湖北省武汉市2019-2020学年高一下学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份湖北省武汉市2019-2020学年高一下学期期中联考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．数列{an}是等差数列，a2＝3，a5＝9，则S6＝（ ）
A．12B．24C．36D．72
2．若向量a→，b→满足a→⋅(a→−b→)=5，|a→|＝2，|b→|＝1，则向量a→，b→的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
3．在△ABC中，a＝23，b＝22，B=π4，则A等于（ ）
A．π6B．π3C．π3或2π3D．π6或5π6
4．在△ABC中，BD→=12DC→，则AD→=（ ）
A．14AB→+34AC→B．23AB→+13AC→C．13AB→+23AC→D．13AB→−23AC→
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八厘关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地、”则此人第4天走了（ ）
A．60里B．48里C．36里D．24里
6．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1•a5•a9＝﹣8，b2+b5+b8＝3π，则sinb4+b61−a3a7的值是（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
7．钝角三角形ABC的面积是332，AB＝2，BC＝3，则AC＝（ ）
A．7B．15C．17D．19
8．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若2acsB＝c，则该三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
9．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，则AP→⋅(AB→+AC→)（ ）
A．为定值10B．为定值6
C．最大值为18D．与P的位置有关
10．在△ABC中，三边长可以组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为（ ）
A．1516B．15316C．154D．1534
11．如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小明在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿的距离为（ ）海里．
A．56B．106C．102D．202
12．数列{an}的前n项和为Sn，an+an+1=n⋅(−1)n(n+1)2，S2021＝1001，则a2的值为（ ）
A．﹣9B．8C．﹣1019D．1018
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上.）
13．已知a→，b→均为单位向量，它们的夹角为2π3，则|a→−b→|= ．
14．在数列{an}中，a1＝3，an+1=an+22n，则an＝
15．若等比数列{an}（n∈N*）满足a1+a3＝30，a2+a4＝10，则a1•a2•…•an的最大值为 ．
16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，c＝3且（sinC﹣sinB）（b+3）＝（a+b）sinA，则△ABC面积的最大值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在平面直角坐标系中，已知a→=(1，−2)，b→=(3，4)．
（Ⅰ）若(3a→−b→)∥(a→+kb→)，求实数k的值；
（Ⅱ）若(a→−tb→)⊥b→，求实数t的值．
18．已知数列{an}是等差数列，a1＝﹣10，公差d≠0，且a2，a4，a5是等比数列；
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）求数列{|an|}的前n项和Tn．
19．在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝1，BD＝3．
（Ⅰ）求cs∠ADB；
（Ⅱ）若DC=2，求BC．
20．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝﹣7，公差d为整数，且Sn≥S4；
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cs2A+sinAsinB＝cs2C+sin2B．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=21，且△ABC的面积是53，求△ABC的周长．
