2023-2024学年安徽师大附中高二（下）月考数学试卷（3月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年安徽师大附中高二（下）月考数学试卷（3月份）(含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈N|lg(2−x)≤0}，B={x∈N|y= 1−x2}，则A∪B=( )
A. {0,1,2}B. {1,2}C. {0,1}D. {1}
2.在等差数列{an}中，若a3+a7=10，a6=7，则公差d=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.已知不重合的直线a，b和平面α，β，a⊥α，b⊥β，则“a⊥b”是“α⊥β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知数据4x1+1，4x2+1，…，4x10+1的平均数和方差分别为4，10，那么数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为( )
A. −1，52B. 1，52C. 1，32D. 34，58
5.已知向量a，b满足a⋅(a+b)=2，且|a|=1，则向量b在向量a上的投影向量为( )
A. 1B. −1C. aD. −a
6.已知sinx−2csx= 5sin(x+φ)，则sin2φ−2cs2φ=( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
7.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位：时)的变化规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0=60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间(单位：时)为( )
(精确到0.1，参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10)
A. 0.3B. 0.5C. 0.7D. 0.9
8.已知定义在R上的连续可导函数f(x)及其导函数f′(x)满足f(x)0时f(x)>0，则下列式子不一定成立的是( )
A. f(8)>2f(4)B. f(4)>2f(2)C. f(2)>2f(1)D. f(1)>2f(12)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定数集A=R，B=(0,+∞)，x，y满足方程2x−y=0，下列对应关系f为函数的是( )
A. f：A→B，y=f(x)B. f：B→A，y=f(x)
C. f：A→B，x=f(y)D. f：B→A，x=f(y)
10.已知z为复数，设z，z−，iz在复平面上对应的点分别为A，B，C，其中O为坐标原点，则( )
A. |OA|=|OB|B. OA⊥OCC. |AC|=|BC|D. OB//AC
11.设定义在R上的可导函数f(x)和g(x)满足f′(x)=g(x)，g′(x)=f(x)，f(x)为奇函数，且g(0)=1.则下列选项中正确的有( )
A. g(x)为偶函数B. f(x)为周期函数
C. g(x)存在最大值且最大值为1D. g(x+y)=g(x)g(y)+f(x)f(y)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(x)=2sinx+f′(0)csx，则f′(0)= ______．
13.已知A(4,1)，B(2,2)，C(0,3)，若在圆x2+y2=r2(r>0)上存在点P满足|PA|2+|PB|2+|PC|2=13，则实数r的取值范围是______．
14.已知动点P，Q分别在圆M：(x−lnm)2+(y−m)2=14和曲线y=lnx上，则|PQ|的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=2x3+3ax2+1(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a=−1时，求函数f(x)在区间[0,2]上的最值．
16.(本小题15分)
已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为坐标原点O，从C1，C2上分别取两个点，将其坐标记录于表中：
(1)求C1和C2的标准方程；
(2)若C1和C2交于不同的两点A，B，求OA⋅OB的值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD为正三角形，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD⊥CD，AD=2BC=2，CD= 3,PB= 6．
(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)点M为棱PC的中点，求BM与平面PCD所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
