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲义（新教材新高考）： 这是一份第04讲 基本不等式及其应用（讲义）-2024年高考数学一轮复习讲义（新教材新高考），文件包含第04讲基本不等式及其应用讲义原卷版docx、第04讲基本不等式及其应用讲义解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共31页， 欢迎下载使用。