22．设正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2＝4，an+12=4Sn+4n+4，n∈N*．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若正项等比数列{bn}满足b1＝a1，b3＝a4，且cn＝an+1bn，数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意n∈N*，均有Tn⋅m≥8n2−28n恒成立，求实数m的取值范围．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.）
1．数列{an}是等差数列，a2＝3，a5＝9，则S6＝（ ）
A．12B．24C．36D．72
根据等差数列的性质与前n项和公式，计算即可．
等差数列{an}中，a2＝3，a5＝9，
所以S6=6(a1+a6)2=3（a2+a5）＝3×（3+9）＝36．
故选：C．
本题考查了等差数列的性质与前n项和公式计算问题，是基础题．
2．若向量a→，b→满足a→⋅(a→−b→)=5，|a→|＝2，|b→|＝1，则向量a→，b→的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
由|a→|＝2，|b→|＝1，a→•（a→−b→）＝5，利用平面向量数量积的运算公式可求得向量a→与b→夹角余弦值，进而求得夹角．
∵向量a→，b→满足a→⋅(a→−b→)=5，|a→|＝2，|b→|＝1，∴a→2−a→•b→=5，∴4−a→•b→=5；即a→•b→=−1，
设向量a→，b→的夹角为θ，则csθ=a→⋅b→|a→||b→|=−12×1=−12，
∵θ∈[0，π]，∴向量a→与b→夹角为2π3：，
故选：C．
本题考查平面向量数量积的运算，熟练掌握公式是解决问题的关键，属于基础题．
3．在△ABC中，a＝23，b＝22，B=π4，则A等于（ ）
A．π6B．π3C．π3或2π3D．π6或5π6
由条件利用正弦定理求得sinA的值，即可求得A的值．
△ABC中，∵a＝23，b＝22，B=π4，
∴由正弦定理可得 23sinA=22sinπ4，
解得 sinA=32，∴A=π3，或 A=2π3，
故选：C．
本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．
4．在△ABC中，BD→=12DC→，则AD→=（ ）
A．14AB→+34AC→B．23AB→+13AC→C．13AB→+23AC→D．13AB→−23AC→
根据BD→=12DC→即可得出：AD→−AB→=12(AC→−AD→)，解出向量AD→即可．
∵BD→=12DC→；
∴AD→−AB→=12(AC→−AD→)；
∴AD→=23AB→+13AC→．
故选：B．
考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八厘关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地、”则此人第4天走了（ ）
A．60里B．48里C．36里D．24里
由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S6＝378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第4天走的路程，即可得答案．
根据题意，记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是以12为公比的等比数列，
又由S6＝378，得S6=a1(1−q6)1−q=a1(1−126)1−12=378，
解可得a1＝192，
则a4＝a1×（12）3＝24；
故选：D．
本题考查了函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前n项和，是基础的计算题．
6．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1•a5•a9＝﹣8，b2+b5+b8＝3π，则sinb4+b61−a3a7的值是（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
由等差数列和等比数列的中项性质，解方程可得a5＝﹣2，b5＝π，再由正弦函数的诱导公式可得所求值．
数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1•a5•a9＝﹣8，b2+b5+b8＝3π，
可得a1a9＝a52，b2+b8＝2b5，即有a53＝﹣8，3b5＝3π，
可得a5＝﹣2，b5＝π，
sinb4+b61−a3a7=sin2b51−a52=sin2π1−4=−sinπ3=−32，
故选：D．
本题考查等差数列和等比数列的中项性质，正弦函数的函数值求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