设Sn为数列{an}的前n项和，已知{Snn(n+1)}是首项为12、公差为13的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn=(2n−1)anSn，Tn为数列{bn}的前n项积，证明：i=1nTi≤6n−15．
19.(本小题17分)
已知集合A中含有三个元素x，y，z，同时满足①xz；③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合Sn={1,2,3,⋯,2n}(n∈N*，n≥4)，对于集合Sn的非空子集B，若Sn中存在三个互不相同的元素a，b，c，使得a+b，b+c，c+a均属于B，则称集合B是集合Sn的“期待子集”．
(1)试判断集合A={1,2,3,5,7,9}是否具有性质P，并说明理由；
(2)若集合B={3,4,a}具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”；
(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合Sn的“期待子集”．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵集合A={x∈N|lg(2−x)≤0}={x∈N|0<2−x≤1}={1}，
B={x∈N|y= 1−x2}={0,1}，
∴A∪B={0,1}．
故选：C．
由题意，利用对数、偶次根式的性质求出A和B，再根据并集的定义求出A∪B．
本题主要考查对数、偶次根式的性质，求集合的并集，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为a3+a7=10，a6=7，
则由等差数列的性质可知a3+a7=a4+a6=10，
所以，a4=3，d=a6−a42=2．
故选：B．
由已知结合等差数列的性质可得a3+a7=a4+a6，可求a4，然后结合d=a6−a42可求．
本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、属于基础题．
根据面面垂直的性质可知a⊥b，两平面的法向量垂直则两平面垂直，最后根据“若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件”即可得到结论．
【解答】解：∵a⊥α，α⊥β，
∴a/​/β或a⊂β，
又∵b⊥β，
∴a⊥b，
反之，若a⊥b，则α⊥β也成立，
故选C．
4.【答案】D
【解析】解：设数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为μ和s2，
则数据4x1+1，4x2+1，…，4x10+1的平均数为4×μ+1=4，方差为42×s2=10，
得μ=34，s2=58．
故选：D．
利用平均数与方差的运算性质求解即可．
本题考查平均数和方差公式的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为a⋅(a+b)=2，且|a|=1，
所以a2+a⋅b=2，即|a|2+a⋅b=2，
所以a⋅b=1，
所以向量b在向量a上的投影向量为a⋅b|a|×a|a|=a．
故选：C．
根据数量积的运算律求出a⋅b，在根据向量b在向量a上的投影向量为a⋅b|a|×a|a|计算可得．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：sinx−2csx= 5sin(x+φ)= 5sinxcsφ+ 5csxsinφ，
则csφ= 55，sinφ=−2 55，
所以sin2φ−2cs2φ=(−2 55)2−2×( 55)2=25．
故选：B．
根据已知条件，结合正弦的两角和公式，即可求解．
本题主要考查正弦的两角和公式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要t−1小时，
由题意可得60eK=80，60eKt=90，两边同时取自然对数并整理，
得K=ln8060=ln43=ln4−ln3=2ln2−ln3，Kt=ln9060=ln32=ln3−ln2，
则t=ln3−ln22ln2−ln3≈1.10−0.692×0.69−1.10≈1.5，则给氧时间至少还需要0.5小时．
故选：B．
依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：设F(x)=f(x)ex，
因为F′(x)=f′(x)ex−f(x)ex(ex)2=f′(x)−f(x)ex，
又f(x)所以F′(x)>0，即F(x)在R上为增函数，
对于A：因为F(8)>F(4)，即f(8)e8>f(4)e4，化简得f(8)>e4f(4)>2f(4)，故A成立；
对于B：因为F(4)>F(2)，即f(4)e4>f(2)e2，化简得f(4)>e2f(2)>2f(2)，故B成立；
对于C：因为F(2)>F(1)，即f(2)e2>f(1)e，化简得f(2)>ef(1)>2f(1)，故C成立；
对于D：因为F(1)>F(12)，即f(1)e>f(12)e12，化简得f(1)>e12f(12)，而e12f(12)<2f(12)，故D不一定成立．
故选：D．
构造函数F(x)=f(x)ex，利用F(x)的单调性可得结果．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，y=f(x)=2x，∀x∈A，均有唯一确定f(x)∈(0,+∞)=B，符合函数定义，A正确；
对于B，y=f(x)=2x，∀x∈B，均有唯一确定f(x)∈(1,+∞)⊆A，符合函数定义，B正确；
对于C，x=f(y)=lg2y，取y=1∈A，x=0∉B，不符合函数定义，C错误；
对于D，x=f(y)=lg2y，∀y∈B，均有唯一确定f(y)∈R=A，符合函数定义，D正确．
故选：ABD．
根据给定条件，利用函数的定义，结合指数函数、对数函数的性质逐项判断即得．
本题主要考查了函数的定义，考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，
∴A(a,b)，
z−=a−bi(a,b∈R)，
∴B(a,−b)，
iz=i(a+bi)=−b+ai，
∴C(−b,a)，
OA=(a,b),OB=(a,−b),OC=(−b,a),AC=(−b−a,a−b),BC=(−b−a,a+b)，
对于A，∵ a2+b2= a2+(−b)2，
∴|OA|=|OB|，故A正确；
对于B，∵a(−b)+ba=0，∴OA⊥OC，故B正确；
对于C，∵|AC|= (−b−a)2+(a−b)2,|BC|= (−b−a)2+(a+b)2，
当ab≠0时，|AC|≠|BC|，故C错误；
对于D，∵a(a−b)−(−b)(−b−a)=a2−2ab−b2，a2−2ab−b2可以为零，也可以不为零，
故OB不一定平行于AC，故选D错误．
故选：AB．
根据复数的几何意义、共轭复数、复数的乘法运算可以表示出A，B，C三点的坐标，通过向量的模长、向量的平行和垂直知识进而可以判断．
本题主要考查向量与复数的综合应用，考查转化能力，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：对于A：∵f(x)为奇函数，即f(x)=−f(−x)，
∴f′(x)=f′(−x)，
又f′(x)=g(x)，则g(x)=g(−x)，
∴g(x)为偶函数，故A正确；
对于B：令F(x)=f(x)+g(x)，
f′(x)=g(x)，g′(x)=f(x)，则F′(x)=f′(x)+g′(x)=g(x)+f(x)=F(x)，即F′(x)−F(x)=0，
令G(x)=e−xF(x)，x∈R，则G′(x)=e−x[F′(x)−F(x)]=0，
∴G(x)=c，x∈R，即F(x)=f(x)+g(x)=cex，x∈R，其中c为常数，
又f(x)为奇函数，f(0)=0.g(0)=1，则F(0)=f(0)+g(0)=ce0=1，即c=1，
∴F(x)=f(x)+g(x)=ex，x∈R，
又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
F(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)=e−x，
联立F(x)=f(x)+g(x)=ex，
∴f(x)=ex−e−x2，g(x)=ex+e−x2，x∈R，
∴f(x)不是周期函数，故B错误；
对于C：由基本不等式得g(x)=ex+e−x2≥1，其中当且仅当ex=e−x，即x=0时等号成立，
∴g(x)存在最小值且最小值为1，故C错误；
对于D：由选项B得f(x)=ex−e−x2，g(x)=ex+e−x2，
则g(x)g(y)+f(x)f(y)=(ex+e−x)(ey+e−y)+(ex−e−x)(ey−e−y)4=ex+y+e−(x+y)2=g(x+y)，故D正确．
故选：AD．
对于A：利用奇函数的性质可得f(x)=−f(−x)，结合题意即可判断A；
对于B：构造函数F(x)=f(x)+g(x)，结合题意可得F′(x)=f′(x)+g′(x)=g(x)+f(x)=F(x)，即F′(x)−F(x)=0，构造函数G(x)=e−xF(x)，求导得G′(x)=e−x[F′(x)−F(x)]=0，即G(x)=c，结合题意可得F(x)=f(x)+g(x)=ex，且F(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)=e−x，联立求解即可得出答案；
对于C：由基本不等式得g(x)=ex+e−x2≥1，可得g(x)存在最小值且最小值为1，即可判断C；
对于D：由选项B得f(x)=ex−e−x2，g(x)=ex+e−x2，计算g(x)g(y)+f(x)f(y)，即可得出答案．
本题考查抽象函数问题，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】2
【解析】解：由f(x)=2sinx+f′(0)csx⇒f′(x)=2csx−f′(0)sinx，
所以f′(0)=2cs0−f′(0)×sin0⇒f′(0)=2．
故答案为：2．
利用基本初等函数的求导公式及加法运算法则计算即可．
本题考查导数的计算，属于基础题．
13.【答案】[2 2−1,2 2+1]
【解析】解：设点P(x,y)，
由A(4,1)，B(2,2)，C(0,3)，点P满足|PA|2+|PB|2+|PC|2=13，
可得(x−4)2+(y−1)2+(x−2)2+(y−2)2+(x−0)2+(y−3)2=13，