7．钝角三角形ABC的面积是332，AB＝2，BC＝3，则AC＝（ ）
A．7B．15C．17D．19
根据三角形的面积公式求出sinB的值，由内角的范围、特殊角的正弦值求出角B，
再利用余弦定理求出AB的值，并利用余弦定理验证是否符合条件即可．
钝角△ABC的面积是332，AB＝2，BC＝3，
则12×2×3×sinB=332，
解得sinB=32，
由0＜B＜π得，B=π3或2π3；
当B=π3时，由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•csB
＝4+9﹣2×2×3×12=7，AB=7，
则A是最大角，AB2+AC2﹣BC2＝4+7﹣9＝2＞0，
所以csA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC＞0，A是锐角，不满足题意；
所以B=2π3，则AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•csB
＝4+9﹣2×2×3×（−12）＝19，则AB=19．
故选：D．
本题考查正弦、余弦定理及其变形，三角形的面积公式和特殊角的三角函数值应用问题，也考查了运算求解能力．
8．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若2acsB＝c，则该三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
由题中条件并利用正弦定理可得 2sinAcsB＝sinC，转化为sin（A﹣B）＝0；再根据A﹣B的范围，可得A＝B，从而得出选项．
∵c＝2acsB，由正弦定理可得 sinC＝2sinAcsB，
∴sin（A+B）＝2sinAcsB，
可得sin（A﹣B）＝0．
又﹣π＜A﹣B＜π，
∴A﹣B＝0．
故△ABC的形状是等腰三角形，
故选：A．
本题主要考查正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，得到sin（A﹣B）＝0，是解题的关键，属于基础题．
9．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，则AP→⋅(AB→+AC→)（ ）
A．为定值10B．为定值6
C．最大值为18D．与P的位置有关
先利用向量共线的条件把向量AP→用AB→，AC→表示出来，然后代入结论化简即可．
由题意可设AP→=xAB→+(1−x)AC→，
∴原式=[xAB→+(1−x)AC→]⋅(AB→+AC→)
=xAB→2+(1−x)AC→2+AB→⋅AC→．①
又因为在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，
∴cs∠BAC=32+32−422×3×3=19
AB→⋅AC→=3×3×19=1，AB→2=AC→2=9，代入①式化简得：
9x+（1﹣x）×9+1＝10．
故选：A．
本题考查平面向量的性质及其应用，利用基底思想和三点共线的推论切入是解决本题的关键．属于中档题．
10．在△ABC中，三边长可以组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为32，则这个三角形的面积为（ ）
A．1516B．15316C．154D．1534
三边长可以组成公差为1的等差数列，不妨设为：b﹣1，b，b+1．b＞1．设最大角为θ，利用余弦定理可得：csθ＝±12=(b−1)2+b2−(b+1)22b(b−1)．解得b，利用三角形面积计算公式即可得出．
三边长可以组成公差为1的等差数列，不妨设为：b﹣1，b，b+1．b＞1．
设最大角为θ，则csθ＝±12=(b−1)2+b2−(b+1)22b(b−1)=b−42(b−1)．
解得b=52，b﹣1=32，b+1=72．
则这个三角形的面积S=12×52×32×32=15316．
故选：B．
本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小明在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A、B两岛屿的距离为（ ）海里．
A．56B．106C．102D．202
利用已知条件，首先在三角形ADC中求出AC的长，结合直角三角形BCD有一角是45°得BC＝10，最后在△ABC中由余弦定理可求AB长．
由已知∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，CD＝10，则∠A＝45°
在△ABC中由正弦定理：10sin30°=ACsin105°，则AC＝5（1+3），
又＜BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BC＝DC＝10，
又∠ACB＝60°，∴在△ABC中由余弦定理得AB2＝102+25（1+3）2﹣2×10×5（1+3）cs60°＝150，
∴AB＝56，
故选：A．
本题考查三角形的实际应用，考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力．
12．数列{an}的前n项和为Sn，an+an+1=n⋅(−1)n(n+1)2，S2021＝1001，则a2的值为（ ）
A．﹣9B．8C．﹣1019D．1018
本题先根据题干中的递推式写出前几个相邻项相加的结果，然后推导出一般项的规律，再利用分组求和法计算出S2021﹣S1的值，进一步计算可得a2的值．
由题意，可知
a1+a2＝1•(−1)1×22=−1，
a2+a3＝2•(−1)2×32=−2，a4+a5＝4•(−1)4×52=4，
a6+a7＝6•(−1)6×72=−6，a8+a9＝8•(−1)8×92=8，
故当n为偶数且n＝4k，k∈N*时，
an+an+1＝a4k+a4k+1＝4k•(−1)4k⋅(4k+1)2=4k•1＝4k＝n，
当n为偶数且n＝4k﹣2，k∈N*时，
an+an+1＝a4k﹣2+a4k﹣1＝（4k﹣2）•(−1)(4k−2)(4k−1)2=（4k﹣2）•（﹣1）＝﹣（4k﹣2）＝﹣n，
∴当n为偶数且n＝4k﹣2，k∈N*时，
an+an+1+an+2+an+3＝a4k﹣2+a4k﹣1+a4k+a4k+1＝﹣（4k﹣2）+4k＝2，
∴S2021﹣S1＝a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+…+a2018+a2019+a2020+a2021
＝（a2+a3+a4+a5）+（a6+a7+a8+a9）+…+（a2018+a2019+a2020+a2021）
＝2+2+…+2
＝2×505
＝1010，
∴a1＝S1＝S2021﹣1010＝1001﹣1010＝﹣9，
∵a1+a2＝﹣1，
∴a2＝﹣1﹣（﹣9）＝8．
故选：B．
本题主要考查根据递推公式求和的问题，以及数列的计算．考查了转化与化归思想，整体思想，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卡相应位置上.）
13．已知a→，b→均为单位向量，它们的夹角为2π3，则|a→−b→|= 3 ．
根据题意，求出a→•b→的值，进而由数量积的运算法则可得|a→−b→|=(a→−b→)2，代入数据计算可得答案．
根据题意，a→，b→均为单位向量，它们的夹角为2π3，则a→•b→=1×1×cs2π3=−12，
则|a→−b→|=(a→−b→)2=1+1+1=3；
故答案为：3
本题考查向量数量积的计算，注意单位向量的定义，属于基础题．
14．在数列{an}中，a1＝3，an+1=an+22n，则an＝ 4n+53
由an+1=an+22n可得an+1−an=22n，利用累加法可求出an+1=4(4n−1)3+3=4n+1+53，从而得出an=4n+53．
∵an+1=an+22n，
∴an+1−an=22n，
∴a2−a1=22，
a3−a2=24，
a4−a3=26，
……
an+1−an=22n，
累加得：an+1−a1=22+24+⋯⋯+22n=4(1−4n)1−4=4(4n−1)3，
∴an+1=4(4n−1)3+3=4n+1+53，
∴an=4n+53，
故答案为：4n+53．
本题主要考查了数列的递推式，以及累加法求数列通项公式，是中档题．
15．若等比数列{an}（n∈N*）满足a1+a3＝30，a2+a4＝10，则a1•a2•…•an的最大值为 729 ．
设等比数列{an}的公比为q，由a1+a3＝30，a2+a4＝10，可得a1+a3＝30＝a1（1+q2），a2+a4＝10＝q（a1+a3）＝30q，联立解得q，a1．利用通项公式与求和公式及其二次函数的单调性即可得出．
设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a3＝30，a2+a4＝10，
∴a1+a3＝30＝a1（1+q2），a2+a4＝10＝q（a1+a3）＝30q，
联立解得q=13，a1＝27．
∴an＝27×(13)n−1=34﹣n．
则a1•a2•…•an＝33+2+…+（4﹣n）=3n(3+4−n)2=37n−n22，
可得n＝3或4时，a1•a2•…•an的最大值为729．
故答案为：729．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，c＝3且（sinC﹣sinB）（b+3）＝（a+b）sinA，则△ABC面积的最大值为 334 ．
由正弦定理化简已知可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，结合余弦定理可求C的值，由基本不等式可求ab≤3，再利用三角形面积公式即可计算得解．
因为：c＝3且（sinC﹣sinB）（b+3）＝（a+b）sinA，
⇒（c﹣b）（b+c）＝（a+b）a，
⇒a2+b2﹣c2＝﹣ab，
所以：csC=a2+b2−c22ab=−ab2ab=−12，
因为：C∈（0，π），