化简可得x2+y2−4x−4y+7=0，
即(x−2)2+(y−2)2=1，即点P在以(2,2)为圆心，1为半径的圆上，
因为点P在圆x2+y2=r2(r>0)上，
所以|r−1|≤ (2−0)2+(2−0)2≤r+1，
解得2 2−1≤r≤2 2+1，
故实数r的取值范围是[2 2−1,2 2+1]．
故答案为：[2 2−1,2 2+1]．
由题意设出点P(x,y)，结合点P满足|PA|2+|PB|2+|PC|2=13，求出P点的轨迹为圆，进而问题转化为两圆有公共点问题即可．
本题主要考査圆与圆的位置关系以及转化与化归思想的应用，属于中档题．
14.【答案】 2−12
【解析】解：因为圆M：(x−lnm)2+(y−m)2=14，
设M(x,y)，则x=lnmy=m，
所以y=ex，
即圆心M在曲线y=ex上运动，
易知，函数y=ex与函数的图象y=lnx关于直线y=x对称，
而曲线f(x)与直线y=x+1相切于点A(0,1)，曲线(x)与直线y=x−1相切于点B(1,0)，
所以PM|的最小值为|AB|= 2，
即|PQ|的最小值为|PM|−12= 2−12．
故答案为： 2−12．
设M(x,y)，则x=lnmy=m，得出圆心轨迹为y=ex，由函数y=ex与函数y=lnx的图象关于直线y=x对称，结合导数的几何意义可得|PQ|的最小值为 2，进而确定|PQ|的最小值．
本题主要考查切线的应用，属于中档题．
15.【答案】解：1)因为f(x)=2x3+3ax2+1(a∈R)，所以f′(x)=6x2+6ax=6x(x+a)，
①当a=0时，f′(x)=6x2≥0恒成立，此时f(x)在R上单调递增；
②当a<0时，由f′(x)=6x(x+a)>0，解得x<0或x>−a，由f′(x)=6x(x+a)<0，得到0此时f(x)在(−∞,0)，(−a,+∞)上单调递增，在(0,−a)上单调递减；
③当a>0时，由f′(x)=6x(x+a)>0，解得x>0或x<−a，由f′(x)=6x(x+a)<0，得到−a此时f(x)在(−∞,−a)，(0,+∞)上单调递增，在(−a,0)上单调递减．
(2)当a=−1时，f(x)=2x3−3x2+1，则f′(x)=6x2−6x=6x(x−1)，
由f′(x)=0，得到x=0或x=1，
所以f(x)在[0,1]上单调递减，在(1,2]上单调递增．
又f(0)=1，f(1)=0，f(2)=5，
所以当a=−1时，函数f(x)在[0,2]上的最小值为0，最大值为5．
【解析】(1)根据条件得到f′(x)=6x(x+a)，分a=0，a<0和a>0三种情况讨论导函数的符号，即可得出结论；
(2)求出函数的导函数，根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可求得函数在区间[0,2]上的最值．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了单调性在函数最值求解中的应用，属于中档题．
16.【答案】解：(1)设抛物线C2的标准方程为y2=2px(p>0)，则2p=y2x，
结合表格数据，因为221=(2 2)22=4，
所以点(1,2),(2,2 2)在抛物线C2上，且2p=4，解得p=2，
所以抛物线C2的标准方程为y2=4x，
得12a2+34b2=12a2=1，解得a2=2，b2=1，
所以椭圆C1的标准方程为x22+y2=1；
(2)根据对称性，可设A，B两点坐标分别为(x0,y0)，(x0,−y0)，
联立方程组y2=4xx2+2y2=2，消y得x2+8x−2=0，
解得x1=−4−3 2,x2=−4+3 2，
因为x=y24≥0，
所以x0=3 2−4，
所以OA⋅OB=x02−y02=x02−4x0=(3 2−4)2−4(3 2−4)=50−36 2．
【解析】(1)通过观察可得点(1,2),(2,2 2)在抛物线C2上，点( 22, 32),( 2,0)在椭圆上，代入点的方程求解即可；
(2)将C1和C2联立，求出交点横坐标，然后利用数量积的坐标运算求解．
本题考查了椭圆和抛物线的性质，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：如图，取AD的中点K，连接PK，BK，
因为△PAD为正三角形，AD=2，
所以PK= 3,且PK⊥AD，
因为AD=2BC=2，K为AD中点，所以DK=BC，
又因为底面ABCD为直角梯形，AD//BC，
所以四边形BKDC为平行四边形
且BK⊥AD,BK=CD= 3，
由因为PB= 6，因为PK2+BK2=PB2，
所以PK⊥BK，
又因为PK⊥AD，BK∩AD=K，BK，AD⊂平面ABCD，
所以PK⊥平面ABCD，
因为PK⊂平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD；
(2)解：由(1)易知PK⊥平面ABCD，BK⊥AD，
如图，以K为坐标原点KA，KB，KP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P(0,0, 3),B(0, 3,0),C(−1, 3,0),D(−1,0,0)，M(−12, 32, 32)，
则CD=(0,− 3,0),PD=(−1,0,− 3),BM=(−12,− 32, 32)，