所以：C=2π3，
△ABC面积S=12absinC=34ab，
而a2+b2﹣c2＝﹣ab，
⇒a2+b2+ab＝9，
⇒9﹣ab≥2ab
⇒ab≤3，当且仅当a＝b时取等号，
所以：S=34ab≤334，即△ABC面积的最大值为334．
故答案为：334．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在平面直角坐标系中，已知a→=(1，−2)，b→=(3，4)．
（Ⅰ）若(3a→−b→)∥(a→+kb→)，求实数k的值；
（Ⅱ）若(a→−tb→)⊥b→，求实数t的值．
（Ⅰ）可以求出3a→−b→=(0，−10)，a→+kb→=(3k+1，4k−2)，根据(3a→−b→)∥(a→+kb→)即可得出3k+1＝0，解出k即可；
（Ⅱ）可以求出a→−tb→=(1−3t，−2−4t)，根据(a→−tb→)⊥b→即可得出(a→−tb→)⋅b→=0，进行向量坐标的数量积的运算即可求出t的值．
（Ⅰ）3a→−b→=(0，−10)，a→+kb→=(3k+1，4k−2)，
∵(3a→−b→)∥(a→+kb→)，
∴3k+1＝0，解得k=−13；
（Ⅱ）a→−tb→=(1−3t，−2−4t)，
∵(a→−tb→)⊥b→，
∴(a→−tb→)⋅b→=3(1−3t)−4(2+4t)=0，解得t=−15．
本题考查了向量坐标的加法、减法、数量积和数乘运算，向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
18．已知数列{an}是等差数列，a1＝﹣10，公差d≠0，且a2，a4，a5是等比数列；
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）求数列{|an|}的前n项和Tn．
（Ⅰ）运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）求得数列{an}的前n项和为Sn，讨论当1≤n≤6时，Tn＝﹣Sn；当n≥7时，Tn＝Sn﹣2S6．化简计算可得所求和．
（Ⅰ）由a2，a4，a5是等比数列，可得a2a5＝a42，
即（﹣10+d）（﹣10+4d）＝（﹣10+3d）2计算得：d＝2或0（舍去0），
所以an＝2n﹣12；
（Ⅱ）数列{an}的前n项和为Sn=12n（﹣10+2n﹣12）＝n2﹣11n，
当1≤n≤6时，an≤0，即有Tn=−Sn=11n−n2；
当n≥7时，an＞0，Tn=Sn−S6−S6=n2−11n+60，
即有Tn=11n−n2，1≤n≤6n2−11n+60，n≥7，n∈N*．
本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，考查分类讨论思想和方程思想，化简运算能力，属于基础题．
19．在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝1，BD＝3．
（Ⅰ）求cs∠ADB；
（Ⅱ）若DC=2，求BC．
（Ⅰ）由正弦定理可得∠ADB的正弦值，再由角的范围求出其余弦值；
（Ⅱ）由余弦定理可得BC的值．
（Ⅰ）在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A=ABsin∠ADB．
由题设知，3sin45°=1sin∠ADB，所以sin∠ADB=26．
由题设知，∠ADB＜90°，所以cs∠ADB=1−236=346．
（Ⅱ）由题设及（1）知，cs∠BDC=sin∠ADB=26．
在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2+DC2﹣2•BD•DC•cs∠BDC=9+2−2×3×2×26=9．
所以BC＝3．
本题考查正弦定理余弦定理的应用，属于中档题．
20．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝﹣7，公差d为整数，且Sn≥S4；
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
本题第（Ⅰ）题根据已知条件及等差数列的性质前n项Sn满足Sn≥S4，且a1＝﹣7＜0可判断出a4≤0，a5≥0，代入等差数列的通项公式可计算出公差d的取值范围，然后根据公差d为整数可得到d的值，即可计算出数列{an}的通项公式；
第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用裂项相消法可计算出前n项和Tn．
（Ⅰ）依题意，由等差数列{an}的前n项Sn满足Sn≥S4，且a1＝﹣7＜0，
可得 a4≤0，a5≥0，
即a4＝﹣7+3d≤0，a5≥﹣7+4d≥0，
解得74≤d≤73，
∵公差d为整数，∴d＝2，
故数列{an}的通项公式为an＝﹣7+2（n﹣1）＝2n﹣9，n∈N*．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=1(2n−9)(2n−7)=12(12n−9−12n−7)，
则Tn＝b1+b2+……+bn