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，
由n⋅CD=0n⋅PD=0，得− 3y=0−x− 3z=0，令x= 3，则y=0，z=−1，
所以n=( 3,0,−1)，
因为n⋅BM= 3×(−12)+0×(− 32)+(−1)× 32=− 3，|n|= 3+0+1=2，|BM|= 14+34+34= 72，
所以cs=n⋅BM|n|⋅|BM|=− 32× 72=− 217，
设BM与平面PCD所成的角为θ，θ∈[0,π2]，
所以sinθ=|cs|= 217，
即BM与平面PCD所成角的正弦值为 217．
【解析】(1)取AD的中点K，由题意可得PK的值，可证得PK⊥BK，PK⊥AD，可证得PK⊥平面ABCD，进而可证得结论；
(2)由(1)可得BK⊥AD，建立空间直角坐标系，分别写出点的坐标，可求出直线BM与平面PCD所成角的正弦值．
本题考查面面垂直的证法及直线与平面所成的角的正弦值的求法，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由{Snn(n+1)}是首项为12、公差为13的等差数列，
故Snn(n+1)=12+13(n−1)=n3+16，
即Sn=(n3+16)n(n+1)=n(2n+1)(n+1)6，
当n≥2时，Sn−1=n(2n−1)(n−1)6，
故Sn−Sn−1=an=n(2n+1)(n+1)6−n(2n−1)(n−1)6
=n(2n2+3n+1−2n2+3n−1)6=n2，
当n=1时，a1=S1=3×26=1，符合上式，
故an=n2；
(2)证明：由an=n2，Sn=n(2n+1)(n+1)6，
故bn=(2n−1)anSn=6(2n−1)n2n(2n+1)(n+1)=6(2n−1)n(2n+1)(n+1)，
则Tn=b1b2…bn=6(2−1)(2+1)(1+1)⋅6(4−1)×2(4+1)(2+1)⋅…⋅6(2n−1)n(2n+1)(n+1)
=6n(2−1)(2n+1)(n+1)=6n(2n+1)(n+1)，
由(2n+1)(n+1)≥3×2=6，
故Tn≤6n6=6n−1，
则i=1nTi≤i=1n6n−1=1×(1−6n)1−6=6n−15．
【解析】(1)由等差数列定义可得Sn，由Sn与an的关系即可得an；
(2)由Sn与an可得bn，即可得Tn，由(2n+1)(n+1)≥6，可得Tn≤6n−1，借助等比数列求和公式计算即可得证．
本题考查等差数列的通项公式，以及不等式的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)集合A={1,2,3,5,7,9}不具有性质P，理由如下：
(i)从集合A中任取三个元素x，y，z均为奇数时，x+y+z为奇数，不满足条件③，
(ii)从集合A中任取三个元素x，y，z有一个为2，另外两个为奇数时，不妨设y=2，x则有z−x≥2，即z−x≥y，不满足条件②，
综上所述，可得集合A={1,2,3,5,7,9}不具有性质P．
(2)证明：由3+4+a是偶数，得实数a是奇数，
当a<3<4时，由a+3>4，得1当3<4a，得4因为3+4+5=12是偶数，所以集合B={3,4,5}，
令a+b=3，b+c=4，c+a=5，解得a=2，b=1，c=3，
显然a，b，c∈S4={1,2,3,4,5,6,7,8}，
所以集合B是集合S4的“期待子集”得证．
(3)证明：
先证充分性：
当集合M是集合Sn的“期待子集”时，存在三个互不相同的a，b，c，使得a+b，b+c，c+a均属于M，
不妨设a因为x+y−z=(a+b)+(a+c)−(b+c)=2a>0，所以x+y>z，即满足条件②，
因为x+y+z=2(a+b+c)，所以x+y+z为偶数，即满足条件③，
所以当集合M是集合Sn的“期待子集”时，集合M具有性质P．
再证必要性：
当集合M具有性质P，则存在x，y，z，同时满足①xz；③x+y+z为偶数，
令a=x+y+z2−z，b=x+y+z2−y，c=x+y+z2−x，则由条件①得a由条件②得a=x+y+z2−z=x+y−z2>0，
由条件③得a，b，c均为整数，
因为z−c=z+x−x+y+z2=z+x−y2>z+(y−z)−y2=0，
所以0所以a，b，c∈Sn，
因为a+b=x，a+c=y，b+c=z，
所以a+b，b+c，c+a均属于M，
所以当集合M具有性质P时，集合M是集合Sn的“期待子集”．
综上所述，集合M是集合Sn的“期待子集”的充要条件是集合M具有性质P．
【解析】(1)分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断；
(2)首先根据性质P，确定集合B，再根据“期待子集”的定义，确定集合B是集合S4的“期待子集”；
(3)首先证明充分性，存在三个互不相同的a，b，c，使得a+b，b+c，c+a均属于M，
证明满足性质P的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的a，b，c，再证明a+b，b+c，c+a均属于M，即可证明．
本题主要考查子集和真子集，属于中档题．x
22
1
2
2
y
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0
2 2