=12×（1−7−1−5）+12×（1−5−1−3）+⋯+12×（12n−9−12n−7）
=12×(1−7−1−5+1−5−1−3+⋯⋯+12n−9−12n−7)
=12×（1−7−12n−7）
=−n7(2n−7)．
本题主要考查等差数列的性质及运用，以及运用裂项相消法求数列前n项和．考查转化与化归思想，不等式的计算能力，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．
21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cs2A+sinAsinB＝cs2C+sin2B．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=21，且△ABC的面积是53，求△ABC的周长．
（Ⅰ）有同一个角的正余弦的平方和为1，将余弦值转化为正弦值，再由正弦定理，余弦定理可得C的余弦值，由角的范围求出C的值．
（Ⅱ）由面积公式即余弦定理可得b，c的值，进而求出周长．
（1）由cs2A+sinAsinB＝cs2C+sin2B，得1﹣sin2A+sinAsinB＝1﹣sin2C+sin2B，
即sin2C+sinAsinB＝sin2A+sin2B．
由正弦定理可得a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理可得csC=12，
∵C∈（0，π），所以C=π3．
（2）S△ABC=12absinC=34ab=53，ab＝20，
因为c2＝a2+b2﹣ab，c=21，所以a2+b2＝41，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝41+40＝81，a+b＝9
所以△ABC的周长为9+21．
本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的应用，属于中档题．
22．设正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2＝4，an+12=4Sn+4n+4，n∈N*．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若正项等比数列{bn}满足b1＝a1，b3＝a4，且cn＝an+1bn，数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意n∈N*，均有Tn⋅m≥8n2−28n恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅰ）写出an2=4Sn−1+4(n−1)+4（n≥2），得到an+12﹣an2＝4an+4，推出数列{an}是首项为1、公差为2的等差数列，然后求解通项公式．
（Ⅱ）求出bn＝2n；cn＝（n+1）•2n+1．利用错位相减法求解数列的和Tn=n⋅2n+2，通过Tn⋅m≥8n2−28n恒成立，等价于n•2n+2m≥4n（n﹣7）恒成立，得到m≥2n−72n恒成立，设kn=2n−72n，利用函数的单调性转化求解实数m的取值范围．
（Ⅰ）因为an+12=4Sn+4n+4，所以an2=4Sn−1+4(n−1)+4（n≥2），
两式相减得：an+12﹣an2＝4an+4，即an+12＝（an+2）2（n≥2），
又因为数列{an}的各项均为正数，所以an+1＝an+2（n≥2），
又因为a2＝4，16＝a12+4+4，可得a1＝2，
所以当n＝1时上式成立，即数列{an}是首项为1、公差为2的等差数列，
所以an＝2+2（n﹣1）＝2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b1＝a1＝2，b3＝a4＝8，所以bn＝2n；cn＝（n+1）•2n+1．Tn=2⋅22+3⋅23+⋯⋯+n⋅2n+(n+1)⋅2n+1①
2Tn=2⋅23+3⋅24+⋯⋯+n⋅2n+1+(n+1)⋅2n+2②
①﹣②得：−Tn=8+23+24+⋯⋯+2n+1−(n+1)⋅2n+2，＝4+（22+23+32+……+2n+1）﹣（n+1）•2n+2
＝4+4（2n﹣1）﹣（n+1）•2n+2＝﹣n•2n+2，
∴Tn=n⋅2n+2，
Tn⋅m≥8n2−28n恒成立，等价于n•2n+2m≥4n（n﹣7）恒成立，
所以m≥2n−72n恒成立，
设kn=2n−72n，则kn+1﹣kn=2n−52n+1−2n−72n=9−2n2n+1，
所以当n≤4时kn+1＞kn，当n＞4时kn+1＜kn，
所以k1＜k2＜k3＜k4＜k5＞k6＞……
所以当kn的最大值为k5=332，故m≥332，
即实数m的取值范围是：[332，+∞）．
本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法，数列与不等式相结合，还考查分析问题解决问题的能力，是难
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